RELATORIO_FINAL_ANDREI_ELIZA_RAQUEL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO TECNOLÓGICO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
INTRODUCÃO À MECÂNICA DOS FLÚIDOS 
TRABALHO COMPUTACIONAL 
RELATÓRIO FINAL 
 
 
ANDREI CARLOS BASTOS 
ELIZA BLANK COSTA 
RAQUEL FAUSTINO PIANCA 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2014 
Suma´rio
Suma´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Lista de ilustrac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Lista de tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 INTRODUC¸A˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 OBJETIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 PASSOS DO ME´TODO NUME´RICO E SOLUC¸A˜O . . . . . . . . . 7
3.1 FUNC¸A˜O DA SUBROTINA SEARCH DO M1 . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 ME´TODO RANGE-KUTTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 APRESENTAC¸A˜O DOS ME´TODOS DE RESOLUC¸A˜O . . . . . . . 10
4.1 M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 CFD STUDIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 APRESENTAC¸A˜O DOS RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1 ME´TODO M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2 ME´TODO CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2.1 PRIMEIRO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2.2 SEGUNDO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.3 TERCEIRO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.4 QUARTO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.5 QUINTO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2.6 SEXTO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2.7 SE´TIMO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2.8 OITAVO PASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.3 COMPARAC¸A˜O CFD X M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6 CONCLUSA˜O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 REFEREˆNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lista de ilustrac¸o˜es
Figura 1 – Figura referente a questa˜o computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Figura 2 – Definic¸a˜o do tipo de problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 3 – Malha tiras (5/3)mx50cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Figura 4 – Condic¸o˜es iniciais do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 5 – Condic¸o˜es de contorno da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Figura 6 – Condic¸o˜es de contorno de fluxo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 7 – Paraˆmetros f´ısicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 8 – Passo 6 - Calibragem do software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 9 – Passo 7 - Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Figura 10 – Passo 8 - Gra´fico de interac¸o˜es 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 11 – Passo 8 - Gra´fico de interac¸o˜es 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 12 – Passo 8 - Gra´fico de interac¸o˜es 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Figura 13 – Gra´fico dos valores de a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 14 – Gra´fico dos valores de a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 15 – Gra´fico dos valores de a3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Lista de tabelas
Tabela 1 – Tabela obtida das iterac¸o˜es do RK45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Tabela 2 – Tabela com os valores das varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 INTRODUC¸A˜O
Ao longo da disciplina Mecaˆnica dos Fluidos foram apresentados os conceitos ba´sicos
relativos a`s interac¸o˜es e a dinaˆmica dos fluidos. Como se pode notar, entender situac¸o˜es
pra´ticas utilizando modelos esta´ticos e por processos escritos e´ um tanto complexo. Dessa
forma, a segunda parte do curso foi direcionada para o estudo dos mecanismos computa-
cionais.
Foi formado um grupo de quatro alunos, e durante a segunda metade do curso foram
elaborados treˆs relato´rios parciais individuais utilizados de base para a confecc¸a˜o deste
relato´rio final do projeto.
De forma inicial, a intenc¸a˜o do projeto e´ analisar um conjuntos de problemas aproxi-
mados da realidade – principalmente se comparado aos exerc´ıcios tradicionais – e reduzir
o n´ıvel de complexidade da soluc¸a˜o pela implementac¸a˜o dos recursos na forma de me´todos
computacionais.
Os testes foram realizados da forma proposta e a divisa˜o por meio de relato´rios foi, de
fato, uma so´lida base para a confecc¸a˜o final do projeto.
2 OBJETIVO
O objetivo do trabalho e´ detalhadamente apresentado na descric¸a˜o do seguinte pro-
blema proposto:
Uma placa plana fina horizontal, presa por uma haste vertical tambe´m fina,
esta´ imersa em um fluxo uniforme de ar a 20◦C. Calcular a forc¸a de arraste
nas duas faces, desprezando-se os efeitos de bordos, tanto de ataque quanto
de escape.
