Operadores lineares

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
PROFESSOR: Paulo Gala˜o
2
a
LISTA DE EXERCI´CIOS DE A´LGEBRA LINEAR
1. Quais das seguintes aplicac¸o˜es de R3 em R3 sa˜o operadores lineares?
(a) F1(x, y, z) = (x− y, x+ y, 0)
(b) F2(x, y, z) = (2x− y + z, 0, 0)
(c) F3(x, y, z) = (x, x, x)
(d) F4(x, y, z) = (2x
2 + 3y, x, z)
2. Mostre que a composta de transformac¸o˜es lineares e´ linear.
3. Verificar se e´ linear a transformac¸a˜o F : R3 → R dada por F (x, y, z) = −2x+3y+7z.
4. Seja F : R3 → R3 o operador linear assim definido na base canoˆnica:
F (1, 0, 0) = (2, 3, 1)
F (0, 1, 0) = (5, 2, 7)
F (0, 0, 1) = (−2, 0, 7)
Determinar F (x, y, z), onde (x, y, z) e´ um vetor gene´rico do R3.
5. Determinar uma aplicac¸a˜o T : R3 −→ R4 tal que Im(T ) = [(1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)].
6. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares abaixo, determinar uma base e a di-
mensa˜o do nu´cleo e da imagem:
(a) F : R3 → R dada por F (x, y, z) = x+ y − z
(b) F : R2 → R2 dada por F (x, y) = (2x, x+ y)
(c) F : R3 → R4 dada por F (x, y, z) = (x− y − z, x+ y + z, 2x− y + z,−y).
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(d) F : P2(R) → P2(R) dada por F (f(t)) = t
2f ′′(t).
7. Mostre que o operador linear F do R3 dado por F (x, y, z) = (x− 3y− 2z, y− 4z, z)
e´ um isomorfismo e determine o operador inverso F−1.
8. Sendo F,G,H ∈ L(R2) definidos por F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) = (y, x + y) e
H(x, y) = (0, x), determinar
(a) F +H
(b) F ◦G
(c) G ◦ (H + F )
(d) G ◦ F
(e) H ◦ F
(f) H ◦ F ◦G
(g) G ◦ F ◦H .
9. Considere os operadores lineares F e G do R2 dados por F (x, y) = (x, x − y) e
G(x, y) = (x+ y, 2x). Determinar as matrizes de F +G, 3F , F ◦G e F 2 em relac¸a˜o
a` base canoˆnica.
10. Seja F ∈ L(R3,R2) definida por F (x, y, z) = (x + z, y − 2z). Determinar (F )B,C
sendo B = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 3,−1)} e C = {(1, 5), (2,−1)}.
11. Seja F o operador linear do R2 cuja matriz em relac¸a˜o a` base B = {(1, 0), (1, 4)} e´
(F )B =

 1 1
5 1

 .
Determinar a matriz de F em relac¸a˜o a` base canoˆnica, usando a fo´rmula de mudanc¸a
de base para um operador.
2
12. Seja T : R3 → R3 uma transformac¸a˜o linear cuja matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica
seja 

1 1 0
−1 0 1
0 −1 −1

 .
(a) Determine T (x, y, z).
(b) Qual e´ a matriz de T com relac¸a˜o a` base B = {(−1, 1, 0), (1,−1, 1), (0, 1,−1)}?
(c) O operador T e´ invert´ıvel? Justifique.
13. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
(a) Determine uma base do nu´cleo de T .
(b) Deˆ a dimensa˜o da imagem de T .
(c) T e´ sobrejetora? Justifique.
(d) Fac¸a um esboc¸o de KerT e ImT .
14. Deˆ, quando poss´ıvel, exemplos de transformac¸o˜es lineares T , S, L, M , e H satis-
fazendo:
(a) T : R3 → R2 sobrejetora.
(b) S : R3 → R2 com KerS = {(0, 0, 0)}.
(c) L : R2 → R2 com ImL = {(0, 0)}.
(d) M : R2 → R2 com KerM = {(x, y) ∈ R2; x = y}.
(e) H : R3 → R3 com KerM = {(x, y, z) ∈ R3; z = −x}.
15. Verifique se os operadores lineares em R3 abaixo sa˜o isomorfismos e em caso afir-
mativo determinar o isomorfismo inverso.
(a) T (x, y, z) = (x− 3y − 2z, y − 4z, z)
(b) T (x, y, z) = (x, x− y, 2x+ y − z)
3
16. Verifique, em cada um dos casos abaixo, se os espac¸os U e V sa˜o isomorfos, justifi-
cando a resposta.
(a) U = R2, V = {(x, y, z) ∈ R3| z = 0}
(b) U = M2×3, V = {p ∈ P4(R)| p
′(t) = 0, ∀t ∈ R}
(c) U = R3, V = {A ∈M2| A
t = A}
(d) U =
{

