Pêndulo Simples

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Física 
Departamento de Física Aplicada e Termodinâmica 
Laboratório de Física Teórica Experimental II 
 
 
 
Pêndulo Simples 
 
 
 
Professor: José Ricardo Campelo Arruda 
Aluno: Rodrigo Henrique de Oliveira Penna 
Turma 1 
Data da realização da prática: 06/10/2014 
Introdução: 
Um pêndulo simples é definido como uma partícula de massa m 
presa por um fio de determinado comprimento num certo ponto. Sendo a 
partícula solta lateralmente de uma posição C, onde o fio faz um ângulo θ 
com a vertical, esta é parada numa posição simétrica a original C’ e 
retorna novamente a posição B (figura 1). O pêndulo simples é muito 
utilizado no cotidiano para estudos da força peso e do movimento 
oscilatório. 
 
Conforme mostra a figura 1, as forças que atuam sobre a partícula 
são a força peso (mg), exercida pela Terra, e a tensão (T), exercida pelo fio. 
A força de tensão não é cancelada pela componente do peso ao longo do 
fio. A resultante ao longo do fio faz o papel de força centrípeta. A 
oscilação executada pelo corpo preso ao fio descreve o arco de uma 
circunferência. 
 A descoberta da periodicidade do movimento pendular foi feita 
por Galileu Galilei. O movimento de um pêndulo simples é caracterizado 
por ser do tipo harmônico simples e envolve basicamente uma grandeza 
chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de tempo que o objeto 
leva para percorrer toda a trajetória (ou seja, retornar a sua posição 
original de lançamento, uma vez que o movimento pendular é periódico). 
Para valores de pequenas oscilações, a aproximação fornece a 
seguinte expressão para o período de oscilação T do pêndulo: 
 √
 
 
 
Sendo l o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade. 
Derivada dessa grandeza existe a frequência (f), numericamente igual ao 
inverso do período, e que, portanto se caracteriza pelo número de vezes 
(ciclos) que o objeto percorre a trajetória pendular num intervalo de 
tempo específico. 
 
 
 
√
 
 
 
 
Objetivo do experimento: 
O experimento a seguir tem por objetivo verificar para o pêndulo simples 
sua dependência com a massa e com o comprimento do fio. Por meio do 
mesmo, objetiva-se também determinar, qualitativamente, o valor da 
aceleração da gravidade local. 
 
Materiais Utilizados: 
- 1 Base retangular; 
- 2 Hastes grandes; 
- 1 Haste pequena; 
- 2 Pegadores; 
- 2 Parafusos; 
- 2 Parafusos intermediários; 
- 1 régua graduada em mm; 
- 1 cronômetro; 
- 1 transferidor; 
- Pequenas massas variando de 5 a 40g; 
- Uma linha de comprimento a ser definido conforme a realização do 
experimento; 
 
Procedimentos experimentais: 
Para a atividade A1, foi montada uma estrutura metálica constituída de 
uma base, e duas hastes cilíndricas dispostas paralelas entre si e ligadas 
por uma terceira haste onde o pêndulo simples foi disposto, conforme 
mostra a figura 2 a seguir: 
 
Após a montagem do arranjo experimental, foi definido um comprimento 
para a linha, variando apenas as massas para o pêndulo. Para cada massa, 
foram medidos 10 períodos com uso de um cronômetro, anotando-se os 
tempos em uma tabela. 
Em seguida, foram variados somente os comprimentos das linhas, 
amarradas uma de cada vez na haste pequena, sendo colocada uma única 
massa para esse procedimento. Para cada comprimento de linha, foram 
medidos 10 períodos, anotando-se os mesmos numa tabela. 
Ao final dos procedimentos, foi analisado o comportamento experimental 
do pêndulo para as duas situações acima. 
Para a atividade A2, montou-se o mesmo arranjo da atividade A1, desta 
vez dispondo-se de um transferidor, conforme mostra a figura 3 a seguir: 
 
Com a montagem do arranjo, foi definido um comprimento para a linha e 
uma massa a ser fixa para o pêndulo. 
Em seguida, fez-se o pêndulo oscilar para 15 diferentes valores de ângulos 
θ (variando de 1° a 15°), medindo para cada ângulo 5 períodos. 
Mediante a obtenção dos valores, esquematizou-se os dados numa tabela, 
fazendo-se após um gráfico para θ > 10° e θ < 10° e outro gráfico para 
 e θ, utilizando para este último o valor de θ em radianos. 
Com base na montagem dos gráficos, buscou-se ao final da atividade 
determinar a melhor faixa de ângulos para que o movimento pendular 
tenha a característica de um MHS. 
 
Resultados e análise de dados: 
Atividade A1: 
Comprimento inicial da linha: 21 cm. 
Tempo(s) m1 = 5g m2 = 10g m3 = 20g 
T1 9,56 9,37 9,31 
T2 9,28 9,29 9,27 
T3 9,38 9,19 9,21 
T4 9,41 9,21 9,35 
T5 9,33 9,23 9,22 
T6 9,36 9,15 9,25 
T7 9,31 9,13 9,27 
T8 9,40 9,17 9,31 
T9 9,35 9,21 9,33 
T10 9,36 9,17 9,27 
Tmédio 9,35 9,21 9,28 
Freq.média 1,07 1,09 1,08 
 
Para o experimento em questão, a gravidade experimental pode ser 
obtida por meio da equação: 
 f²média 
Temos que a aceleração da gravidade teórica é 981 cm/s² 
Cálculo da aceleração da gravidade e do erro para a massa de 5g: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
| |
 
 
 
