Prova FEX resolvida

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIEˆNCIAS TECNOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE FI´SICA
FEX 1001
1
o PROVA DE FI´SICA EXPERIMENTAL - FEX 1001
Aluno: Turma: Prof.
Mostre todos ca´lculos com clareza!
1.[2,0]A tabela abaixo apresenta os valores obtidos para a determinac¸a˜o experimental da massam de uma part´ıcula.
m(g) 73,7 74,1 73,2 73,3 73,3 73,9 73,6 74,0 74,1 73,8
Com base nestes valores calcule:
(a)(0,75) o valor mais prova´vel da massa da part´ıcula;
(b)(0,75) o desvio me´dio;
(c)(0,50) o erro percentual tendo como refereˆncia o valor 73, 9g, medido com uma balanc¸a.
2.[1,0] Efetue as seguintes operac¸o˜es expressando o resultado em nu´mero correto de algarismos significativos:
(a)(0,25) 0, 234cm+ 23, 3mm− 1, 4dm = (c)(0,25)
0, 234N
1, 4m2
=
(b)(0,25) 23, 3J × 10, 239s = (d)(0,25)
√
2, 33 + 3, 6
7, 891
=
3.[1,5] Sabe-se que a energia cine´tica de um carrinho de massa m e velocidade v e´ dada por E =
mv2
2
. Um conjunto
de medidas realizadas forneceu os valores m == (402, 3± 0, 1) g e v = (1, 23± 0, 12)cms.
(a)(1,0) Escreva a equac¸a˜o do erro indeterminado para a energia cine´tica do carrinho em termos das grandezas
f´ısicas envolvidas, ou seja, m e v.
(b)(0,5) Calcule o valor da energia cine´tica do carrinho usando os valores apresentados e expresse o resultado na
forma correta.
4.[4,5] Alguns estudantes estavam estudando o circuito RC e mediram a intensidade da corrente ele´trica no circuito
em func¸a˜o do tempo. A tabela abaixo foi obtida:
I(10−6A) 7,85 6,17 4,75 3,86 2,90 2,37 1,81 1,43 1,15 0,89
t(s) 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Sabe-se que a equac¸a˜o que rege o fenoˆmeno e´ I(t) = Ioe
−
t
τ , onde Io e τ sa˜o constantes.
(a)[1,0] Linearize a equac¸a˜o acima, mostrando claramente os coeficientes angular e linear da reta.
(a)[2,0] Utilize o papel adequado para trac¸ar um gra´fico I × t que seja linear.
(b)[1,5] Atrave´s de seu gra´fico, obtenha o valor das constantes Io e τ .
Mostre os ca´lculos com clareza, indique os pontos lidos e indique-os no gra´fico.
5.[1.0] Em cada uma das medidas abaixo, indique o valor da medida, o nu´mero de algarismos significativos e o
algarismo duvidoso.
Gabarito Prova teo´rica P1 FEX1001/2011-2
E.L. Lapolli1
1 Departamento de Fisica, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, SC, CEP 89219-710, Brasil∗
(Dated: 28 de setembro de 2011)
I. QUESTA˜O 1
a)
m =
∑n
i=1 mi
n
(1)
=
73, 7 + 74, 1 + 73, 2 + 73, 3 + 73, 3 + 73, 9 + 73, 6 + 74, 0 + 74, 1 + 73, 8
10
(2)
=
737, 0
10
(3)
= 73, 70g (4)
utilizando as regras de adic¸a˜o e divisa˜o para o calculo da me´dia da massa (valor mais prova´vel) obtemos m = 73, 70g.
Note que o valo encontrado, apresenta uma precisa˜o maior que a fornecida pelo instrumento de medida, isso e´ muito
comum em calculo de me´dia. Porem, o valor da me´dia na˜o podera´ apresentar algarismos significativos ale´m da casa
decimal onde esta´ o duvidoso fornecido em cada medida. Em suma, a me´dia de um conjunto de medidas na˜o devera´
apresentar precisa˜o maior que a fornecida pelo equipamento. Isso nos leva ao seguinte resultado.
