Aula 17 Projeto PID via Root Locus

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AULA 17 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Introdução
(2) Projeto dos Controladores
• Projeto do Compensador P via Root-Locus
• Projeto PI via Root-Locus
• Projeto PD via Root-Locus
• Projeto PID via Root-Locus
INTRODUÇÃO
Podemos melhorar a resposta transitória pela modificação dos 
polos de malha fechada do sistema de controle. Considere as 
seguintes condições.
INTRODUÇÃO
Podemos melhorar a resposta transitória, ou até mesmo corrigir 
o erro de regime por meio da inclusão de um controlador na 
configuração cascata ou na malha de realimentação.
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
PROJETO DO COMPENSADOR P
• Neste caso, o desempenho desejado do sistema de malha 
fechada pode ser atingido apenas por um compensador 
proporcional.
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
• Entretanto, neste sistema de controle é necessária uma 
porcentagem de overshoot de 6%, sem alterar o tempo de 
estabelecimento. Neste caso temos que determinar os polos 
de malha fechada para a situação de 6% de overshoot. 
Então, temos que:
• O tempo de estabelecimento não muda:
• Portanto, os polos de malha fechada para atender aos 
critérios de desempenho são: 
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
• Neste caso, a pergunta é: os polos compensados pertencem 
ao root-locus do sistema abordado?
• Caso eles pertençam, temos que obter o ganho K que 
permitem que os polos de malha fechada sejam
caso estes polos não pertençam ao root-locus, não existe um 
controlador K que obtenha o desempenho desejado, e neste 
caso temos que propor outro tipo de controlador.
• temos que verificar se estes polos pertencem ao root-locus do 
sistema por meio da condição de ângulo: 
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
• Então,
• Mas, logo a condição anterior é válida e 
este polo pertence ao root-locus do sistema.
• Por fim, temos que determinar o valor do ganho K que leva os 
polos de malha fechada em deste modo temos: 
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
• Resultado do projeto:
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
• Existe projeto de controle no qual os critérios de desempenho 
são determinados por faixa, por exemplo:
• Neste caso temos que verificar se apenas o controle 
proporcional soluciona o problema. Considere para a planta 
anterior a seguinte condição:
• (existe um K factível)
PROJETO DO COMPENSADOR 
P VIA ROOT-LOCUS
• Considerando ainda o mesmo exemplo anterior, temos as 
seguintes condições:
• Neste caso não existe um K factível, e temos que propor 
outro tipo de controlador.
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● Podemos obter erro nulo por meio da inclusão de um polo em 
s = 0 na malha direta. O controlador PI pode atuar em regime 
permanente sem alterar as características do regime 
transitório.
● Considere o sistema ilustrado a seguir com uma resposta 
transitória adequada mas com erro em regime permanente:
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● A primeira ideia para corrigir um erro de regime é inserir um 
polo em s = 0 (integrador) na malha direta, considerando que 
a entrada é degrau. Entretanto neste procedimento, existe a 
correção do erro de regime, mas a resposta transitória é 
alterada, e este efeito não é desejado.
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● Para solucionar este problema, devemos inserir um polo na 
origem e também um zero bem próximo ao polo (PI), 
conforme visto na figura a seguir:
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● O compensador apresenta um polo na origem e um zero em 
-0,1. Deste modo a contribuição angular do compensador 
para os polos dominantes do sistema é praticamente nula, o 
que demonstra que a resposta transitória não sofre alteração.
Procedimento de Projeto
• Analisa-se os polos de malha fechada do sistema sem 
compensação.
• Avalia-se o erro de regime estacionário do sistema sem 
compensação para uma entrada degrau unitária.
• Analisa-se o root-locus do sistema sem compensação.
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● Neste contexto o root-locus do sistema não compensado é:
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● Para o sistema não compensado, o terceiro polo de malha 
fechada é: -11,61. calculando-se a constante de erro de 
posição, temos que:
● Deste modo o erro de regime estacionário para uma entrada 
em degrau unitário é:
● Para levar o erro a zero, foi inserido o compensador integral 
ideal descrito anteriormente.
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● O root-locus do sistema compensado é:
● O root-locus do sistema não compensado e compensado é 
praticamente o mesmo.
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
● Resultado do projeto PI:
PROJETO PI VIA ROOT-
LOCUS
Método de implementação do PI
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● A resposta transitória de um sistema pode ser ajustada pela 
escolha adequada dos polos de malha fechada.
● Se este polo pertence ao root-locus, então um simples ajuste 
de ganho fornece a resposta transitória desejada.
● Se este polo não pertence ao root-locus do sistema, então, 
deve-se realizar uma compensação do sistema de controle 
por meio da utilização de um controlador PD.
● O controlador PD pode ser representado pela seguinte função 
 de transferência:
● Este controlador é denominado de controlador derivativo 
ideal, ou simplesmente controlador PD.
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● Primeiramente, analisando o desempenho do sistema não 
compensado temos o seguinte root-locus.
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● 
● Seguindo a linha para e analisando-se a condição 
de ângulo para cruzamento da linha de com o 
root-locus temos os polos de malha fechada:
 