Se existe uma gerac¸a˜o te´rmica na placa, dada por 200W/cm2, calcular o calor
total trocado (especifique um coeficiente de filme apropriado). As dimenso˜es
da placa sa˜o:
A = 5m
B = 10m
Divide-se a placa em 20 tiras de 5mx50cm para soluc¸a˜o discreta. Utilizar o
M1, com o compilador Fortran.
Figura 1 – Figura referente a questa˜o computacional
Baseado em tais dados dever´ıamos executar a seguinte rotina para resoluc¸a˜o do pro-
blema e apresentac¸a˜o dos relato´rios:
1. Gerar uma descric¸a˜o detalhada do que vai ser feito;
2. Compilar e executar o caso do exemplo M1;
3. Explicar passos do me´todo nume´rico;
4. Explicar a func¸a˜o SEARCH
5. Explicar como usar os resultados do M1 no CFD Studio;
6. Compilar e executar com o CFD Studio;
3 PASSOS DO ME´TODO NUME´RICO E
SOLUC¸A˜O
O programa M1 utiliza o Me´todo de Runge-Kutta de quarta ordem, que e´ o me´todo
mais usado para soluc¸a˜o nume´rica de problemas com equac¸o˜es ordina´rias. Como o pre-
sente problema envolve Equac¸o˜es de Navier-Stokes, que sa˜o exemplos de equac¸o˜es dife-
renciais, sera´ utilizado esse me´todo para encontrar a soluc¸a˜o nume´rica.
As equac¸o˜es para fluxo laminar incompress´ıvel sobre uma placa fina sem gradiente
de pressa˜o pode ser derivada de uma ana´lise de ordem e magnitude das equac¸o˜es de
Navier-Stokes. As equac¸o˜es finais de continuidade sa˜o:
∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
= 0 (3.1)
Para o momento:
vx ·
∂vx
∂x
+ vy ·
∂vx
∂y
= v ·
∂2vx
∂y2
(3.2)
Onde:
v representa a viscosidade cinema´tica µ/ρ;
µ representa a viscosidade do fluido;
ρ representa a densidade do fluido.
As condic¸o˜es de contorno para as equac¸a˜oes 3.1 e 3.2, sa˜o:
vx(x, 0) = 0
vy(x, 0) = 0
vx(x,∞) = Us
Desenvolvendo as equac¸o˜es acima, e efetuando mudanc¸as de varia´veis, obte´m-se:
f ·
∂2f
∂η2
+ 2 ·
∂3f
∂η3
(3.3)
Com as seguintes condic¸o˜es iniciais:
f(0) = 0
∂f(0)
∂η
= 0
∂f(∞)
∂η
= 1
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o 3.3 e´ obtida computacionalmente resolvendo a equac¸a˜o di-
ferencial ordina´ria com valor inicial indicado. Nesta etapa sera´ empregado a rotina
RKF45(Runge-Kutta-Fehlberg Method), que e´ um algoritmo de soluc¸a˜o de EDO’s, que
utiliza o me´todo de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem.
Para o emprego do RKF45, que trabalha com EDO’s de primeira ordem, define-se as
novas varia´veis, a partir da equac¸a˜o 3.3:
a1 = f a2 =
∂f
∂η
a3 =
∂2f
∂η2
Enta˜o, pode-se reescrever:
∂a1
∂η= a2
∂a2
∂η
= a3
a1a2 + 2 ·
∂a3
∂η
= 0
a1(0) = 0
a2(0) = 0
a2(∞) = 1
Estes sa˜o os passos do procedimento nume´rico para resoluc¸a˜o do problema.
3.1 FUNC¸A˜O DA SUBROTINA SEARCH DO M1
A finalidade da subrotina search do M1 consiste em procurar a raiz de uma func¸a˜o
atrave´s de um me´todo nume´rico, chamado me´todo da bissec¸a˜o. O princ´ıpio fundamental
do me´todo da bissecc¸a˜o consiste em localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a func¸a˜o
e´ estritamente crescente ou estritamente decrescente e considerar a raiz aproximada como
o ponto me´dio desse intervalo, ou seja, a raiz sera´ (x1 + x2)/2 ou (a+ b)/2.
