Dimensionamento- Rosca sem-fim/Coroa

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Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 1 
Transmissões de parafuso sem-fim -coroa 
 
1 - Informações gerais 
 
 A transmissão de parafuso sem-fim/coroa (figura 1) é constituida pelo parafuso sem-fim 
1, ou seja, uma rosca com perfil trapezoidal (ou similar) e pela coroa 2 (ou roda-coroa), que é 
uma roda dentada com dentes helicoidais (inclinados), obtida por conjugação mútua com os 
filetes do parafuso. 
 A transmissão de parafuso sem-fim/coroa faz parte das transmissões dentadas-roscadas 
tendo características tanto de transmissões dentadas como de transmissões roscadas. As 
transmissões de parafuso sem-fim/coroa diferenciam-se das transmissões com dentes helicoidais 
de eixos cruzados visto que estas, no momento inicial, têm contacto pontual, enquanto que as 
transmissões de parafuso sem-fim/coroa têm contacto linear. 
 
 Figura 1: Transmissão de parafuso sem-fim/coroa 
 
 Na secção axial os dentes da roda-coroa têm a forma de um arco. Isto permite o 
aligeiramento do corpo do parafuso sem-fim e o aumento do comprimento da linha de contacto 
entre os dentes da coroa e os filetes do parafuso sem-fim. 
 
 A invenção do parafuso sem-fim é atribuida a Arquímedes. 
 
 As vantagens das transmissões de parafuso sem-fim/coroa são: 
a) possibilidade de obtenção de grandes relações de transmissão (compacidade); 
b) suavidade e ausência de ruído durante o funcionamento; 
c) possibilidade de deslocamentos reduzidos e precisos (por exemplo, em mecanismos 
divisores); 
d) transmissão de movimento entre eixos cruzados; 
e) possibilidade de garantir irreversibilidade do movimento (auto-frenagem) 
 Desvantagens: 
a) baixo rendimento (comparativamente a outros tipos de transmissões); 
b) frequente necessidade de utilização de materiais anti-fricção de alto custo para o 
fabrico da roda-coroa; 
 
 As transmissões de parafuso sem-fim/coroa utilizam-se quando é necessário diminuir a 
velocidade e a transmissão do movimento é feita entre veios cruzados (na maioria dos casos com 
veios perpendiculares). O grau de utilização das transmissões de parafuso sem-fim/coroa 
 
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corresponde a cerca de 10% do das transmissões por engrenamento. Segundo o número de 
unidades, a produção de redutores de parafuso sem-fim/coroa corresponde a cerca de metade da 
produção de redutores, em geral. 
 Em geral, as transmissões de parafuso sem-fim/coroa utilizam-se nos transportadores, 
máquinas-ferramentas, automóveis, etc. 
 A relação de transmissão "i" das transmissões de parafuso sem-fim/coroa define-se de 
acordo com uma condição segundo a qual em cada volta do parafuso sem-fim a roda-coroa gira 
num ângulo correspondente a uma quantidade de dentes igual ao número de filetes do parafuso 
sem-fim, podendo ser analiticamente expressa por: 
2
1
1
2
2
1
2
1
θ
θ
ω
ω
====
z
z
n
ni (psf 1) 
onde: 
ω1 – é a velocidade angular do parafuso sem-fim; 
ω2 – é a velocidade angular da roda-coroa; 
n1 - é a frequência de rotação do parafuso sem-fim; 
n2 - é a frequência de rotação da roda-coroa; 
z1 - é o número de entradas (filetes) da rosca do parafuso sem-fim; 
z2 - é o número de dentes da roda-coroa 
θ1 – é o deslocamento angular do parafuso sem-fim (em voltas ou radianos ou graus); 
θ2 – é o deslocamento angular da roda-coroa; 
 
Embora o aspecto da fórmula para a relação de transmissão seja similar ao das 
transmissões por engrenagens cilíndricas e cónicas, nas transmissões por parafuso sem-fim/coroa 
os eixos são perpendiculares e não são concorrentes. Por isso, os vectores de velocidades nos 
pontos de engrenamento não são paralelos, o que implica que as velocidades dos pontos do 
elemento motor e elemento movido que estão em contacto são notoriamente distintas, ou seja, há 
deslizamento. Analiticamente, pode-se explicar este deslizamento como resultado da condição: 
 
21 vv
��
≠ 
 
Assim sendo, a relação de transmissão não depende dos diâmetros do parafuso sem fim e 
da roda-coroa. De facto, diferentemente das outras transmissões por engrenagens em que se pode 
escrever d1 = m⋅z1, o diâmetro do parafuso sem-fim não é expresso como função directa do 
número de filetes. Em vez do número de entradas, a relação entre o diâmetro e o módulo é o 
“coeficiente de diâmetro”. A transmissão de parafuso sem-fim mais vulgar e com maior campo 
de utilização é a transmissão de parafuso sem-fim com parafuso cilíndrico, mas há outras 
construções. 
 
Parâmetros principais das transmissões de parafuso sem-fim/coroa com parafuso cilíndrico 
 
 Devido ao baixo rendimento, as transmissões de parafuso sem-fim/coroa utilizam-se para 
potências pequenas e médias: até 200 kW. Vulgarmente usam-se até 50...60 kW, transmitindo 
torques até 5·105 N·m. A relação de transmissão varia, geralmente, entre 8 e 63...80. Porém, em 
alguns casos (como, por exemplo, no accionamento de mesas de grandes diâmetros nas 
máquinas-ferramentas), a relação de transmissão pode ir até 1000. 
 Tal como nas transmissões por rodas dentadas cilíndricas, os módulos, distâncias 
interaxiais e relações de transmissão são normalizados. As relações de transmissão normalizadas 
são: 
 
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Série 1: 8; 10; 12,5; 16; 20; 25; 31,5; 40; 50; 63; 80. 
Série 2: 9; 11,2; 14; 18; 22,4; 28; 35,5; 45; 56; 71. 
 
 Os valores reais das relações de transmissão não devem ser superiores aos normalizados 
em mais de 4%. Os valores normalizados dos módulos "m" são, em milímetros: 
 
1; 1,25; 1,6; 2; 2,5; 3,15; 4; 5; 6,3; 8; 10; 12,5; 16; 20; 25. 
 
Também são admissíveis os seguintes valores: 
 
1,5; 3; 3,5; 6; 7; 12 e 14. 
 
As distância interaxiais normalizadas "aw" são: 
 
Série 1: 40; 50; 63; 80; 100; 125; 160; 200; 250; 315; 400; 500. 
Série 2: 140; 180; 225; 280; 355; 450 
 
 
2. - Geometria das transmissões de parafuso sem-fim cilíndrico sem 
deslocamento do perfil do parafuso sem-fim 
 
 Os cálculos geométricos das transmissões de parafuso sem-fim/coroa são análogos aos 
cálculos de transmissões por engrenagens. De início considerar-se-á a engrenagem sem 
deslocamento do parafuso sem-fim. 
 
 Parafuso sem-fim 
 
 As transmissões de parafuso sem-fim podem ser distinguidas 
segundo a forma da peça inicial, i.e., do parafuso sem-fim, podendo ser 
cilíndricas [(figura 2 a)] ou globoidais [com roda-coroa tórica – figura 2 
b)]. Segundo a forma do perfil dos filetes existem parafusos sem-fim 
dos seguinte tipos: de Arquímedes, de convolução, de evolvente e de 
perfil côncavo. 
Fig. 2: Formas do parafuso 
 A ferramenta utilizada para o fabrico da roda-coroa é análoga a um parafuso sem-fim. O 
perfil dos dentes da roda-coroa é obtido automaticamente, por envolvimento. Por esta razão, o 
perfil do parafuso sem-fim pode ser variado. A escolha do perfil faz-se atendendo às vantagens 
tecnológicas. 
 
 Parafuso sem-fim de Arquímedes (tipo ZA) (figuras 3 a e 1.37) - Tem a aspecto de uma 
hélice na qual a configuração do perfil (trapézio) na secção axial do parafuso é rectilínea. O 
ângulo do trapézio simétrico é definido pelo ângulo de pressão axial αx. Na secção transversal do 
parafuso, os filetes têm a forma de uma espiral de Arquímedes. Estes parafusos sem-fim são 
simples de fabricar, se não forem submetidos à rectificação. Podem ser produzidos por 
torneamento com uma ferramenta de corte simples (figura 1.38), para ângulos de subida da 
hélice entre 10 e 15º. Por isso, têm vasta utilização em transmissões de baixa velocidade e pouco 
sobrecarregadas. Para a rectificação dos parafusos sem-fim de Arquímedes é necessária uma mó 
de configuração complexa, na sua secção axial. Estefactor limita a sua utilização. 
 
 
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Figura 1.37: Parafuso sem-fim de Arquímedes Fig. 1.38: Torneamento do perfil ZA 
 
 Parafuso sem-fim de convolução ou parafuso sem-fim com flancos rectos na secção 
normal (tipo ZN) (figura 1.39) - É um parafuso sem-fim com perfil rectilíneo na secção normal 
ao eixo de simetria do filete. Na secção transversal do parafuso sem-fim, as espiras têm a forma 
de uma evolvente alongada ou curta. Estes parafusos sem-fim têm certas vantagens tecnológicas 
em comparação com os de Arquímedes. Para cortar os filetes do parafuso sem-fim do tipo ZN, a 
ferramenta de corte é inclinada relativamente ao eixo do parafuso sem-fim num ângulo igual ao 
ângulo de subida da hélice (fig. 1.39). Ao executarem-se as roscas com ferramentas de corte 
duplo (no perfil da ranhura) os ângulos de corte são iguais em ambos os lados. 
 
Figura 1.39: Perfil do parafuso sem-fim de convolução (ZN) e sua produção 
 
 Se a rectificação dos parafusos sem-fim com perfil de convolução for feita com um disco 
cónico (figura 4.4.27 – b)) com geratriz rectilínea numa rectificadora vulgar, geram-se 
 
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superfícies laterais não raiadas e isto causa uma pequena alteração no perfil inicial, para uma 
forma ligeiramente abaulada. As fresas (com forma de um parafuso) para a obtenção das rodas 
coroas rectificam-se do mesmo modo que os parafusos sem-fim e por isso o engrenamento com o 
parafuso sem-fim é perfeito. A abertura de roscas do parafuso sem-fim não raiado, antes da 
rectificação por um disco cónico, pode ser executada com uma fresagem prévia através de uma 
fresa de disco plana. 
 
Figura 4.4.27b: Rectificação do perfil ZN, com ligeira alteração da forma 
 
 A rectificação dos parafusos sem-fim dos tipos ZA e ZN é considerada complexa. 
 
 Parafusos sem-fim não raiados ou parafusos sem-fim com flancos abaulados (tipo ZK) 
(figura 1.40) - Estes parafusos são fabricados com uma ferramenta cortante (fresa) que tem a 
forma de um disco, podendo ser rectificado com uma mó de perfil similar. O eixo de rotação da 
ferramenta é inclinado em relação ao eixo do parafuso no valor do ângulo de subida da hélice. O 
perfil normal da hélice assim gerada é ligeiramente côncavo e esta concavidade é tanto maior 
quanto maior for o diâmetro da ferramenta cortante. 
 
