Movimento Circular - Capitulo 4

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Dinâmica de um Sistema 
de Partículas 
 
Dra. Diana Andrade, Dra. Angela Krabbe, Dr. Caius Lucius & Dr. Sérgio Pilling 
 
 
 
 
4 - MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
 
Se um ponto se move numa circunferência, seu movimento é circular, podendo ser 
uniforme ou não. Alguns movimentos ocorrem em setores de circunferência tendo 
características semelhantes ao movimento circular, embora não sejam chamados 
com esse nome. Um exemplo é o pêndulo. 
 
O movimento circular pode ser tratado como um movimento em uma dimensão (1D), 
(através de uma única coordenada) ou em duas dimensões (2D), através da 
decomposição x,y, pois este movimento se dá num plano. Primeiro vejamos o 
movimento circular como um movimento 1D. 
 
Uma vez definido o ponto R e a convenção de sinais, a coordenada s de um ponto P 
numa reta ou numa curva aberta, possui um único valor. Seu módulo é dado pelo 
comprimento do trecho de curva que vai de R a P, sendo o sinal atribuido de acordo 
com a convenção adotada. 
 
Num círculo, ou qualquer curva fechada, a escolha de R e da convenção de sinais não 
é suficiente para definir a coordenada de posição de modo inequívoco. Seja ela 
escalar ou polar, há infinitos valores possíveis para a coordenada de um determinado 
ponto P sobre a curva, todos medidos a partir de R. O exemplo a seguir mostra dois 
valores, s1 e s2, para uma mesma posição de P e para o mesmo observador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- R + 
P 
s1 - R + 
P 
s2 
900 900
s1 = (π/2) . 5 ≅ 7,85 cm s2 = - (3π/2) . 5 ≅ - 23,6 cm 
5 cm 
O movimento circular uniforme é o movimento circular no qual o ponto se move com 
velocidade escalar (ou angular) constante. Nesse caso as funções s(t) e θ(t) são 
lineares em t: 
 
 s(t) = s0 + vt, onde s0 e v são a coordenada de posição escalar inicial e a 
velocidade escalar da partícula, respectivamente. 
 
 θ(t) = θ0 + wt, onde θ0 e w são a coordenada polar inicial e a velocidade 
angular da partícula, respectivamente. 
 
s(t) e θ(t) são formas alternativas de descrever o movimento circular e não são 
independentes. As grandezas escalares do movimento estão relacionadas diretamente 
com as respectivas grandezas angulares através do raio do círculo: 
 
s(t) = r θ(t) ; v(t) = r θ’(t) ; a(t) = r θ’’(t) 
 
No movimento circular uniforme tem-se: 
 
v(t) = v, v constante e θ’(t) = w, ω constante 
 
Podemos ainda, descrever o movimento circular uniforme como um movimento em 
duas dimensões (2D), pois o ponto P se move num plano, o plano do círculo. Assim, o 
movimento de P é descrito pelas coordenadas x(t) e y(t), num sistema de referência 
cartesiano previamente escolhido. Os movimentos das sombras x e y obedecem às 
relações do movimento retilíneo, isto é, velocidade e aceleração são respectivamente a 
primeira e segunda derivadas das funções x(t) e y(t). A velocidade e aceleração de 
uma sombra é a projeção do vetor velocidade e do vetor aceleração, respectivamente, 
no eixo correspondente. 
 
Exemplo4-1: Um ponto P move-se num círculo de raio r e dois observadores 
estudam seu movimento: 
-o observador 4-1 usa a descrição 1D. Para esse observador o movimento é descrito 
pela coordenada polar θ(t). As convenções para a coordenada θ(t) são as mesmas da 
coordenada escalar s(t) e estão mostradas na FIG. 4-1 pela referência R e convenção 
de sinais. A FIG. 4-1 mostra o ponto P num instante de tempo t qualquer. O ângulo 
mostrado, θ(t) é positivo (sentido anti-horário é positivo, de acordo com a convenção + 
R -). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 FIG. 1: coordenada polar segundo observador 1 
θ (t)
P 
r 
r 
+ 
R 
 - 
-o observador 2 usa a descrição 2D. Para esse observador o movimento é descrito no 
sistema de referência cartesiano mostrado na FIG. 4-2. A origem foi escolhida como 
sendo o centro do círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a)Represente na FIG. 4-3 o ângulo θ(t), conforme definido pelo observador 1 (FIG. 4-1) 
b)Com dois riscos a lápis, mostre na FIG. 3 os segmentos de reta que representam os 
valores de x(t) e y(t). 
 
