Mecânica Geral Tensões devido a carregamento transversal

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Mecânica Geral 
Tensões devido a carregamento 
Transversal 
Virmondes Ferreira da Silva Junior 
Unisal – AMERICANA 
 
Estudo das forças internas e tensões em barras 
prismáticas, causadas por carregamentos transversais 
Mecânica Geral 
Objetivos: 
Observaremos que os carregamentos transversais 
provocam os seguintes esforços: Força (esforço) cortante 
e momento fletor. E consequentemenente tensões 
normais e tangenciais. Iniciaremos nossas deduções com 
exemplo de uma viga em balanço. 
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Tipos de esforços e tensões 
Vemos abaixo os efeitos dos esforço cortante V e 
momento fletor M. 
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Tipos de esforços e tensões 
O esforço cortante V é pode ser obtido segundo as 
equações de equilíbrio abaixo: 
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Tipos de esforços e tensões 
  VFy
• No caso de carregamento transversal 
  VdAxy .
  0zF   0.dAxz
• Daí vemos que a tensão τxz é zero 
O esforço cortante V é pode ser obtido segundo as 
equações de equilíbrio abaixo: 
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Tipos de esforços e tensões 
  0yF
• No caso de flexão pura temos: 
  0.dAxy
• Portanto em flexão pura não se tem tensão de 
cisalhamento entre as lâminas, não ocorre 
escorregamento relativo das lâminas. 
Observe a figura: 
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Tipos de esforços e tensões 
Considerando uma viga engastada com força aplicada 
conforme indicado temos: 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Para momento fletor: 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
I
My
x 
PxM 
I
Pxy
x 
• Determinação da força cisalhante (H) entre as laminas: 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
  0xF 0.  dAH x
0.   dAH x 0.   dAI
Pxy
H
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
x
I
VQ
H .
0.   dAI
Pxy
H 0..   dAyI
Px
H
QydAVP  ;
Como: 
yAQ 
Qx: Momento 
estático. 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
I
VQ
q 
• Fluxo Cisalhante 
xHq /
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Tensão de cisalhamento devido a carregamento 
transversal. (em uma determinada lâmina) 
A
F

A
H
med



x
H
q 
x
H
q



I
xVQ
H


.
xtI
xVQ
med



..
.
 It
VQ
med 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Tensão de cisalhamento devido a carregamento 
transversal. (Média vertical) 
It
VQ
med 
• As tensões cisalhantes verticais são iguais as horizontais 
devido as condições de equilíbrio 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Em seções retangulares temos as seguintes relações 
entre tensões máximas e médias (Timoshenko): 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Tensão de cisalhamento ao longo do eixo y. Seções 
retangulares. 
yAQ 
   ycycbQ  .
2
1
..
3
3
.
3
2
12
bc
bh
I 
V
bc
yc
Ib
VQ
xy ..
4
3
3
22 








2
2
1..
2
3
c
y
A
V
xy
• Sendo a área A=2bc 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Tensão máxima ocorre na linha neutra e possui 
distribuição parabólica. 







2
0
1..
2
3
cA
V
xy
A
V
máx .
2
3

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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Perfis I 
As tensões τxy são calculadas considerando a resistência 
apenas da alma e as tensões τxz considerando as 
resistências apenas das mesas 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Perfis I e paredes delgadas 
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Tipos de esforços e tensões - Deduções 
• Deformações plásticas. 
• Quando ocorre deformações plásticas as tensões de 
cisalhamento ocorrem sempre no núcleo elástico 