Figura 1.40: Fresagem e rectificação do perfil do parafuso sem-fim com flancos abaulados (ZK) 
 
 Parafusos sem-fim de evolvente ou parafusos sem-fim com flancos em helicóide 
planificável (tipo ZI) (figura 1.41) - Têm a forma de uma roda dentada com dentes oblíquos com 
um pequeno número de dentes e grande ângulo de inclinação. O perfil do dente na secção 
transversal é descrito por uma evolvente. A superfície evolvente tem perfil rectilíneo no plano 
secante tangente ao cilindro primitivo do parafuso. Por isso, os parafusos sem-fim de evolvente 
podem ser rectificados pela parte plana da mó rectificadora [figura 1.41 b)]. É conveniente 
 
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fabricar os parafusos a ser rectificados com a forma de evolvente. Os parafusos sem-fim de 
evolvente podem ser produzidos por torneamento, desde que a ferramenta cortante seja 
posicionada convenientemente [(figura 1.41 a)]. 
 
 a) b) 
Figura 1.41: Perfil do parafuso sem-fim de evolvente (ZI) e sua produção 
 
 
 As transmissões de parafuso sem-fim possuem as seguintes designações: 
 - de Arquímedes - ZA; 
 - de convolução - ZN; 
 - não raiados, executados com um disco cónico rectificador - ZK; 
 - de evolvente - ZI; 
 - com perfil côncavo do parafuso sem-fim - ZT. 
 
Figura 138: Comparação das posições de ferrmentas para o torneamento dos perfis ZA, ZN e ZI 
 
 De acordo com as normas o ângulo do perfil é de 20º. Nos parafusos sem-fim de 
Arquímedes (figura 1.37) - este ângulo é medido na secção axial e é αx; nos de perfil de 
convolução (figura 1.39) é medido na secção normal e é αn; nos de evolvente tal como nas rodas 
dentadas com dentes oblíquos é medido na secção normal da cremalheira de dentes oblíquos, que 
engrena com o parafuso sem-fim; nos não raiados é o ângulo do perfil da superfície cónica 
produzida. 
 
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 A distância entre pontos homólogos correspondentes às partes laterais de duas espiras 
contíguas, medida paralelamente ao eixo chama-se "passo calculado" e designa-se por "p" (figura 
196). A relação p/pi chama-se "módulo" e designa-se por "m" e é um parâmetro normalizado 
(§1). Para os parafusos sem-fim o módulo é axial e para as rodas-coroas é transversal 
(circunferencial). Os valores numéricos do passo e do módulo são comuns ao parafuso sem-fim e 
à roda coroa, sobre os diâmetro primitivos. 
 
Fig. 196 – Parâmetros geométricos de um parafuso sem-fim 
 
A roda-coroa é talhada por fresas sem-fim cujas arestas cortantes, ao girarem, formam 
trajectórias idênticas às das espiras de um parafuso sem-fim. Como forma de reduzir a 
diversidade de ferramentas cortantes, a razão entre o diâmetro e o módulo do parafuso sem-fim, 
com a designação “coeficiente de diâmetro”, também é um parâmetro normalizado: 
 
q
d
m
=
1
 (psf 2) 
 
 O coeficiente de diâmetro q é o número de módulos que cabem no diâmetro primitivo do 
parafuso sem-fim. O seu sentido físico é muito próximo ao do número de dentes de uma 
engrenagem e é manipulado aritmeticamente com este (e.g., fórmulas psf 3 e psf 10), mas é 
diferente. 
 O diâmetro primitivo de referência (ou de corte) do parafuso sem-fim (figura 3 ou 196) é 
d1 = q⋅m, onde q é escolhido de tabelas, em função do módulo m: 
 
 m 2 2,5 3.15 4 5 6,3 8 10 12,5 
 q 8* 10 12,5** 16 20 
* - excepto m = 2; 
** - excepto m =2,5 
 
 Recomenda-se a escolha de q ≥ 0,25⋅z2 (com q = 0,25⋅z2 tem-se d1 ≈0,4⋅aw , onde aw é a 
distância interaxial); com a diminuição o aumento de q diminui o rendimento da transmissão 
(devido à redução do ângulo de subida da hélice γ) mas,; por outro lado, com a redução de q 
diminui a rigidez à flexão do parafuso sem-fim. Para transmissões de carga também se usam as 
recomendações: q = (0,22...0,4)⋅z2. O valor mínimo admissível de q é qmin = 0,212⋅z2. 
 O diâmetro primitivo de funcionamento dw1 do parafuso sem-fim sem deslocamento do 
perfil é igual ao diâmetro primitivo de referência d1. 
 
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 O número de entradas do parafuso sem-fim z1 escolhe-se em função da relação de 
transmissão i. Segundo normas, z1 é igual a: 
 
z1 Recomendação 
1 para i ≥ 30 
2 para i = 15…30 
4 para i = 8…15 
 
Para transmissões de grande potência recomenda-se a fabricação de parafusos de mais de 
uma entrada, para minimizar as perdas causadas pelo baixo rendimento e aquecimento excessivo 
dos parafusos com uma entrada. 
 O ângulo de elevação da linha do filete γ do parafuso sem-fim sobre o diâmetro 
primitivo de referência (ângulo de elevação primitivo ) pode ser determinado por: 
 
q
z
qm
zm
d
zm
d
zp
d
p
tg z 11
1
1
1
1
1
1
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
pipi
γ
 (psf 3) 
 
onde pz1 = p⋅z1 - é o avanço da rosca (ou da espira); 
 p - é o passo da rosca 
 
As alturas da cabeça e do pé dos filetes (das espiras) são definidas por: 
 
 
;; *11
*
11 mhhmhh ffaa ⋅=⋅= (psf 4) 
 
 onde o coeficiente de altura da cabeça é ha1* =1 e o coeficiente de altura do pé é h f 1
*
 = 1,2 
para os parafusos sem-fimde Arquímedes, de convolução e não raiados; para os parafusos sem-
fim de evolvente h f 1
*
 = 1 + 0,2⋅Y. (Y é a compensação do deslocamento, ao qual se dará o valor 
1, na presente abordagem) 
 Os diâmetros de crista (externo ou de cabeça) da1 e de raiz (ou de fundo) df1 são dados 
por: 
 
 da1 = d1 + 2⋅ha1 e df1 = d1 - 2⋅hf1 (psf 5) 
 
 O comprimento b1 da parte roscada do parafuso sem-fim escolhe-se em função do 
número de dentes da roda-coroa z2 (para parafuso sem deslocamento): 
 
 b1 ≥ (c1 + c2⋅z2)⋅m (psf 6) 
 
para z1 = 1 ou 2: c1 = 11; c2 = 0,06; 
para z1 = 4: c1 = 12,5; c2 = 0,09; 
 
 Para os parafusos sem-fim fresados e rectificados o comprimento b1 deve ser aumentado 
em 25 mm para módulo m < 10 mm, em 35…40 mm para módulo m = 10…16 mm, e em 50 mm 
para módulo m > 16 mm. Esta medida deve-se à deformação do perfil do filete nas zonas de 
entrada e saída da ferramenta. 
 Quando o surgimento de folga no engrenamento entre o parafuso sem-fim e a coroa é 
intolerável o parafuso sem-fim é fabricado com espiras de espessura variável e a regulação da 
 
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folga é feita por meio do deslocamento axial do parafuso sem-fim ou utiliza-se uma construção 
em que a roda-coroa é accionada a partir de dois parafusos sem-fim apertados entre si. 
 
Roda-coroa 
 
O número mínimo de dentes da roda-coroa z2min nas transmissões cinemáticas auxiliares que têm 
um parafuso sem-fim de uma entrada é z2min = 17…18; nas transmissões sobrecarregadas z2min = 
26…28. Para as transmissões sobrecarregadas o número óptimo é z2opt = 32…63 (não mais que 
80). Nos accionamentos de mesa de grande diâmetro z2 atinge 200…300, e em casos particulares 
chega a 1000. Para casos vulgares recomenda-se z2min = 28. É importante notar que quanto 
maior for z2 maior deverá ser o coeficiente de diâmetro pois uma roda-coroa maior implica uma 
maior distância entre os apoios do parafuso sem-fim, ou seja, implica a redução da rigidez do 
parafuso sem-fim. 
 
Fig. 9.5 – Parâmetros geométricos da roda coroa 
 
 O diâmetro primitivo de referência coincide com o diâmetro primitivo de funcionamento 
(recorde-se que x = 0): 
 
d2 = m⋅z2 (psf 7) 
 
Os diâmetros externo da2 e interno df2 na secção média da coroa, em transmissões sem 
deslocamento do parafuso sem-fim, são: 
 
 da2 = d2 + 2⋅ha2 e df2 = d2 - 2⋅hf2, respectivamente. 
 
 Nas transmissões em que o número de entradas do parafuso sem-fim é igual a 2 (ou mais) 
há mais eficiência no engrenamento do que nas transmissões em que o parafuso sem-fim tem 
apenas uma entrada. Por esta razão, o diâmetro externo e a largura da roda-coroa podem ser 
menores, para os mesmos valores de d2, da2, e m. O diâmetro máximo da roda-coroa calcula-se, 
então, pela fórmula: 
 
 
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 d d
m
zaM a2 2 1
6
2
≤ +
⋅
+
 ou medd aaM ⋅+≤ 22 (psf 8) 
onde: 
 e = 2 – para z1 = 1 
 e = 1,5 – para z1 = 2 
 e = 1 – para z1 = 4 
 
 A largura da roda-coroa b2 é: 
 
b2 ≤ 0,75⋅ da1 para z1 = 1 ou 2; 
b2 ≤ 0,67⋅ da1 para z1 = 4. 
 
Para o cálculo de resistência, o ângulo de abraçamento 2⋅δ é determinado pelos pontos de 
cruzamento da circunferência da1 - 0,5⋅m com as linhas de contorno da roda-coroa: 
 
 sen
b
d ma
δ =
− ⋅
2
1 0 5,
 ou seja δ =
− ⋅
�
�
�
�
�
�arcsen
b
d ma
2
1 0 5,
 (psf 9) 
 
 Quando conjugada com o parafuso sem-fim, a roda-coroa confere uma distância entre 
eixos também designada distância interaxial. Em geral, a distância interaxial duma transmissão 
designa-se aw e, para uma transmissão sem deslocamento, designa-se por a. Neste caso, é igual à 
soma das metades dos diâmetros primitivo de referência do parafuso sem-fim e da roda-coroa: 
 
 a
d d m
q z=
+
= ⋅ +1 2 22 2
( ) (psf 10) 
 
 
Fig. 4.4 – Parâmetros geométricos do par parafuso sem-fim/coroa 
 
 
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 Nas transmissões de parafuso sem-fim é necessário prever a possibilidade de regulação 
da posição axial da roda-coroa durante a montagem, de modo a fazer coincidir a secção 
transversal média da coroa com o plano axial do parafuso sem-fim. 
 