 
FIG. 3 
x
y 
t
0 x(t)
y(t) 
θ (t) 
x 
y 
FIG. 2: coordenadas cartesianas segundo o observador 2 
P 
0 x(t) 
y(t) 
r 
c)Obtenha a relação entre o segmento x(t) (cateto adjacente) e o ângulo θ(t). 
 
x(t) = r cos [θ(t)] 
 
d)Faça o mesmo para o segmento y(t) (cateto oposto). 
 
y(t) = r sen [θ(t)] ; y(t) é igual ao tamanho do cateto oposto ao ângulo. 
 
 
 
4.1 - Aceleração centrípeta e período: 
 
Embora a velocidade escalar não varie no movimento circular uniforme, o movimento 
é acelerado porque a velocidade muda de direção. A figura ao lado mostra a relação 
entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento 
circular uniforme. 
 
Î O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento, mas a 
orientação varia continuamente. 
 
Î A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo 
sentido que o movimento. 
 
Î A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro do círculo. Por 
essa razão, a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de 
centrípeta (“que busca o centro”). Como será demonstrado a seguir, o módulo dessa 
aceleração centrípeta a
r
 é: 
 
r
va
2
= (aceleração centrípeta) (4.1) 
 
onde r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula. 
 
Durante essa aceleração com velocidade escalar constante a partícula percorre a 
circunferência completa (uma distância igual a 2π r) em um intervalo de tempo dado 
por: 
 
v
rT π2= (período) (4.2) 
 
O parâmetro T é chamado período de revolução ou, simplesmente, período. 
 
 
Período é o tempo que uma partícula leva para completar uma volta em uma 
trajetória fechada. 
 
 
 
 
Demonstração da equação 5.1: 
 
 
jvivsenjvivv yx ˆ)cos(ˆ)(ˆˆ θθ +−=+=r (4.3) 
Vemos que 
r
y
sen p=θ e 
r
x p=θcos . 
 
j
r
vx
i
r
vy
v pp ˆˆ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=r (4.4) 
 
Sendo a aceleração, a taxa de variação temporal da 
velocidade e lembrando que tanto o raio r quanto a 
velocidade escalar v são constantes, podemos 
escrever: 
 
j
dt
dx
r
vi
dt
dy
r
v
dt
vda pp ˆˆ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−==
rr (4.5) 
 
 
De acordo com a figura, θvsenvx −= e θcosvvy = , sendo a primeira, a componente x e 
a segunda, a componente y da velocidade. Desta forma: 
jsen
r
vi
r
va ˆˆcos
22
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−= θθr (5.6) 
Para determinar o módulo e a orientação da 
aceleração no caso do movimento circular uniforme, 
considere a figura ao lado. Em (a) a partícula p se 
move com velocidade escalar constante v enquanto 
percorre uma circunferência de raio r. No instante 
mostrado, p possui coordenadas xp e yp. 
 
vr é sempre tangente a trajetória da partícula na 
posição considerada. Isso significa que, na figura, 
vr é perpendicular a uma reta r que liga o centro da 
circunferência à posição da partícula. Nesse caso, o 
ângulo θ que v
r
 faz com a reta vertical passando 
pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com 
o eixo x. 
 
As componentes escalares de v
r
 aparecem na figura 
(b). Assim, v
r
 pode ser escrita em termos dessas 
componentes, como: 
 
 
 
Assim, o módulo da aceleração será dado por: 
 
r
vsen
r
vaaa yx
2
22
2
22 )()(cos =+=+= θθ 
 
Para determinar a orientação de a
r
, temos que encontrar o ângulo φ: 
 
θθ
θφ tg
rv
senrv
a
a
tg
x
y =−
−==
cos)/(
)/(
2
2
 
 
θφ = 
Significando que a
r
 aponta na direção do raio r da figura acima, no sentidodo centro 
da circunferência, como queríamos demonstrar. 
 
Exemplo 4.1: Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas muito 
fechadas. Como o corpo do piloto fica submetido à aceleração centrípeta, com a 
cabeça mais próxima do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro 
diminui, o que pode levar à perda das funções cerebrais. Os sinais de perigo são 
vários. Quando a aceleração é de 2g ou 3g, o piloto se sente pesado. Quando a 
aceleração passa para 4g a visão do piloto passa para preto e branco. Se a aceleração 
é mantida ou aumentada, o piloto passa a não enxergar e logo em seguida perde a 
consciência. Qual o módulo da aceleração, em unidades de g, para um piloto cuja 
aeronave inicia uma curva horizontal com uma velocidade smjiv /)ˆ500ˆ400(0 +=r e 24,0 
s após termina a curva com smjiv f /)ˆ500ˆ400( +−=r ? Suponha que o movimento é 
circular uniforme. 
 
rr
va
222 )500()400( +== , mas não temos r. 
 
