ENG A49 ÔÇô 2. Part+¡culas

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ENGA49 – ISOSTÁTICA
Cap. 2 - FORÇAS SOBRE PARTÍCULAS
Partículas ou pontos materiais são corpos cuja 
dimensão não interfere na solução do problema.
Não são, necessariamente, muito pequenos – Ex. As 
dimensões dos planetas no estudo de suas órbitas.
Muitas estruturas são constituídas de peças que 
transmitem forças convergentes em pontos. O 
equilíbrio desses pontos é resolvido como equilíbrio de 
partícula. 
Força: ação de um corpo sobre o outro,
por contato ou à distância; 
É caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, intensidade, direção e sentido.
Comprova-se, experimentalmente, que
podem ser adicionadas pela Lei do 
paralelogramo. É uma grandeza 
vetorial.
Vetores: possuem intensidade, direção e sentido e se
somam de acordo com a lei do paralelogramo. 
Ex.: deslocamentos, velocidades, acelerações, forças.
Escalares: possuem apenas intensidade.
Ex.: massa, volume, temperatura, energia.
F
A α
Classificações de Vetores
- Fixo: tem ponto de aplicação definido e não 
pode ser movido sem afetar a análise –
forças sobre partículas.
- Deslizante: pode ser deslocado sobre a sua 
linha de ação sem afetar a análise – forças 
sobre corpos rígidos.
- Livre: pode ser deslocado livremente no 
espaço sem alterar o seu efeito numa 
análise - momentos.
B
A
Adição de vetores
Lei do paralelogramo
Regra do triângulo
Calcula-se a resultante pela resolução de 
qualquer dos triângulos: A adição de 
vetores é comutativa: P + Q = Q + P
Subtração de vetores
• Adição de três ou mais vetores aplicando 
repetidamente a regra do triângulo
• A adição de vetores é associativa
P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)
• Regra do polígono para adição de três ou 
mais vetores
Se a resultante for nula sua representação é 
um polígono fechado
• Multiplicação de um vetor por um escalar
• Resultante de um sistema de forças 
concorrentes
É dada pela soma vetorial de todas as 
forças. Pode ser obtida pela resolução de 
sucessivos triângulos.
É mais simples obtê-la pelas 
componentes retangulares das forças, 
como será visto adiante.
Em um sistema em equilíbrio 
R = 0. O resultado é um 
polígono fechado A
P
Q
S
P
Q
S
• Decomposição de uma força em duas 
direções.
Constrói-se um paralelogramo com as 
duas direções de forma que a força a ser 
decomposta seja a diagonal desse 
paralelogramo. As componentes produzem 
o mesmo efeito da força original.
Exemplos de adição e decomposição de forças: 
Beer e Johnston – 2.4, 2.6 e 2.15
Hibbeler: 2.9, 2.10 e 2.13 – nos slides seguintes
2.9 – Se θ = 60º, determine 
a intensidade e a direção da 
resultante.
2.10 – Determine o ângulo 
θ para que a resultante de 
Fa e Fb seja horizontal e 
dirigida para a direita.
Calcule a intensidade de R.
(Hibbeler) 
O dispositivo é usado para a substituição cirúrgica da 
articulação do joelho. Se a força que atua ao longo da perna é 
de 360N, determine suas componentes ao longo dos eixos x e 
y´. (Hibbeler – Probl. 2.13) 
• Uma força pode ser decomposta em componentes 
perpendiculares entre si de maneira que o 
paralelogramo resultante seja um retângulo.
São as componentes retangulares Fx e Fy
• F = Fx + Fy
• Fx = F.cosθ Fy = F. sen θ tg θ = Fy/Fx
Componentes retangulares de uma força
Vetores unitários - versores
• As componentes vetoriais podem ser expressas 
como produtos entre os vetores unitários e as 
grandezas escalares:
Fx e Fy são as componentes escalares de F

• Definindo dois vetores unitários paralelos 
aos eixos x e y.
ji

 e 
xF
 = Fx.i
yF
 = Fy. j
jFiFF yx


Adição de forças pelas componentes retangulares
Rx = ∑Fx = Px + Qx + Sx
Ry = ∑Fy = Py + Qy + Sy
R2 = Fx2 + Fy2 tgθ = Fy/Fx 
Decompõe-se todas as forças em X 
e Y e soma-se pelas componentes 
Equilíbrio R = 0
Rx = ∑Fx = 0
Ry = ∑Fy = 0
Se a resultante do sistema deve ser uma força de 450N direcionada 
segundo o eixo positivo “u”, calcule F1 e ϕ (Hibbeler – probl. 2.51)
 
Se a força resultante Fr faz um ângulo de 75º no sentido 
horário com o eixo positivo x e a intensidade de F2 deve 
ser mínima, determine as intensidades de Fr e F2 e o 
ângulo θ ≤ 90º. (Hibbeler, Probl. 2.23)
Beer e Johnston
Beer e Johnston
Beer e Johnston
Beer e Johnston
Calcule o maior peso possível para o balde sabendo que a tração 
nos cabos não pode ultrapassar 0,5kN (Hibbeler – 3.25)
Forças no espaço - Componentes retangulares
O vetor está no 
plano OBAC
F
 Decompondo na 
horizontal e na vertical:
Fy = Fcosθy
Fh = Fsenθy
F2 = Fy
2 + Fh
2 
Decompondo em X e 
Z:
Fx = Fhcosφ = Fsenθycosφ
Fz = Fhsenφ = Fsenθysenφ
Fh
2 = Fx
2 + Fz
2
hF

F2 = Fx
2 + Fy
2 + Fz
2
F

Fy = Fcosθy
Direção definida pelos ângulos das forças com os 
eixos coordenados – cossenos diretores
 
kji
F
kjiF
kFjFiFF
FFFFFF
zyx
zyx
zyx
zzyyxx








coscoscos
coscoscos
coscoscos





Nos triângulos sombreados obtém-se a componente da força sobre cada eixo: 
• é um vetor unitário na direção 
da linha de ação de . 
• Os cossenos cosθx, cosθy e cosθz
são as componentes do vetor e 
são chamados cossenos diretores 
de .


F

F

de
F2 = Fx
2 + Fy
2 + Fz
2
Obtem-se
1 = cosθx
2 + cosθy
2 + cosθz2




Outras equações:
Fx = Fcosθx
Fy = Fcosθy
Fz = Fcosθz
Força definida por seu módulo e dois pontos de 
sua linha de ação
121212
 e liga que vetor 
zzdyydxxd
kdjdid
NMd
zyx
zyx





 
d
Fd
F
d
Fd
F
d
Fd
F
kdjdid
d
FF
z
z
y
y
x
x
zyx





1


Adição de forças pelas componentes retangulares
R = ∑ F
Rx = ∑Fx Ry = ∑Fy Rz = ∑Fz
R2 = Rx
2 + Ry
2 + Rz
2
Equilíbrio de partículas no espaço
R = 0
∑Fx = 0
∑Fx = 0
∑Fx = 0
(Hibbeler)
Determine a intensidade e a direção da resultante das forças nos 
três cabos. x = 20m e y = 15m. (Hibbeler)
Calcule as trações 
nos três cabos. 
(Hibbeler)