Compensação Reativa em Linhas de Transmissão - Versão Final

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Transmissão de Energia Elétrica 
EEE457 – EE1 
 
 
Compensação Reativa em Linhas de Transmissão 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discentes: 
 Alexandre Allil DRE.: 111472033 
 Bruno Cesar DRE.: 105062472 
 Carlos Eduardo DRE.: 111471760 
 Maisa Kashima DRE.: 111303666 
Mariana Guimarães DRE.: 108038888
 
 
Sumário 
Lista de Figuras............................................................................................................... iii 
Capítulo 1 Introdução................................................................................................. 1 
1.1 Motivação......................................................................................................... 1 
1.2 Objetivo............................................................................................................ 2 
1.3 Fundamentos Teóricos..................................................................................... 3 
Capítulo 2 Procedimentos........................................................................................... 5 
2.1 Descrição das características intrínsecas à Linha de Transmissão em 
análise............................................................................................................... 5 
2.2 Parametrização da Linha de Transmissão........................................................ 7 
2.3 Análises de Compensação na Linha de Transmissão..................................... 12 
2.4 Simulações Computacionais.......................................................................... 27 
Capítulo 3 Conclusão................................................................................................ 33 
Referências..................................................................................................................... 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
Lista de Figuras 
Figura 1 - Solicitação de potência reativa por linhas de transmissão, para vários níveis 
de tensão. .......................................................................................................................... 3 
Figura 2 - Representação da linha longa, conhecido como π-equivalente. ...................... 6 
Figura 3 - Quadripolo típico de linha de transmissão. ...................................................... 8 
Figura 4 - Perfil de Tensão na Linha Sem Compensação............................................... 20 
Figura 5 - Perfil da Tensão para Linha Compensada. .................................................... 21 
Figura 6 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão sem compensação. ............ 27 
Figura 7 - Evidência do Efeito Ferranti. ......................................................................... 28 
Figura 8 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão e compensação em derivação.
 ........................................................................................................................................ 29 
Figura 9 - Efeito da compensação em derivação. ........................................................... 29 
Figura 10 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão e compensação em série e 
em derivação. .................................................................................................................. 30 
Figura 11 - Flutuação da tensão de transmissor e diminuição acentuada da sobretensão 
de receptor à vazio. ......................................................................................................... 30 
Figura 12 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão e duas compensações em 
derivação e uma em série................................................................................................ 31 
Figura 13 - Simulação após duas compensações em derivação e uma compensação série.
 ........................................................................................................................................ 31 
Figura 14 - Comparação entre as formas de onda das correntes de transmissor. ........... 32 
iii 
 
Capítulo 1 
Introdução 
1.1 Motivação 
Os sistemas de transmissão e de distribuição de energia elétrica, bem como a 
maioria das cargas das unidades consumidoras, como motores, lâmpadas de descarga, 
fornos de indução, etc. consomem energia reativa. Como se sabe da teoria de circuitos 
elétricos, a potência aparente, medida em [VA], é constituída de dois tipos de potência: 
• Potência ativa: medida em [W]. Esta é a potência que efetivamente realiza 
trabalho, gerando calor, luz, movimento, etc. 
• Potência reativa: medida em [VAr]. Esta potência é utilizada para criar e manter 
os campos eletromagnéticos. 
Assim, enquanto a potência ativa é sempre consumida na execução de trabalho, 
a potência reativa, além de não produzir trabalho, circula entre a carga e a fonte de 
alimentação, ocupando um “espaço” no sistema elétrico, que poderia ser utilizado para 
fornecer mais energia ativa. 
O triângulo das potências ilustra a relação entre as potências ativa (P), reativa 
(Q) e aparente (S). 
A razão entre as potências ativa e aparente de uma determinada carga denomina-
se fator de potência. 
O fator de potência indica qual porcentagem da potência total fornecida (VA) é 
efetivamente utilizada como potência ativa (W). Assim, o fator de potência indica o 
1 
 
grau de eficiência do uso dos sistemas elétricos. Valores altos de fator de potência 
(próximos de 1,0) indicam uso eficiente da energia elétrica, enquanto valores baixos 
evidenciam seu mau aproveitamento, além de representar uma sobrecarga para todo o 
sistema elétrico. 
Baixos fatores de potência resultam em um aumento na corrente total que circula 
nas redes de distribuição de energia elétrica da concessionária e das unidades 
consumidoras. Isso pode sobrecarregar as subestações bem como as linhas de 
transmissão e distribuição, prejudicando os níveis de tensão assim como a estabilidade e 
as condições de aproveitamento dos sistemas elétricos, trazendo inconvenientes 
diversos [1], [2]. 
1.2 Objetivo 
O objetivo deste artigo é analisar e descrever a compensação de reativos em 
linhas de transmissão, utilizando compensadores estáticos fixos. 
O trabalho se inicia abordando uma ideia geral sobre o assunto a ser tratado. 
Para realizar as simulações na plataforma PSIM (Desenvolvido por Powersim), os 
parâmetros de uma linha real foram utilizados. Destes parâmetros foram encontradas as 
constantes de quadripolo da linha respectiva, onde posteriormente, os cálculos dos 
compensadores foram baseados. 
Desta forma, foram simulados diversos casos de diferentes arranjos de 
compensação a fim de se monitorar a tensão RMS (do inglês, Root Mean Square) no 
receptor e o comportamento do Efeito Ferranti (Sobretensão em regime permanente no 
terminal de linha à vazio). 
 
2 
 
1.3 Fundamentos Teóricos 
Os procedimentos, testes e definições utilizados neste artigo, que irão nos 
permitir obter os parâmetros desejados relacionados às linhas de transmissão e a 
compensação de reativos, serão explicados neste tópico. 
Nos sistemas elétricos de transmissão e de distribuição, o controle de reativo, em 
geral, é feito com o auxílio de dispositivos conectados em paralelo e que tenham a 
característica de gerar e/ou absorver reativos. 
O termo compensação de linha está relacionado à propriedade natural das linhas 
de transmissão, que requerem energia reativa em maior ou menor quantidade, para 
efetivarem o transporte da energia ativa. A condição ideal de transporte de energia 
através de uma linha é aquela em que ela transporta uma potência ativa de valor 
correspondente à sua Potência Natural, P0. 
A Figura 1 ilustra a potência reativa adicional que deve ser gerada ou absorvida, 
em derivação (shunt), a cada 100 km de linha, para linhas de diversas classes de tensão. 
Assim, observa-se que, a única condição em que uma linha não requer reativo adicional 
é quando a mesma está transportando a potência natural P0. 
Figura 1 -Solicitação de potência reativa por linhas de transmissão, para vários níveis de tensão. 
3 
 
 Quando a linha transporta potências ativas inferiores a P0, a mesma está gerando 
mais reativo do que ela realmente necessita para efetuar o transporte da potência ativa. 
Isso está representado, na Figura 1, pela região de reativo negativo (-Q). 
 Esse reativo adicional (que é gerado pela linha) cresce com o nível de tensão e o 
comprimento da linha. Se esse reativo excedente não for absorvido por algum banco de 
reatores em derivação, máquina síncrona ou mesmo pelo sistema, então a tensão ao 
longo da linha irá aumentar (Efeito Ferranti), podendo até atingir níveis proibitivos. 
 Por outro lado, se a linha estiver transmitindo potência ativa superior a P0, a 
Figura 1 indica que a linha terá necessidade de receber reativo adicional àquele que ela 
gera (o qual seria suficiente apenas para o transporte de P0). Se isso não ocorrer, a 
tensão ao longo da linha irá decrescer. Esse reativo adicional, em geral, é proporcionado 
por bancos de capacitores em derivação. 
 De uma maneira geral, diz-se que uma linha de transmissão recebeu uma 
compensação em derivação quando algum banco de reatores ou de capacitores nela foi 
instalado. Adicionalmente, com a finalidade de absorver ou gerar reativo adicional 
àquele que as capacitâncias shunt da linha já eventualmente geram (entre condutores e 
entre condutores e solo). 
 Existem, também, problemas relacionados com a reatância indutiva série de uma 
linha. Seja, por exemplo, uma linha longa que esteja operando com ângulos de potência 
grandes, que estejam comprometendo a estabilidade estática da transmissão. Esse 
problema, via de regra, é uma consequência da alta reatância indutiva série da linha. 
Para decrescê-la uma boa alternativa é a inserção de bancos de capacitores em série. 
Assim, uma linha de transmissão que tiver um banco de capacitores assim instalado, 
terá recebido uma compensação série. 
4 
 
 De uma maneira geral, uma linha de comprimento entre 300 km e 500 km já 
requer compensação em derivação. Pode-se também afirmar que uma linha de 
transmissão que requer compensação série, certamente necessitará de compensação em 
derivação [3]. 
Capítulo 2 
Procedimentos 
2.1 Descrição das características intrínsecas à Linha de 
Transmissão em análise 
As linhas de transmissão podem ser representadas por modelos que dependem da 
sua extensão e tensão nominal. Linhas com até 80 km de comprimento são consideradas 
linhas curtas, podendo ser representadas por uma indutância e uma resistência em série, 
desprezando o efeito capacitivo que ocorre entre a linha e o solo. Quando as linhas têm 
comprimentos entre 80 km e 240 km, elas são referidas como linhas de comprimento 
médio e pode-se utilizar o modelo de representação π-nominal. No entanto, linhas que 
apresentam comprimento maior que 240 km, que é o nosso caso de estudo, são 
consideradas longas e devem ser modeladas considerando-se os parâmetros distribuídos 
ao longo da linha. 
Admitamos que um circuito π possa ser utilizado para esse fim, desde que, em 
seus parâmetros elétricos, efetuemos as necessárias correções para levarmos em 
consideração o efeito da sua distribuição ao longo da linha. 
 