m = 73, 7g
b)
|∆xi| = |x− xi| (5)
(6)
|∆mi|(g) 0 0,4 0,5 0,4 0,4 0,2 0,1 0,3 0,4 0,1
∆m =
∑n
i=1 |∆mi|
n
(7)
=
0 + 0, 4 + 0, 5 + 0, 4 + 0, 4 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 3 + 0, 4 + 0, 1
10
(8)
=
2, 8
10
(9)
= 0, 28g (10)
Como o limite da precisa˜o e´ a do instrumento enta˜o:
|∆xi| = 0, 28 (11)
= 0, 3g (12)
∗Electronic address: lapollifsc@yahoo.com.br
c)
E% =
|mref −m|
mref
× 100 (13)
mref = 73, 9g (14)
m = 73, 7g (15)
E% =
|73, 9− 73, 7|
73, 9
× 100 (16)
=
0, 2
73, 9
× 100 (17)
= 2, 7063599× 10−3 × 100 (18)
= 3× 10−1% (19)
= 0, 3% (20)
II. QUESTA˜O 2
a)
0, 234cm+ 23, 3mm− 1, 4dm = 0, 234cm+ 2, 33cm− 14cm (21)
= −11, 436cm (22)
= −11cm (23)
= −1, 1dm (24)
b)
23, 3J × 10, 239s = 238, 5687 (25)
= 239J.s (26)
c)
0, 234N
1, 4m2
= 0, 1671428 (27)
= 0, 17N/m2 (28)
= 0, 17Pa (29)
d)
√
2, 33 + 3, 6
7, 891
=
√
5, 93
7, 891
(30)
=
√
0, 7514890 (31)
= 0, 8668846 (32)
= 0, 87 (33)
No item d, em se considerando arredondamento passo a passo, ainda obteremos o valor de 0, 87
III. QUESTA˜O 3
m = (402, 3± 0, 1)g v = (1, 23± 0, 12)cm/s
que no S.I. fica
m = (402, 3± 0, 1)× 10−3 kg v = (1, 23± 0, 12)× 10−2m/s
E =
mv2
2
(34)
=
402, 3× 10−3.(1, 23× 10−2)2
2
(35)
=
402, 3.(1, 23)2
2
× 10−3−4 (36)
= 304, 319835× 10−7 (37)
= 304× 10−7 J (38)
Considerando as unidades originais, sistemas cgs, obteremos, 304g.cm2/s2 o que equivale a 304 erg.Considerando o
arredondamento passo a passo, ainda obtemos 304 erg ou 304× 10−7J .
O erro propagado (indeterminado) e´ obtido da seguinte forma
∆E =
∣∣∣∣ ∂E∂m
∣∣∣∣∆m+
∣∣∣∣∂E∂v
∣∣∣∣∆v (39)
=
v2
2
∆m+mv∆v (40)
=
mv2
2
(∆m
m
+
2∆v
v
)
(41)
= 304, 319835× 10−7
( 0, 1
402, 3
+
2.0, 12
1, 23
)
(42)
= 304, 319835× 10−7(2, 485707× 10−4 + 0, 195121) (43)
= 304, 319835× 10−7(0, 195370) (44)
= 59, 455125× 10−7 J (45)
= 59× 10−7 J (46)
= 59 erg sistema cgs (47)
se consideramos o arredondamento passo a passo obteremos um valor diferente, 60× 10−7 J = 60 erg.
segundo a teoria de erros a notac¸a˜o para energia e´
E = (304± 59)× 10−7 J
IV. QUESTA˜O 4
A descarga em um capacitor de um circuito RC foi medida experimentalmente por um grupo de alunos. Foi medido
a corrente em func¸a˜o do tempo gerando a seguinte tabela de dados.
I(µA) 7,85 6,17 4,75 3,86 2,90 2,37 1,81 1,43 1,15 0,89
t(s) 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
A equac¸a˜o teo´rica que modela o decaimento da carga no capacitor apresenta a seguinte forma:
I = Ioe
(− t
τ
) (48)
Sendo Io a corrente inicial, τ e´ a constante de tempo. Como citado no enunciado do problema a corrente e´ func¸a˜o do
tempo, sendo assim, t sera´ nossa varia´vel independente e T sera´ nossa varia´vel dependente, logo o gra´fico sera´ plotado
em uma relac¸a˜o I × t. na vertical sera´ plotado I(µA) e na horizontal t(s)
A equac¸a˜o anal´ıtica e´ do tipo exponencial
y = AeBx (49)
O papel adequado e´ o monolog, pois a base e´ conhecida e os valores da tabela de dados ocupam mais que uma de´cada
tanto na vertical.
A equac¸a˜o linearizada adquire a seguinte forma
Y = αX + β (50)
Y ≡ ln(I) (51)
X ≡ t (52)
α ≡
−1
τ
(53)
β ≡ ln(Io) (54)
Como na horizontal temos que construir a escala vide gra´fico figura 1
tdiv =
tmax − tmin
180
(55)
=
20, 0− 2, 0
180
(56)
= 0, 1s/div (57)
Optei por numerar de 30 e 30 diviso˜es o que equivale a numerar a escala a cada 3s.
Para calcular o coeficiente angular utilizarei os pontos P1(5, 0; 5, 80) e P2(17, 0; 1, 30). Note que os valores da
escala principal apresenta sempre 1 decimal e da escala vertical cada de´cada apresenta uma quantidade de decimais
diferentes.
