Provas anteriores 7

Prévia do material em texto

UNIFEI
2a Prova de Equac¸o˜es Diferencias I
Professora:Gisele Leite 26/04/2012
Justifique todas as respostas!
[1.5] 1) Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
(x− 2)y′′ + y′ + (x− 2)(tanx)y = 0, y(3) = 1, y′(3) = 2
tem uma u´nica soluc¸a˜o duas vezes diferencia´vel.
[2.0] 2) Considere a equac¸a˜o diferencial
y′′ + 2y′ + 5y = 3te−t cos 2t− 2te−2t cos t.
Determine uma forma adequada para Y (t) para se usar o me´todo dos coeficientes inde-
terminados.
[2.0] 3) Considere o problema de valor inicial
y′′ − y′ + 0, 25 = 0, y(0) = 2, y′(0) = b.
Encontre a soluc¸a˜o em func¸a˜o de b e depois determine o valor cr´ıtico de b que separa
as soluc¸o˜es que crescem positivamente das que acabam crescendo em mo´dulo, mas com
valores negativos.
[1.5] 4) Use o me´todo de reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma segunda soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial t2y′′ + 3ty′ + y = 0, t > 0, y1(t) = t−1.
[1.5] 5) Se y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es de ty
′′ + 2y′ + tety = 0 e
se W(y1, y2)(1) = 2, encontre o valor de W(y1, y2)(5).
[2.0] 6) Use o me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros para encontrar a soluc¸a˜o particular da
equac¸a˜o diferencial
y′′ − 5y′ + 6y = 2et.
Encontre tambe´m a soluc¸a˜o geral desta EDO.