5 
 
 A Figura 2 nos mostra a representação desta linha longa utilizando os 
parâmetros elétricos corrigidos devidamente. 
Figura 2 - Representação da linha longa, conhecido como π-equivalente. 
Para tanto, consideraremos as características da linha em questão, 
correspondente a uma tensão nominal referente a 500 kV e comprimento total igual a 
700 km. A potência que se deseja transmitir é igual a 1,3 GW, seguindo as seguintes 
condições: 
1) Sobretensão de circuito aberto inferior a 1,1 pu; 
2) Relação entre a tensão no transmissor e no receptor igual a 1,05 em operação 
nominal; 
3) Tensão ao longo da linha deve ser inferior a 10% de variação da tensão nominal; 
4) Ângulo de potência de no máximo 30°. 
As linhas de transmissão da rede elétrica são majoritariamente trifásicas. 
Todavia o sistema em análise é considerado equilibrado, pois consideramos que a linha 
seja idealmente transposta e, assim, utilizamos os parâmetros definidos a seguir por 
unidade de comprimento para apenas uma sequência de fase, no caso, a positiva. São 
definidas pelas Equações 1 à 3, adiante. 
 
 
𝑍𝑍�̇�𝜋 
𝑌𝑌𝜋𝜋
2
̇
 
𝑌𝑌𝜋𝜋
2
̇
 
6 
 
 r1 = 0,01728 Ω/km (1) 
 x1 = 0,27132 Ω/km (2) 
 c1 = 16,38 × 10−9 F/km (3) 
2.2 Parametrização da Linha de Transmissão 
 O software PSIM, como já dito anteriormente, foi a plataforma computacional 
escolhida para obtermos os resultados propostos no trabalho. 
 Para o devido fim, a linha de transmissão, descrita no item 2.1 deste artigo, foi 
seccionada em dez trechos de comprimentos iguais correspondentes a 70 km cada, 
totalizando obviamente, 700 km de extensão. 
 Para a representação da mesma no software de simulação, o modelo de uma 
linha com parâmetros distribuídos transpostos foi utilizado, devido à simplicidade dos 
dados de entrada necessários e o objetivo do estudo, que se resume em analisar a 
compensação de reativos. 
 Neste momento, será necessária a representação da linha por um quadripolo 
modelo ABCD, ou comumente conhecidas como “constantes generalizadas” das linhas 
de transmissão. 
Vale ressaltar que esta abordagem matemática é praticamente a única utilizada, 
devido às características de simplicidade de cálculo e versatilidade que oferece. 
 
7 
 
O modelo ABCD, ilustrado na Figura 3, é definido a partir das Equações 4 e 5 
de tensão e corrente, respectivamente. 
Figura 3 - Quadripolo típico de linha de transmissão. 
 U̇1 = ȦU̇2 + Ḃİ2 (4) 
 İ1 = ĊU̇2 + Ḋİ2 (5) 
Para o cálculo das constantes de quadripolo, deve-se levar em consideração a 
classificação da linha como curta, média ou longa. Para o caso estudado, como já 
informado, a linha se comporta como linha longa devido a sua classe de tensão e 
extensão física. 
Uma vez que o quadripolo é na verdade uma representação monofásica, o 
circuito π-equivalente pode ser obtido utilizando-se os dados de sequência positiva 
informados no item 2.1 deste artigo. 
Assim, antes de calcularmos os parâmetros necessários, necessitamos definir as 
variáveis e equações apresentadas a seguir, que irão nos informar ainda mais a respeito 
das características da linha de transmissão. 
As Equações 6 e 7 representam, respectivamente, a impedância e admitância por 
unidade de comprimento. 
 z = R + jωl (6) 
 y = jωc (7) 
8 
 
 Nestas equações, a variável “R” representa a resistência da linha por unidade de 
comprimento (Ω/km), ao passo que a grandeza resultante do produto “ωl”, também 
referida como “x1”, é nomeada como a reatância indutiva da linha (Ω/km). Já a 
grandeza “c” representa a capacitância da linha por unidade de comprimento (F/km) 
enquanto que a grande “ω” e “l” representam, respectivamente, a frequência angular de 
operação da linha de transmissão e a indutância por unidade de comprimento (H/km). 
 A Equação 8 representa a impedância característica da linha em estudo. 
 Zc = �
Z
Y
= �
z
y
 (8) 
 Nesta equação as grandezas em maiúsculo, como “Z” e “Y”, representam, 
respectivamente, a impedância e adimitância total de uma determinada linha. 
 A função de propagação de um dado sistema é definida pela Equação 9. 
 γ = �z. y 
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝛾𝛾. 𝐿𝐿 = √𝑍𝑍.𝑌𝑌 = �𝑧𝑧. 𝐿𝐿.𝑦𝑦. 𝐿𝐿 (9) 
 Nesta Equação 9, a grandeza “L” representa o comprimento físico da linha de 
transmissão. 
 De acordo com as aproximações utilizadas por [3], podemos definir os 
parâmetros de uma linha de transmissão longa, já considerando as correções devidas, 
utilizando as Equações 10 a 13, a seguir. 
 
