Lista 2

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MAT 012 1o¯ Sem. 2015 Prof. Rodrigo
Lista 2: Me´todos Nume´ricos para Sistemas Lineares
1. Seja C = AuvTB, onde A,B sa˜o matrizes n × n e u, v sa˜o vetores n × 1. E´ poss´ıvel
computar a matriz C de va´rias formas: A(u(vTB)), A((uvT )B), etc. Qual a melhor
maneira de avaliar C realizando o menor nu´mero de operac¸o˜es? Justifique.
2. Sejam x, y vetores de tamanho n× 1 e W = xyT uma matriz n× n. Dado o vetor b de
tamanho n× 1, considere a tarefa de calcular o produto matriz-vetor c = Wb.
a) Explique como calcular c realizando o menor nu´mero poss´ıvel de operac¸o˜es.
b) Mostre que W e´ singular.
3. Sejam A, B e C matrizes de ordem n tais que:
� A e´ densa, isto e´, aij 6= 0, para todo i e j,
� B e´ densa e invert´ıvel,
� C e´ diagonal, ou seja, cij = 0 para todo i 6= j.
Considere o problema de encontrar o vetor z de tamanho n × 1 atrave´s do seguinte
ca´lculo
z = AB−1Cd,
onde d e´ um vetor de tamanho n × 1. Explique como obter z realizando o menor
nu´mero poss´ıvel de operac¸o˜es e sem que seja necessa´rio usar explicitamente a inversa
de B.
4. Resolva o sistema linear abaixo usando eliminac¸a˜o gaussiana sem estrate´gia de pivote-
amento parcial: 
4x1 + x2 + 2x3 = 9
2x1 + 4x2 − x3 = −5
x1 + x2 − 3x3 = 9
5. Resolva o sistema linear abaixo utilizando eliminac¸a˜o gaussiana com estrate´gia de
pivoteamento parcial: 
2x1 + 3x2 − x3 = 5
4x1 + 6x2 + 3x3 = 25
5x1 − 4x2 − 3x3 = −12
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6. Encontre a decomposic¸a˜o LU da matriz abaixo ou justifique sua na˜o existeˆncia:
A =
 1 1 12 1 −1
3 2 0
 .
7. Resolva o sistema linear abaixo atrave´s da decomposic¸a˜o LU sem estrate´gia de pivo-
teamento parcial: 
−9x1 + 5x2 + 6x3 = 11
2x1 + 3x2 + x3 = 4
−x1 + x2 − 3x3 = −2
8. Resolva o sistema linear abaixo empregando a decomposic¸a˜o LU com estrate´gia de
pivoteamento parcial: 
x1 + 4x2 − x3 = 0
4x1 + x2 + 2x3 = 1
4x2 − 5x3 = 3
9. Sejam A uma matriz de ordem n e X,B matrizes n×m.
a) Mostre que resolver a equac¸a˜o matricial AX = B e´ o mesmo que resolver m
sistemas lineares do tipo Ax = b, onde b e´ um vetor n× 1.
b) Usando o item anterior, verifique que A−1 pode ser obtida atrave´s da resoluc¸a˜o
de n sistemas lineares.
c) Entre os me´todos da eliminac¸a˜o gaussiana e a decomposic¸a˜o LU , qual o mais
indicado para o ca´lculo de A−1? Justifique.
d) Aplique o me´todo escolhido no item anterior para obter a 5a coluna da inversa da
seguinte matriz:
A =

