SEP 1 Cap 3 item 3.1.5 Modelos de Linhas (1)

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3. Elementos de Sistemas Elétricos de 
Potência
Sistemas Elétricos de Potência
3.1.5 Modelos de Linhas de Transmissão
Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito
E-mail:raphaelbenedito@utfpr.edu.br
disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/raphaelbenedito
- Modelo da Linha Curta;
- Modelo da Linha Média;
Conteúdo
- Modelo da Linha Longa (modelo mais preciso).
• O modelo da linha de transmissão a ser adotado em
determinado estudo dependerá do comprimento da linha e da
precisão que se deseja ter da modelagem matemática.
• Veremos, a seguir, que o modelo de linhas longas é o mais
preciso, e portanto, pode ser utilizado para linhas curtas e
Modelos de Linhas de Transmissão
preciso, e portanto, pode ser utilizado para linhas curtas e
médias.
• Geralmente, as linhas curtas são aquelas com extensão de até
80 km ou 50 milhas.
• A capacitância de linhas até 80 km é desprezada, já que é
pequena, assim como a condutância (de dispersão) em
derivação.
• Desse modo, a linha é representada por seus parâmetros série e
seus respectivos efeitos, ou seja, resistência e indutância
Modelo da Linha Curta
seus respectivos efeitos, ou seja, resistência e indutância
(reatância indutiva). Veja a seguir:
Fig.: Modelo de Linha Curta para uma das fases
escrevendo a impedância complexa série como
então:
Modelo da Linha Curta
LXjrZ ⋅+=
&&
=
então:
RS II && =
RRS IZVV &&& ⋅+=
SSR IZVV &&& ⋅−=
onde: IS é a corrente que sai da barra transmissora (ou emissora);
IR é a corrente que chega na barra receptora;
VS é a tensão fase-neutro da barra transmissora (ou emissora);
VR é a tensão fase-neutro da barra receptora.
• As linhas médias são aquelas com extensão de 80 km (ou 50
milhas) até 240 km (ou 150 milhas).
• Neste caso considera-se o efeito capacitivo das linhas,
incluindo a susceptância capacitiva em derivação ou shunt
(parte imaginária da admitância shunt), e despreza-se ainda a
condutância em derivação.
• Representando a linha de transmissão através do modelo pi-
Modelo da Linha Média
• Representando a linha de transmissão através do modelo pi-
nominal, a capacitância da linha é concentrada em ambas as
extremidades e dividida por 2. Veja a figura abaixo:
Fig.: Modelo pi-nominal de Linha Média para uma das fases
Aplicando as Leis de Kirchhoff para a rede do modelo acima, temos:
Modelo da Linha Média
1
1 0
IZVV
VIZV
RS
RS
&&&
&&&
⋅+=
=−⋅− )1(
VYII &&& ⋅+= )2(
LKT
RR V
YII &&& ⋅+=
21
SRRSS V
YVYIVYII &&&&&& ⋅+⋅+=⋅+=
2221
)2(
)3(
LKC
Substituindo (2) em (1), obtemos:
RRRRRS IZV
ZYVYIZVV &&&&&& ⋅+⋅





+=





⋅+⋅+=
2
1
2
Agora, substituindo (4) em (3), obtemos:
RRS
RRRRS
IZYVYZYI
IZVZYYVYII
&&&
&&&&&
⋅





++⋅⋅





+=






⋅+⋅





+⋅+⋅+=
2
1
4
1
2
1
22
)4(
)5(
Matricialmente, podemos escrever o modelo de linha média como o
seguinte quadripolo:
Modelo da Linha Média






⋅





=





R
R
S
S
I
V
DC
BA
I
V
&
&
&
&
 RS IDCI &&
onde: , , ,





+=
2
1 ZYA )(Ω= ZB )(
4
1 SiemensYZYC ⋅





+= 





+==
2
1 ZYAD
As constantes A, B, C e D são denominadas constantes generalizadas do
circuito da linha, ou parâmetros do quadripolo.
- Para (relação à vazio do receptor)
- Para (relação em curto do receptor)
RSR VAVI &&& ⋅==>= 0
RSR IBVV &&& ⋅==>= 0
• Tradicionalmente, as linhas longas são aquelas com extensão acima
de 240 km (ou 150 milhas).
• O modelo matemático adequado de linhas longas ou modelo mais
preciso para qualquer linha de transmissão deve considerar:
– os parâmetros uniformemente distribuídos ao longo da linha e não
concentrados (como nos casos anteriores);
– além disso, deve contemplar a teoria de ondas viajantes (progressivas e
regressivas), resultando em equações diferenciais parciais.
Modelo da Linha Longa
regressivas), resultando em equações diferenciais parciais.
• Entretanto, é possível obter um circuito pi-equivalente de uma linha
longa e representá-la com precisão em parâmetros concentrados
(desde que o interesse seja os valores de tensão e corrente nas
extremidades desta linha).
• Assim, nosso modelo para linhas longas pode ser tratado como uma
“correção” sobre os parâmetros do modelo pi-nominal, utilizando a
constante de propagação da onda (e arcos hiperbólicos). Veja a
seguir:
• Para este modelo, temos:
Modelo da Linha Longa
Fig.: Modelo pi-equivalente de Linha Longa para uma das fases
• Para este modelo, temos:
sendo:
a constante de propagação da onda (por metro da linha);
z’ a impedância série por metro de linha;
y’ a admitância shunt por metro de linha;
l o comprimento total da linha;
)(
2/
)2/tanh(
)()(
Siemens
l
lYY
l
lsenhZZ
eq
eq






⋅
⋅
=
Ω





⋅
⋅
⋅=
γ
γ
γ
γ
'' yz ⋅=γ
Lembrando que: , e
Modelo da Linha Longa
2
)(
xx
ee
xsenh
−
−
=
2
)cosh(
xx ee
x
−+
= xx
xx
ee
ee
x
xsenh
x
−
−
+
−
== )cosh(
)()tanh(
Matricialmente, podemos escrever o modelo de linha longa como o
seguinte quadripolo:






⋅





=





R
R
S
S
I
V
DC
BA
I
V
&
&
&
&
 RS IDCI &&
onde: , , ,








+=
2
1 eqeq
YZ
A )(Ω= eqZB )(
4
1 SiemensY
YZ
C eq
eqeq
⋅







+= 







+==
2
1 eqeq
YZ
AD
• Nos estudos de linhas de transmissão, uma relação ou parâmetro de
certa relevância é a chamada impedância característica da linha (ou
Zc):
Modelo da Linha Longa
Impedância Característica
'
'
y
zZc =
• No caso particular de linha ideal, sem perdas, a impedância• No caso particular de linha ideal, sem perdas, a impedância
característica pode ser simplificada por Zo:
'
'
'
'
C
L
C
LZoZc =≅=
ω
ω
também chamada como impedância de surto.
• Um bom “termômetro” da capacidade de transmissão de potência em
linhas de extra alta tensão é a potência característica da linha.
• Esta potência é o carregamento da linha pela impedância de surto (ou
característica) considerando uma carga resistiva pura com valor igual
a da impedância de surto.
• Por simplicidade, a potência característica pode ser expressa da
Modelo da Linha Longa
Potência Característica
• Por simplicidade, a potência característica pode ser expressa da
seguinte forma:
Analisando a equação acima, podemos aumentar a capacidade de
transmissão aumentando a capacitância, ou diminuindo a indutância.
Obs.: esta potência também é chamada como “SIL” pelos engenheiros
de potência.
'
'
222
C
L
V
Zo
V
Zc
V
Pc LLL =≅=
Associação de Quadripolos
Quadripolos em Cascata (Série)






⋅





⋅





=





R
R
S
S
I
V
DC
BA
DC
BA
I
V
&
&
&
&
22
22
11
11
Associação de Quadripolos
Quadripolos em Paralelo
• Nesta situação, basta fazermos o circuito equivalente para rede da
figura acima (figura da direita).
[1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas de
Energia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, 2003.
[2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de
Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo.1986.
[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:
Referências Bibliográficas[3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica:
linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição;
Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, 1979.
[4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos
de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.