 
 
9 
 
 A = cosh( γ̇. L) (10) 
 B = Zc. sinh ( γ̇. L) (11) 
 C =
1
Zc
. sinh ( γ̇. L) (12) 
 D = cosh( γ̇. L) = A(13) 
 De posse do conhecimento das equações citadas anteriormente, pode-se agora, 
finalmente, realizar o cálculo de todos os parâmetros já apresentados. 
 A começar pela Equação 9, podemos escrever o resultado através da Equação 
14. 
 𝛾𝛾. 𝐿𝐿 = √𝑍𝑍.𝑌𝑌 = 0,906716. 𝑒𝑒𝑗𝑗.1,53899 (14) 
 Utilizando a Equação 8 obteremos a Equação 15, a seguir. 
 Zc = �
Z
Y
= 209,827. e−𝑗𝑗.0,03 (15) 
 Partindo-se das Equações 6 e 7, teremos, respectivamente, as Equações 16 e 17. 
 z = 0,01728 + 𝑗𝑗. 0,27132 Ω/km (16) 
 y = 𝑗𝑗. 6,175. 10−6 S/km (17) 
 Se quisermos as impedâncias e adimitâncias totais da linha em análise, basta 
multiplicarmos as Equações 16 e 17 pelo comprimento físico total da linha. Assim, 
teremos as Equações 18 e 19. 
 
10 
 
 Z = 12,096 + 𝑗𝑗. 189,924 Ω (18) 
 Y = 𝑗𝑗. 0,00432 S (19) 
 Diante destes dados, podemos, por fim, calcular os parâmetros estabelecidos 
pelas Equações 10 a 13. Teremos, assim, as Equações 20 a 23. 
 A = 0,61737. e𝑗𝑗.0,036774 (20) 
 B = 165,287. e𝑗𝑗.1,51642 (21) 
 C = 0,003754. e𝑗𝑗.1,58002 (22) 
 D = A = 0,61737. e𝑗𝑗.0,036774 (23) 
 Por último, mas não menos importante, os parâmetros apresentados na Figura 2 
podem ser calculados utilizando as Equações 24 e 25. 
 Żπ = B = Zc. sinh ( γ̇. L) (24) 
 Ẏπ
2
=
1
Zc
. tanh �
γ̇. L
2
� (25) 
 Assim, tempos as Equações 26 e 27, a seguir. 
 Żπ = 165,287. e𝑗𝑗.1,51642 (26) 
 Ẏπ
2
= 0,002322. e𝑗𝑗.1,56598 (27) 
 Com isso, calculamos todos os parâmetros referentes à linha de transmissão em 
análise e podemos prosseguir para o estudo de sua futura compensação. Transformando 
11 
 
os coeficientes da matriz de quadripolos do circuito 𝜋𝜋-equivalente da linha de 700 km 
para coordenadas retangulares, obtemos: 
 𝑄𝑄700 = �
0,61659 + 0,022708𝑗𝑗 8,98298 + 165,135𝑗𝑗
−0,000035 + 0,003755𝑗𝑗 0,61659 + 0,022708𝑗𝑗� 
(28) 
 
 
2.3 Análises de Compensação na Linha de Transmissão 
I. Compensação em Shunt (a vazio) 
Conforme os dados e a teoria vista no capítulo anterior, as tensões de linha e de 
fase no terminal receptor são dadas, respectivamente, pelas equações 29 e 30: 
 U2L = 500 kV (29) 
 
U2f =
U2L
√3
=
500000
√3
= 288.675,13459 
(30) 
 
Como o circuito está em aberto, I2 =0, e com isso, obtemos o seguinte sistema 
matricial do qual extraímos a tensão de fase, de linha e corrente do emissor, 
respectivamente: 
 �U1fI1
� = �A700 B700C700 D700
� ∙ �U2fI2
� (31) 
 U1f = A700 ∙ U2f = 177994 + 6555,33𝑗𝑗 (32) 
 U1L = U1f ∙ √3 = 308295 + 11354,2𝑗𝑗 (33) 
 I1 = C700 ∙ U2f = −10,0066 + 1083,87𝑗𝑗 (34) 
 
12 
 
Uma das condições é que: 
 U2f = 1,05 ∙ U1f ∴
U2f
U1f
= 1,05 
(35) 
 
Considerando o circuito em aberto: 
 U1f = Aeq ∙ U2f ∴
U2f
U1f
=
1
Aeq
 
(36) 
 
Igualando-se as Equações 35 e 36, temos: 
 1
Aeq
= 1,05 ∴ Aeq =
1
1,05
= 0,952381 
(37) 
 
