3ª TVC GASL 2010 2

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3a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas - 01/12/2010
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 4 questo˜es. A prova e´ individual, sem consulta e
na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
1. Considere o plano pi de equac¸a˜o geral 3x + 2y − z + 7 = 0 e uma reta r de equac¸o˜es
parame´tricas

x = 2t
y = −1 + t
z = 2 + 5t
, t ∈ R. (30 pts)
(a) Prove que o plano pi e a reta r sa˜o concorrentes.
(b) Encontre equac¸o˜es parame´tricas para uma reta s concorrente a` reta r e contida
no plano pi.
(c) Calcule a distaˆncia do ponto P = (0,−1, 2) ao plano pi.
2. Um ponto P = (x, y) se move no plano de maneira que sua distaˆncia ao ponto A = (2, 4)
e´ sempre igual a sua distaˆncia ao eixo-y. (25 pts)
(a) Encontre a equac¸a˜o cartesiana da curva trajeto´ria deste ponto e fac¸a seu esboc¸o
no plano cartesiano.
(b) Encontre a equac¸a˜o polar desta curva.
3. No plano, considere a reta r de equac¸a˜o y = x+5 e a curva C de equac¸o˜es parame´tricas{
x = 4 cos θ
y = 3 sen θ
, 0 ≤ θ ≤ 2pi. (20 pts)
(a) Encontre a equac¸a˜o cartesiana e identifique a curva C.
(b) Encontre a intersec¸a˜o entre a reta r e a curva C. Esboce a reta r e a curva C no
plano cartesiano.
4. Identifique1 a coˆnica de equac¸a˜o y2−4x2+2y−16x−31 = 0 e encontre as coordenadas (25pts.)
do seu centro, ve´rtices, focos e equac¸o˜es das ass´ıntotas (se for o caso). Fac¸a o esboc¸o
dessa coˆnica no sistema de coordenadas xy identificando a posic¸a˜o de seus elementos.
1Atenc¸a˜o! Os alunos que desejarem fazer a Prova Opcional de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares,
que ocorrera´ no dia 08/12/2010, devera˜o fazer sua inscric¸a˜o na sala da Coordenac¸a˜o do Curso de Cieˆncias
Exatas, ate´ a manha˜ do dia 07/12/2010.