 
Precisão de fabricação 
 
Há 12 graus de precisão. Os graus 3, 4, 5 e 6 são recomendados para transmissões com altas 
exigências de precisão cinemática. Os graus 5, 6, 7, 8 e 9 são usados para transmissões de carga. 
Os fundamentos sobre a precisão das transmissões de parafuso sem-fim são similares aos das 
transmissões dentadas. 
 
Tabela 9.2 
Classe de 
precisão 
não 
inferior a 
Velocidade 
de 
deslizament
o vs, em m/s 
Tratamento Aplicações 
7ª ≤
 10 
Parafuso sem-fim temperado, 
rectificado e polido. Coroa 
maquinada com uma fresa de 
parafuso rectificada 
Transmissões com alta 
velocidade e baixo ruido, 
com grandes exigências nas 
dimensões de gabarito. 
8ª ≤ 5 
É permissível usar parafuso sem-fim 
com ≤ HB350, não rectificado. Roda 
coroa maquinada com uma fresa de 
parafuso rectificada. Recomenda-se 
rodagem sob carga. 
Transmissões com 
velocidades médias e 
exigências médias de 
precisão, dimensões de 
gabarito e ruido. 
9ª ≤ 2 
Parafuso sem-fim com ≤ HB 350, 
roda coroa maquinada por qualquer 
método. 
Transmissões com baixa 
velocidade e baixo ruido, 
com baixas exigências nas 
dimensões de gabarito, e com 
accionamento manual. 
 
 
3 .Transmissões de parafuso sem-fim cilíndrico com deslocamento do 
perfil do parafuso sem-fim 
 
 Em geral, o deslocamento (correcção) do perfil do parafuso sem-fim é feito com o 
objectivo de conferir distâncias interaxiais normalizadas. A utilização de distâncias interaxiais 
normalizadas é importante para redutores visto que facilita a estandardização dos órgãos dos 
corpos. 
 A distância interaxial é: 
 
 aw = a + m⋅x ou 
 (psf 11) 
 aw = 0,5⋅m (q+z2+2⋅x) 
 
 
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 O coeficiente de deslocamento do parafuso (da ferramenta, durante a fresagem da roda-
coroa) é: 
 
 
( )25,0 zq
m
a
m
aa
x ww +⋅−=
−
=
 (psf 12) 
 
Escolhe-se nos limites ±0,7 (em casos raros ±1,0). Empregam-se, de preferência, deslocamentos 
positivos, os quais permitem também o aumento da resistência dos dentes da roda-coroa. 
 A fresagem da roda-coroa para transmissões com deslocamento do parafuso sem-fim é 
feita pela mesma ferramenta que se usa para transmissões sem deslocamento. 
 Os parâmetros do parafuso sem-fim na transmissão com ou sem deslocamento são os 
mesmos, à excepção (notória) do comprimento da parte roscada do parafuso sem-fim (b1). Para 
além deste parâmetro, varia também um parâmetro de cálculo não cotado nos desenhos de 
fabricação: o diâmetro do cilindro primitivo (ou diâmetro primitivo) de funcionamento: 
 
 dw1 = m⋅(q+2⋅x) (psf 13) 
 
 O ângulo de elevação (ou subida) da linha dos filetes do parafuso sem-fim sobre o 
cilindro primitivo de funcionamento γw (ângulo de elevação primitivo) é dado por: 
 
 
xq
z
tg w
⋅+
=
2
1γ (psf 14) 
 
 Os coeficientes c1 e c2 para a definição do comprimento da parte roscada do parafuso 
sem-fim (fórmula psf 6). Dependem do número de entradas do parafuso sem-fim e do coeficiente 
de deslocamento x e estão dados na tabela a seguir. 
 
Número de Coeficiente de deslocamento 
Entradas x -1 -0,5 +0,5 +1 
z1 = 1 e c1 10,5 8 11 12 
 Z1 = 2 c2 1,0⋅(z1/z2) 0,06 0,1 0,1 
 
 z1 = 4 c1 10,5 9,5 12,5 13 
 
c2 1,0⋅(z1/z2)0,09 0,1 0,1 
 
Recorde-se que para parafusos sem deslocamento (psf 6): 
 
para z1 = 1 ou 2: c1 = 11; c2 = 0,06; 
para z1 = 4: c1 = 12,5; c2 = 0,09; 
 
 Na roda-coroa fresada com deslocamento da ferramenta todos os parâmetros são 
diferentes dos da roda-coroa fresada sem deslocamento, exceptuando o diâmetro primitivo de 
referência. Os diâmetros interno e externo dos dentes na secção média da roda-coroa são: 
 
 da2 = m⋅(z2+2+2⋅x) (psf 15) 
 
 - para transmissões com parafuso sem-fim dos tipos ZA, ZN, ZK: 
 
 df2 = m⋅(z2-2,4+2⋅x) (psf 16) 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 13 
 - para transmissões com parafuso sem-fim do tipo ZI: 
 
 df2 = m⋅(z2-2 - 0,4⋅cosγ + 2⋅x) (psf 17) 
 
 
4 Deslizamento nas transmissões de parafuso sem-fim: rendimento e 
forças que actuam na engrenagem 
 
 No funcionamento das transmissões por parafuso sem-fim, diferentemente das 
transmissões por rodas dentadas comuns, é típica a existência de deslizamento a uma velocidade 
considerável. A velocidade de deslizamento vs é tangente às linhas dos filetes do parafuso sem-
fim (figura 9.6) e o seu valor é dado por: 
 
 
w
s
v
v
γcos
1
= ou por 22
2
1 vvvs += (psf 18) 
onde: 
 
100060
11
1
⋅
⋅⋅
=
nd
v w
pi
 (psf 19) 
 
 
 wtgvv γ⋅= 12 
 
 
Figura 9.6: Direcção da velocidade de deslizamento 
 
v1 é a velocidade periférica (tangencial) do parafuso sem-fim, sobre o diâmetro primitivo 
de funcionamento. O valor numérico da velocidade de deslizamento corresponde à velocidade 
absoluta de um ponto sobre o diâmetro primitivo do parafuso quando a coroa está imóvel. Para 
fins práticos, isto corresponde a afirmar que a velodicade de deslizamento é igual à soma 
geométrica da velocidade periférica do parafuso e da velocidade de avanço. 
 Para transmissões com parafusos de uma entrada (z1 = 1) pode-se adoptar vs ≈ v1,visto 
que mesmo para os menores valores recomendados do coeficiente de diâmetro q, o co-seno do 
ângulo de subida da rosca cosγw é superior a 0,99. Para o cálculo projectivo da transmissão vs 
pode ser determinado aproximadamente usando a seguinte fórmula, em m/s: 
 
 
3
24
1
10
5,4 Tnvs ⋅
⋅
≈ (psf 20) 
onde: 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 14 
 n1 - é frequência de rotação do parafuso sem-fim, em min-1; 
 T2 - é o torque (máximo) na roda-coroa, em N⋅m. 
 
 Uma das causas do baixo rendimento da transmissão de parafuso sem-fim, do alto 
desgaste e tendência à gripagem é a direcção da velocidade de deslizamento (figura 9.8). A 
capacidade de sustentação das superfícies lubrificadas e em contacto pode ser elevada se entre as 
superfícies, na parte inicial de contacto, se garantir uma folga cuneiforme. A cunha deve ter a 
mesma direcção que a velocidade de deslizamento, de forma a elevar a eficiência, ou seja, é 
conveniente que a velocidade de deslizamento seja quase perpendicular à linha de contacto, para 
garantir a entrada de novo óleo na cunha lubrificante. Para superfícies cilíndricas com contacto 
inicial linear, a velocidade de deslizamento deve ser perpendicular à linha de contacto ou possuir 
uma componente considerável perpendicular a essa linha. Nestas condições, o atrito seco entre 
metais é substituido por atrito de fluido (com lubrificação eficiente). Se, nas superfícies 
cilíndricas em contacto a direcção da velocidade de deslizamento paralela à linha de contacto, a 
camada lubrificante na zona de contacto não pode ser convenientemente formada. Nas 
transmissões por engrenagens a velocidade de deslizamento é perpendicular às linhas de contacto 
(transmissões com dentes rectos) ou é aproximadamente perpendicular (transmissões com dentes 
inclinados). Nas transmissões por parafuso sem-fim, na parte média do dente da roda-coroa 
existe uma zona na qual o deslizamento verifica-se ao longo das linhas de contacto (figura 9.9). 
Na figura 9.9 os números 1, 2 e 3 indicam as linhas de contacto em posições sucessivas 
no processo de engrenamento. A velocidade de deslizamento em alguns pontos é indicada por vs. 
A sua direcção é próxima da direcção da velocidade periférica v1. A zona na qual a direcção da 
velocidade de deslizamento vs quase coincide com a direcção das linhas de contacto está 
hachurada. 
 
Figura 9.8: Ângulo ψ entre a velocidade de 
deslizamento vs e a linha de contacto, 
para formação da cunha lubrificante 
 Figura 9.9 Linhas de contacto (1,2,3) e 
velocidades de deslizamento vs entre o 
parafuso sem-fim e a roda-coroa 
 
 O rendimento da transmissão de parafuso sem-fim, na zona de engrenamento, calcula-se 
por uma expressão deduzida da fórmula para o rendimento de roscas comuns, que tem um 
carácter geral, sendo, portanto, aplicável para transmissões de parafuso sem-fim (quando o 
parafuso sem-fim é o órgão mandante). 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 15 
 η γγ ϕeng
w
w
tg
tg
=
+ ′( ) (psf 21) 
 
onde ϕ’ - é o ângulo reduzido de atrito; 
 f’ = tg ϕ’ - é o coeficiente reduzido de atrito. 
 
 O valor de η cresce com o aumento inicial do ângulo de subida da rosca γw até se atingir 
o valor γw = 45º - ϕ’/2, que corresponde ao valor máximo de ηeng. Com o aumento subsequente 
do ângulo de subida o rendimento ηeng começa a decrescer . Isto pode ser demonstrado igualando 
a primeira derivada do rendimento 
d
d
eng
w
η
γ a zero e verificando o sinal da segunda derivada. 
 Nos (raros) casos em que o movimento é transmitido a partir da roda-coroa para o 
parafuso, o rendimento pode ser expresso por: 
 
 η γ ϕγeng
w
w
tg
tg
=
− ′( )
 
 
 Desta fórmula é evidente que para γw ≤ ϕ’ tem-se ηeng = 0, o que corresponde a uma 
transmissão auto-frenada. 
 Em geral, as transmissões por parafuso sem-fim têm ângulos de subida até 27º e, visto 
que na zona de ângulos de subida com maiores valores o rendimento varia pouco, os valores 
grandes de ângulos de subida são utilizados em parafusos sem-fim de quatro entradas, que têm 
baixos valores de relação de transmissão e são mais difíceis de fabricar. 
Os coeficientes de atrito e os respectivos ângulos de atrito reduzem consideravelmente 
com o aumento da velocidade de deslizamento. Este fenómeno está associado à formação da 
cunha lubrificante na zona de engrenamento. Os valores mínimos dos ângulos e coeficientes de 
atrito correspondem a parafusos sem-fim rectificados e polidos, que funcionam em condições de 
lubrificação abundante. Para transmissões de parafuso sem-fim de aço e rodas-coroas de 
ferro-fundido o coeficiente de atrito é cerca de 60% maior. 
 
Relação entre a velocidade de deslizamento e o coeficiente de atrito para parafuso sem-
fim de aço e coroa de bronze estanhado 
Vs, m/s f´ ϕ´ vs, m/s f´ ϕ´ 
0,01 0,11...0,12 6º17′...6º51′ 2,5 0,03...0,04 1º43′...2º17′ 
0,1 0,08...0,09 4º34′...5º09′ 3 0,028...0,035 1º36′...2º00′ 
0,25 0,065...0,075 3º43′...4º17′ 4 0,023...0,03 1º26′...1º43′ 
0,5 0,055...0,065 3º09′...3º43′ 7 0,018...0,026 1º02′...1º29′ 
1 0,045...0,055 2º35′...3º09′ 10 0,016...0,024 0º55′...1º22′ 
1,5 0,04...0,05 2º17′...2º52′ 15 0,014...0,020 0º48′...1º49′ 
2 0,035...0,045 2º00′...2º35′ 
 Os valores dos coeficientes de atrito dados contam com as perdas por agitação do óleo e perdas nos 
mancais (de rolamento) do veio. 
 
 O rendimento global do redutor de parafuso sem-fim é: 
 
 η = 1 - (ψeng + ψapoio + ψved + ψóleo + ψar) (psf 22) 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 16 
onde: ψeng, ψapoio, ψved, ψóleo, ψar - são as perdas relativas no engrenamento, nos apoios dos 
veios, nosvedantes, na mistura do óleo e chapinhagem, e no accionamento do ventilador, 
respectivamente. 
 Nas transmissões de parafuso sem-fim com mancais de rolamento, os valores dos 
coeficientes e ângulos de atrito dados na tabela podem ser utilizados desprezando as perdas por 
atrito nos apoios. 
[Hidden text]. 
 O rendimento mecânico das transmissões por parafuso sem-fim é inferior ao de outras 
transmissões mecânicas. 
 Ao começar o cálculo projectivo, o rendimento da transmissão pode ser avaliado 
aproximadamente por: 
 
 
ηeng
i
≈ ⋅ −
�
�
�
�
�
�0 9 1
200
,
 (psf 23) 
 
 Também se usam as seguintes recomendações: 
 
z1 ηηηη 
1 0,7...0,75 
2 0,75...0,82 
4 0,87...0,92 
 
 Para o cálculo do parafuso sem-fim na sua globalidade, do veio da roda-coroa e 
rolamentos da transmissão de parafuso sem-fim, é necessário conhecer as forças que actuam no 
engrenamento. 
 
Forças no engrenamento 
 
No polo de engrenamento (figura 9.7) há três componentes de forças mutuamente 
perpendiculares: 
 
 Figura 9.7: Forças no engrenamento 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 17 
1) Força tangencial na roda-coroa, que é igual à força axial no parafuso sem-fim e pode ser 
calculada por: 
 
 F F
T
dt a2 1
2
2
2
= =
⋅
 (psf 24) 
 
2) Força tangencial no parafuso sem-fim, que é igual à força axial na roda-coroa e é determinada 
por: 
 
 F F
T
d
T
d it a eng
1 2
1
1
2
1
2 2
= =
⋅
=
⋅
⋅ ⋅η (psf 25) ♣ 
 
3) Força radial comum ao parafuso sem-fim e à coroa, que tende provocar o afastamento entre 
estes: 
 
 xtrr tgFFF α⋅≈= 212 (psf 26) 
 
(mais exactamente, 
γ
α
cos
2 xt
r
tgF
F
⋅
= ) 
4) Força normal: 
γα coscos
2
⋅
=
t
n
F
F (psf 26*) 
 
 Nestas fórmulas, T2 e T1 são os momentos torsores (torques) nos veios da roda-coroa e do 
parafuso sem-fim, respectivamente. Estes momentos têm valor máximo, dentre os momentos que 
têm maior tempo de acção. Para se obter uma força em Newtons, os momentos são expressos em 
N⋅m ou N⋅mm, consoante os diâmetros sejam expressos em metros ou milímetros, 
respectivamente. 
 ηeng - é o rendimento mecânico no engrenamento e nos mancais de rolamento 
(correspondente aos valores tabelados dos ângulos de atrito). 
 
αx - é o ângulo do perfil (ângulo de pressão) na secção axial do parafuso sem-fim de 
Arquímedes. 
 
 
5 - Causas das avarias das transmissões de parafuso sem-fim e critérios 
de capacidade de trabalho 
 
As principais causas das avarias das transmissões de parafuso sem-fim são: 
 
- desgaste dos dentes da roda-coroa; 
- gripagem; 
- destruição das superfícies activas dos dentes da roda-coroa por fadiga. 
 
 O desgaste é o critério que limita o período de serviço da maioria das transmissões de 
parafuso sem-fim. O desgaste depende muito da lubrificação e aumenta quando: 
 
 - a montagem da transmissão é feita com baixa precisão; 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 18 
 - o lubrificante está poluido; 
 - a rugosidade do parafuso sem-fim é alta; 
 - há arranques e paragens repentinos; 
 - as condições de lubrificação são precárias. 
 
 A gripagem é mais perigosa se na roda-coroa forem empregues materiais duros: bronze 
ao alumínio e ferro, ferro-fundido, etc. Em caso de utilização de materiais duros para o fabrico 
da roda-coroa, a gripagem dá-se com muita intensidade, provocando grandes deformações nas 
superfícies e rápido desgaste dos dentes por partículas do material da roda-coroa que aderem ao 
parafuso sem-fim. Quando se utilizam materiais macios para a roda-coroa (bronze com estanho) 
a gripagem verifica-se em formas menos perigosas: o material da roda-coroa "unta-se" no 
parafuso sem-fim. 
 A esmigalhadura por fadiga verifica-se geralmente nas transmissões com roda-coroa de 
bronze resistente à gripagem. Este fenómeno verifica-se só na roda-coroa (bronze). 
 A deformação plástica das superfícies de trabalho dos dentes da roda-coroa verifica-se 
quando há sobrecargas. 
 A destruição dos dentes da roda-coroa ocorre geralmente depois do desgaste ou devido a 
erros de fabricação. 
 
6 - Materiais 
 
No engrenamento do parafuso sem-fim com a coroa existem zonas com condições de 
deslizamento indesejáveis, tal como foi analisado. Para além disso, o contacto do par piora com a 
deformação do parafuso sem-fim. A produção de ambos os elementos do engrenamento 
(parafuso sem-fim e roda-coroa) com materiais duros não dá resultados positivos. Por isso, em 
geral, a roda-coroa é feita de materiais antifricção relativamente macios. 
Os materiais para o par parafuso sem-fim/roda-coroa, tendo em vista os tipos de ruptura e 
defeitos dos dentes, devem ter boa resistência ao desgaste, ter pouca tendência à gripagem, ser 
facilmente trabalháveis, ter baixo coeficiente de atrito e possuir alta condutividade térmica, para 
além de um baixo coeficiente de atrito. 
Os parafusos sem-fim podem ser feitos com muitas marcas de aços ao carbono ou 
ligados. Os parafusos sem-fim para transmissões carregadas são fabricados de aço tratado 
termicamente para uma dureza considerável. Os parafusos sem-fim de aços cementados têm a 
melhor resistência e estabilidade. Usam-se aços com baixo teor de carbono. Utiliza-se, de 
preferência, o aço 18XΓT mas também se usam as seguintes marcas de aços: 20X, 12XH3A, 
15XΦ, que têm uma dureza equivalente a HRC 56... HRC 63. 
 Em geral, utilizam-se parafusos sem-fim dos aços 40X, 40XH e 35XΓCA, que depois da 
têmpera superficial ou completa atingem durezas equivalentes a HRC 45 ... HRC 55. Nestes 
casos, o parafuso sem-fim é rectificado e polido. 
Os parafusos feitos dos aços azotados (38X2M�A, 38X2� e outros) só requerem 
polimento (sem rectificação). [+p93/94 manual do projecto] 
 Os parafusos sem-fim submetidos ao melhoramento utilizam-se em vez dos parafusos 
sem-fim temperados quando há limitações tecnológicas (ausência de equipamento para 
rectificação dos parafusos sem-fim) ou quando há necessidade de amaciamento tanto do parafuso 
sem-fim como da roda-coroa. Para além disso, os parafusos sem-fim submetidos à normalização 
e ao melhoramento utilizam-se em transmissões pouco carregadas e em transmissões auxiliares 
com baixas rotações. Para transmissões com rodas-coroas de grandes diâmetros é possível 
fabricar parafusos sem-fim de bronze, o que permite o fabrico de rodas-coroas de ferro fundido. 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 19 
 Quando a velocidade de deslizamento vs ≥4...5 m/s (até 25 m/s) as rodas-coroas são feitas 
de bronzes (�p) ao fósforo (Φ) e estanho (O), por exemplo �pO10H1Φ1 ou �pO10Φ1 e bronze 
ao estanho (O) e zinco (�) (e.g., �pO5�5C5). C indica o teor de chumbo e H o de níquel. A 
necessidade de utilizar bronzes com alto teor de estanho é tanto maior quanto maior for a 
velocidade de deslizamento, vs e a duração relativa de funcionamento da transmissão. 
Para transmissões com velocidade de deslizamento menores que 4 … 5 m/s utilizam-se 
bronze ao alumínio (A) e ferro (�) (e.g., �pA10 4H4Λ �pA9 3Λ) e latões. Para tal é imperioso 
que o parafuso sem-fim tenha alta dureza (não inferior a HRC 45). 
Para transmissões com accionamento manual ou com baixa velocidade de deslizamento 
(vs ≤ 2 m/s) e para transmissões de grandes dimensões é permissível a utilização de ferro-fundido 
de marcas C�15 e C�20 (com σr > 150 e 200 MPa, respectivamente), cuja capacidade de 
trabalho aumenta bastante se o parafuso sem-fim tiver crómio (por exemplo, pode-se obter 
vs = 5 m/s e σH = 230 MPa em condições laboratoriais). 
 