O quadripolo equivalente da linha de 700 km com a compensação em derivação é: 
 Qeq = Qcomp/deriv ∙ Q700 ∙ Qcomp/deriv (38) 
 �
Aeq Beq
Ceq Deq
� = �
1 0
Ycomp 1� ∙ �
A B
C D� ∙ �
1 0
Ycomp 1� 
(39) 
Onde: 
 
Ycomp = 
1
𝑗𝑗 ∙ 𝜔𝜔 ∙ 𝐿𝐿
 
(40) 
E: 
 Aeq = A + Ycomp ∙ B (41) 
 
Ycomp = Im �
Aeq − A
B
� 
(42) 
13 
 
Substituindo os valores encontrados na equação anterior encontramos o valor da 
admitância de compensação em derivação: 
 Ycomp = −0,002035𝑗𝑗 (43) 
Logo, o valor da indutância de compensação é obtido por: 
 L = 
1
𝑗𝑗 ∙ 𝜔𝜔 ∙ Ycomp
=
1
𝑗𝑗 ∙ 2𝜋𝜋60 ∙ (−0,002035𝑗𝑗)
= 1,30355 𝐻𝐻 
(44) 
Deste modo, os resultados da compensação em derivação da Parte 1 são: 
 Qeq1 = Qcomp/deriv ∙ Q700 ∙ Qcomp/deriv (45) 
 Qeq1 = �
0,952622 + 0,004429𝑗𝑗 8,98298 + 165,135𝑗𝑗
0,000021 + 0,000551𝑗𝑗 0,952622 + 0,004429𝑗𝑗� 
(46) 
Verificando a condição de a tensão ao longo da linha não exceder 10% da tensão 
nominal: 
Dividindo a linha de 700km em 10 partes de 70 km, temos: 
 Q700 = (Q70)10 (47) 
 
Como a linha foi compensada, Q700 agora é igual a Qeq1. Então: 
 Qeq1 = (Q70)10 ∴ Q70 = �Qeq1
10
 
 
(48) 
A Equação 48 denota um problema algébrico e para o qual iremos adotar os seguintes 
passos em sua solução: 
a) Encontrar os autovalores de Qeq1; 
b) Montar a matriz diagonalizada de Qeq1 , denominada: 𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑
Qeq1
; 
14 
 
c) Obter a matriz dos autovetores de Qeq1. E Então poderemos manipular a matriz 
para obtermos o resultado de �Qeq110 . 
Encontrando autovalores: 
 det�𝜆𝜆𝜆𝜆 − Qeq1� = 0 (49) 
 
𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑Qeq1 = �
𝜆𝜆1 0
0 𝜆𝜆2
�, onde: 
 𝜆𝜆1 = 0,966597 + 0,308809𝑗𝑗 (50) 
 𝜆𝜆2 = 0,938647 − 0,299951𝑗𝑗 (51) 
A partir da propriedade que foi citada na referência, temos que: 
 
�𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑Qeq1
10 = �
�𝜆𝜆1
10 0
0 �𝜆𝜆2
10 �
= �
1,00098 + 0,030963𝑗𝑗 0
0 0,998054 − 0,03088j� 
(52) 
 
 �𝜆𝜆𝜆𝜆 − 𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸1�.𝑣𝑣 = 0 (53) 
 
Calculando o autovetor �̅�𝑣, obtemos: 
 𝑣𝑣 = � 0,999998 0,999998−0,001842 − 0,000016𝑗𝑗 −0,001842 − 0,000016𝑗𝑗� 
(54) 
 
Raciocínio para calcular a 10ª raiz de 𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸1: 
 (𝑄𝑄70)10 = 𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸1 (55) 
 𝑣𝑣−1. (𝑄𝑄70)10. 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣−1.𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸1.𝑣𝑣 = 𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑
𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒1
 (56) 
15 
 
 𝑣𝑣−1.𝑄𝑄70. 𝑣𝑣 = �𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒1
10 (57) 
 
𝑣𝑣. 𝑣𝑣−1.𝑄𝑄70.𝑣𝑣. 𝑣𝑣−1 = 𝑣𝑣.� �𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒1
10 � . 𝑣𝑣−1 
(58) 
 
Como 𝑣𝑣. 𝑣𝑣−1 = 𝜆𝜆, obtemos que: 
 
𝑄𝑄70 = 𝑣𝑣.� �𝑀𝑀𝑑𝑑𝐸𝐸𝐸𝐸𝑑𝑑𝑄𝑄𝑒𝑒𝑒𝑒1
10 � . 𝑣𝑣−1 
(59) 
 
Obtemos, então, 𝑄𝑄70: 
 𝑄𝑄70 = �
0,999519 + 0,000042𝑗𝑗 −0,937387 − 16,7756𝑗𝑗
−0,000002 − 0,000057𝑗𝑗 0,999519 + 0,000042𝑗𝑗 �
= �𝐴𝐴70 𝐵𝐵70𝐶𝐶70 𝐷𝐷70
� 
(60) 
Pede-se que a tensão ao longo da linha não pode ser superior a 10% da tensão nominal. 
Temos que: 
• Em 70 km de linha: 
 �
𝑈𝑈1𝑓𝑓
𝜆𝜆1
� = 𝑄𝑄70. �
𝑈𝑈70𝑓𝑓
𝜆𝜆70
� (61) 
 |𝑈𝑈70𝐿𝐿| < 1,1.𝑈𝑈𝑜𝑜𝐿𝐿 < 550000 (62) 
 