Usando: 
v
rT π2= Î π2
Tvr = 
 
Como a velocidade final é o negativo da velocidade inicial, significa que o avião 
termina a curva no lado oposto da circunferência e completou metade de uma 
circunferência em 24,0 s. Assim, T=48 s. Substituindo na equação acima: 
 
mr 77,4891
2
)500()400(48 22 =+= π e 
2
2222
/81,83
77,4891
410000
77,4891
))500()400((
sm
r
va ==+== Assim, ga 6,8
8,9
81,83 ≈= . 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Um ponto P move-se numa circunferência de raio 50 cm e sua posição angular é dada 
pela função θ(t) = tππ
2
25
8
+ (rad, s). Considere o sistema de referência cartesiano 
indicado na FIG. 4. As convenções para as coordenadas escalar e angular estão também 
indicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marque F (falso) V(verdadeiro) 
 
 ( ) o movimento de P é no sentido anti-horário. 
 
 ( ) o período do movimento é da 0,16s. 
 
 ( ) a sombra x do ponto P move-se entre x = -50cm e x = +50cm. 
 
 ( ) quando θ = 3π, a velocidade da sombra y é igual a zero. 
 
 ( ) quando t=0 a sombra x encontra-se na origem do sistema de referência. 
 ( ) a velocidade escalar de P é igual a π
2
25 cm/s. 
 ( ) em t=0,04s a velocidade da sombra x é negativa. 
 
 ( ) no instante em que o ponto P completa uma volta, a aceleração da sombra 
y é negativa. 
( ) a coordenada escalar de P, no instante t=0 é s(0) = 50
8
π cm. 
( ) sempre que x=0 o vetor aceleração é paralelo a y. 
 
 Resp.: V V V F F F V V V V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. – Mostra o ponto P 
num instante qualquer t, 
diferente de zero. x 
y 
θ 
P 
+ 
R 
 - 
2)Um ponto P gira uniformemente no sentido horário sobre uma circunferência de 
raio 40cm na taxa de 72 rotações por minuto. No instante t=0, a posição do ponto é 
dada por sua coordenada escalar s(0) = -10π cm. O sistema de referência e 
convenções para coordenada escalar estão indicadas na FIG. abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Obtenha a função θ(t) que descreve o movimento do ponto P. 
 
b) Na FIG. 5, marque A, posição inicial de P, e represente o vetor velocidade nesse 
instante. 
 
c) Calcule o período, o módulo da velocidade escalar v1 de um ponto distante r/4 do 
centro do círculo e os módulos da velocidade escalar e da aceleração de P. 
 
Resp.: 0,833...s; 75,4 cm/s; 302 cm/s; 2274 cm/s2 
 
 
3) A posição de um ponto P sobre uma circunferência é dada por θ0 = 
4
π rad, nas 
convenções mostradas na FIG. 6. A partir desse instante seu movimento é uniforme, 
no sentido anti-horário e à taxa de 3 voltas completas por segundo. O raio da 
circunferência é igual a 20cm e o plano do movimento é vertical. 
 
a) Dê a função θ(t) que descreve o movimento de P para t ≥ 0. 
 
 
 
 
b) Determine: 
 
-o período do movimento 
 
 
 
-a função s(t) que descreve o movimento de P sobre a trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
x 
+ 
R 
 - 
y 
θ(t) = 
T = 1/3 s 
s(t) = 5π + 120 π t (cm,s) 
-o módulo da velocidade vr (t) do ponto P num instante de tempo t qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Obtenha as funções x(t) e y(t) que descrevem o movimento de P no sistema de 
referência cartesiano da FIG. 3 e determine as funções vx(t), vy(t), ax(t) e ay(t), 
velocidades e acelerações das sombras x e y respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Determine t1 e t2, instantes de tempo em que a sombra y atinge o ponto mais alto 
de seu movimento pela primeira e segunda vez, respectivamente. Obtenha o vetor 
aceleração quando P passa por esse ponto e desenhe-o na FIG. 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 
x 
y 
θ0 
P 
+ 
R 
 - 
Resp.: 120 π cm/s 
x(t) = 20 cos (π/4 + 6π t) (cm,s) 
 
vx (t) = - 120 π sen (π/4 + 6π t) (cm,s) 
 
ax (t) = - 720 π2 cos (π/4 + 6π t) (cm,s) 
 
y(t) = 
 
vy (t) = 
 
ay(t) = 
t1 = (1/24) s ; t2 = 0,375 s 
 
 ar = (ax, ay) = (0, -720 π2 cm/s2)