RELATÓRIO_2_ANDREI_BASTOS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
INTRODUCÃO À MECÂNICA DOS FLÚIDOS 
TRABALHO COMPUTACIONAL 
RELATÓRIO 2 
 
 
 
ANDREI CARLOS BASTOS 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2014 
1 INTRODUC¸A˜O E OBJETIVO
Este relato´rio tem por objetivo explicar os passos de me´todos nume´ricos empregados
para a soluc¸a˜o do problema proposto, bem como explicar a func¸a˜o da subrotina “Search”
do M1, conforme previsto nos itens 3 e 4 da descric¸a˜o do trabalho computacional.
3. Explicar passos do me´todo nu´merico;
4. Explicar a func¸a˜o SEARCH.
Antes da apresentac¸a˜o do me´todo nume´rico o problema proposto sera´ reapresentado:
Uma placa plana fina horizontal, presa por uma haste vertical tambe´m fina,
esta´ imersa em um fluxo uniforme de ar a 20◦C. Calcular a forc¸a de arraste
nas duas faces, desprezando-se os efeitos de bordos, tanto de ataque quanto
de escape.
Se existe uma gerac¸a˜o te´rmica na placa, dada por 200W/cm2, calcular o calor
total trocado (especifique um coeficiente de filme apropriado). As dimenso˜es
da placa sa˜o:
A = 5m
B = 10m
Divide-se a placa em 20 tiras de 5mx50cm para soluc¸a˜o discreta. Utilizar o
M1, com o compilador Fortran.
Figura 1 – Figura referente a questa˜o computacional
2 PASSOS DO ME´TODO NU´MERICO E
SOLUC¸A˜O
O programa M1 utiliza o Me´todo de Runge-Kutta de quarta ordem, que e´ o me´todo
mais usado para soluc¸a˜o nume´rica de problemas com equac¸o˜es ordina´rias. Como o pre-
sente problema envolve Equac¸o˜es de Navier-Stokes, que sa˜o exemplos de equac¸o˜es dife-
renciais, sera´ utilizado esse me´todo para encontrar a soluc¸a˜o nume´rica.
As equac¸o˜es para fluxo laminar incompress´ıvel sobre uma placa fina sem gradiente
de pressa˜o pode ser derivada de uma ana´lise de ordem e magnitude das Equac¸o˜es de
Navier-Stokes. As equac¸o˜es finais de continuidade sa˜o:
∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
(2.1)
Para o momento, temos:
vx ·
∂vx
∂x
+ vy ·
∂vx
∂y
= v ·
∂2vx
∂y2
(2.2)
Onde:
• v - representa a viscosidade cinematica (µ/ρ)
• µ - representa a viscosidade do fluido e
• ρ - a densidade
As condic¸o˜es de contorno para as equac¸o˜es 2.1 e 2.2, sa˜o:
vx(x, 0) = 0
vy(x, 0) = 0
vx(x,∞) = Us
Desenvolvendo as equac¸o˜es acima, e efetuando mudanc¸as de varia´veis, obte´m-se:
f ·
∂2f
∂η2
+ 2 ·
∂3f
∂η3
= 0 (2.3)
Com as seguintes condic¸o˜es iniciais:
f(0) = 0
∂f(0)
∂η
= 0
∂f(∞)
∂η
= 1
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2.3 e´ obtida computacionalmente resolvendo a equac¸a˜o diferen-
cial ordina´ria com valor inicial indicado. Nesta etapa sera´ empregado a rotina RKF45
(Runge-Kutta-FehlbergMethod), que e´ um algoritmo de soluc¸a˜o de EDO’s, que utiliza o
me´todo de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem.
Para o emprego do RKF45, que trabalha com EDO’s de primeira ordem, define-se as
novas varia´veis, a partir da equac¸a˜o 2.3:
a1 = f
a2 =
∂f
∂η
a3 =
∂2f
∂η2
Enta˜o, pode-se resolver:
∂a1
∂η
= a2
∂a2
∂η
= a3
a1a2 + 2 ·
∂a3
∂η
= 0
a1(0) = 0
a2(0) = 0
a2(∞) = 1
Estes sa˜o os passos do procedimento nume´rico para a resoluc¸a˜o do problema.
3 FUNC¸A˜O DA SUBROTINA DO M1
A finalidade da subrotina ”search” do M1 consiste em procurar a raiz de uma func¸a˜o
atrave´s de um me´todo nume´rico, chamado me´todo da bissec¸a˜o.O princ´ıpio fundamental do
me´todo da bissecc¸a˜o consiste em localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a func¸a˜o e´
estritamente crescente ou estritamente decrescente e considerar a raiz aproximada como
o ponto me´dio desse intervalo, ou seja, a raiz sera´ (x1 + x2)/2 ou (a+ b)/2.
Para que a raiz pertenc¸a a tal intervalo, nas condic¸o˜es citadas, devemos ter f(x1) ·
f(x2) < 0.
Nesta considerac¸a˜o o erro cometido sera´ menor ou igual a` metade da amplitude do
intervalo [x1, x2]. Isto e´: erro = ε <| x2 − x1 | ou ε <| f(xm) |.