Para verificar, temos que: 
 𝑼𝑼𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟕𝟕𝟕𝟕.𝑼𝑼𝟕𝟕𝟕𝟕𝟏𝟏 (63) 
 𝑈𝑈70𝑓𝑓 =
𝑈𝑈70𝐿𝐿
√3
 (64) 
 𝑈𝑈70𝐿𝐿 = 𝑈𝑈1𝑓𝑓 .𝐴𝐴70.√3 (65) 
 
Assim, 
 𝑈𝑈70𝐿𝐿 = 308146 + 11361,7𝑗𝑗 (66) 
 |𝑈𝑈70𝐿𝐿| = 308356,67943 < 550000 (67) 
 
16 
 
• Em 140 km de linha 
 𝑄𝑄140 = 𝑄𝑄70.𝑄𝑄70 = �
𝐴𝐴140 𝐵𝐵140
𝐶𝐶140 𝐷𝐷140
� (68) 
 �𝐴𝐴140 𝐵𝐵140𝐶𝐶140 𝐷𝐷140
� = �0,998084 + 0,000174𝑗𝑗 −1,87247 − 33,5353𝑗𝑗0,000004 − 0,000114𝑗𝑗 0,998084 + 0,000174𝑗𝑗� 
(69) 
 𝑈𝑈140𝐿𝐿 = 𝑈𝑈1𝑓𝑓 .𝐴𝐴140.√3 = 307702 + 11386,1𝑗𝑗 (70) 
 |𝑈𝑈140𝐿𝐿| = 307913 < 550000 (71) 
 
• Em 210 km de linha 
 𝑄𝑄210 = 𝑄𝑄140.𝑄𝑄70 = �
𝐴𝐴210 𝐵𝐵210
𝐶𝐶210 𝐷𝐷210
� (72) 
 �𝐴𝐴210 𝐵𝐵210𝐶𝐶210 𝐷𝐷210
� = � 0,995697 + 0,000397𝑗𝑗 −2,80283 − 50,2628𝑗𝑗−0,000007 − 0,000171𝑗𝑗 0,995697 + 0,000397𝑗𝑗� 
(73) 
 𝑈𝑈210𝐿𝐿 = 300964 + 11427,7𝑗𝑗 (74) 
 |𝑈𝑈210𝐿𝐿| = 307177 < 550000 (75) 
 
• Em 280 km de linha 
 𝑄𝑄280 = 𝑄𝑄210.𝑄𝑄70 = �
𝐴𝐴280 𝐵𝐵280
𝐶𝐶280 𝐷𝐷280
� (76) 
 �𝐴𝐴280 𝐵𝐵280𝐶𝐶280 𝐷𝐷280
� = � 0,992358 + 0,000689𝑗𝑗 −3,726285 − 66,9424𝑗𝑗−0,000008 − 0,000227𝑗𝑗 0,992358 + 0,000689𝑗𝑗 � 
(77) 
 |𝑈𝑈280𝐿𝐿| = 306147,8684 < 550000 (78) 
17 
 
 
Para os próximos comprimentos de linha, o cálculo dos quadripolos é de maneira 
análoga e serão mostrados na simulação. 
 
• Em 350 km de linha 
 |𝑈𝑈350𝐿𝐿| = 304825,3516 < 550000 (79) 
 
• Em 420 km de linha 
 
 |𝑈𝑈420𝐿𝐿| = 303213,0106 < 550000 (80) 
 
• Em 490 km de linha 
 
 |𝑈𝑈490𝐿𝐿| = 301311 < 550000 (81) 
 
• Em 560 km de linha 
 
 |𝑈𝑈560𝐿𝐿| = 299122 < 550000 (82) 
 
• Em 630 km de linha 
 
 |𝑈𝑈630𝐿𝐿| = 296648 < 550000 (83) 
 
• Em 700 km de linha 
 
 |𝑈𝑈700𝐿𝐿| = 293891,94 < 550000 (84) 
 
Assim, temos que: 
 
 �𝑈𝑈2𝐿𝐿,𝑐𝑐𝑜𝑜𝐸𝐸𝑐𝑐𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐𝐸𝐸𝑑𝑑𝑜𝑜� = |𝑈𝑈700𝐿𝐿| = 293891,94 (85) 
 
