Slides aula 4 Análise Matemática AV04 Matematica Analise matematica

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1
Prof.ª Ana Cristina Munaretto
Aula 4
Análise Matemática
ࢄ ⊂ Թ, ࢌ:ࢄ → Թ e ࢞૙ ∈
ࢄ′ ∩ ࢄ
ࢌᇱ ࢞૙ ൌ lim࢞→࢞૙
ࢌ ࢞ െ ࢌሺ࢞૙ሻ
࢞ െ ࢞૙
(quando este limite existir)
Derivadas
ࢌ ࢞ ൌ ࢞૛, ࢞૙ ൌ ૚
lim࢞→૚
ࢌ ࢞ െ ࢌሺ૚ሻ
࢞ െ ૚ ൌ
lim࢞→૚
࢞૛ െ ૚
࢞ െ ૚ ൌ
lim࢞→૚ ࢞ ൅ ૚ ൌ ૛
ࢌᇱ ૚ ൌ ૛
࢟ െ ࢟૙ ൌ ࢓ሺ࢞ െ ࢞૙ሻ
ࢌ ࢞ ൌ ࢞૛, ࢞૙ ൌ ૚
࢟૙ ൌ ࢌ ࢞૙ ൌ ࢌ ૚ ൌ ૚
࢟ െ ૚ ൌ ૛ ࢞ െ ૚
࢟ ൌ ૛࢞ െ ૚
Reta tangente
ࢌᇱ ࢞૙ ൌ lim࢞→࢞૙
ࢌ ࢞ െ ࢌሺ࢞૙ሻ
࢞ െ ࢞૙
ࢎ ൌ ࢞ െ ࢞૙
࢞ → ࢞૙ ⇒ ࢎ → ૙
ࢌᇱ ࢞૙ ൌ limࢎ→૙
ࢌ ࢞૙ ൅ ࢎ െ ࢌሺ࢞૙ሻ
ࢎ
2
ࢌ ࢞ ൌ ࢞૛
ࢌᇱ ࢞ ൌ limࢎ→૙
ࢌ ࢞ ൅ ࢎ െ ࢌሺ࢞ሻ
ࢎ
limࢎ→૙
ሺ࢞ ൅ ࢎሻ૛െ࢞૛
ࢎ ൌ
limࢎ→૙
࢞૛ ൅ ૛࢞ࢎ ൅ ࢎ૛ െ ࢞૛
ࢎ ൌ
limࢎ→૙
૛࢞ࢎ ൅ ࢎ૛
ࢎ ൌ
limࢎ→૙૛࢞ ൅ ࢎ ൌ ૛࢞
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૛࢞
Se existem uma função 
࢘:ࡰ ࢌ → Թ e ࢉ ∈ ࡾ, tais 
que:
limࢎ→૙
࢘ ࢎ
ࢎ ൌ ૙
ࢌ ࢇ ൅ ࢎ ൌ ࢌ ࢇ ൅ ࢉࢎ ൅ 	࢘ ࢎ
⇒ ࢌᇱ ࢇ ൌ ࢉ
Alternativamente
Se ࢌ é derivável no 
ponto ࢇ, então ࢌ é 
contínua em ࢇ
Contínua x derivável
Demonstração
ࢌ derivável no ponto ࢇ
ࢌ ࢇ ൅ ࢎ ൌ ࢌ ࢇ ൅ ࢌᇱ ࢇ . ࢎ ൅
൅࢘ሺࢎሻࢎ . ࢎ
limࢎ→૙ ࢌሺࢇ ൅ ࢎሻ ൌ ࢌሺࢇሻ
⇒ ࢌ contínua em ࢇ
݂’ା ࢇ ൌ limࢎ	→૙శ
ࢌ ࢇ ൅ ࢎ െ ࢌ ࢇ
ࢎ
݂’ି ࢇ ൌ limࢎ	→૙ష
ࢌ ࢇ ൅ ࢎ െ ࢌ ࢇ
ࢎ
Derivadas laterais
3
ࢌ ࢞ ൌ ቊ࢞૛ ൅ ૛, ࢞ ൑ ૚െ࢞ ൅ ૝ ࢞ ൐ ૚
À direita:
lim࢞→૚శ
ࢌ ࢞ െ ࢌሺ૚ሻ
࢞ െ ૚ ൌ
lim࢞→૚శ
െ࢞ ൅ ૝ െ ૜
࢞ െ ૚ ൌ
lim࢞→૚శ
െ࢞ ൅ ૚
࢞ െ ૚ ൌ െ૚
À esquerda:
limࢎ→૙ష
ࢌ ૚ ൅ ࢎ െ ࢌሺ૚ሻ
ࢎ ൌ
limࢎ→૙ష
ሺ૚ ൅ ࢎሻ૛൅૛ െ ૜
ࢎ ൌ
lim௛→଴ష
૛ࢎ ൅ ࢎ૛
ࢎ ൌ
limࢎ→૙ష ૛ ൅ ࢎ ൌ ૛
Atividade de 
aprendizagem 1
Mostre que a função 
ࢌ:Թ	 → Թ	dada por:
ࢌ ࢞ ൌ ቐ
࢞
૛ ൅ ૚, ࢙ࢋ	࢞ ൑ ૛
૛࢞, ࢙ࢋ	࢞ ൐ ૛
é derivável no ponto 2
Exemplo
ࢌ ࢞ ൌ ࢞૛ ൅ ࢋ࢞
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૛࢞ ൅ ࢋ࢞
Operações com derivadas
4
ࢌ ࢞ ൌ ࢞૛. ࢋ࢞
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૛࢞. ࢋ࢞ ൅ ࢞૛. ࢋ࢞
ࢌᇱ ࢞ ൌ ࢋ࢞ሺ૛࢞ ൅ ࢞૛ሻ
ࢌ ࢞ ൌ ࢋ
࢞
࢞૛
ࢌᇱ ࢞ ൌ ࢋ
࢞. ࢞૛ െ ૛࢞ࢋ࢞
ሺ࢞૛ሻ૛
ࢌ´ ࢞ ൌ ࢋ
࢞ሺ࢞૛ െ ૛࢞ሻ
࢞૝
ࢌ ࢞ ൌ ࢎ ࢍ ࢞
ࢌ, ࢍ –deriváveis
⇒ ࢌᇱ ࢞ ൌ ࢎᇱ ࢍ ࢞ . ࢍ′ሺ࢞ሻ
Regra da cadeia Exemplos:
ࢌ ࢞ ൌ cos 2ݔଷ ൅ ݔ
ࢌᇱ ࢞ ൌ െ sin 2ݔଷ ൅ ݔ . ሺ૟࢞૛ ൅ ૚ሻ
ࢍ ࢞ ൌ lnሺ૛࢞ ൅ ૚ሻ
ࢍ′ ࢞ ൌ ૚૛࢞ ൅ ૚ . ૛
ࢍ′ ࢞ ൌ ૛૛࢞ ൅ ૚
ࢌ, ࢍ deriváveis, ࢌ ࢇ ൌ ࢍ ࢇ ൌ ૙
lim࢞→ࢇ
ࢌሺ࢞ሻ
ࢍሺ࢞ሻ
Se ࢍ′ሺࢇሻ ് ૙, então,
lim࢞→ࢇ
ࢌሺ࢞ሻ
ࢍሺ࢞ሻ ൌ lim࢞→ࢇ
ࢌ′ሺࢇሻ
ࢍ′ሺࢇሻ
Regra de L’Hôspital 1 Exemplos:
lim࢞→૚
ln ࢞
࢞ െ ૚ ൌ lim࢞→૚
૚ ࢞ൗ
૚ ൌ ૚
lim࢞→૛
࢞૛ െ ࢞ െ ૛
૜࢞૛ െ ૞࢞ െ ૛ ൌ
lim࢞→૛
૛࢞ െ ૚
૟࢞ െ ૞ ൌ
૜
ૠ
5
lim࢞→૙
࢞ െ sin ࢞
࢞૜ ൌ
lim࢞→૙
૚ െ cos ࢞
૜࢞૛ ൌ
lim࢞→૙
sin ࢞
૟࢞ ൌ
lim࢞→૙
cos ࢞
૟ ൌ
૚
૟
ࢌ, ࢍ deriváveis,
lim࢞→ࢇ ࢌሺ࢞ሻ ൌ lim࢞→ࢇࢍሺ࢞ሻ ൌ ∞
Se ࢍ′ሺࢇሻ ് ૙, então,
lim࢞→ࢇ
ࢌሺ࢞ሻ
ࢍሺ࢞ሻ ൌ lim࢞→ࢇ
ࢌ′ሺࢇሻ
ࢍ′ሺࢇሻ
Regra de L’Hôspital 2
Exemplo
lim࢞→ஶ
ࢋ࢞
࢞૛ ൌ
lim࢞→ஶ
ࢋ࢞
૛࢞ ൌ
lim࢞→ஶ
ࢋ࢞
૛ ൌ ∞
Aplicação:
Suponha que ࢌ ૙ ൌ
െ ૜ e ࢌ′ሺ࢞ሻ ൑ ૞ para 
todo ࢞
Qual o maior valor 
que ࢌሺ૛ሻ pode 
assumir?