Propriedade mecânica, 
em MPa 
Velocidade de desli-
zamento,vs, em m/s Grupo Material da 
roda-coroa 
Método de 
vazamento 
σe σr 
 �pO10H1Φ1 Centrífuga 165 285 
I �pO10Φ1 Em coquilha 
Em areia 
200 
140 
275 
230 
> 5 
(Bronz
es ao 
�pO5�5C5 Em coquilha 
Em areia 
90 
80 
200 
145 
 
estanho
) 
�pOΦ10-1 Em areia 120 200 
 �pOΦ10-1 Em coquilha 150 260 
 �pOHΦ Centrífuga 170 290 
 
 �pA10�4H4 Centrífuga 
Em coquilha 
 
 �pA10�3M�1,5 Em coquilha 
Em areia 
 
 �pA9�3� Centrífuga 
Em coquilha 
Em areia 
 
 ��23A6�3M�2 Centrífuga 
Em coquilha 
Em areia 
 
 
 �pA � 9-4 Em areia 200 400 
 
 
 
 
 As tensões admissíveis para os materiais são achadas de diversas maneiras. Adiante, dão-
se algumas recomendações para as marcas dos materiais da tabela acima. 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 20 
 
 - tensões admissíveis para cáculo de resistência ao contacto 
 
Para bronzes ao estanho: 
 
[σH] ≈ (0,85…0,9)⋅σr - com parafuso sem-fim rectificado e polido, com dureza superior 
a HRC45; 
 [σH] ≈ Cv⋅0,75⋅σr - se não se verificarem as condições acima indicadas para o parafuso; 
 
Para o bronze �pA� 9-4: 
 
 [σH] ≈ (300 … 275) - 25⋅vs , em MPa – para parafuso sem-fim rectificado e polido, com 
dureza ≥ HRC45. 
 
Cv é um coeficiente que varia em função da velocidade de deslizamento 
vs ≤ 1 2 3 4 5 6 7 ≥ 8 
Cv 1,33 1,21 1,11 1,02 0,95 0,88 0,83 0,8 
 
Tal como foi antes referido, a velocidade de deslizamento, em m/s, pode ser avaliada por : 
 
3
24
1
10
5,4 Tnvs ⋅
⋅
≈ 
 
 - tensões admissíveis para cálculo de resistência à flexão 
 
Para todas as marcas de bronzes: 
 
 [σF] ≈ 0,25⋅σe + 0,08 ⋅σr 
 
 Para o cálculo da transmissão à carga máxima (sobrecargas que não se consideram 
durante o cálculo principal), usam-se as seguintes tensões-limite admissíveis: 
 
 [σH]max = 4⋅σe - para bronzes estanhados; 
 [σH]max = 2⋅σe - para bronze �pA� 9-4; 
 [σF]max ≈ 0,8⋅σe - para bronzes de todos os tipos; 
 
 
7 - Cálculos de resistência 
 
 As transmissões de parafuso sem-fim são calculadas tanto pelo critério de resistência à 
fadiga como pela resistência estática. Estes cálculos são feitos utilizando tensões de contacto e de 
flexão. Em geral, as tensões de flexão não são usadas para o cálculo projectivo, mas para o 
cálculo testador. Os cálculos de resistência à flexão são utilizados sobretudo para rodas-coroas 
com um grande número de dentes (acima de 90 … 100 dentes) e para transmissões com 
accionamento manual. Os cálculos de resistência à fadiga por contacto e à gripagem são de 
extrema importância. O cálculo de resistência ao desgaste faz-se em simultâneo com estes 
cálculos. 
 As condições de engrenamento e a capacidade de sustentação das transmissões com 
parafusos sem-fim cilíndricos de diferentes tipos são bàsicamente semelhantes, especialmente 
quando o número de filetes do parafuso sem-fim é pequeno. Por isso, os cálculos realizados para 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 21 
as transmissões com parafuso sem-fim de Arquímedes (tipo ZA) são extensíveis a outros tipos de 
parafuso cilíndricos. 
Para determinar o comprimento das linhas de contacto entre o parafuso sem-fim e a roda-
coroa, o arco da circunferência sobre o diâmetro dw1 (ou, simplesmente, d1), que é 
aproximadamente igual à da largura da roda coroa b2, pode ser calculado usando o do diâmetro 
primitivo do parafuso sem-fim (dw1) e o ângulo convencional de abraçamento 2⋅δ1, expresso 
tanto em graus como em radianos (fig. 4.4): 
 
°
⋅
⋅⋅≈
360
2
12
δ
pi wdb (δ em graus) 
ou (psf 27) 
'
2
2
112 δpi
δ
pi ⋅=
⋅
′⋅
⋅⋅≈ ww ddb (δ' em radianos) 
 Por analogia às transmissões dentadas, o comprimento total das linhas de contacto é: 
 
 
w
w
w
dbl
γ
ξεδ
γ
ξε αα
coscos
12 ⋅⋅′⋅
=
⋅⋅
=Σ (psf 28) 
 
 O coeficiente ξ ≈ 0,75 considera a redução da zona de contacto devido ao facto deste 
contacto não se verificar num plano, ao longo de todo o arco de abraçamento teórico (fig. 9.9). O 
comprimento das linhas de contacto é inferior ao arco correspondente a 2⋅δ, que em geral 
corresponde a 100° ou 1,745 radianos. 
 Os valores do grau de recobrimento frontal são εα = 1,8 … 2 (2,2). O valor médio de 
cálculo de εα é 1,9 (2). 
 O comprimento total médio das linhas de contacto, para δ' = 0,873 rad., εα = 2 e ξ = 0,75 
fica: 
 
w
wdl
γcos
3,1 1 ⋅⋅
=Σ (psf 29) 
 
 A carga normal específica nas linhas de contacto é determinada por (juntando as fórmulas 
psf 26*, 28 e 24): 
 
 
nwn
tn
n dd
KT
l
KF
l
KF
q
αξεδγα α cos'
2
coscos 12
22
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅
=
⋅
=
ΣΣ
 (psf 30-1) 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 22 
nw
t
n d
KF
q
αcos3,1 1
2
⋅⋅
⋅
≈ (psf 30-2) 
 
onde: 
- F
T
dt 2
2
2
2
=
⋅
 (psf 24) - é a força tangencial na roda-coroa; 
 - K - é um coeficiente de carga de cálculo, abordado adiante. 
 
A. Cálculo pelas tensões de contacto 
 
 Para simplificação do cálculo, este é feito supondo que o contacto se dá só no polo de 
engrenamento. Tal como nas transmissões por engrenagens cilíndricas, inicialmente usa-se a 
fórmula de Hertz para as tensões máximas de contacto na compressão mútua entre dois cilindros 
ao longo das geratrizes. O coeficiente de Poisson utilizado para a obtenção da fórmula abaixo é 
0,3: 
 
 σ ρH n
red
red
q
E
= ⋅ ⋅0 418, (psf 31) 
 
onde: 
 - Ered - é o módulo de elasticidade reduzido: 
 E
E E
E Ered
=
⋅ ⋅
+
2 2 2
1 2
 (psf 32) 
 - E1 e E2 - módulos de elasticidade do parafuso sem-fim e roda-coroa, respectivamente. 
 ρred - é o raio de curvatura reduzido; para transmissões de parafuso sem-fim de 
Arquímedes (com flancos rectos) o raio de curvatura tem uma particularidade derivada do facto 
do raio de curvatura do flanco ser infinito, ou seja: ρ1 = ∞; por isso, a fórmula para o raio 
reduzido de curvatura das superfícies conjugadas dado por 1 1 1
1 2ρ ρ ρred
= + fica praticamente 
1 1
2ρ ρred
= e recordando que 
nw send αρ ⋅
=
22
21
 (fórmula 9 das transmissões por engrenagens) e 
que para rodas dentadas helicoidais, em vez do diâmetro d usa-se o diâmetro da roda virtual 
d
d
v = cos2 β (onde, no lugar de β pode-se usar o ângulo de elevação da rosca pois β = γw) 
obtém-se: 
 
nw
w
send α
γ
ρ ⋅
⋅
=
2
2
2
cos21
 ou seja, 
w
nw send
γ
αρ 222 cos2 ⋅
⋅
= (psf 33) 
 
Nestas fórmulas não se diferencia d2 (de referência) de dw2 (de funiconamento). 
Utilizando as expressões para qn (psf 30-1) e ρred a fórmula (psf 31) pode ser reescrita como: 
 
 
[ ]H
nww
wHred
H
sendd
KTE
σ
αξεδ
γ
σ
α
≤
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅= )2('
cos18,1
12
2
2
2
 (psf 34-1) 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 23 
onde: 
- T2 é o momento torsor na roda coroa, expresso em N⋅mm. 
 - KH - é o coeficiente de carga de cálculo, para tensões de contacto. 
 - [σH] - é o tensão admissível de contacto, em MPa. 
 
Alternativa e aproximadamente, pode-se considerar que: 
 
d2 = m⋅z2 (psf 7); d1 = m⋅(q + 2⋅x) (psf 13); m a
z q x
w
=
⋅
+ + ⋅
2
22
 (psf 11); 
e que: 
 
αn= 20°; γw=10°; E1 = Eaço = 2,15⋅105 MPa; E2 = 0,9⋅105 MPa (para bronze ou ferro-
fundido); q1 = q + 2⋅x o que resulta em: 
 
[ ]σ σH
w
H Hz q
z q
a
T K= ⋅
+�
�
�
�
�
� ⋅ ⋅ ≤
5300 1
2 12 1
3
2/
/
 (T2 - expresso em N⋅m) (psf 34-2) 
 
 Se, nesta fórmula, se utilizarem os diâmetros do parafuso d1 e da roda-coroa d2 pode-se 
reescrever: 
 
 [ ]σ σH
w
H
w
Hd
T K
d
= ⋅
⋅
≤
15000
2
2
1
 (psf 35) 
 
 Para a fórmula (psf 34-1), se α=20°=αw e x = 0 tem-se o coeficiente de sobreposição: 
 
 
εα =
⋅ + + − ⋅ +0 03 1 0 17 2 9
2 95
2
2
2 2, , ,
,
z z z
 
 
 Para o cálculo projectivo, se se utilizarem os valores 2⋅δ = 100°; ξ = 0,75; KH ≈ 1,1; 
εα = 1,9; γw = 10°; d1 = q⋅m = q⋅(d2/z2) (recordando que x = 0 e que 2⋅δ = 100° = 1,745 rad), 
da fórmula (psf 34-1) obtém-se: 
 
[ ]d
E T
q z
red
H
2
2
2
2
31 25= ⋅
⋅
⋅
,
( / )σ
 (psf 36-1) 
 
e para a d
q
zw
= ⋅ ⋅ +0 5 12
2
, ( ) pode-se reescrever a fórmula (36-1) como: 
 
[ ]a
q
z
E T
q z
w
red
H
= ⋅ +
�
�
�
�
�
� ⋅
⋅
⋅
0 625 1
2
2
2
2
3, ( / )σ
 (psf 36-2) 
 
Nestas fórmulas o torque na roda-coroa T2 é expresso em N⋅mm. 
 
Da fórmula aproximada (psf 34-2) pode-se deduzir uma expressão para o cálculo 
projectivo, sendo T2 expresso em N⋅m: 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 24 
 
[ ]a
z
q z q
K Tw
H
H= +
�
�
�
�
�
� ⋅
⋅
�
�
��
�
�
�� ⋅ ⋅
2
1 2 1
2
2
31
5300
σ /
 (psf 36-3) 
 
que pode ser simplificada para: 
 
[ ]a
T K
w
H
H
≈ ⋅
⋅610 2 23
σ
 (psf 36-4) 
 
A seguir a este cálculo da resistência ao contacto faz-se a avaliação da resistência da 
transmissão ao desgaste e à gripagem. Estes aspectos são importantes para transmissões de 
parafuso sem-fim. Para tal, usam-se conceitos do contacto hidrodinâmico, dentro da teoria de 
lubrificação. Por último, faz-se o cálculo final (preciso) da capacidade de sustentação da camada 
de óleo tendo em consideração as variações da forma da folga que resultam das deformações. 
Assim, avalia-se a carga-limite sem desgaste, gripagem e também o tempo de fadiga. 
 