18 
 
e 
 
�𝑈𝑈1𝐿𝐿,𝑐𝑐𝑜𝑜𝐸𝐸𝑐𝑐𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐𝐸𝐸𝑑𝑑𝑜𝑜� =
�𝑈𝑈2𝐿𝐿,𝑐𝑐𝑜𝑜𝐸𝐸𝑐𝑐𝐸𝐸𝐸𝐸𝑐𝑐𝐸𝐸𝑑𝑑𝑜𝑜�
1,05
= 279896 
(86) 
 
 
I. Compensação em Série 
Para a linha completa de 700 km após uma compensaçãoem derivação (parte 1), usando 
a fórmula P1, com 𝑈𝑈2 = 500𝐾𝐾𝐾𝐾; 𝑈𝑈1 = 476,19𝐾𝐾𝐾𝐾 e P1=1,3 GW verificamos que o 
ângulo de potência era de δ=61,26857° > 30° exigido no enunciado do trabalho. Então 
foi preciso outra compensação, porém esta em série. 
Compensação série de 90%, temos 0,45 de compensação em cada lado do terminal: 
 𝑍𝑍𝑐𝑐𝑜𝑜𝐸𝐸𝑐𝑐 = −𝑗𝑗. 0,45. 𝜆𝜆𝐼𝐼{𝑍𝑍𝜋𝜋} = −𝑗𝑗74,31075 (87) 
 𝑄𝑄𝐶𝐶 = �
1 𝑍𝑍𝐶𝐶
0 1 � 
(88) 
 
Assim, temos agora que o quadripolo equivalente com a compensação série é: 
 𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸2 = 𝑄𝑄𝐶𝐶 .𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸1.𝑄𝑄𝐶𝐶 (89) 
 𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸2 = �
0,99431 + 0,00286847𝑗𝑗 9,52526 + 20,457𝑗𝑗
0,000021 + 0,000561𝑗𝑗 0,99431 + 0,00286847𝑗𝑗� 
(90) 
 
E 
 𝐴𝐴𝐸𝐸𝐸𝐸2 = 𝐴𝐴 + 𝑌𝑌𝑐𝑐𝑜𝑜𝐸𝐸𝑐𝑐.𝐵𝐵 (91) 
 
Onde 
 𝐴𝐴 = 0,99431 + 0,00286847𝑗𝑗 (92) 
 𝐵𝐵 = 9,52526 + 20,457𝑗𝑗 (93) 
Feito isto, devemos novamente realizar uma compensação em derivação: 
19 
 
 
𝑌𝑌𝑐𝑐𝑜𝑜𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝜆𝜆𝐼𝐼 �
𝐴𝐴𝐸𝐸𝐸𝐸2 − 𝐴𝐴
𝐵𝐵
� = 0,00163077𝑗𝑗 
(94) 
 
 𝑄𝑄𝐿𝐿 = �
1 0
𝑌𝑌𝑐𝑐𝑜𝑜𝐸𝐸𝑐𝑐 1
� (95) 
 
 𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸3 = 𝑄𝑄𝐿𝐿 .𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸2.𝑄𝑄𝐿𝐿 (96) 
 𝑄𝑄𝐸𝐸𝐸𝐸3 = �
0,960947 + 0,01840198𝑗𝑗 9,52526 + 20,457𝑗𝑗
−0,0000136872 + 0,00374958𝑗𝑗 0,960947 + 0,01840198𝑗𝑗� 
(97) 
Para efeitos de comparação, apresentaremos a seguir o perfil de tensão da linha sem 
compensação como ilustrado na Figura 4, temos os valores ao longo da linha: 
𝑈𝑈1𝐿𝐿 = 308504 𝑈𝑈420 = 264022 
𝑈𝑈70 = 307239 𝑈𝑈490 = 248503 
𝑈𝑈140 = 303452 𝑈𝑈560 = 230950 
𝑈𝑈210 = 297175 𝑈𝑈630 = 211511 
𝑈𝑈280 = 288459 𝑈𝑈700 = 190349 
𝑈𝑈350 = 277378 
 
 
Figura 4 - Perfil de Tensão na Linha Sem Compensação. 
 
20 
 
Após realizarmos as compensações: 
Uma em derivação → Uma em série → Uma em Derivação 
Obtemos os valores de tensão 
𝑈𝑈1𝐿𝐿 = 282391 𝑈𝑈420 = 124943 
𝑈𝑈70 = 296510 𝑈𝑈490 = 190444 
𝑈𝑈140 = 261554 𝑈𝑈560 = 260081 
𝑈𝑈210 = 208136 𝑈𝑈630 = 318833 
𝑈𝑈280 = 146240 𝑈𝑈700 = 296510 
𝑈𝑈350 = 102933 
 
A Figura 5 ilustra o novo perfil de tensão para a rede compensada: 
Figura 5 - Perfil da Tensão para Linha Compensada. 
21 
 
 Os cálculos efetuados em todos os processos deste trabalho foram realizados 
com o auxílio da calculadora Texas Nspire Cx Cas e serão detalhados a seguir: 
 