Para que a raiz pertenc¸a a tal intervalo, nas condic¸o˜es citadas, devemos ter f(x1) ·
f(x2) < 0.
Nesta considerac¸a˜o o erro cometido sera´ menor ou igual a` metade da amplitude do
intervalo [x1, x2]. Isto e´: erro = ǫ <| x2 − x1 | ouǫ <| f(xm) |.
3.2 ME´TODO RANGE-KUTTA
E´ sabido que quanto mais alta a ordem, maior o nu´mero de vezes que se necessita
calcularmos f por passo de integrac¸a˜o. Por isso na maioria dos problemas na˜o compensa,
em tempo, ir ale´m da 4a ordem.
O me´todo Runge-Kutta em ordens superiores usa me´dias ponderadas da func¸a˜o f
calculada nos extremos e em pontos intermedia´rios do intervalo:
[tj, tj+1]
De longe o mais utilizado e´ o esquema com precisa˜o de quarta ordem. Definindo
h = ∆t/2, o esquema e´:
F1 = f(xj, tj)
F2 = f(xj + hF1, tj + h)
F3 = f(xj + hF2, tj + h)
F4 = f(xj +∆tF3, Tj +∆t)
xj+1 = xj +
∆t
6
· (F1 + 2F2 + 2F3 + F4
Os paraˆmetros de entrada sa˜o o limite inferior, o limite superior, o nu´mero de subin-
tervalos e os valores iniciais. As func¸o˜es derivadas devem ser especificadas de acordo com
a linguagem de programac¸a˜o escolhida, no caso em questa˜o a linguagem selecionada foi a
FORTRAN. Os paraˆmetros de sa´ıda sa˜o as abscissas e as soluc¸o˜es do PVI (Problema de
Valor Inicial).
Este me´todo possui algumas vantagens e desvantagens que foram destacadas abaixo:
Vantagens:
- E´ um me´todo auto inicia´vel, ou seja, na˜o depende do aux´ılio de outros me´todos.
- E´ fa´cil realizar a alterac¸a˜o do incremento h, de modo que ele possa ser aumentado
para reduzir o esforc¸o computacional.
Desvantagens:
- O nu´mero de vezes que a func¸a˜o necessita ser avaliada, por passo, e´ elevada.
- Para limitar o erro de discretizac¸a˜o e´ necessa´rio escolher um h pequeno, o que pode
causar um aumento do erro de arredondamento.
4 APRESENTAC¸A˜O DOS ME´TODOS DE
RESOLUC¸A˜O
4.1 M1
O M1 e´ um me´todo que utiliza a linguagem de programac¸a˜o FORTRAN, que por sua
vez permite a criac¸a˜o de programas que primam pela velocidade de execuc¸a˜o. Da´ı reside
seu uso em aplicac¸o˜es cient´ıficas computacionalmente intensivas como o caso listado de
fluidos.
4.2 CFD STUDIO
O CFD SINFLOW e´ um pacote educativo para o ensino de Mecaˆnica dos Fluidos e
Transfereˆncia de Calor em cursos de Mecaˆnica dos Fluidos Computacional. Seus objetivos
principais sa˜o fornecer aos usua´rios de me´todos nume´ricos em fluidos, ferramentas de
visualizac¸a˜o e objetos que possam auxiliar e diminuir o tempo de desenvolvimento de
softwares acadeˆmicos, bem como auxiliar os professores das disciplinas de transfereˆncia
de calor e mecaˆnica dos fluidos na soluc¸a˜o de problemas ilustrativos para discussa˜o nas
disciplinas.
Este software e´ desenvolvido pela SINMEC - Laborato´rio de Simulac¸a˜o Nume´rica
em Mecaˆnica dos Fluidos e Transfereˆncia de Calor - do Departamento de Engenharia
Mecaˆnica da UFSC (Universidade Federal de Santa Catarina).
