lista de Sequencias e Séries numéricas do professor Bocker

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Universidade Federal da Paraíba - UFPB
Centro de Ciências Exatas e da Natureza - CCEN
Departamento de Matemática
Disciplina: SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Lista 01
Professor: Carlos Bocker Neto Semestre 2018.2
Aluno:
1. Considere as funções f(x) = cosx, g(x) = senx e h(x) = (1 + x)−1. Encontre
expressões para as derivadas de ordem n dessas funções, no ponto x = 0.
2. Construa uma sequência {an}, cuja distância entre quaisquer dois termos consecutivos
é 4.
3. Usando a definição de limite, prove que:
(a) lim
n→∞
n
2n−1 =
1
2 (b) limn→∞
sen(n5+n)
n
= 0 (c) lim
n→∞
3n2+1
n2
= 3
4. Calcule o limite das seguintes sequências:
(a) 1
3n
+
(
3
4
)n−3
(b) lnn
en
(c) n
2
n+1
− n2
n+2
(d) 3n
√
n+1
7−2n√n
(e) 3
n+(−2)n
3n+1+(−2)n
5. Em cada caso verifique se a sequência (an) é convergente ou divergente.
(a)
√
n2 + 1−√n (b) n2
2n−1 − n
2
2n+1
(c) 8
√
n2 + 1− 4√n+ 1
6. Prove que lim
n→∞
(3n + 4n)
1
n = 4. Se a, b ≥ 0, mostre que lim
n→∞
(an + bn)
1
n = max{a, b}.
7. Seja f : R→ R uma função derivável, sendo f(0) = 0. Calcule lim
n→∞
(
nf( 1
n
)
)
. Quanto
vale lim
n→∞
n arctg
(
1
n
)
?
8. Use o Método de Indução Finita para provar que
1 + 3 + 5 + . . .+ (2n− 1) = n2
9. Mostre que n (n2 + 5) é divisível por 6. (veja o Exemplo 1.5.3)
10. Em cada caso, identifique a série com uma série de encaixe ou uma série geométrica e
calcule o valor da soma.
(a)
∞∑
n=0
(
2
3
)n (b) ∞∑
n=1
3
9n2+3n−2 (c)
∞∑
n=2
1
4n2−1 (d)
∞∑
n=4
2
(n−2) (n−1) n
11. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica
aproximadamente metade da distância após cada queda. Use uma série geométrica
para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo.