Diagrama de Blocos e Fluxo de Sinais

Prévia do material em texto

Representac¸a˜o e Ana´lise de Sistemas Dinaˆmicos Lineares
1. Diagrama de Blocos
2. Gra´fico de fluxo de sinais
Fernando de Oliveira Souza pag.1 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
G(s)
Y (s) = G(s)U(s)U(s)
� Representac¸a˜o ilustrada de cada um dos componentes de um
sistema e do fluxo de sinais correspondentes
� Inclui apenas informac¸o˜es sobre comportamento dinaˆmico
(sistemas diferentes podem ter mesmo diagrama)
� FT sa˜o introduzidas nos blocos correspondentes nos quais:
sa´ıda = entrada × FT
Fernando de Oliveira Souza pag.2 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Filtro
+
−
Ctrl Atuador Processo
Sensor
R(s) Y (s)
Fernando de Oliveira Souza pag.3 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo Filtro: Circuito RC
−
+
x(t)
R
i(t)
C
+
−
y(t)
• Equac¸a˜o 1
i(t) =
x(t)− y(t)
R
⇒ I(s) = X(s)− Y (s)
R
Fernando de Oliveira Souza pag.4 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo Filtro: Circuito RC
−
+
x(t)
R
i(t)
C
+
−
y(t)
• Equac¸a˜o 2
y(t) =
1
C
∫
i(t)dt⇒ Y (s) = 1
C
I(s)
s
Fernando de Oliveira Souza pag.5 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo Filtro: Circuito RC
• Equac¸a˜o 1
I(s) =
X(s)− Y (s)
R
⇒
1
R
X(s) I(s)
Y (s)
+
−
Fernando de Oliveira Souza pag.6 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
• Equac¸a˜o 2
Y (s) =
1
C
I(s)
s
⇒
1
sC
I(s) Y (s)
Fernando de Oliveira Souza pag.7 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo Filtro: Circuito RC
• Equac¸a˜o 1
1
R
X(s) I(s)
Y (s)
+
−
• Equac¸a˜o 2
1
sC
I(s) Y (s)
Fernando de Oliveira Souza pag.8 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo Filtro: Circuito RC
1
R
1
sC
X(s) Y (s)+
−
Fernando de Oliveira Souza pag.9 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Filtro
+
−
Ctrl Atuador Processo
Sensor
R(s) Y (s)
Fernando de Oliveira Souza pag.10 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Filtro
+
−
Ctrl Atuador Processo
Sensor
R(s) Y (s)
Planta
Fernando de Oliveira Souza pag.11 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo Atuador: Motor CC controlado pelo campo
Fernando de Oliveira Souza pag.12 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo Atuador: Motor CC controlado pela armadura
Fernando de Oliveira Souza pag.13 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo: Elemento ou sistema
Fernando de Oliveira Souza pag.14 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo: Elemento ou sistema
τa = R1C1, τb = R2C2, τab = R1C2
Fernando de Oliveira Souza pag.15 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo: Elemento ou sistema
Fernando de Oliveira Souza pag.16 Engenharia de Controle – Aula 3
Diagrama de Blocos
Exemplo: Elemento ou sistema
Fernando de Oliveira Souza pag.17 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Exemplo: Diagrama de blocos
Fernando de Oliveira Souza pag.18 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
G(s)
H(s)
R(s)
Y (s)E(s)+
−
Ponto de junc¸a˜oPonto de soma
� R(s) – sinal de refereˆncia (set-point)
� Y (s) – sinal de sa´ıda (varia´vel controlada)
� E(s) – sinal de erro
� G(s) = Y (s)/E(s) – FT do processo
� H(s) – FT da realimentac¸a˜o (sensor)
Fernando de Oliveira Souza pag.19 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Exerc´ıcio: Encontre a func¸a˜o de transfereˆncia em Malha Fechada