4 −1 0 −1 0 0
−1 4 −1 0 −1 0
0 −1 4 0 0 −1
−1 0 0 4 −1 0
0 −1 0 −1 4 −1
0 0 −1 0 −1 4
 .
10. Seja A uma matriz invert´ıvel e suponha que A = LU .
a) Mostre que e´ poss´ıvel escrever A = LDÛ , onde D e´ uma matriz diagonal e Û e´
triangular superior com diagonal unita´ria.
b) Explique como resolver o sistema linear Ax = b sabendo que A = LDÛ .
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11. Prove ou deˆ um contra-exemplo para a seguinte afirmac¸a˜o: “Dada uma matriz A
n×n, sua fatorac¸a˜o LU , obtida com estrate´gia de pivoteamento parcial, e´ tal que todos
os elementos da matriz L teˆm mo´dulo menor ou igual a 1.”
12. Suponha um sistema linear em que a matriz de coeficientes possui uma estrutura de
blocos:
A =

0 B 0
0 0 B
B 0 0
 ,
onde B e´ uma submatriz quadrada e invert´ıvel e “0” e´ a submatriz nula. Qual e´ o
me´todo direto mais indicado para resolver um sistema linear que tem A como matriz
de coeficientes? Explique como o me´todo pode ser aplicado para obter a soluc¸a˜o deste
sistema.
13. Seja A =
(
5 7
7 13
)
.
a) Obtenha o fator de Cholesky de A.
b) Encontre outra matriz triangular inferior R, tal que A = RRT . Por queˆ isso na˜o
contradiz o teorema da decomposic¸a˜o de Cholesky?
14. Resolva o sistema linear abaixo usando a decomposic¸a˜o de Cholesky:
20x1 + 7x2 + 9x3 = 16
7x1 + 30x2 + 8x3 = 38
9x1 + 8x2 + 30x3 = 38
15. Dado o sistema linear abaixo, monte o esquema iterativo de Gauss-Seidel de forma que
a convergeˆncia do me´todo fique garantida. Justifique.
x1 + x2 + x3 + 6x4 = 5
7x1 + x2 + x3 + x4 = 2
x1 + 9x2 + x3 + x4 = 12
x1 + x2 − 8x3 + x4 = 4
16. Considere o problema de resolver o sistema Ax = b pelo me´todo da eliminac¸a˜o gaussi-
ana com estrate´gia de pivoteamento parcial. Se M = max
i,j
{|aij|}, 1 ≤ i, j ≤ n, prove
que apo´s a primeira etapa do me´todo todos os elementos da matriz transformada na˜o
excedem 2M .
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17. Seja A uma matriz quadrada invert´ıvel de ordem n e considere a matriz de mesma
ordem
Tk =

1 0 · · · 0 0 · · · 0
0 1 · · · 0 0 · · · 0
...
...
. . .
...
...
...
0 0 · · · 1 0 · · · 0
0 0 · · · −µk+1 1 · · · 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 · · · −µn 0 · · · 1

,
onde µi = aik/akk para i = k+ 1, . . . , n. A multiplicac¸a˜o de matrizes TkA produz uma
nova matriz  cujos os elementos da coluna k, abaixo do elemento akk, sa˜o nulos.
a) Como as matrizes Tk podem ser utilizadas para determinar a decomposic¸a˜o LU
de A sem estrate´gia de pivoteamento? Justifique.
b) Usando as matrizes Tk adequadas, encontre a decomposic¸a˜o LU de
A =
 2 2 24 7 7
6 18 22
 .
18. Uma matriz quadrada A = [aij] e´ dita estritamente diagonalmente dominante se
|aii| >
∑
j 6=i
|aij|, ∀ i = 1, 2, . . . , n.
a) Fornec¸a dois exemplos de matrizes estritamente diagonalmente dominantes que
na˜o sejam matrizes diagonais.
b) Se A e´ estritamente diagonalmente dominante, o que podemos concluir sobre
a convergeˆncia dos me´todos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel quando
aplicados ao sistema linear Ax = b? Justifique.
19. Uma matriz A de ordem n e´ definida positiva se para todo x ∈ Rn na˜o nulo
〈Ax, x〉 = xTAx > 0.
Mostre que se A e´ definida positiva enta˜o aii > 0 para todo i = 1, 2, . . . , n.
20. Prove que a matriz
A =
 2 −1 0−1 2 −1
0 −1 2

