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UNIFEI
Exame de Equac¸o˜es Diferencias I
Professora:Gisele Leite 07/12/2011
Justifique todas as respostas!
[1.5] 1) Numa a´rea rural vive uma populac¸a˜o de coelhos. Quando na˜o existem fatores
externos nem predadores os coelhos se reproduzem a` uma taxa proporcional a` pro´pria
populac¸a˜o de modo que a populac¸a˜o dobra a cada meˆs. Agora suponha que nesta regia˜o
aparecem lobos que matam α coelhos por dia. Qual a populac¸a˜o inicial mı´nima de coelhos
para que os coelhos na˜o entrem em extinc¸a˜o?
2) Encontre a soluc¸a˜o geral das seguintes equac¸o˜es:
[2.0] a) (2xy − 4x) + dy
dx
= 0.
[2.0] b) (y cosx+ 2xey) + (senx+ x2ey − 1)y′ = 0.
[2.0] c) y(4) + 2y′′ + y = 0.
3) Dado o sistema
X ′ =
(
α 1
−1 α
)
X
[1.0] a) Determine os autovalores em func¸a˜o de α.
[1.0] b) Encontre os valores cr´ıticos de α onde a natureza qualitativa do retrato de fase
para o sistema muda.
[1.5] 4) Encontre uma soluc¸a˜o em se´rie de poteˆncias em torno de x0 = 0 para equac¸a˜o
y′′ + y = 0, −∞ < x <∞.