5 APRESENTAC¸A˜O DOS RESULTADOS
5.1 ME´TODO M1
A soluc¸a˜o nume´rica realizada pelo M1 e´ constitu´ıda dividindo-se vetorialmente a ve-
locidade, e cada ponto da malha possui uma coordenada (x, y) que se relaciona com a
velocidade V do determinado ponto e suas componentes Vx e Vy, sendo poss´ıvel trac¸ar o
perfil das velocidades.
5.2 ME´TODO CFD
5.2.1 PRIMEIRO PASSO
O primeiro passo da se´rie de 8 do assistente de soluc¸a˜o do CFD, e´ a determinac¸a˜o das
questo˜es envolvendo calor.
O primeiro passo e´ determinar que tipo de problema deseja-se resolver , conduc¸a˜o de
Calor, Escoamento sem transfereˆncia de calor e Escoamento com transfereˆncia de calor.
η a1 a2 a3
1 0.934555 0.500000 0.200000
2 1.313720 0.400000 0.100000
3 1.132131 0.350000 0.050000
4 1.035704 0.325000 0.025000
5 0.985779 0.337500 0.012500
6 1.010895 0.331250 0.006250
7 0.998376 0.334375 0.003125
8 1.004646 0.332813 0.001563
9 1.001514 0.332031 0.000781
10 0.999946 0.332422 0.000391
11 1.000730 0.332227 0.000195
12 1.000338 0.332129 0.000098
13 1.000142 0.332080 0.000049
14 1.000044 0.332056 0.000024
15 0.999995 0.332068 0.000012
16 1.000019 0.332062 0.000006
17 1.000007 0.332059 0.000003
18 1.000001 0.332057 0.000002
19 0.999998 0.332058 0.000001
20 0.999999 0.332058 0.000000
Tabela 1 – Tabela obtida das iterac¸o˜es do RK45
Figura 2 – Definic¸a˜o do tipo de problema
5.2.2 SEGUNDO PASSO
O segundo passo e´ onde se determina as dimenso˜es do problema a ser resolvido no
modelo 2D do CFD STUDIO, que utiliza o me´todo dos volumes finitos na resoluc¸a˜o
dos problemas. Este, e´ definido pela utilizac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial de conservac¸a˜o a
domı´nios de uma malha ao integrar volumes puntiformes.
Assim a malha abaixo, construida segundo as especificac¸o˜es da questa˜o esta´ disposta.
Note que, quanto a discretizac¸a˜o da malha em 20 tiras de 5mx50cm, o software na˜o
permite tal divisa˜o sendo o numero mı´nimo de tiras permitidas (5/3)mx50cm. Ainda
assim, e´ poss´ıvel modelar de forma adequada o problema (Figura 3).
Figura 3 – Malha tiras (5/3)mx50cm
5.2.3 TERCEIRO PASSO
O terceiro passo e´ responsa´vel por fornecer as condic¸o˜es iniciais da placa. No problema
estudado, a placa esta´ esta´tica, portanto as velocidades na˜o sa˜o atribuidas. Ale´m disso,
a placa gera uma quantidade de calor definida.
Figura 4 – Condic¸o˜es iniciais do problema
5.2.4 QUARTO PASSO
Nessa etapa, sa˜o atribuidas as condic¸o˜es de contorno do problema, levando em consi-
derac¸a˜o a nulidade os efeitos de escape tanto de ataque quanto de escape. As atribuic¸o˜es
realizadas esta˜o dispostas abaixo.