22 
 
23 
 
24 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
2.4 Simulações Computacionais 
A fim de compreendermos melhor o funcionamento da linha de transmissão em 
análise operando sob diferentes situações, utilizamos o software PSIM almejando 
validar alguns dados apresentados e calculados nos tópicos anteriormente descritos 
neste artigo. 
Todas as simulações apresentadas foram realizadas durante um intervalo de 0.1 
segundo com passo de integração correspondente à 10 µs; um passo de integração bem 
razoável em termos de precisão e tempo de simulação. 
A Figura 6 nos mostra o esquemático pioneiro desenvolvido com o objetivo de, 
primeiramente, evidenciarmos o comportamento da linha operando à vazio sem 
qualquer tipo de compensação instalado. 
Figura 6 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão sem compensação. 
27 
 
A Figura 7 nos mostra, claramente, o fenômeno que apresentamos no Capítulo 1 
conhecido como Efeito Ferranti. Podemos evidenciar que a tensão de saída, 
representada pela curva em azul, está demasiadamente superior à curva em vermelho, 
que está representando a tensão de transmissor da nossa linha. 
Figura 7 - Evidência do Efeito Ferranti. 
As constantes utilizadas para os parâmetros apresentados na Figura 6 foram 
demonstrados na sessão 2.2 deste artigo. 
A Figura 8 nos mostra o esquemático utilizado após os cálculos realizados para a 
instalação de reatores nas extremidades da linha com o objetivo de efetuar uma 
compensação em derivação. 
 
 
28 
 
Figura 8 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão e compensação em derivação. 
A Figura 9 já nos evidencia um considerável desenvolvimento na curva em azul, 
representando a tensão de receptor à vazio na linha de transmissão. 
Figura 9 - Efeito da compensação em derivação. 
Podemos notar que os picos de sobretensão à vazio decaíram consideravelmente 
após este tipo de compensação. 
29 
 
A próxima compensação desenvolvida encontra-se apresentada na Figura 10. 
Neste esquemático podemos visualizar a compensação em derivação, devido aos 
reatores presentes no início e no término da linha, além da compensação em série, 
obtida através da instalação de capacitores, também, em ambas as extremidades da linha 
de transmissão. 
Figura 10 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão e compensação em série e em derivação. 
A Figura 11 nos mostra o resultado da compensação em derivação 
simultaneamente com a compensação série. Evidenciamos uma flutuação na tensão do 
transmissor da linha de transmissão além de uma queda acentuada da sobretensão do 
receptor à vazio. 
Figura 11 - Flutuação da tensão de transmissor e diminuição acentuada da sobretensão de receptor à vazio. 
30 
 
Por fim, simulamos a topologia desenvolvendo dois arranjos de compensação 
em derivação e apenas uma compensação série. Isto pode ser observado na Figura 12. 
Figura 12 - Linha de Transmissão com 700 km de extensão e duas compensações em derivação e uma em série. 
Com as formas de onda apresentadas na Figura 13, podemos perceber que a 
flutuação por parte do transmissor continua com àquela apresentada na simulação 
anterior, entretanto, agora podemos evidenciar um casamento quase perfeito entre as 
curvas de tensão de transmissor e receptor. 
Figura 13 - Simulação após duas compensações em derivação e uma compensação série. 
 
31 
 
Finalmente, apresentamos na Figura 14 todas as formas de onda da corrente de 
transmissor para os quatro casos simulados anteriormente. 
Figura 14 - Comparação entre as formas de onda das correntes de transmissor. 
Podemos verificar a partir dos dados acima que os picos de corrente decresceram 
consideravelmente de acordo com as compensações realizadas iterativamente, como era 
o esperado, vide os cálculos apresentados na sessão anterior. 
 
 
 
 
 
32 
 
Capítulo 3 
Conclusão 
O artigo abordou diferentes formas para a realização da compensação em uma 
linha de transmissão. Efetivamente, verificamos e compreendemos melhor a 
consequência do efeito de sobretensão quando estamos diante de uma operação à vazio, 
assim como o comportamento das correntes antes e após as compensações e o ângulo de 
potência visto pela carga. 
Observou-se que alguns arranjos cumpriram o esperado, outros em parte e 
alguns não se mostram satisfatórios para nenhuma situação proposta para o estudo. 
Verificamos também a validade da parametrização de uma linha de transmissão 
longa através de modelos equivalentes, utilizando-se quadripolos com as simplificações 
adequadas. 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Referências 
[1] J. W. Resende, “Introdução a Compensação Reativa”, Apostila da Disciplina Cargas 
Elétricas não Convencionais na Rede Elétrica, UFU. 
[2] A. Monitcelli, A. Garcia, “Introdução a Sistemas de Energia Elétrica”, Editora da 
UNICAMP. São Paulo, 251p, 1999. 
[3] R. D. Fuchs, “Transmissão de Energia Elétrica”, Livros Técnicos e Científicos 
Editora, Rio de Janeiro, 1979. 
[4] Famat – revista 10, artigo 11: “raiz de matriz” 
34