Cálculo III - Lista 5

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo III - GEX 108
Lista 5
1. Calcule a integral iterada
(a)
∫ 2
0
∫ z2
0
∫ y−z
0
(2x− y) dxdydz
(b)
∫ 2
1
∫ 2z
0
∫ lnx
0
xe−y dydxdz
(c)
∫ pi
2
0
∫ y
0
∫ x
0
cos(x+y+z)dzdxdy
(d)
∫ √pi
0
∫ x
0
∫ xz
0
x2 sin y dydzdx
2. Calcule a integral tripla.
(a)
∫∫∫
E
2x dV, onde E = {(x, y, z)| 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤
√
4− y2, 0 ≤
z ≤ y}
(b)
∫∫∫
E
z
x2 + z2
dV, onde E = {(x, y, z)| 1 ≤ y ≤ 4, y ≤ z ≤
4, 0 ≤ x ≤ z}
(c)
∫∫∫
E
6xy dV, onde E está abaixo do plano z = 1 + x+ y e acima da região
do plano xy limitada pelas curvas y =
√
x, y = 0 e x = 1
(d)
∫∫∫
T
x2 dV, onde T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1)
(e)
∫∫∫
E
x dV, onde E é limitado pelo paraboloide x=4y2 + 4z2 e pelo plano x=4
(f)
∫∫∫
E
z dv, onde E é limitado pelo cilindro y2 + z2=9 e pelos planos x=0, y=3x
e z=0 no primeiro octante
3. Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
(a) O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x+ y+
z = 4
(b) O sólido limitado pelo cilindro y = x2 e pelos planos z = 0 e
y + z = 1
4. Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
1
(a)
∫ 1
0
∫ 1−x
0
∫ 2−2z
0
dydzdx (b)
∫ 2
0
∫ 2−y
0
∫ 4−y2
0
dxdzdy
5. Expresse a integral
∫∫∫
E
f(x, y, z)dV como uma integral iterada de seis
modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas
(a) y = 4− x2 − 4z2, y = 0
(b) y = x2, z = 0, y + 2z = 4
RESPOSTAS
1. (a) 1615
(b) 53
(c) −13
(d) pi
2
4 − 1
2. (a) 4
(b) 9pi/8
(c) 6528
(d) 160
(e) 16pi/3
(f) 278
3. (a) 163
(b) 815
4. **
5. **
2