e´ definida positiva. Dica: utilize diretamente a definic¸a˜o dada no exerc´ıcio 19.
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21. Seja
A =
 α 1 0β 2 1
0 1 2
 .
Encontre todos os valores de α e β de forma que
a) A seja singular,
b) A seja estritamente diagonalmente dominante,
c) A seja sime´trica,
d) A seja definida positiva.
22. O sistema de cabos ilustrado na figura abaixo esta´ em equil´ıbrio esta´tico: a soma das
componentes horizontais e verticais das forc¸as que atuam em cada junta e´ nula.
pi
4 pi
6
f1
f2
F1
F2
1
f5f2
10000 N
f3
3
f5
F3
f4
4
f3
f1
f4
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a) Escreva o sistema de equac¸o˜es lineares Ax = b que descreve o equil´ıbrio indicado
na figura.
b) E´ poss´ıvel aplicar o me´todo de Gauss-Jacobi ao sistema Ax = b considerando a
disposic¸a˜o original de linhas e colunas? Justifique.
c) Por queˆ, para resolver este problema, e´ prefer´ıvel usar um me´todo iterativo ao
inve´s de um me´todo direto? Justifique.
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23. Sabe-se que uma alimentac¸a˜o dia´ria equilibrada em vitaminas deve conter 170 unidades
(u) de vitamina A, 180 u de vitamina B, 140 u de vitamina C, 180 u de vitamina D
e 350 u de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como devera´ ser uma refeic¸a˜o
equilibrada, foram estudados 5 alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) de cada
alimento, a quantidade de vitaminas (em unidades u) presente em cada amostra esta´
indicada na tabela abaixo:
Alim./Vit. A B C D E
1 1 10 1 2 2
2 9 1 0 1 1
3 2 2 5 1 2
4 1 1 1 2 13
5 1 1 1 9 2
Quantos gramas de cada um dos alimentos devemos ingerir diariamente para que nossa
alimentac¸a˜o seja equilibrada? Formule este problema como um sistema linear Ax = b
e o resolva empregando um me´todo nume´rico adequado.
24. Ao aplicarmos as Leis de Kirchhoff no circuito abaixo, podemos determinar as intensi-
dades de corrente em seus ciclos resolvendo o seguinte sistema de equac¸o˜es:
11I1 − 3I2 = 30
−3I1 + 6I2 − I3 = 5
−I2 + 3I3 = −25
a) A matriz de coeficientes do sistemae´ sime´trica? Definida-positiva? Justifique.
b) O que podemos afirmar sobre a convergeˆncia do me´todo de Gauss-Jacobi se o
aplicarmos para resolver o sistema considerando a disposic¸a˜o de linhas e colunas
originais? Justifique.
c) Fac¸a uma iterac¸a˜o do me´todo de Gauss-Jacobi e estime as intesidades de corrente
I1, I2 e I3.
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25. Uma rede de canais de irrigac¸a˜o e´ mostrada na figura abaixo, onde f1, f2 e f3 sa˜o fluxos
de a´gua medidos em litros por minuto. Os fluxos na rede obedecem a conservac¸a˜o de
fluxo, isto e´, em cada no´ A, B e C o fluxo de entrada e´ igual ao fluxo de sa´ıda.
20
10
f2
f1
f3
30
B
A
C
a) Escreva o sistema linear Ax = b que determina os valores dos fluxos na rede.
b) A matriz A e´ invert´ıvel? Admite decomposic¸a˜o LU? Justifique.
c) Classifique o sistema linear quanto ao nu´mero de soluc¸o˜es.
d) Suponha que o custo (em reais) para manter a a´gua circulando na rede e´ dado
pela fo´rmula
custo = f 21 + 4f2 + f3.
Determine os valores de f1, f2 e f3 que minimizam o custo e, em seguida, determine
o custo mı´nimo.
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