Aula 20 Projeto Compensador Avanço e Atraso de Fase via Lugar das Raízes

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AULA 20 - LTC36B
Controle 01
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Prof. Leandro Castilho Brolin
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN – Departamento de Eletrônica
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RESUMO
(1) Efeitos da adição de polos
(2) Efeitos da adição de zeros 
(3) Projeto do compensador atraso de fase série via Root-Locus
(4) Projeto do compensador avanço de fase série via Root-
Locus
EFEITO DA ADIÇÃO DE POLOS
Ex.
• Desloca o lugar das raízes para a direita;
• Tende a diminuir a estabilidade relativa;
• Acomodação mais lenta da resposta.
EFEITO DA ADIÇÃO DE ZEROS
Ex.
• Desloca o lugar das raízes para a esquerda;
• Tende a aumentar a estabilidade relativa;
• Acomodação mais rápida da resposta.
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Considere o compensador atraso de fase ilustrado a seguir:
• Apesar deste controlador não acrescentar um integrador na 
malha aberta, em outras palavras, não poder levar o erro de 
estado estacionário a zero, o mesmo pode ser utilizado para 
melhorar a constante de erro estático:
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Considere o seguinte sistema tipo 1 ilustrado abaixo:
a constante de erro estático é igual à: 
• Inserindo um compensador atraso de fase para atuar no 
projeto da constante no sistema de controle, temos: 
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Neste caso a constante de erro estática de velocidade compensada 
pelo compensador de atraso de fase é de:
• Qual é o efeito de um compensador de atraso de fase na resposta 
transitória de um sistema de controle?
 a figura abaixo ilustra o root-locus antes e depois da 
compensação por atraso de fase: (a) Antes, (b) depois,
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Analisando-se a figura anterior, observamos que a inserção 
de um controlador de atraso de fase na malha de controle não 
altera a resposta transitória do sistema. Neste contexto, 
verifica-se que esta característica somente é possível se 
estiver próximo de
• Adicionalmente, o controlador por atraso de fase altera muito 
pouco o ganho K do sistema, de tal maneira, que podemos 
afirmar que os ganhos antes e depois da compensação por 
atraso de fase possuem praticamente o mesmo valor.
• Assim, o grande ganho deste controlador é na correção de 
erro de regime, por meio do projeto da constante
• Lembrando que quanto maior o menor será o erro de regime 
estático do sistema. 
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
EXEMPLO – PROJETO ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Considere o seguinte sistema de controle:
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Para o sistema de controle ilustrado anteriormente deve-se 
melhorar o erro de regime estacionário por um fator de 10. O 
sistema de controle não compensador opera com um 
coeficiente de amortecimento de 0,174.
• O erro do sistema não compensado é 0,108 com
• Assim o erro após a compensação deve ser: 
• Portanto,
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Após determinar o valor de para obter o erro de regime 
especificado em projetos, temos:
• Escolhendo arbitrariamente temos que:
• Sistema de controle com o compensador por atraso de fase
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• O root-locus do sistema compensado:
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Características do sistema compensado:
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
CONSIDERAÇÕES:
• Altera as características de regime permanente (Aumenta o 
ganho de malha aberta do sistema);
• Reduz o erro em regime permanente (não elimina);
• Não altera significativamente a resposta transitória (colocar o 
polo e o zero no compensador relativamente próximos);
• A contribuição angular no compensador tem de ser inferior a 
5°;
• Assemelha-se ao controlador PI.
PROJETO DO COMPENSADOR 
ATRASO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
EXERCÍCIO PROPOSTO
• Considere um sistema realimentado com função de 
transferência de malha aberta dada por:
• Este sistema está operando com um P.O. de 15%
a) Avalie o erro de regime permanente para uma entrada 
rampa unitária.
b) Projete um compensador atraso de fase que diminua o 
valor do sinal de erro de 20 vezes.
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Altera características transitórias;
• Geometria da compensação por avanço de fase:
• Neste caso temos
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
• Devido a limitação na correção o projeto de compensação por 
avanço de fase pode ser efetuado com vários compensadores 
ligados em cascata, assim:
EXEMPLO-PROJETO COMPENSADOR AVANÇO DE FASE 
VIA ROOT-LOCUS
• Projeto de um compensador de avanço de fase que irá 
reduzir o tempo de estabelecimento por 2, mantendo o P.O. 
de 30% do projeto não compensador ilustrado a seguir:
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
● Sistema não compensado
● Polos dominante do sistema para 
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
● O tempo estabelecido para o sistema não compensado é:
● Deste modo o tempo de estabelecimento compensado será:
● Assim a parte real do polo de malha fechada do sistema 
compensado é:
● Por fim, a parte imaginária é dada por:
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
● Para o início do projeto do compensador por avanço de fase 
assumimos o zero neste caso a contribuição 
angular do compensador é -7,31º, então:
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
● O root-locus para o sistema utilizando o primeiro 
compensador de avanço de fase
● Neste caso ocorre a dominância dos polos, tratar esse 
sistema como uma aproximação de um sistema de segunda 
ordem.
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
● Resultado de projeto
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
CONSIDERAÇÕES:
• Altera as características transitórias (Altera o Lugar das 
raízes);
• Assemelha-se ao controlador PD;
• Podem ser utilizadas compensações em cascata para 
melhorar o desempenho do sistema.
PROJETO DO COMPENSADOR 
AVANÇO DE FASE VIA ROOT-LOCUS
EXERCÍCIO PROPOSTO
Considere um sistema realimentado com função de transferência 
de malha aberta dada por:
Este sistema está operando com um P.O. de 15%.
a) Calcule o tempo de estabelecimento.
b) Projete um compensador de avanço de fase que diminua o 
tempo de estabelecimento de 3 vezes. Escolha um 
compensador com zero em -10.
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