pot02_Estruturas_Algebricas

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Universidade Aberta do Brasil 
Universidade Federal do Ceará 
Instituto UFC Virtual 
 
 
 
Atividade de Portfólio 02 
Aula 02: Os Inteiros 
Poste no Portfólio da Aula 2, a solução dos exercitando 1, 2 e 3 do Tópico 1, no Texto, 
e dos exercícios 1, 3, 4, 7, 8 e 9 da lista de exercícios da Aula 2 que se encontra no 
material de apoio. 
 
Tópico 01 
Exercitando 1 
Mostre que se considerarmos, ao invés dos números naturais, o subconjunto dos 
inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um subconjunto de S tal que k T e ( n T ⇒ n+1 T 
), então T=S. Isso mostra que o 1º princípio da indução pode ser generalizado. 
Para k = n0, ou seja , P(n0), sendo n0 um número fixo, não necessariamente n=1. 
S = {n0, n0 + 1, n0 + 2, ...} e T = { n0, ..., n0 + 1} 
Se S = T 
n0, ..., n0 + 1 = n0, n0 + 1, n0 + 2,... (verdadeira) 
Para k = n0 + 1 
S = {n0 + 1, n0 + 2, n0 + 3, ...} e T = { n0 + 1, ... , n0 + 2} 
Se S = T 
n0 + 1, ... , n0+2 = n0 + 1, n0 + 2, ... (verdadeira) 
 
Exercitando 2 
Mostre que o 2º princípio da indução também pode ser generalizado. Mais 
precisamente, mostre que, se considerarmos, ao invés dos números naturais, o 
subconjunto dos inteiros S={k, k+1, k+2, ...} e T um subconjunto de S tal que k T e ( k, 
k+1,...,n T ⇒ n+1 T ), então T=S. 
Seja r um número inteiro 
i) P(r) é verdadeira. 
ii) P(m) é verdadeira natural m com r m k implica que P(k + 1) é verdadeira. 
Assim, 
S = { P(k), P(k + 1), ... , P(r + 1), P(r)} é verdadeira 
 
 Para P/k = r 
S = {r, r + 1, ... , k} e T = {r, ... ,r + 1} 
Se S = T 
{r, r + 1, ... , k} = {r, ... ,r + 1} = {r, r + 1, ... , k} (verdadeira) 
 
 Para P/k = m 
{m, m + 1, ... , k} = {m, ... ,m + 1} = {m, m + 1, ... , k} (supondo que é verdadeira) 
 
 Para P/k = m + 1 
{m + 1, m + 2, ... , k} = {m + 1, ... ,m + 2} 
Pela hipótese de P/k = m 
{(m) + 1, (m + 1) + 1, ... , k} = {(m) + 1, ... ,(m + 1) + 1} 
{(m) + 1, (m + 1) + 1, ... , k} 
S = T 
 
Exercitando 3 
Generalize o algoritmo da divisão. Mais precisamente, mostre que se m e n inteiros e m 
≠ 0 então existem inteiros q e r, unicamente determinados tais que n=qm+r e 0 ≤ r < |m|. 
A partir daí generalize o corolário. Mais precisamente, mostre que, se m e n inteiros e m 
≠ 0 então existe um único múltiplo qm de m tal que qm ≤ n<(q+1)m. A generalização 
deste corolário é o resultado conhecido como Teorema de Eudoxios e costuma ser 
atribuído a Arquimedes e chamado de Princípio de Arquimedes. 
Estamos considerando também aos números negativos, podemos exprimir o fato de a 
estar entre os múltiplos consecutivos de m, qm e (q + 1)m, de duas maneiras: 
n = qm + r, com 0< r < |m| ou 
n = (q + 1)m + r, com -m < r < 0 
 
 
Lista de Exercícios 
01 - Mostre que 2.7
n
 + 3.5
n
 - 5 é divisível por 24 para todo número inteiro n > 0. 
Para n = 1 
2.7
1
 + 3.5
1
 - 5 = 14 + 15 - 5 = 24 
Suponha que vale para n = k 
24| (2.7
k
 + 3.5
k
 - 5) 
2.7
k
 + 3.5
k
 - 5 = 24.t 
 