Figura 5 – Condic¸o˜es de contorno da velocidade
Figura 6 – Condic¸o˜es de contorno de fluxo de calor
5.2.5 QUINTO PASSO
Essa etapa envolve o estabelecimento das propiedades do meio representado metodo-
logicamente. No problema proposto e´ usado o ar, e assim basta selecionar tal composto
no software para o retorno dos parametros base utilizados como standard. Vale notar,
que na simulac¸a˜o em M1 (abordada no primeiro relato´rio) foram utilizados os parametros
abaixo:
µ = 1, 002 · 10−3kg/m.s
ρ = 1, 465kg/m3
v = 1, 300 · 10−3
No CFD, foram utilizados os valores Standard, que esta˜o dispostos abaixo:
Figura 7 – Paraˆmetros f´ısicos
5.2.6 SEXTO PASSO
Esse processo, junto do SE´TIMO PASSO sa˜o responsa´veis pela calibragem do software
por meio da escolha do tipo de interpolac¸a˜o e o crite´rio de convergeˆncia. Tais mecanismos
sa˜o responsa´veis pelo afinamento de resultados gerados pelo CFD.
Como o pro´prio nome sugere, a interpolac¸a˜o e´ responsa´vel pelas atribuic¸o˜es das propi-
edades nas zonas de fronteira. Para tal foi utilizado o CDS (Central Differential Scheme),
que utiliza-se de um me´todo linear para modelar a fronteira de modo que o volume de
controle seja pertencente ao domı´nio.
Para a interpolac¸a˜o do processo o me´todo utilizado foi o SIMPLEC, dado sua eficieˆncia
na resoluc¸a˜o. Ja´ os crite´rios de convergeˆncio, junto das demais escolhas, esta˜o dispostas
na imagem deste passo, abaixo:
Figura 8 – Passo 6 - Calibragem do software
5.2.7 SE´TIMO PASSO
Aqui nesta etapa, o objetivoe´ a definic¸a˜o do me´todo de resoluc¸a˜o do problema. Por
se tratar de um sistema linear, o processo pode ser feito de forma direta ou iterativa. De
forma inicial a soluc¸a˜o foi proposta pelo me´todo LU (me´todo direto).
A decomposic¸a˜o LU consiste em uma expansa˜o da Eliminac¸a˜o de Gauss. Dessa forma
tambe´m e´ um me´todo direto de resoluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es lineares.
Esse me´todo consiste na formac¸a˜o de decomposic¸a˜o da matriz A em duas, uma tri-
angular superior (U) e outra triangular inferior (L). A matriz U e´ a obtida atrave´s da
utilizac¸a˜o do me´todo de Gauss. Ja´ a matriz L e´ a junc¸a˜o de uma diagonal preenchido
por 1(lii = 1) e a utilizac¸a˜o dos multiplicadores (mij) usados no processo de eliminac¸a˜o
de Gauss (lij = mij) de forma que todo valor de lij para j > i resulta em 0.
A = LU
Ax = b→ LUx = b
Por meio do uso de um vetor y, e´ poss´ıvel encontrar a resoluc¸a˜o do sistema. Os
valores de y sa˜o encontratos por meio de substituic¸o˜es sucessivas na equac¸a˜o Ly = b e
assim utiliza-se o vetor y como independente na equac¸a˜o Ux = y.
Entretanto, foi notado posteriormente que o esforc¸o computacional necessa´rio para a
resoluc¸a˜o do problema era muito grande, e para tal questa˜o, o uso de um me´todo iterativo
era mais apropiado. Assim, foi pelo me´todo de Gauss- Seidel foram encontrados melhores
resultados.
Figura 9 – Passo 7 - Solver
5.2.8 OITAVO PASSO
Com base em todas as caracter´ısticas de dados inputados ao longo do modo fa´cil de
formatac¸a˜o de problemas do software CFD STUDIO, foi poss´ıvel alcanc¸ar uma soluc¸a˜o
para o problema em questa˜o. Esse portanto e´ o oitavo passo e consequentemente u´ltimo.
Abaixo esta˜o o gra´fico de iterac¸o˜es pelo me´todo, seguido pela linha de fluxo de corrente
e pelo campo de velocidade.