Teorema do valor médio
ࢌ é contínua
Vamos aplicar o TVM no intervalo 
૙, ૛ :
∃ࢉ ∈ ሺ૙, ૛ሻ, tal que: 
ࢌᇱ ࢉ ൌ ࢌ ૛ െ ࢌሺ૙ሻ૛ െ ૙
૛ࢌᇱ ࢉ ൌ ࢌ ૛ െ ሺെ૜ሻ
ࢌ ૛ ൌ ૛ࢌᇱ ࢉ െ ૜
ࢌ ૛ ൑ ૛. ૞ െ ૜ ൌ ૠ
ࢌሺ૛ሻ ൑ ૠ
Pontos críticos
Valores de máximo 
e mínimo
Crescimento e 
decrescimento
Concavidade
Aplicações da derivada
6
ࢌ ࢞ ൌ ૜࢞૝ െ ૚૟࢞૜ ൅ ૚ૡ࢞૛
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૚૛࢞૜ െ ૝ૡ࢞૛ ൅ ૜૟࢞
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૚૛࢞ሺ࢞૛ െ ૝࢞ ൅ ૜ሻ
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૙ ⇔ ቐ
࢞ ൌ ૙
࢞ ൌ ૚
࢞ ൌ ૜
ࢌ ૙ ൌ ૙
ࢌ ૚ ൌ ૞
ࢌ ૜ ൌ െ૛ૠ
Exemplo ૚૛࢞
࢞૛ െ ૝࢞ ൅ ૜
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૚૛࢞ሺ࢞૛ െ ૝࢞ ൅ ૜ሻ
൅૚ ૜൅ െ
૙െ ൅
ሺെ∞, ૙ሻ ∪ ሺ૚, ૜ሻ
ࢌᇱ ࢞ ൏ ૙
⇒ ࢌ é decrescente
ሺ૙, ૚ሻ ∪ ሺ૜,∞ሻ
ࢌᇱ ࢞ ൐ ૙
⇒ ࢌ é crescente
ࢌᇱ ࢞ ൌ ૚૛࢞૜ െ ૝ૡ࢞૛ ൅ ૜૟࢞
ࢌᇱᇱ ࢞ ൌ ૜૟࢞૛ െ ૢ૟࢞ ൅ ૜૟
ࢌᇱᇱ ࢞ ൌ ૚૛ሺ૜࢞૛ െ ૡ࢞ ൅ ૜ሻ
ࢌᇱᇱ ࢞ ൌ ૙ ⇔
࢞ ൌ ૝ ൅ ૠ૜
࢞ ൌ ૝ െ ૠ૜
൅
૝ െ ૠ
૜
૝ ൅ ૠ
૜
൅ െ
െ∞, ૝ି ૠ૜ ∪
૝ା ૠ
૜ ,∞
ࢌᇱᇱ ࢞ ൐ ૙
⇒ ࢌ é côncava para cima
૝ି ૠ
૜ ,
૝ା ૠ
૜
ࢌᇱᇱ ࢞ ൏ ૙
⇒ ࢌ é côncava para 
baixo ࢌ ࢞ ൌ ૜࢞૝ െ ૚૟࢞૜ ൅ ૚ૡ࢞૛
7
Finalizando
Definição e 
caracterização
Derivadas laterais 
Operações
Regra da cadeia
Teorema do valor 
médio
A forma do gráfico 
Referências
Ávila, G. Introdução à 
Análise. São Paulo: 
Ed. Blutcher
Guidorizzi, H. L. Um 
Curso de Cálculo, v. I
Lima, E. L. Curso de 
Análise, v. I. Rio de 
Janeiro: IMPA