Mecânica Geral Elasticidade Tensão x deformação e cargas axiais

Prévia do material em texto

Mecânica Geral 
Elasticidade: Tensão x deformação e 
cargas axiais 
Virmondes Ferreira da Silva Junior 
FAM – AMERICANA 
 
• Deformações; 
• Diagrama: Tensão e deformação; 
• Módulo de elasticidade longitudinal; 
• Esforços axiais; 
• Problemas estaticamente indeterminados; 
• Variação de temperatura; 
• Coeficiente de poison; 
• Dilatação volumétrica específica; 
• Módulo de elasticidade transversal. 
Mecânica Geral 
Objetivos: 
Mecânica Geral 
L

 
• Deformações. 
– Deformação é a variação dimensional de uma dado objeto 
devido a aplicação de uma força (que provoca tensão); 
– Relacionamos desta forma a tensão com a deformação. 
– Observemos a figura onde temos a deformação δ; 
– Surge também o conceito de deformação específica (ε) que é 
a razão entre deformação e dimensão inicial (este é um 
número adimensional), vejamos: 
Mecânica Geral 
• Diagrama tensão x deformação. 
– No estudo da resistência dos materiais as propriedades 
mecânicas que interessa para o dimensionamento estrutural 
são verificadas através do comportamento de deformação 
que um determinado material apresenta quando aplicada 
uma certa tensão,; 
– Este comportamento mostra como o material irá se romper 
vejamos alguns diagramas e apresentaremos suas 
características, 
Mecânica Geral 
• Diagrama tensão x deformação. 
– Máquina universal de ensaio. 
Mecânica Geral 
• Diagrama tensão x deformação. 
Mecânica Geral 
• Diagrama tensão x deformação. 
– Material frágil: Não apresenta patamar de escoamento (ex.: 
concreto); 
– Material dúctil: Apresenta patamar de escoamento (ex. Aço); 
Mecânica Geral 
• Diagrama tensão x deformação. 
– Material frágil: Não apresenta patamar de escoamento (ex.: 
concreto); 
– Material dúctil: Apresenta patamar de escoamento (ex. Aço); 
Mecânica Geral 
• Diagrama tensão x deformação. 
Mecânica Geral 
• Diagrama tensão x deformação. 
Resistência dos materiais 
Fases do diagrama: 
– Fase elástica: Onde existe proporcionalidade entre carregamento 
e deformação, ao se retirar a carga as deformações cessam; as 
dimensões voltam os valores iniciais. 
– Fase Plástica: não existe proporcionalidade entre carregamento 
e deformação, ao se retirar a carga as deformações se tornam 
residuais as dimensões não voltam aos valores iniciais. 
– Patamar de escoamento: As tensões cessam e o material 
continua a se deformar. 
– Encruamento: Aumento da resistência do material por 
deformação plástica ocorre recristalização do material. 
– Fase de ruptura: perda de resistência até a ruptura. 
Mecânica Geral 
Lei de Hooke 
– Fase elástica do diagrama tensão deformação obedece a lei de 
hooke, característica elástica do material. Como se fosse uma 
mola. Ao aplicar uma tensão ele se deforma ao retirar a tensão 
volta ao estado original. 
– Esta região obedece uma relação de proporcionalidade, 
– Esta proporção entre tensão normal e deformação específica é 
chamada de módulo de elasticidade longitudinal. Quanto maior 
o módulo de elasticidade, menor será a deformação do material. 
Mecânica Geral 
Lei de Hooke. 


E
Mecânica Geral 
Deformações devido a carregamento axial 
– Barras sujeitas a um único carregamento. 


E
L

 
A
P
A
F

E

 
LE


E
L
. 
EA
LP
.
.

Mecânica Geral 
Deformações devido a carregamento axial 
– Barras sujeitas a vários carregamentos axiais 
– Neste caso a deformação total é a soma das deformações de 
cada trecho com suas respectivas forças. 



n
i ii
ii
EA
LP
1 .
.

