TEORIA DOS NUMEROS

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Avaliação: CEL0530_AV_201202173731 » TEORIA DOS NÚMEROS
	Tipo de Avaliação: AV
	Aluno: 
	Professor:
	MARIO LUIZ ALVES DE LIMA
	Turma: 9001/AA
	Nota da Prova: 3,5        Nota de Partic.: 2        Data: 18/11/2014 16:05:34
	
	 1a Questão (Ref.: 201202294027)
	Pontos: 0,0  / 1,5
	Uma das propriedades das congruências é: se a  ≡b ( mod m) então an≡bn(mod m) para n>0.Mostre que  se a2≡b2(mod m) isto não implica  a≡b(modm).Use um contra exemplo.
		
	
Resposta: a
	
Gabarito:
Solução
Veja que 5≡2(mod3)→25≡4(mod3)
Mas  32=9≡4(mod5)≠>3≡2(mod5)
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201202764893)
	Pontos: 0,0  / 1,5
	Determinar quais os valores possíveis de φ(2n)/φ(n) onde φ designa a função de Euler
		
	
Resposta: primeiro fazer n=1 p(2.1)/p(1) p2/1=2 ddepois fazer = k p(2k)/p(k)
	
Gabarito: Consideramos separadamente os casos n par e n ímpar; se n ímpar φ(2n) = φ(2)φ(n) = φ(n); se n é par, n = 2¿k . m com k ≥ 1 e m ímpar, logo φ(n) = φ(2¿k )φ(m) = (2¿k − 2¿k+1)φ(m) = 2¿k+1 φ(m) e do mesmo modo φ(2n) = φ(2¿k+1)φ(m) = (2¿k+1 − 2¿k)φ(m) = 2¿kφ(m) Conclui-se assim que φ(2n)/φ(n) = 2 se n par e φ(2n)/φ(n) = 1 se n ímpar
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201202294187)
	Pontos: 0,5  / 0,5
	Seja a proposição P(n):n!>n2, ∀n≥4. Em sua demonstração por indução usamos, respectivamente, como hipótese de indução e tese: 
		
	
	Não há hipótese de indução pois P(n) é falso.
	
	Hipótese de indução: 1!>12e Tese: n!>n2
	
	Hipótese de indução: 4!>42e Tese: 5!>52
	 
	Hipótese de indução: k!>k2e Tese: (k+1)!>(k+1)2
	
	Hipótese de indução: (n+1)!>12e Tese: k!>(k+1)2
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201202300874)
	Pontos: 0,5  / 0,5
	Se A=MDC (20,30) e B=MMC(12,60), podemos afirmar que:
		
	 
	B=6A
	
	A+B=80
	
	A-B=50
	
	AB =60
	
	A=6B
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201202294141)
	Pontos: 0,5  / 0,5
	Sejam os inteiros 451,863 e 983. Podemos afirmar que :
		
	
	Somente o terceiro é primo
	
	Somente o primeiro é primo
	
	Somente o segundo é primo
	 
	Somente o segundo e o terceiro são primos
	
	Os três são primos
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201202783273)
	Pontos: 0,5  / 0,5
	Qual o resto da divisão da potência 3 elevado a 100 por 7?
		
	
	1
	
	0
	 
	4
	
	3
	
	2
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201202300898)
	Pontos: 0,5  / 0,5
	Se x≡2 (mód.5) e y ≡3 (mód.5), então podemos afirmar que:
		
	
	x+3y≡2(mód.5)
	 
	x+3y≡1(mód.5)
	
	x+3y≡3(mód.5)
	
	x+3y≡4(mód.5)
	
	x+3y≡0(mód.5)
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201202315265)
	Pontos: 0,0  / 0,5
	A congruência linear 2x≡6 (mód.4) tem exatamente:
		
	
	3 soluções mutuamente incongruentes
	 
	2 soluções mutuamente incongruentes
	
	5 soluções mutuamente incongruentes
	
	4 soluções mutuamente incongruentes
	 
	6 soluções mutuamente incongruentes
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201202423005)
	Pontos: 0,0  / 1,0
	Qual é o menor inteiro que dividido por 8 e por 15 deixa restos 6 e 13, respectivamente?
		
	 
	188
	
	190
	
	191
	
	189
	 
	187
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201202762960)
	Pontos: 1,0  / 1,0
	Determine o inverso de 7 módulo 11, ou seja, precisamos resolver a congruência linear 7.x = 1(mod11).
		
	
	7
	
	10
	 
	8
	
	12
	
	45