 
B. Cálculo pelas tensões de flexão 
 
 O cálculo da resistência à flexão é feito para a roda-coroa visto que, quando comparados 
com os dentes da roda-coroa, os filetes do parafuso sem-fim são suficientemente resistentes, 
tanto em termos de forma como em termos de material. 
 O cálculo é análogo ao cálculo da resistência dos dentes das rodas dentadas cilíndricas 
com dentes helicoidais. Porém, importa notar que os dentes das rodas-coroas são 
aproximadamente 20 … 40% mais resistentes que os dentes das rodas dentadas helicoidais. Este 
aumento de resistência deve-se à forma arqueada dos dentes e ao deslocamento natural que se 
verifica em todas as secções excepto na secção mediana da roda-coroa. Assim, a tensão de flexão 
pode ser determinada utilizando a seguinte expressão: 
 
 [ ]σ σβF F F t F
w n
F
Y z F K
b m
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
≤ 
 
onde, da fórmula original para rodas dentadas cilíndricas com dentes helicoidais: 
z
K Y
F
F
β
α β
αε
=
⋅
 - coeficiente de aumento da resistência dos dentes inclinados à flexão 
(fórmula TE 34). 
 Como para dentes com bom amaciamento podem-se arbitrar os valores KFα = 1 e Yβ = 1, 
o coeficiente de aumento da resistência dos dentes da roda-coroa fica: 
 
zFβ
αε ξ= ⋅ = ⋅ =
1 1
1 9 0 75 0 7, , , 
 
onde se introduziu o coeficiente ξ = 0,75 que considera a redução da zona de contacto devido ao 
facto deste contacto não se verificar ao longo de todo o arco de abraçamento teórico. Desta 
forma, a tensão de flexão é expressa por: 
 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 25 
[ ]σ σF F t F
n
FY
F K
b m
= ⋅ ⋅
⋅
⋅
≤0 7 2
2
, (psf 38-1) 
 
Também se pode usar a fórmula alternativa: 
 
[ ]σ α α γ γ σF n n F
n
n n w F t F w F
F
q Y
m
q Y
m
F K Y
m q
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
≤
cos cos cos cos
,1 3 2 1
 (psf 38-2) 
 Cristóvao deve investigar a formula para descobrir porque cos γ aparece no numerador 
Nas fórmulas anteriores: 
 
Ft2 - é a força tangencial na roda-coroa, em N; 
KF - é o coeficiente de carga de cálculo, abordado adiante; 
γw - é o ângulo primitivo de elevação dos filetes; 
q1 – é o coeficiente de diâmetro do parafuso com deslocamento (correcção): q1 = q + 2⋅x 
q – é o coeficiente de diâmetro do parafuso sem correcção, expresso por d1/m; 
qn – é a carga linear específica, normal à superfície de contacto, em N/mm; 
x – é o coeficiente de deslocamento da ferramenta ou coeficiente de correcção do perfil; 
mn – é o módulo do dente/filete na secção normal do filete do parafuso sem-fim; 
m – é o módulo do dente/filete na secção axial do parafuso sem-fim (de Arquímedes); 
YF – coeficiente de forma dos dentes da roda-coroa, que se escolhe da tabela abaixo, em função 
do número virtual (ou equivalente) de dentes zv, que é expresso por: 
 
 
w
v
z
z
γ3
2
cos
= (recorde-se que βcoroa= γparafuso) 
 
Coeficiente de forma do dente YF 
 
zv 20 24 26 28 30 32 35 37 
YF 1,98 1,88 1,85 1,80 1,76 1,71 1,64 1,61 
 
 
zv 40 45 50 60 80 100 150 300 
YF 1,55 1,48 1,45 1,40 1,34 1,30 1,27 1,24 
 
[σF] – é a tensão admissível de flexão para os dentes da roda-coroa, em MPa. 
 
 O denominador cos3γw na fórmula para o número virtual de dentes considera a inclinação 
da linhas de contacto e o funcionamento dos dentes como se fossem uma placa. 
Em geral, o cálculo da resistência à flexão é feito como um cálculo testador. 
 Se, em resultado da acção da carga se verificam picos nos momentos torsores Tpic ou 
T2max deve-se verificar a resistência estática das superfícies de trabalho dos dentes da roda-coroa, 
bem como a resistência estática à flexão. Assim, as tensões máximas são dadas por: 
 
[ ]σ σ σH H HTTmax max max= ⋅ ≤2 2 
[ ]σ σ σF F FTTmax max max= ⋅ ≤2 2 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 26 
Carga de cálculo 
 
 Para as transmissões de parafuso sem-fim pode-se usar a aproximação: 
 
 KH = KF = Kv⋅Kβ 
 
onde: 
 Kv - é o coeficiente de carga dinâmica; 
 Kβ - é o coeficiente de concentração de carga. 
 
 Uma vez que as transmissões por parafuso sem-fim têm a qualidade de serem suaves e 
funcionarem sem ruidos, as cargas dinâmicas que se verificam são tipicamente baixas. Se a 
precisão de fabricação for suficientemente alta e para velocidade da roda-coroa vs2 ≤ 3 m/s pode-
se usar o valor Kv ≈ 1; para vs2 > 3 m/s usa-se Kv = 1 … 1,3. 
 Dado que o amaciamento dos materiais do par parafuso sem-fim/coroa é bom, a 
irregularidade da caga ao longo das linhas de contacto é diminuta. Assim, para carga externa 
constante adopta-se Kβ = 1 e para carga variável adopta-se Kβ = 1,05 … 1,2. Os maiores valores 
de Kβ são para pequenos valores do coeficiente de diâmetro "q" e grandes valores de z2. 
 
 
8 - Cálculo térmico 
 
Cálculo térmico e refrigeração das transmissões por parafuso sem-fim 
 
 
 Durante o seu funcionamento, as transmissões de parafuso sem-fim libertam uma grande 
quantidade de calor, em associação com o seu relativamente baixo rendimento mecânico. O 
aquecimento do óleo acima das temperaturas-limite (muitas vezes [tmax] = 85…90°C) causa a 
perda da capacidade de lubrificação e aumenta o risco de gripagem da transmissões. Por isso, é 
necessário fazer o cálculo térmico da transmissão. 
 O cálculo térmico em regime estacionário é feito na base do balanço térmico, isto é, 
comparando a quantidade de calor libertado pela transmissão de parafuso sem-fim com a 
quantidade de calor dissipado para o meio-ambiente. 
A quantidade de calor gerado pela transmissão,em termos de potência, é dada por (em 
Watts): 
( )Φ = ⋅ − ⋅P1 31 10η 
 
onde: 
P1 - é a potência no veio motor da transmissão, em kW; 
 η - e o rendimento mecânico da transmissão. 
 
 O calor dissipado para o meio-ambiente sai pela superfície livre do corpo da transmissão 
para o ar circundante e também para o fundamento, podendo ser expresso por: 
 
 ( )Φ1 1 0= ⋅ − ⋅K t t A 
 
onde: 
 K - é um coeficiente térmico (de troca de calor), em W/(m2⋅°C); considera todos os tipos 
de troca de calor entre o interior da transmissão e o meio ambiente; 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 27 
 t1 - é a temperatura do óleo ou a temperatura interna do corpo da transmissão, em °C; 
 t0 - é a temperatura do meio circundante (ar), em °C; no Verão tropical esta temperatura 
pode ultrapassar 40ºC; 
 A - é a área do corpo da transmissão que troca calor com o ambiente ( ou área de 
refrigeração), em m2. 
 
 Quando a área do corpo em contacto com o fundamento é considerada, a área total pode 
ser expressa por A⋅(1+ϕ), onde ϕ é um coeficiente que pode assumir valores até 0,3 se a 
transmissão estiver montada numa base grande em fundamento metálico. Se o corpo estiver 
montada em betão adopta-se ϕ ≈ 0, devido à fraca capacidade de condução de calor do betão. 
 A área de refrigeração pode ser avaliada utilizando a expressão: 
 
 A aw≈ ⋅20 1 7, 
 
 Nesta expressão, considera-se que cerca de 50% da área é formada por nervuras (ou 
aletas) de refrigeração. Na mesma expressão, a área A é expressa em m2 se a distância interaxial 
aw for expressa em m. 
 Para muitos redutores a temperatura admissível t1max do óleo é de cerca de 60 … 70 °C, 
sendo a máxima próxima de 85, 90 ou 95°C. Porém, para aviação toleram-se temperaturas até 
t1 = 100…120°C. O limite é função do tipo de óleo e sua aplicação. 
Quando a transmissão não tem ventilação e é montada em corpo fechado e pequeno, com 
pouca agitação do óleo, pode-se adoptar o valor do coeficiente de troca de calor K ≈ 8 … 10 
W/(m2⋅°C) e para instalação com agitação e ventilação intensiva toma-se K ≈ 14 … 17 
W/(m2⋅°C). O valor de K diminui se o corpo da transmissão estiver sujo ou poluido. 
 O calor gerado na transmissão não pode ser superior ao calor dissipável à temperatura 
máxima admissível do óleo, ou seja: 
 
 [ ]( )Φ Φ≤ = ⋅ − ⋅1 1 0max maxK t t A 
onde: 
 [t1max] - é a temperatura máxima admissível do óleo 
 A - é a área total disponível para a troca de calor. 
 