Gmf =
Y (s)
R(s)
G(s)
H(s)
R(s)
Y (s)E(s)+
−
Ponto de junc¸a˜oPonto de soma
Fernando de Oliveira Souza pag.20 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Soluc¸a˜o:
Y (s) = G(s)E(s)
e
E(s) = R(s)−H(s)Y (s)
logo
Y (s) = G(s)[R(s)−H(s)Y (s)]
Y (s) +G(s)H(s)Y (s) = G(s)R(s)
Y (s)[1 +G(s)H(s)] = G(s)R(s)
Y (s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
Fernando de Oliveira Souza pag.21 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
1 - Combinando Blocos em Cascata
Fernando de Oliveira Souza pag.22 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
2 - Deslocando para a frente um ponto de soma situado
atra´s de um bloco
Fernando de Oliveira Souza pag.23 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
3 - Deslocando para tra´s um ponto de junc¸a˜o situado a`
frente de um bloco
Fernando de Oliveira Souza pag.24 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
4 - Deslocando para frente um ponto de junc¸a˜o situado
atra´s de um bloco
Fernando de Oliveira Souza pag.25 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
5 - Deslocando para tra´s um ponto de soma situado a`
frente de um bloco
Fernando de Oliveira Souza pag.26 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
6 - Eliminando um lac¸o de realimentac¸a˜o
Fernando de Oliveira Souza pag.27 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Exerc´ıcio 1: Reduza o diagrama de blocos
Fernando de Oliveira Souza pag.28 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Soluc¸a˜o
Fernando de Oliveira Souza pag.29 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Soluc¸a˜o
Fernando de Oliveira Souza pag.30 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Soluc¸a˜o
Fernando de Oliveira Souza pag.31 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Exerc´ıcio 2: Reduza o diagrama de blocos
Fernando de Oliveira Souza pag.32 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Soluc¸a˜o:
Fernando de Oliveira Souza pag.33 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Soluc¸a˜o:
Fernando de Oliveira Souza pag.34 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Soluc¸a˜o:
Y (s)
R(s)
=
G1G2
1−G1G3
1 + G1G2G4
1−G1G3
(
G5 +
G6
G2
)
Y (s)
R(s)
=
G1G2G5 +G1G6
1−G1G3 +G1G2G4
Fernando de Oliveira Souza pag.35 Engenharia de Controle – Aula 3
Reduc¸a˜o de Diagrama de Blocos
Exemplo: Usando o MatLab
G1 = tf(2,1);
G2 = tf(4, [1 0]);
G3 = tf(1, [1 0]);
Gp = parallel(G1,G2);
Gs = series(Gp,G3);
G = feedback(Gs,1,-1); % ou G = feedback(Gs,1);
G =
2s+ 4
s2 + 2s+ 4
Fernando de Oliveira Souza pag.36 Engenharia de Controle – Aula 3
Sa´ıda a Mu´ltiplas Entradas
G(s)
H(s)
C(s)
R(s) Y (s)U(s)E(s)
W (s) D(s)
N(s)
+
+
+
+
+
++
−
Uma Func¸a˜o de Transfereˆncia:
YR(s)
R(s)
=
G(s)C(s)
1 +G(s)C(s)H(s)
Fernando de Oliveira Souza pag.37 Engenharia de Controle – Aula 3
Sa´ıda a Mu´ltiplas Entradas
G(s)
H(s)
C(s)
R(s) Y (s)U(s)E(s)
W (s) D(s)
N(s)
+
+
+
+
+
++
−
YR(s)
R(s)
=
G(s)C(s)
1 +G(s)C(s)H(s)
Encontre as func¸o˜es de transfereˆncia:
YW (s)
W (s)
,
YD(s)
D(s)
e
YN(s)
N(s)
Fernando de Oliveira Souza pag.38 Engenharia de Controle – Aula 3
Sa´ıda a Mu´ltiplas Entradas
G(s)
H(s)
C(s)
R(s) Y (s)U(s)E(s)
W (s) D(s)
N(s)
+
+
+
+
+
++
−
Encontre a sa´ıda
Y (s) = YR(s) + YW (s) + YD(s) + YN(s).