 a 0
0 0

 | a ∈ R
}
, V = R
17. Dentre os seguintes operadores lineares, verificar quais sa˜o ortogonais:
(a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (−y,−x).
(b) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x+ y, x− y).
(c) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (z, x− y).
(d) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x, y cos θ + z sin θ,−y sin θ + z cos θ).
18. Determine as matrizes das seguintes transformac¸o˜es lineares em relac¸a˜o a`s bases
canoˆnicas dos respectivos espac¸os vetoriais.
(a) T : R3 −→ R2, T (x, y, z) = (x+ y, z)
(b) T : R4 −→ R, T (x, y, z, w) = 2x+ y − z + w
(c) T : R −→ R3, T (x) = (x, 2x, 3x)
19. Seja T : P2(R) −→ R a transformac¸a˜o linear dada por
T (p) =
∫
1
−1
p(t)dt.
Determine a matriz de T em relac¸a˜o a`s seguintes bases
(a) α = {1, t, t2} e β = 1
(b) α = {1, 1 + t, 1 + t+ t2} e β = −2
4
20. Seja T : R2 −→: R2 operador liner cuja matriz em relac¸a˜o a` base β = {(1, 0), (1, 4)}
e´ [T ]β =

 1 1
5 1

. Determine a matriz de T em relac¸a˜o a base canoˆnica de R2.
21. Seja T : R3 −→ R3 o operador linear dado por
T (x, y, z) = (3x, x− y, 2x+ y + z).
Mostre que (T 2 − I) ◦ (T − 3I) = 0, onde T 2 = T ◦ T
22. Se a matriz de um operador linear T : R3 −→ R3 em relac¸a˜o a base canoˆnica e´ dada
por 

1 1 0
0 1 0
0 1 −1


e se S : R3 −→ R3 e´ dado por S = T 2+2T + I, determine a matriz de S em relac¸a˜o
a` base canoˆnica de R3. Encontre tambe´m S(x, y, z), (x, y, z) ∈ R3.
23. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes transformac¸o˜es
lineares
(a) T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (2y, x)
(b) T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y)
(c) T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z)
(d) T : P2 −→ P2 definida por T (ax
2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b
(e) T : M2(R) −→M2(R) definida por T (A) = A
t
(f) T : R4 −→ R4 tal que T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w)
(g) T : R2 −→ R2 dada por T (x, y) = (x− y, x)
(h) T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z)
(i) T : M2(R) −→M2(R) dada por T
(

 a b
c d


)
=

 2c a+ c
b− 2c d


5
24. Identifique quais dos operadores lineares do exerc´ıcio anterios sa˜o diagonaliza´veis,
justificando.
25. Determine os autovetores e os autovalores dos seguintes operadores lineares cujas
matrizes na base canoˆnica sa˜o:
(a)

 2 2
2 2


(b)


1 0 0
−1 0 −2
1 1 3


(c)


4 0 2 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 −1 0 0


26. Suponha que λ e´ um autovalor de um operador invert´ıvel T . Mostre que λ−1 e´ um
autovalor de T−1.
27. Os autovalores de um operador linear T : R3 −→ R3 sa˜o c1 = 1, c2 = 2 e c3 =
−1, sendo v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (−1, 1, 0) os respectivos autovetores
associados. Determine T (x, y, z).
28. Determine T (x, y, z) sabendo que T : R3 −→ R3 e´ um operador linear com au-
toespac¸os, associados aos autovalores c1 = 1 e c2 = 3, dados por {(x, x + y, y) :
x, y ∈ R} e {(0, x, 2x); x ∈ R}, respectivamente.
29. Suponha que λ1 e λ2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero do operador
T : R2 → R2. Mostre que:
(a) Os autovetores v1 e v2 correspondentes sa˜o LI.
(b) T (v1) e T (v2) tambe´m sa˜o LI.
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30. Seja T : R2 −→ R2 um operador linear definido por
T (x, y) = (x cos θ − ysen θ, xsenθ + y cos θ)
Mostre que se θ for um mu´ltiplo inteiro do nu´mero pi, enta˜o o autovalor de T sera´
λ = 1 ou λ = −1.
31. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o operador T : R3 −→ R3 dado pela sua
matriz com relaca˜o a` base canoˆnica e´ diagonaliza´vel.
(a) [T ]α =


1 2 −2
2 1 −2
2 2 3


(b) [T ]β =


1 0 0
m 2 0
n 0 2


32. Seja f uma transformac¸a˜o linear de R2 em R tal que f(x, y) = −x+ 2y.
Seja α = {(1,−1), (2, 0)} e β = −1 bases de R2 e R respectivamente. Se [v]α =
 −3
5

, calcule [f(v)]β.
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