 O balanço térmico é feito para condições de funcionamento estacionárias, quando 
1Φ=Φ , ou seja, quando se tem: 
 
 ( ) ( )P K t t A1 3 1 01 10− ⋅ = ⋅ − ⋅η 
 
Para estas condições, a temperatura do óleo pode ser determinada por: 
 
( )
t t t
P
K Aoleo
= = +
⋅ − ⋅
⋅
1 0
1
31 10η
 
 
 Também é possível fazer o balanço térmico para verificar a potência máxima 
transmissível P1max, em condições dadas, mas esta vertente não será analisada. 
 Se tóleo > [tóleomax] = [t1max] então devem ser tomadas medidas para aumentar a remoção de 
calor. Isto consegue-se por meio da provisão de nervuras de refrigeração, intensificação da 
ventilação, uso de serpentinas de água para refrigeração no cárter de óleo ou refrigeração do óleo 
em radiador externo (figura 9.10 -c). 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 28 
As aletas de refrigeração são dispostas em função da circulação do ar. Quando a 
ventilação é natural as aletas são colocadas verticalmente, tendo em vista o movimento 
ascendente do ar aquecido. Quando se emprega um ventilador as aletas são orientadas 
paralelamente ao fluxo do ar que, geralmente, é horizontal. O ventilador é comummente 
colocado numa das extremidades do veio do parafuso sem-fim. 
 A refrigeração por ar é mais simples e barata que a refrigeração por água. É utilizada na 
maioria dos casos em que o parafuso sem-fim é montado por baixo da roda-coroa pois, neste 
caso, o ar arrefece o depósito de óleo (figura 9.10 -a)). Com refrigeração por ventilação forçada 
usando o método proposto o coeficiente de troca de calor (ou coeficiente térmico) K pode atingir 
valores 20…28 W/(m2⋅°C) ou mais. 
 Quando é necessário retirar uma grande quantidade de calor do óleo utilizam-se 
serpentinas de água no cárter de óleo. Assim, o coeficiente de troca de calor entre o óleo e os 
tubos de água pode atingir os valores 90 … 200 W/(m2⋅°C), para velocidades da água até 1 m/s. 
 Se bem que o balanço térmico seja feito para condições estacionárias, a maioria das 
transmissões de parafuso sem-fim funciona com intervalos. Se o regime de trabalho for de curta 
duração e repetido, o tempo de trabalho tiver pausas mais curtas quando em comparadas com o 
tempo de arrefecimento da transmissão até à temperatura estacionária e se a transmissão não 
tiver meios especiais de refrigeração, o cálculo pode ser feito de modo aproximado, usando as 
fórmulas para regime constante. Porém, em vez da quantidade de calor libertado quando a 
transmissão está em funcionamento contínuo, usa-se a quantidade de calor média, por unidade de 
tempo, que pode ser avaliada por : 
 
 ( )Φmed func
total
P
t
t
= − ⋅ ⋅1
31 10η
 
 
onde tfun e ttotal são os tempos de funcionamento e o tempo total (tfunc+tinvervalos), respectivamente. 
 Quando a refrigeração é natural e quando se usa ventilação ou serpentina de água no 
cárter, a lubrificação é feita por mergulho de um dos elementos do par em engrenamento (figura 
9.10 a), b)) podendo ser o elemento motor ou o movido. A profundidade de mergulho é limitada 
à altura do dente, em transmissões de alta velocidade, e não deve ultrapassar 1/3 do raio em 
transmissões de baixa velocidade. Esta medida visa a redução das perdas de energia por 
chapinhagem. Recomenda-se o uso de óleo de boa qualidade, na proporção de 0,35 … 0,7 l/kW 
de potência a transmitir. 
 A lubrificação circulante usa uma bomba com radiador e filtro, permitindo velocidades 
v≥12 … 15 m/s. 
 
 Figura ******: Métodos de refrigeração forçada da transmissão 
 Adicionar posições relativas dos parafusos e coroa, psf globóide, perfil côncavo 
 
 
 
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Sequência de cálculo das transmissões de parafuso sem-fim 
 
Para o cálculo da transmissão de parafuso sem-fim/coroa são, geralmente, dados: 
 
- a potência de entrada P1; - a frequência de rotação do veio motor, n1; 
- a relação de transmissão i; - o tipo de carregamento. 
 
A sequência de cálculo para a projecção da transmissão pode ter variantes, mas o objectivo da 
mesma é coleccionar valores das variáveis que constam nas fórmulas para o cálculo projectivo 
(por exemplo, psf 36-2) e depois executa os cálculos testadores. Uma das variantes de sequência 
de cálculo pode ser: 
 
1. Escolhe-se o número de entradas do parafuso sem-fim usando as recomendações dadas: 
 
z1 Relação de transmissão recomendada 
1 i ≥ 30 
2 i = 15…30 
4 i = 8…15 
 
Após a escolha do número de entradas calcula-se o número de dentes da roda coroa usando a 
fórmula (psf 1). Este é apenas um valor calculado, z2´= z1⋅i. . O valor deve ser arredondado para 
um número inteiro e comparado com o valor mínimo recomendado: z2min = 28. 
2. Determinam-se os momentos torsores no parafuso sem-fim e na roda coroa: 
 
60
2 1
1
1
1
1 n
PP
T
⋅⋅
==
piω
 ; η
ω
η
ω
η
ω
⋅⋅=
⋅⋅
=
⋅
== iTiPPPT 1
1
1
2
1
2
2
2 
3. Determina-se o valor estimado da velocidade de deslizamento em m/s, usando a fórmula 
(psf 20), onde T2 é expresso em N⋅m: 
 
 
3
24
1
10
5,4 Tnvs ⋅
⋅
≈ 
 
4. Escolhe-se o material da roda-coroa e indicam-se as suas propriedades mecânicas σe e σr. 
Escolhe-seo material e o tratamento térmico e/ou superficial do parafuso sem-fim e 
depois determina-se a tensão admissível de contacto (parágrafo 6). 
5. Escolhe-se o valor normalizado do coeficiente de diâmetro q e verifica-se se satisfaz a 
recomendação q = (0,22...0,4)⋅z2. ou q ≥ 0,25⋅z2, sendo o valor mínimo recomendado 
qmin = 0,212⋅z2 
6. Calcula-se o módulo de elasticidade reduzido por E E E
E Ered
=
⋅ ⋅
+
2 2 2
1 2
 e depois determina-se 
a distância interaxial pela fórmula (psf 36-2): 
 
[ ]3 22
2
2
´
)/(
1625,0
zq
TE
z
q
a
H
red
w
⋅
⋅
⋅��
�
�
��
�
�
+⋅=
σ
 (o apóstrofe indica valor de cálculo) 
Este valor é arredondado para um valor normalizado aw. 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 30 
7. Calcula-se o valor aproximado do módulo do engrenamento, com base na distância 
interaxial arredondada: 
 
2
2
zq
a
m w
+
⋅
=′
 
 Este valor é arredondado para um módulo normalizado. Depois da normalização 
calcula-se o coeficiente de deslocamento: 
 
( )25,0 zq
m
a
x w +⋅−=′ 
 
 Se o coeficiente de deslocamento superar o valor recomendado (x>0,7) procura-se 
manipular o valor de z2 seguido de da verificação da alteração da relação de transmissão 
( %4≤∆
i
i ). Se o resultado da manipulação for admissível calculam-se os diâmetros d1 e 
d2 por: 
 
q
d
m
=
1
 (psf 2) e d2 = m⋅z2 (psf 7) 
 
Calcula-se a velocidade de deslizamento por [fórmulas (psf 18) e (psf 19)]: 
 
w
s
v
v
γcos
1
= onde 
100060
11
1
⋅
⋅⋅
=
nd
v w
pi
 (psf 19); 
q
z
arctg 1=γ ou 
xq
z
arctgw
⋅+
=
2
1γ 
 
e verifica-se se se mantém válida a escolha inicial do material e da tensão admissível à 
fadiga [σH] com base no valor da velocidade de deslizamento estimado no ponto 3. 
 
8. Faz-se o cálculo testador da transmissão usando um ângulo de abraçamento δ = 50º ou 
δ
 = 0,8727 rad, que se usa para determinar o valor da tensão de contacto σH. O valor de 
εα é determinado usando a fórmula: 
 
95,2
9,217,0103,0 22
2
2 +⋅−++⋅
=
zzz
αε 
 Calcula-se a velocidade periférica na roda-coroa, em m/s, por: 
 
100060
22
2
⋅
⋅⋅
=
nd
v
pi
 
e usa-se o resultado para escolher Kv e para posterior cálculo de KH = Kβ⋅Kv. Kβ depende 
do tipo de carga e do coeficiente de diâmetro. Usando a fórmula (psf 34-1) calcula-se a 
tensão de contacto: 
 
)2('
cos18,1
12
2
2
2
www
wHred
H
sendd
KTE
αξεδ
γ
σ
α ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅= 
 
e compara-se com o valor admissível [σH]. 
 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 31 
9. Faz-se o cálculo testador da transmissão à flexão pela fórmula (psf 38-1), na qual: 
 
F
T
dt2
2
2
2
=
⋅
 ; KF = KH ; mn = m⋅ cos γ ; 
b2 ≤ y ⋅ da1 onde: y = 0,75 – para z1 = 1 ou 2 ; y = 0,67 – para z1 = 4. 
 
O valor de b2 pode ser arredondado consoante os valores das tensões reais de contacto σH. 
 
da2 = d1 + 2 ⋅ ha1 = d1 + 2 ⋅ m 
 
w
v
z
z
γ3
2
cos
= (para escolher YF ) 
 
Usando recomendações, calcula-se o valor da tensão admissível à flexão [σF] e compara-
se com o valor real σF que se determina partindo da fórmula (psf 38-1): 
n
Ft
FF
mb
KF
Y
⋅
⋅
⋅⋅=
2
27,0σ 
10. Calcula-se o rendimento real da transmissão pela fórmula (psf 21) e compara-se com o 
valor arbitrado no ponto 2. A fórmula é : 
 η γγ ϕeng
w
w
tg
tg
=
+ ′( ) 
Se a margem de segurança à resistência mecânica for menor que o erro no rendimento 
(ambos em termos relativos) e o rendimento calculado for maior que o arbitrado então é 
necessário recalcular a transmissão. 
 
11. Calculam-se ou designam-se as dimensões principais da transmissão: 
 
•
 para o parafuso-sem-fim: 
 
z1, m, q, d1 e da1 já existem; 
 
 df1 = d1 - 2⋅hf1 (psf 5) 
 b1 ≥ (c1 + c2⋅z2)⋅m (psf 6) 
 
(devem-se adicionar os valores 25 ... 50 mm, recomendados após a fórmula (psf 6) ) 
 
• para a roda-coroa: 
 
z2, x, aw, d2 e b2 já existem; 
 
 da2 = d2 + 2 ⋅ ha2 = m ⋅ (z2 + 2 - 2⋅x); (psf 15) 
 df2 = d2 – 2 ⋅ hf2, 
 d d
m
zaM a2 2 1
6
2
≤ +
⋅
+
 ou medd aaM ⋅+≤ 22 (psf 8) 
 
Depois dos cálculos escolhe-se o grau de precisão, usando a tabela 9.2. 
♦ 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 32 
 
Exercício: 
 
Calcular uma transmissão de parafuso sem-fim para os seguintes dados: 
P1 = 4,5 kW; n1 = 960 min-1; i = 20 ; A transmissão funciona sob carga constante 
 
 Resolução (pretende-se utilizar a fórmula 36-2 para determinar a distância interaxial e depois 
realiza-se o cálculo térmico) 
 
1. Das recomendações, escolhe-se o número de entradas do parafuso sem fim: z1=2 (para 
i=20) 
Calcula-se 2840202 min212 =>=⋅=⋅=′ zizz 
 
2. Determinam-se os momentos torsores: 
1
1
1 ω
P
T = ; 11 100
30
960
30
−
≈
⋅
=
⋅
= s
n pipi
ω
 
mNT ⋅⋅=⋅= 3
3
1 1045100
105,4
 
η⋅⋅= iTT 12 
80,0=η (das recomendações, para z1=2) ou fórmula (psf23) 
mmNmNT ⋅⋅=⋅=⋅⋅= 32 1072072080.02045 
 