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● Neste caso, o tempo de estabelecimento é:
● Assume-se que o sistema responde de acordo com uma 
planta de segunda ordem, pois o terceiro polo para K =43,35 
é -7,59.
● Assim,
● Mas, então, Portanto, os polos de 
malha fechada de projeto são: 
 
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● Analisando-se o root-locus do sistema não compensador 
observa-se que os polos de malha fechada de interesse 
estão fora conforme visualizado na figura abaixo:
 
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● Assim, temos que inserir um compensador derivado que faça o root-locus 
do sistema passar exatamente sobre o polo desejado de projeto.
● A questão é: aonde alocar este zero do compensador. Neste caso, temos 
que inserir um zero de tal modo que o somatório de ângulos do sistema 
considerado o polo desejado tem que ser 
● Assim aloca-se o zero em 3,006.
 
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● Assim o root-locus do sistema compensado é:
● O ganho K que resulta nos polos de malha fechada de projeto 
é obtido pela condição
 
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
● Resultado do projeto PD
 
PROJETO PD VIA ROOT-
LOCUS
Implementação do projeto PD
• Uma vez projetado o controlador PD, podemos implementar 
esse controlador como:
• Neste exemplo:
 
 
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
• Considere o controlar PID com a seguinte função de 
transferência.
• O diagrama de blocos do sistema de controle via PID é 
descrito a seguir:
 
 
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
Procedimentos para projeto PID:
1) Analise o sistema não compensado e avalie o quanto a 
resposta do sistema deve ser alterada para atingir critérios de 
desempenho (verifique se somente uma ação proporcional 
atende as especificaçõesdo projeto).
2) Caso a ação proporcional não for suficiente projete o 
controlador PD para atingir o desempenho desejado em 
projeto.
3) Simule o sistema para verificar se as especificações de 
projeto foram atingidas.
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
Procedimentos para projeto PID:
4) No caso das especificações dos projetos serem obtidas, 
calcule o valor do erro em regime estacionário e, se 
necessário, projete o controlador PI para a correção deste 
erro.
5) Determine os ganhos do controlador PID:
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
 
 
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
PROCEDIMENTO 1:
• O P.O. de 20% implica em um No processo de 
determinação do ângulo da reta que implica em um P.O. 20% 
temos:
• Plotar o root locus do sistema somente com o ganho 
proporcional e traçar a reta de amortecimento constante;
• O ponto de interseção entre as curvas citadas acima fornece 
a posição dos polos de MF com um amortecimento de 0,456;
• Utilizando a condição de módulo pode-se calcular o valor do 
ganho K que leva o sistema ao ponto mencionado acima;
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
• O root-locus do sistema não compensado é ilustrado a 
seguir:
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
• Neste caso o tempo de pico baseado nos polos dominantes 
é:
PROCEDIMENTO 2:
• O tempo de pico para o sistema compensado será 2/3 do 
tempo de pico do sistema não compensado. Assim:
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
• Como o sistema deve apresentar P.O. igual à 20%, temos 
que o ângulo do polo dominante deve ser 117,3º.
• Mantendo o PO em 20% de acordo com o tempo de pico 
calculado de projeto podemos determinar a posição dos 
polos de projeto, assim:
• S1 = - 8,13 + j 15,87
• S2 = - 8,13 – j 15,87 
• Agora vamos verificar onde devemos localizar o zero do PD 
para que o root locus passe pelos pontos de projeto. A 
análise é geométrica conforme a figura a seguir:
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
• Estrutura geométrica utilizada no projeto PD
• Pela condição de ângulo tem-se:
• Por trigonometria obtém-se a posição do zero como:
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
• Assim o controlador PD é dado por
• O root-locus do sistema compensado com PD é ilustrado a 
seguir: 
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
PROCEDIMENTO 3:
• Depois do projeto do controlador PD deve-se determinar o 
controlador PI para corrigir o erro de regime do sistema 
para uma entrada degrau.
• Qualquer integrador ideal irá funcionar, desde que o zero 
seja alocado próximo a origem. Deste modo, utiliza-se o 
seguinte integrador ideal.
• Neste caso, para um coeficiente de amortecedor igual a 
0,456 temos que os polos de malha fechada do sistema 
compensado pelos controladores PD e PI é: -7,516 
com um ganho associado de 4,16. 
± j14 ,67
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
O root-locus do sistema compensador pelo controlador PID
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
PROCEDIMENTO 4:
• Temos que determinar os ganhos para implementação do 
controlador PID, assim, 
• Portanto podemos ter,
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
• Resultado do projeto PID 
PROJETO PID VIA ROOT-
LOCUS
IMPLEMENTAÇÃO ELETÔNICA DO CONTROLADOR PID
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