Mecânica Geral 
Problemas estaticamente indeterminados 
– São ditos problemas estaticamente indeterminados quando as 
equações de equilíbrio estático não são suficientes para resolver 
o problema. 
– Assim podemos utilizar equações de deformação para resolvê-
los, considerando a figura abaixo tanto a barra 1, quanto a barra 
2 possuem a mesma deformação. 
21 PPP 
Mecânica Geral 
Problemas estaticamente indeterminados 
– Continuando... 
11
11
1
.
.
EA
LP

21  
22
22
2
.
.
EA
LP

21 PPP 
Sendo L1=L2=L 22
1
11
1
.
).(
.
.
EA
LPP
EA
LP 

12 PPP 
2211
11
1
..
.
EAEA
PEA
P


Ou 
2211
22
2
..
.
EAEA
PEA
P


Mecânica Geral 
Deformação por dilatação térmica 
– Trata-se da deformação devido a variação de temperatura; 
– α é o coeficiente de dilatação térmica; 
– ε é a deformação específica devido a dilatação térmica 
 LtT ..   tT  .
Mecânica Geral 
Coeficiente de poison 
– Quando uma barra está sujeita a esforço axial, além das 
deformações na direção de seu eixo, sujem também 
deformações transversais; 
– A relação entre deformações é dada pelo coeficiente de poison x
y


 
Mecânica Geral 
Coeficiente de poison 
– Continuando... x
y


 
E
x
x

 
E
x
zy

 
Para estado triplo de tensões, temos: EEE
zyx
x
 .
.

EEE
zyx
y
 .. 
EEE
zyx
z
 
..
Mecânica Geral 
Dilatação volumétrica específica 
– É a variação volumétrica por um unidade de volume, 
– É considerada quando temos um estado triplo de tensões 
 
zyx
E
e   21
Mecânica Geral 
Materiais submetidos a pressão Hidrostática 
– Pelo princípio de Pascal as tensões são iguais em todas as 
direções, são de compressão. Temos assim: 
 
zyx
E
e   21
zyx  
 P
E
e 3
21




Px 
 
E
P
e
213 
  213 

E
K
Módulo de elasticidade volumétrica (K): K
P
e


Mecânica Geral 
Deformação devido ao cisalhamento 
– A deformação devida ao cisalhamento é uma distorção angular; 
– E de forma análoga ao módulo de elasticidade longitudinal; 
temos o módulo de elasticidade transversal que relaciona esta 
deformação com a tensão de cisalhamento 
xy
xy
G



A relação entre o módulo de elasticidade 
longitudinal e transversal é dada pela 
equação abaixo 
 

12
E
G
Mecânica Geral 
Exercícios 
Duas barras cilíndricas 
maciças são ligadas em B 
e carregadas como 
mostrado. A barra AB é de 
aço (E=200GPa) a barra 
BC é de latão (E=105GPa). 
Determinar: a) a 
deformação total da barra 
composta ABC, e b) a 
deflexão do ponto B. 
Mecânica Geral 
Exercícios 
Uma barra de 250mm de comprimento, com seção transversal 
retangular de 15x30mm, consiste de duas lâminas de alumínio 
(E=70GPa), de 5mm de espessura, e no centro uma lâmina de 
latão (E=105GPa), com a mesma espessura. Se está sujeita a 
uma força centrada P=30KN, determine a tensão normal nas 
lâminas de alumínio e latão 
Mecânica Geral 
Exercícios 
Considerando o problema anterior determinar a deformação 
composta, considerando uma força P de 45KN 
Mecânica Geral 
Exercícios 
Uma linha de inclinação 4:10 é desenhada sobre uma placa de 
latão amarelo de 150x200mm e 6,35mm de espessura. 
E=105GPa e G=39GPa. Determinar a inclinação da linha 
quando submetida a uma carga de 200KN.