Aula 6 Sistema Primeira Ordem

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AULA 06 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Objetivo
(2) Introdução
(3) Sistemas de primeira ordem
(4) Resposta ao degrau unitário
(5) Identificação de sistemas de primeira ordem
(6) Exercícios
(7) Resposta à rampa 
(8) Resposta ao impulso
 
OBJETIVO
● Estudar o comportamento dos sistemas de primeira ordem;
● Identificação da função de transferência para sistemas de primeira 
ordem.
 
INTRODUÇÃO
● Uma vez determinado o modelo matemático via função de transferência, podemos 
então analisar o desempenho do sistema a partir de sua resposta.
● Os sinais típicos para se analisar a resposta são as seguintes funções: degrau, rampa, 
impulso e senoide.
● Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e é constituída por duas 
partes: resposta transitória e resposta estacionária.
● Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial ao estado final.
● Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de saída do sistema à medida que t 
tende ao infinito.
 Assim, a resposta c(t) do sistema pode ser descrita como:
 c(t) = ctr(t) + css(t),
 sendo ctr(t) a resposta transitória e css(t) a resposta estacionária.
 
INTRODUÇÃO
● Estabilidade Absoluta: em projetos de sistemas de controle, a estabilidade é o objetivo 
principal. Caso, o projeto não consiga obter a estabilidade absoluta, o sistema será 
instável.
● O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta em regime 
apresenta um erro em relação ao sinal de entrada.
● Será analisado a resposta de sistemas de primeira ordem.
 
SISTEMAS DE PRIMEIRA 
ORDEM
● O sistema acima pode representar um circuito elétrico, sistema térmico, sistema 
mecânico, dentre outros mais.
● Escrevendo a relação entre a saída e a entrada, obtém-se:
 
RESPOSTA AO DEGRAU 
UNITÁRIO
● Utilizando uma entrada em degrau unitário para o sistema de primeira ordem obtém-se,
● Reescrevendo em frações parciais:
● Aplicando a Transformada de Laplace inversa, temos:
 
RESPOSTA AO DEGRAU 
UNITÁRIO
● Note que em t = 0, c(0) = 0. Por outro lado para , c(t) = 1.
 Em t = T, temos:
● Quanto menor a constante de tempo T, mais rapidamente o sistema responde;
● A curva exponencial da resposta possui uma inclinação da linha tangente em t = 0 de 
1/T, pois,
t→∞
 
RESPOSTA AO DEGRAU 
UNITÁRIO
● Curva da resposta do sistema de primeira ordem para uma entrada em degrau unitário:
 
RESPOSTA AO DEGRAU 
UNITÁRIO
● Considere o sistema descrito pela função de transferência abaixo:
● Definindo o parâmetro a como sendo a frequência exponencial, unidade 1/segundos. 
Assim a função de transferência pode ser escrita como:
● A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos polos. Como o polo da 
função de transferência é −a, podemos dizer que o polo fica localizado no inverso da 
constante de tempo.
● Quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe, mais rápida será a resposta 
transitória.
 
RESPOSTA AO DEGRAU 
UNITÁRIO
Tempo de Subida, Ts
– O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda 
vá de 0,1 até 0,9 do seu valor final.
Tempo de Estabelecimento, Te
– O tempo de estabelecimento é definido como o tempo necessário para que a 
resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí 
permanece.
 
IDENTIFICAÇÃO DE 
SISTEMAS
● Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de 
transferência de um sistema;
● Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis 
facilmente;
● Podemos determinar a função de transferência destes sistemas por meio da relação 
entre a entrada e a saída, sem a necessidade de conhecer a construção interna da 
planta;
● Se aplicarmos uma entrada degrau em um sistema de primeira ordem podemos 
determinar a constante de tempo e o valor de estado estacionário;
 Assim, considere . Aplicando-se um degrau tem-se,G (s)= K
s+a
 
IDENTIFICAÇÃO DE 
SISTEMAS
● A partir da reposta medimos a constante de tempo, isto é, o tempo para que a resposta 
alcance 63% do valor da resposta em regime permanente.
 Então fazemos:
 Amp63,2% = 0,632Valor Regime.
 sendo Amp63,2% o valor da amplitude do valor de resposta 63,2% do valor de regime. 
Então, deve-se verificar o tempo em que a saída atinge este valor, e após identificado, 
este valor será a constante de tempo T.
● Em regime, temos que o valor é K/a, como a = 1/T, podemos obter o valor de K. 
(Demonstrar pelo teorema do valor final)
 
RESPOSTA À RAMPA 
UNITÁRIA
● Aplicando a transformada de laplace para uma entrada em rampa fica,
● Podemos escrever a saída do sistema como sendo,
● Expandindo em frações parciais,
 
 
RESPOSTA À RAMPA 
UNITÁRIA
● Aplicando a transformada de laplace inversa obtém-se,
● Podemos escrever o sinal de erro como,
● Quando o tempo tende ao infinito a função do erro tende a T.
c (t)=t−T +Te
−t
T
 
RESPOSTA À RAMPA 
UNITÁRIA
● Gráfico da resposta para uma entrada em rampa:
 
RESPOSTA AO IMPULSO 
UNITÁRIO
● Para uma entrada impulso unitário , a resposta do sistema de primeira ordem 
pode ser escrita como:
● Aplicando a transformada de laplace, obtém-se,
(δ (s)=1)
 
EXERCÍCIO 01
Dado um circuito RL série com R=2ohm e L=200mH, encontre:
a) A Função de transferência tendo a tensão da fonte como entrada e a corrente do 
circuito como saída;
b) Resposta ao degrau unitário utilizando o Scilab;
c) Resposta ao impulso unitário utilizando o Scilab;
d) Resposta a rampa unitária utilizando o Scilab (Tarefa).
 OBSERVAR QUE AS RESPOSTA FICAM EM FUNÇÃO DOS POLOS DO SISTEMA.
 
EXERCÍCIO 02
● Dado o gráfico C(t) x Tempo(s) abaixo, determine a função de transferência. O sistema 
está sendo submetido a um degrau unitário.
 
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