Figura 10 – Passo 8 - Gra´fico de interac¸o˜es 1
Figura 11 – Passo 8 - Gra´fico de interac¸o˜es 2
Figura 12 – Passo 8 - Gra´fico de interac¸o˜es 3
η a1 a2 a3
1 0.934555 0.500000 0.200000
2 1.313720 0.400000 0.100000
3 1.132131 0.350000 0.050000
4 1.035704 0.325000 0.025000
5 0.985779 0.337500 0.012500
6 1.010895 0.331250 0.006250
7 0.998376 0.334375 0.003125
8 1.004646 0.332813 0.001563
9 1.001514 0.332031 0.000781
10 0.999946 0.332422 0.000391
11 1.000730 0.332227 0.000195
12 1.000338 0.332129 0.000098
13 1.000142 0.332080 0.000049
14 1.000044 0.332056 0.000024
15 0.999995 0.332068 0.000012
16 1.000019 0.332062 0.000006
17 1.000007 0.332059 0.000003
18 1.000001 0.332057 0.000002
19 0.999998 0.332058 0.000001
20 0.999999 0.332058 0.000000
Tabela 2 – Tabela com os valores das varia´veis
5.3 COMPARAC¸A˜O CFD X M1
No primeiro relato´rio foi feita a compilac¸a˜o e execuc¸a˜o do co´digo por meio do M1.
Nesse relato´rio e´ poss´ıvel analisar os dados obtidos pelo me´todo RKF45 ja´ que o problema
tambe´m foi executado em CFD STUDIO. Para comparac¸a˜o a tabela e´ reapresentada. Para
tiras de 0.5m, temos:
Esse resultado e´ compara´vel com a primeira imagem, obtida na etapa 8 do CFD
STUDIO. Para melhor compreensa˜o os resultados desse relato´rio foram transformados
em gra´ficos com base nos valores obtidos:
Assim, comparados os dados obtidos no M1 com os obtidos no CFD e´ poss´ıvel obser-
var devido a menor quantidade de iterac¸o˜es nos resultados do M1, o resultado final na˜o
converge de maneira ta˜o satisfato´ria quanto a apresentada pelo resultado do CFD. Ainda
assim, os resultados teˆm oscilac¸o˜es pro´ximas, que se diferenciam por causa da grande dife-
renc¸a no nu´mero de iterac¸o˜es e nos gra´ficos formatados de formas diferentes. Entretanto,
e´ poss´ıvel afirmar que os resultados apresentados apontam para uma conclusa˜o u´nica de
convergeˆncia.
Figura 13 – Gra´fico dos valores de a1
Figura 14 – Gra´fico dos valores de a2
Figura 15 – Gra´fico dos valores de a3
6 CONCLUSA˜O
De posse dos resultados apresentados neste relato´rio conclui-se que foi obtida uma
soluc¸a˜o satisfato´ria para o projeto englobando as soluc¸o˜es poss´ıveis de forma precisa.
Para alcanc¸ar o objetivo final, foi necessa´rio organizar os processos de forma anal´ıtica
e pesquisar as melhores te´cnicas poss´ıveis de resoluc¸a˜o do problema. Atrave´s do soft-
ware disponibilizado, de forma simples e clara, e´ poss´ıvel resolver conjuntos de problemas
complexos utilizando diferentes me´todos e com elevado grau de sucesso.
Por eliminar partes desnecessa´rias de confecc¸a˜o de co´digo e ajustes, e por apresentar
tutoriais e diagramas passo-a-passo, o projeto e´ de grande utilidade no apoio dida´tico das
mate´rias relacionados.
7 REFEREˆNCIAS
KELLER, Susie Cristine.O me´todo Multigrid de Correc¸a˜o Aditiva Para a Soluc¸a˜o
Nume´rica Acoplada das Equac¸o˜es de Navier-Stokes com malhas na˜o-estruturadas , Ori-
entador: Prof. Clovis Raimundo Maliska, Ph.D, 2007.
CFD STUDIO, Software desenvolvido pela SINMEC (UFSC) e obtido em <http:
//www.sinmec.ufsc.br/cfd/ >.
Brunetti Franco , 2011, Mecaˆnica dos Flu´idos, 2a edic¸a˜o,Rio de Janeiro: Prentice
Hall.