Para n = k + 1 
2.7
k+1
 + 3.5
k+1
 - 5 = 2.7
k
 .7+ 3.5
k
 .5 - 5 
2.7
k
 .(1 + 6) + 3.5
k
 .(1 + 4) - 5 = 2.7
k
 + 6.2.7
k
 + 12.5
k
 
24t + 12.(7
k
 + 5
k
) 24t + 12.2s = 24t + 24s 
24 (t + s) 
 
 
 
Para k = 1 
7¹+5¹ = 12 
Suponha para k = p 
2|7
p
 + 5
p
 7p + 5p = 2t 
 
Para k = p+1 
7
p+
¹ + 5
p+
¹ = 7
p
.7 + 5
p
.5 
7
p.7
 + (7.5
p
 - 2.5
p
) = 7
p
.7 + 7.5
p
 - 2.5 
7 (7
p
 + 5
p
) - 2.5
p
 = 7.2s - 2.5p 
2(7s - 5
p
) = 2q 
 
3 - Mostre por indução que 1³ + 2³ + ... + n³ = 
 
 
 para todo inteiro n 1. 
Para n = 1 
1 = 
 
 
 
Suponha que vale para n = k 
1³ + 2³ + ... + k³ = 
 
 
 
n = k + 1 
1³ + 2³ + ... + k³ + (k+1)³ = 
 
 
 + (k + 1)³ 
= 
 
 
 + (k + 1)². (k + 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Prove que 3| (4n - 1) para todo inteiro n 1. 
Para n = 1 
3|(4¹-1) 
Suponha que n = k 
3|(4
k
-1) 4k - 1 = 3t 
n = k + 1 
4
k-1
 - 1 4k.n - 4 + 3 
4(4
k
 - 1) + 3 4.3t + 3 
3(4t + 1) 
 
7 - Mostre se a é um inteiro tal que 2 não divide a e 3 não divide a, então a² - 1 é 
múltiplo de 24. 
Afirmação Para pares Para impares 
2| a(a + 1) 2|2k(2k + 1) 2|(2k + 1) (2k + 1 + 1) 
a = 2k, 2k + 1 2|(2k + 1) 2(k + 1) 
Afirmação 
3|a(a+1)(a+2) 
a = 3k, 3k + 1, 3k + 2 
3|(a-1) a(a+1) 
2|a(a+1) 2|(a+1) 2|(a+1)(a-1) 2|(a²-1) 
3|(a-1) a(a+1) 3|(a-1)(a+1) 3|(a²-1) 
a|b a.c|b.d 
c|d a|b . c a|b ou a|c 6| (a²-1)² 24|4(a²-1)² 
b = at 24|4(a²-1)(a²-1) 
d = c.q 24|(a²-1) 
bd = a.c (tq) 
ac|bd 
8 - Calcule o MDC(138, 87) usando o algoritmo de Euclides e usando o Teorema 8 do 
tópico 2. 
a = b.q + r 
Como 
138 = 1.87 + 51; 
87 = 1.51 + 36; 
51 = 1.36 + 15; 
36 = 2.15 + 6; 
15 = 2.6 + 3; 
6 = 2.3 + 0 
Temos r0 = a = 187, r1 = b = 87. O algoritmo da divisão foi aplicado 6 vezes. 
Obtivemos r2 = 51, r3 = 36, r4, r6 = 6, r7 = 3 e r8 = 0 
Temos então que MDC(138, 87) = 3 = r7, que é o último resto não nulo. 
 
9 - Se o MDC (30, n) = 10 e o MMC(30,n) = 60 então calcule o valor de n. 
mdc(a,b) mmc(a,b) = a.b 
mdc(30, n) mmc(30, n) = 30n 
10 60 = 30n 
n = 
 
 
 n = 20