α =
Y2 − Y1
X2 −X1
=
ln(A2)− ln(A1)
t2 − t1
(58)
=
ln(1, 30/5, 80)
17, 0− 5, 0
=
ln(0, 224137)
12, 0
(59)
=
−1, 495493
12, 0
(60)
= −0, 1246244s−1 (61)
= −0, 125s−1 (62)
No arredondamento passo a passo o valor −0, 125 se mante´m. A partir do valor de α podemos calcular a constante
de de tempo fazendo
α ≡
−1
τ
(63)
−0, 1246244 =
−1
τ
(64)
τ =
1
0, 1246244
(65)
= 8, 024106s (66)
= 8, 02s (67)
Utilizando o valor de refereˆncia para o coeficiente angular como senso α = 0, 125s−1 o valor do τ sera´ igual a 8, 00 s
A corrente inicial pode ser calculado utilizando-se o ponto P3(11, 5; 2, 40) da seguinte forma:
I3 = Ioe
−t3
τ (68)
Io = I3e
t3
τ (69)
Io = 2, 40e
0,1246244.11,5 (70)
= 2, 40.4, 1920111 (71)
= 10, 06083 (72)
= 10, 1µA (73)
Usando o valor arredondado do coeficiente angular α = 0, 125s−1 e arredondando passo apasso, obtemos a seguinte
corrente inicial: Io = 10, 1 µA, ou seja o valor e´ mantido. Realizando a plotagem via EXCEL obtemos o gra´fico da
figura 2. Note do no gra´fico obtemos os seguintes valores=, ja´ arredondados, para as constantes: Io = 9, 94 µA e
1
τ
= 0, 12 s−1 onde
OBSERVAC¸A˜O 1: Os valores das constantes Io e τ podem se diferentes de aluno para aluno, pois a reta e´ trac¸ada
a ma˜o, pore´m a quantidade de significativos na˜o muda.
OBSERVAC¸A˜O 2: O item b) (marcado na prova como a)) sugerem um plote linear de I × t, o que nos conduz
diretamente para um papel linear, pore´m um plote de lnI × t pode ser feito em papel milimetrado pode aparecer.
Caso ocorra e tenha sido feito corretamente, pode ser considerado parcialmente correto.
Pra o plot em papel milimetrado devemos refazer a tabela de dados obedecendo a relac¸a˜o de proporcionalidade
dado pela relac¸a˜o entre as varia´veis que neste caso, temos ln(I) em func¸a˜o de t. Enta˜o obtemos a seguinte tabela.
ln(I) 2,1 1,8 1,6 1,4 1,1 0,9 0,6 0,4 0,1 -0,1
t 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
Esses valores foram colocados no EXCEL onde obtemos o gra´fico 3
Os valores de ln(I) foram obtidos diretamente sem o prefixo µ ou seja sem o valor 10−6 multiplicado pois o
logaritmando e´ adimensional. Essa propriedade e´ fa´cil de ser provada da mesma forma que se faz a linearizac¸a˜o.
V. QUESTA˜O 5
Medida No signifc duvidoso erro
a) 42, 5m/s 3 5 ±2, 5 m/s
b) 0, 4dm 1 4 ±0, 5 dm
c) 5, 2cm 2 2 ±0, 5 cm
d) 54, 6mm 3 6 ±0, 5 mm
Note que a figura do veloc´ımetro a menor divisa˜o e´ 5m/s. Avaliando algumas apostilas para a disciplinas de FEX1001,
observei que nada consta sobre diviso˜es mu´ltiplas de 5. Nestas apostilas constam que o erro da escala e´ a menor divisa˜o
dividida por 2 (Eesc = div</2). Para o caso do veloc´ımetro, sera´ 2, 5m/s. O problema se encontra justamente no erro
de escala deste dispositivo, pois apresenta um decimal. Bom, no meu ver, se 2, 5 indica a flutuac¸a˜o na escala, enta˜o
a casa do 2 ja´ e´ duvidosa, enta˜o, o valor mais corretos seria Eesc = 2m/s. Com isso, o valo do duvidosos estaria na
unidade e as medidas na˜o apresentariam casas decimais.
Verificando a resposta do item a), nota-se claramente a presenc¸a do decimal, o que contradiz com minha opinia˜o,
porem na apostila so´ consta (Eesc = div</2), o pior de tudo e´ que na figura, tem-se a impressa˜o que a posic¸a˜o
do ponteiro do veloc´ımetro encontra-se exatamente na metade do caminho entre 40 e 45m/s o que pode justificar
tal resposta. Enta˜o caso aparec¸am respostas tais como 42m/s, 43m/s, 42,5m/s e 42,0m/s podera˜o, ao meu ver, ser
consideradas como certas.
Figura 1: Gra´fico em papel monolog com o trac¸o da reta realizado manualmente.
Figura 2: Gra´fico em papel monolog plotado via EXCEL.
Figura 3: Gra´fico em papel milimetrado plotado via EXCEL.