3. Estima-se a velocidade de deslizamento vs usando a fórmula (psf20) 
s
mTnvs 9,3720960105,4105,4 3
43
21
4
≈⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
−−
 
4. Segundo as recomendações sobre os materiais, escolhe-se o material para a roda coroa: 
bronze ao aluminio e ferro ���� ����este material tem boas propriedades mecânicas: σe=200 
MPa; σr=400 MPa; o parafuso é feito de aço 40X, temperado para dureza 54HRC com 
filetes rectificados e polidos. Para estes materiais tem-se a tensão admissível: 
 [ ] MPavsH 2039,32530025300 =⋅−=⋅−=σ 
 
5. Das recomendações (pag. 4) escolhe-se os coeficientediâmetral: 
104025,025,0 2 =⋅=⋅≥ zq 
Arbitra-se 5,12=′q e verifica-se se não é excessivo: 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 33 
3125,0
40
5,12
2
≈=
′
z
q
 
Este valor é mesmo que o máximo recomendável ( 4,0≈ ). 
6. Da fórmula (psf. 36-2) calcula-se a distância interaxial wa′ e normaliza-se ( )wa . Para tal 
calcula-se o módulo de elasticidade reduzido: 
( ) ( ) MPa
EE
EE
E red
5
55
55
21
21 1026,1
109,0101,2
109,0101,222
⋅≈
⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅
=
+
⋅⋅
= 
onde: 
[ ]
mm
z
q
TE
z
q
a
H
red
w 2,157
40
5,12203
107201026,11
40
5,12625,01625,0
3 2
35
3
2
2
2
≈
�
�
�
�
�
�
⋅
⋅⋅⋅
⋅�
�
�
�
�
�
+⋅=
��
�
�
��
�
�
⋅
⋅
⋅��
�
�
��
�
�
+⋅=′
σ
 
Das distâncias interaxial normalizadas (pag. 2) escolhe-se mmaw 160= 
 
7. Da fórmula (psf. 10) acha-se o módulo calculado m′ : 
mm
zq
a
m w 095,6
405,12
16022
2
=
+
⋅
=
+
⋅
=′ 
Dos valores de módulos normalizados (pag. 3) escolhe-se o módulo mmm 3,6=′ . O 
coeficiente de deslocamento (x) pode, então, ser determinado por (psf. 12): 
( ) ( ) 853,0405,125,0
3,6
1605,0 2 −=+⋅−=+⋅−= zq
m
a
x w 
Segundo as recomendações (pag. 9), este valor do coeficiente de deslocamento é alto. Como 
é negativo, tenta-se reduzir a componente negativa da fórmula (psf. 12), reduzindo o número 
de dentes z2 dentro dos limites admissíveis de variação da redução da transmissão: 392 =z , o 
que dá: 5,19
2
39
1
2
===
z
z
i
 
E o desvio da relação de transmissão é: 
%4025,0
20
5,1920
min
min <=
−
=
−
=∆
alno
novoalno
i
ii
i , o que é aceitável 
O novo coeficiente de deslocamento será: 
( ) () 353,0395,125,0
3,6
1605,0 2 −=+⋅−=+⋅−= zq
m
a
x w 
Este valor está dentro dos limites recomendáveis. 
 
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Os diâmetros primitivos do parafuso sem-fim e da secção mediana da roda coroa são achados 
por: (psf. 2 e psf. 3) 
mmmzd
mmmqd
7,2453,639
75,783,65,12
22
1
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
 
A velocidade de deslizamento inicialmente avaliada pode ser calculada com exactidão. Para 
tal, determinam-se as componenentes da fórmula (psf. 18) 
s
mnd
v 96,3
60000
96075,78
60000
11
1 =
⋅⋅
=
⋅⋅
=
pipi
 
5916,016,0
5,12
2 01
′==→=== arctg
q
z
tg γγ (psf. 3) 
então: 
s
mv
vs 459cos
96,3
cos 0
1
≈
′
==
γ
 então, para o valor “arbritado” da velocidade de 
deslizamento 
s
mvs 4= é apenas ligeramente diferente. O valor de [ ]Hσ quase não 
muda, também. 
 
8. Faz-se o calculo testador as tensões de contacto usando a fórmula (psf. 34). Para tem-se 
rad8727,0500 =′→= δδ (recomendação geral). 
O valor de αε acha-se da fórmula: 
87,1
95,2
9,23917,01393903,0
95,2
9,217,0103,0 222
2
2
≈
+⋅−++⋅
=
+⋅−++⋅
=
zzz
αε 
O valor de vH KKK ⋅= β determina-se após a escolha apropriada dos factores. Para carga 
constante 1=βK uma vez que 
s
m
i
ndnd
v 63,0
5,1960000
9607,245
6000060000
1222
2 ≈
⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
=
pipipi
 então o 
coeficiente 1=vK , o que dá 1=⋅= vH KKK β 
Pela fórmula (psf. 34), calcula-se a tensão de contacto: 
[ ] MPaMPa
sen
HH 2035,1814075,087,18727,075,787,245
59cos1107201026,118,1 02
035
=<=
⋅⋅⋅⋅⋅
′⋅⋅⋅⋅⋅
⋅= σσ
 
como se pode depreender, a resistência ao contacto é verificada, com uma margem de cerca 
de 12% relativamente as tensões reais. Então, o valor das dimensões construtivas são aceites 
segundo a resistência ao contacto visto que nem sempre é possível ter valores, muito 
próximos, de Hσ e [ ]Hσ visto que se usam valores normalizados de q e m′ . 
 
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9. Faz-se calculo testador as tensões de flexão usando a fórmula (psf. 38-1). Para tal acham-se 
os valores: 
N
d
T
Ft 58617,245
1072022 3
2
2
2 ≈
⋅⋅
=
⋅
= ; 
1== HF KK ; 
( ) ( ) mmmddb a 5,683,6275,7875,0275,075,0 112 =⋅+⋅=⋅+⋅=⋅≤ 
das recomendações toma-se: mmb 682 = ; 
mmmmn 2,659cos3,6cos 0 ≈′⋅=⋅= γ 
Para determinar FY calcula-se vz : 
405,40
59cos
39
cos 033
2
≈=
′
==
γ
z
zv dentes 
da tabela para este valor tem-se: 55,1=FY 
A tensão admissível de flexão [ ]Fσ para todas marcas de bronze é: 
[ ] MPareF 8240008,020025,008,025,0 =⋅+⋅=⋅+⋅= σσσ 
Finalmente, aplicando a fórmula (psf. 38-1): 
MPa
mb
KF
Y FtFF 153,668
1586155,17,07,0
2
2
=
⋅
⋅
⋅⋅=
⋅
⋅
⋅⋅=σ 
Como se vê [ ] MPaMPa HF 8215 =<= σσ 
 
10. Calcula-se o valor exacto rendimento pela fórmula (psf. 21). Para tal, da tabela extrai-se o 
valor do coeficiente de atrito e ângulo de atrito, para smvs /4= tem-se: 
5310 ′=ϕ (médio) e 027,0≈f 
então: 
( ) ( ) 85,053159
59
00
0
≈
′+′
′
=
+
=
tg
tg
tg
tg
ϕγ
γη 
O valor arbritrado inicialmente foi 80,0=η , o que dá um rendimento real 6% maior que o 
arbritrado. Contudo, não se refaz a verificação da resitência ao contacto e à flexão pois as 
margens de segurança das tensões são suficientes para compensar a elevação do torque T2. 
 
11. As dimensões principais do parafuso sem-fim são: 
z1=2; m=6,6 mm; q=12,5; d1=78,75 mm 
 
Transmissões por parafuso sem-fim / coroa Rui V. Sitoe 1993-2006 – Página 36 
da1=91,35 mm; 63,633,64,275,784,211 =⋅−=⋅−= mdd f mm 
da fórmula (psf. 6) tem-se: 
( ) ( ) 4,713,63906,092211 =⋅⋅+=⋅⋅+≥ mzccb mm 
onde: 
c1=9 (interpolado) 
c2=0,06 
De acordo com as recomendações (pag. 5), aumenta-se 25 mm para m<10 mm o que dá:
 961 =b mm 
Para a roda coroa, tendo aw=160 mm e 353,0−=x 
z2=39; d2=245,7 mm; b2=68 mm; 
( ) ( )[ ] 85,253353,022393,62222 =−⋅++⋅=⋅++⋅= xzmd a mm 
( ) ( )[ ] 13,226353,024,2393,624,22 =−⋅+−⋅=⋅+−⋅= xzmd af mm 
3,263
22
3,6685,253
2
6
1
22 =
+
⋅
+=
+
⋅
+≤
z
mdd aaM mm 
escolhe-se 2632 =aMd mm e a a8 classe de precisão (recomendação da tabela 9.2). 
 
12. Cálculo térmico 
 
a. Calcula-se a quantidade de calor libertado, por: 
 
b. Calcula-se a quantidade de calor que se pode dissipar à temperatura máxima recomendada do 
óleo. Para tal, escolhe-se: 
 
 K = 8 ... 10 W/(m2⋅ºC) – para redutor fechado, sem ventilação (escolhe-se K = 8) 
 t1 = [tmax] = 90 ºC – escolhido em função do óleo 
t0 = tar = 40 ºC – escolhido para temperaturas altas, em clima tropical 
 
 A área de troca de calor (área do corpo do redutor) é aproximada por: 
 
 então: 
( ) ( ) WP 6751085,015,4101 331 =⋅−⋅=⋅−⋅=Φ η
27,17,1 887,016,02020 maA w =⋅=⋅≈
 
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Φ1max = K⋅(t1-t0)⋅A = 8⋅(90 - 40)⋅0,887 ≈ 355 W⋅ 
 
 Como Φ > Φ1max o calor gerado na transmissão não pode ser dissipado por convecção 
natural, ou seja, se não se tomassem providências, o óleo aqueceria acima de tmax. Por esta razão, 
tentar-se-á mudar o tipo de refrigeração , adoptando-se um ambiente com ventilação intensiva, 
para o qual K aumenta para valores
Cm
W
0217.......14
⋅
. Adopta-se 
Cm
WK 0214
⋅
=
 e recalcula-se: 
( ) W6214090887,014max1 =−⋅⋅=Φ 
Este valor ainda é insuficiente para garantir max11 tt < , apesar de estar proximo de φ . É possível 
aumentar o valor de K por meio de montagem de um ventilador directamente sobre o parafuso 
sem-fim (fig. 9.10-a), o que pode conferir valores de K entre 20 ...28 W/m2⋅ºC. Adoptando o 
valor K = 20 W/m2⋅ºC tem-se: 
( ) W8874090887,020max1 =−⋅⋅=Φ , o que é satisfatório pois Φ>Φ max1 . 
A temperatura do óleo pode ser avaliada por: 
( ) [ ] CtC
AK
t
AK
P
tttoleo
0
max1
0
0
1
01 9078887,020
675401 =<≈
⋅
+=
⋅
Φ
+=
⋅
−⋅
+==
η
 
♦