Fernando de Oliveira Souza pag.39 Engenharia de Controle – Aula 3
Sa´ıda a Mu´ltiplas Entradas
G(s)
H(s)
C(s)
R(s) Y (s)U(s)E(s)
W (s) D(s)
N(s)
+
+
+
+
+
++
−
Encontre a sa´ıda Y (s):
Y (s) =
G(s)C(s)
1 +G(s)C(s)H(s)
R(s) +
1
1 +G(s)C(s)H(s)
D(s)+
G
1 +G(s)C(s)H(s)
W (s)− GCH
1 +G(s)C(s)H(s)
N(s)
Fernando de Oliveira Souza pag.40 Engenharia de Controle – Aula 3
Sa´ıda a Mu´ltiplas Entradas
G(s)
H(s)
C(s)
R(s) Y (s)U(s)E(s)
W (s) D(s)
N(s)
+
+
+
+
+
++
−
Encontre a sa´ıda E(s):
Fernando de Oliveira Souza pag.41 Engenharia de Controle – Aula 3
Sa´ıda a Mu´ltiplas Entradas
G(s)
H(s)
C(s)
R(s) Y (s)U(s)E(s)
W (s) D(s)
N(s)
+
+
+
+
+
++
−
Encontre a sa´ıda E(s):
E(s) =
1
1 +G(s)C(s)H(s)
R(s)− H
1 +G(s)C(s)H(s)
D(s)
− HG
1 +G(s)C(s)H(s)
W (s)− H
1 +G(s)C(s)H(s)
N(s)
Fernando de Oliveira Souza pag.42 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
Motor CC controlado pela armadura
Fernando de Oliveira Souza pag.43 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
Fo´rmula de Mason:
Y (s)
R(s)
=
∑
k Pk∆k
∆
• k: nu´mero de percursos diretos
• Pk: Ganho do k-e´simo percurso direto
• ∆: Determinante do diagrama
∆ = 1−(∑ todos os ganhos de lac¸os distintos)
+(
∑
prod. ganhos de todas comb. de lac¸os disjuntos 2 a 2)
−(∑ prod. ganhos de todas comb. de lac¸os disjuntos 3 a 3)
. . .
• ∆k: ∆ removendo os lac¸os que tocam o percurso k
Fernando de Oliveira Souza pag.44 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
P1 = G1G2G3G4 e P2 = G5G6G7G8
Exemplo: Fo´rmula de Mason
Fernando de Oliveira Souza pag.45 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
∆ = 1− (L1+L2+L3+L4)+(L1L3+L1L4+L2L3+L2L4)
L1 = G2H2
L2 = G3H3
L3 = G6H6
L4 = G7H7
Exemplo: Fo´rmula de Mason
Fernando de Oliveira Souza pag.46 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
∆1 = 1− (L3 + L4) e ∆2 = 1− (L1 + L2)
P 1 :
{
L1 = 0
L2 = 0
P 2 :
{
L3 = 0
L4 = 0
Exemplo: Fo´rmula de Mason
∆ = 1− (L1+L2+L3+L4)+(L1L3+L1L4+L2L3+L2L4)
Fernando de Oliveira Souza pag.47 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
Exemplo: Fo´rmula de Mason
Y (s)
R(s)
=
∑
k Pk∆k
∆
=
(G1G2G3G4)[1− L3 − L4] + (G5G6G7G8)[1− L1 − L2]
1− (L1 + L2 + L3 + L4) + (L1L3 + L1L4 + L2L3 + L2L4)
Fernando de Oliveira Souza pag.48 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
Exemplo: Encontre a func¸a˜o de transfereˆncia de R(s)
para Y (s)
Fernando de Oliveira Souza pag.49 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
Soluc¸a˜o
• P1 = G1G2G3G4
• ∆ = 1−(−G2G3H2+G3G4H1−G1G2G3G4H3)
• ∆1 = 1
Y (s)
R(s)
=
∑
k Pk∆k
∆
=
G1G2G3G4
1− (−G2G3H2 +G3G4H1 −G1G2G3G4H3)
Fernando de Oliveira Souza pag.50 Engenharia de Controle – Aula 3
Gra´fico de Fluxo de Sinais
Exerc´ıcio: Encontre a func¸a˜o de transfereˆncia de R(s)
para Y (s)
Fernando de Oliveira Souza pag.51 Engenharia de Controle – Aula 3