2'
1..
2
3
e
xy
y
y
A
V

'
.
2
3
A
V
xy 
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Exercícios: 
Três tábuas são pregadas são pregadas juntas para formar 
a viga mostrada, que é submetida a uma força constante 
vertical. Sabendo-se que o espaçamento entre os pregos 
é s=75mm e que a força cisalhante em admissível em 
cada prego é de 400N, determine a força cortante 
admissível quando w=120mm. 
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Exercícios: 
O perfil de aço lamino S310x52 é reforçado com duas 
placas de 16x200mm e constitui a seção transversal de 
uma viga. Usando parafusos de 18mm de diâmetro e 
espaçamento longitudinal de 120mm e, sabendo que a 
tensão de cisalhamento admissível no parafuso é de 
90Mpa, determinar a maior força cisalhante vertical 
permissível. 
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Exercícios: 
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Exercícios: 
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Exercícios: 
46103,95 mmxI xx 
mmd 305
mmt f 8,16
mmtw 9,10
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Aplicações de carregamentos transversais: Estudos 
de vigas 
 O que são vigas? 
 São peças estruturais submetidas a carregamentos 
transversais, ou seja, carregamentos ou forças 
preponderantes são aplicadas transversalmente ao seu 
eixo longitudinal. 
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Objetivo do estudo de vigas: 
 Determinar as reações de apoio e esforços internos. 
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Objetivo do estudo de vigas: 
1º Determinar reações de apoio: 
São as forças de reação que ocorrem nos apoios da viga. Ex.: 
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Objetivo do estudo de vigas: 
2º Determinar esforços internos: 
São forças internas que ocorrem nos diversos pontos da viga, 
sempre estão em equilíbrio com as forças externas. 
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Forças internas que podem ocorrer. 
• Esforço cortante ou de cisalhamento: Força paralela a a 
seção transversal da viga. 
• Momento fletor: Momento que ocorre nos pontos do eixo 
da viga. Paralela a seção transversal 
• Momento torçor: Momento que ocorre no nos pontos do 
eixo da viga. Perpendicular a seção transversal. 
• Esforço axial: Força perpendicular a seção transversal da 
viga 
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Exemplos. 
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Diagramas de esforços internos: 
• Como em cada ponto do eixo da viga os esforços são 
diferentes. É necessário fazer um gráfico indicando estes 
esforços. Estes gráficos são chamados de: 
• Diagrama de momento Fletor 
• Diagrama de esforço cortante 
• Diagrama de momento torçor (não será estudado em 
mecânica geral). 
• Diagrama de esforço axial. 
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Diagrama de momento fletor: 
• Deve-se calcular em cada ponto do eixo da viga o 
momento fletor. Para isso utiliza-se as equações de 
equilíbrio de corpos rígidos. 
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Diagrama de esforço cortante: 
• Deve-se calcular em cada ponto do eixo da viga esforço 
cortante. Para isso utiliza-se as equações de equilíbrio de 
corpos rígidos. 
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Relações entre momentos fletores, cortante e 
carregamento: 
• Nos casos em que se obtem uma função para momentos 
fletores, cortantes e carregamentos: Elas se relacionam da 
seguinte forma: 
• Derivada do momento é igual ao cortante; 
• Derivada do cortante é igual ao carregamento. 
q
dx
dV
V
dx
dM

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Exercícios: 
• Traçar os diagramas de momento fletor e esforços 
cortante da viga bi apoiada abaixo. Com carregamento de 
2 KN/m e comprimento l de 10m. 
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Exercícios: 
• Traçar os diagramas de momento fletor e esforços 
cortante da viga bi apoiada abaixo. Com carregamento de 
2 KN e comprimento l de 10m e distância a de 7m. 
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Exercícios: 
• O eixo mostrado é sustentado por um mancal axial em A e 
um mancal e radial em B. SendoL = 3m. O eixo falhará 
quando o máximo momento fletor (Mmax) for 14,8KNm. 
Determine o maior carregamento uniformemente 
distribuído que a barra será capaz de suportar. 
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Exercícios: 
• Considerando L=5,4m, a viga falhará quando a força de 
cisalhamento máxima (Vmax) for de 3560N; ou quando o 
momento fletor máximo (Mmax) for de 17,8KNm. 
Determine o valor máximo do carregamento w que a viga 
será capaz de suportar. Em qual ponto distante de A 
ocorre o máximo momento fletor?