Cálculo da aceleração da gravidade e do erro para a massa de 10g: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
| |
 
 
 
Cálculo da aceleração da gravidade e do erro para a massa de 20g: 
 ( ) ( ) 
 
 
| |
 
 
 
A seguir, é mostrada a tabela com os diferentes comprimentos de linha: 
Massa inicial fixa: 10g 
Tempo(s) L1 = 46 cm L2 = 33 cm 
T1 18,35 11,57 
T2 18,45 11,63 
T3 18,26 11,42 
T4 18,02 11,41 
T5 18,86 11,48 
T6 18,23 11,39 
T7 18,82 11,42 
T8 18,16 11,45 
T9 18,83 11,45 
T10 18,52 11,42 
Tmédio 18,45 11,46 
Freq.média 0,742 0,873 
 
Cálculo da aceleração da gravidade e do erro para a linha de 46cm: 
 ( ) ( ) 
 
| |
 
 
 
Cálculo da aceleração da gravidade e do erro para a linha de 33cm: 
 ( ) ( ) 
 
| |
 
 
 
Atividade A2: 
Comprimento inicial da linha: 33 cm. 
Massa inicial fixa: 10g 
Ângulo (°) t1 (s) t2 (s) t3 (s) tmédio (s) fmédia (s) 
1° 5,69 5,80 5,82 5,77 0,866 
2° 5,79 5,82 5,89 5,83 0,857 
3° 5,85 5,81 5,71 5,79 0,863 
4° 5,73 5,96 5,80 5,83 0,857 
5° 5,73 5,64 5,96 5,77 0,866 
6° 5,81 6,11 5,97 5,96 0,839 
7° 5,93 5,97 5,91 5,93 0,843 
8° 5,79 5,83 5,73 5,78 0,865 
9° 5,75 5,62 5,87 5,75 0,869 
10° 5,98 5,87 5,94 5,93 0,843 
11° 6,02 6,03 5,93 5,99 0,834 
12° 5,93 5,97 5,98 5,96 0,838 
13° 5,92 5,88 5,85 5,88 0,850 
14° 6,03 6,22 5,75 6,00 0,833 
15° 6,19 6,01 5,91 6,04 0,828 
 
 
Cálculo da aceleração da gravidade e do erro para os ângulos: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
||
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
| |
 
 
 
 
 
freq. = -0,0004θ + 0,8602 
0.835
0.84
0.845
0.85
0.855
0.86
0.865
0.87
0.875
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a 
d
o
 p
ê
n
d
u
lo
 (
H
z)
 
Ângulo θ (°) 
θ < 10° 
freq. = -0,0017θ + 0,8587 
0.825
0.83
0.835
0.84
0.845
0.85
0.855
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a 
d
o
 p
ê
n
d
u
lo
 (
H
z)
 
Ângulo θ (°) 
θ > 10° 
 
 
 
Questões: 
Por que o Pêndulo Simples é um movimento periódico e oscilatório? 
Resposta: 
Porque possui uma posição de equilíbrio estável, e quando é deslocado 
dessa posição e liberado, uma força que o faz retornar de volta a sua 
posição de equilíbrio. No entanto, ao atingir esse ponto, possui uma 
energia cinética que o faz ultrapassar este ponto e se deslocar para um 
ponto do outro lado, retornando à posição de equilíbrio. Esse movimento 
é repetido até as forças serem anuladas e o corpo fique na posição de 
equilíbrio. 
 
Quais são os melhores valores para θ, para que o movimento tenha 
característica de Movimento Harmônico Simples? 
Resposta: 
Valores menores que 10°, porque nessa faixa de valores, o valor do ângulo 
θ se aproxima de seu seno. 
 
sen(θ) = 0,9886θ + 0,0007 
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Se
n
o
 θ
 
Ângulo θ (rad) 
Gráfico θ x sen(θ) (0,01745 ≤ θ ≤ 0,26175) ou (1° ≤ θ ≤15°) 
A força é proporcional ao deslocamento angular θ ou a sen θ? Explique. 
Resposta: 
A força é proporcional ao seno do ângulo ϴ, no entanto, para ângulos 
muito pequenos, abaixo de cerca de 10°,se aceita a aproximação senθ ≈ θ, 
tornando assim, o deslocamento angular para ângulos pequenos também 
proporcional à força. 
 
Conclusão: 
Para o experimento realizado, foi possível observar que a massa 
presa à extremidade do fio não influencia no resultado da frequência do 
pêndulo, porém o comprimento do fio promove alterações na frequência. 
Um exemplo visto foi que, ao diminuirmos o comprimento, a frequência 
aumentou. 
 Verificou-se, também, que para que o movimento do pêndulo possa 
ser caracterizado como um MHS deve-se adotar ângulos menores que 10° 
ou 0,174 radianos, pois nessa faixa há menor ocorrência de desvios em 
relação à frequência, conforme também mostra o gráfico θ < 10°, que 
apresenta um coeficiente angular desprezível, aproximando-se de um 
valor constante. Além disso, para valores desta faixa, observa-se uma 
aproximação entre os valores com os seus respectivos senos, conforme 
mostra o gráfico θ x sen θ. Para valores de ângulos acima de 10°, a 
frequência se distancia de um valor constante, sendo estes não indicados 
para que o pêndulo realize um MHS. 
 Os erros experimentais para aceleração da gravidade devem-se a 
fatores como a percepção visual ao medir o comprimento do fio, as 
condições dos aparelhos utilizados e a outras possíveis falhas humanas. 
 
Referencias: 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Física, Vol. 2, Editora LTC, Rio de 
Janeiro. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Péndulo_simple