Estatística Aplicada à Engenharia - Testes de Hipóteses para uma Média

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
GES 104 - Estatística aplicada à Engenharia
Prof. Izabela R. C. de Oliveira
Testes de hipóteses
EXEMPLO: (Magalhães e Lima, 2010) Suponha que, entre pessoas sadias, a concentração de uma subs-
tância no sangue se comporta segundo um modelo normal com média 14 unidades/ml e desvio padrão de
6 unidades/ml. Pessoas sofrendo de certa doença têm a concentração média da substância alterada para
18 unidades/ml. Admitimos que o modelo normal, com desvio padrão de 6 unidades/ml, é adequado para
a concentração da substância em pessoas com a doença.
Desejamos saber se certo tratamento, proposto para combater a doença, é eficaz. Para isso, coletamos
uma amostra de tamanho n=30 entre os indivíduos doentes que foram submetidos ao tratamento. Se o
valor médio da concentração apresentar valor próximo de 18 temos evidência que o tratamento não é
eficaz, ao passo que um valor baixo, próximo a 14 nos indicaria que o tratamento apresenta resultados
satisfatórios.
As duas hipóteses sobre a eficácia do tratamento são denotadas por H0 e H1 e denominadas hipótese
nula e hipótese alternativa, respectivamente. Assim,
H0: O tratamento não é eficaz
H1: O tratamento é eficaz
Essas hipóteses correspondem aos diferentes valores do parâmetro µ. Se o tratamento é eficaz, assu-
mimos que ele foi capaz de fazer com que os indivíduos da amostra mudassem para uma população com
média inferior a 18 unidades/ml. Se o tratamento é ineficaz, µ não se alteraria. Um teste de hipóteses
unilateral seria:
H0: µ = 18
H1: µ < 18
Para verificar se o tratamento produz algum efeito, seja ele benéfico (µ < 18) ou danoso (µ > 18),
devemos construir um teste de hipóteses bilateral:
H0: µ = 18
H1: µ 6= 18
Note que, por conveniência, sempre deixamos a igualdade na hipótese nula.
EXERCICIO 1: Comente sobre os erros envolvidos no teste de hipóteses unilateral do exemplo anterior.
7.3.1 Teste de hipóteses para uma média, µ, de uma população normal com σ2 conhecida
EXERCICIO 2: Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo material em sua fabricação e
acredita que aumentará a resistência média, que é de 206 kg. A resistência das lajotas tem distribuição
normal com desvio padrão de 12 kg. Retira-se uma amostra de 30 lajotas, obtendo x¯ = 210 kg. Ao nível
de 10%, pode o fabricante aceitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado?
7.3.2 Teste de hipóteses para uma média, µ, de uma população normal com σ2 desconhecida
EXERCICIO 3: Sempre que o aumento médio da temperatura da água em uma câmara compressora
superar 5oC, o processo de resfriamento deve ser recalibrado. Este processo é, entretanto, muito caro
e, portanto, deve ser feito apenas se necessário. Em oito experimentos independentes com a câmara,
obtiveram-se os seguintes aumentos médios: 6,4; 4,3; 5,7; 4,9; 6,5; 5,9; 6,4; 5,1. Ao nível de 5% de
significância, estes dados sugerem a necessidade de recalibração? Assuma distribuição normal para o
aumento médio da temperatura. Dado: t0.05;7 = 1, 895.