Física C - Capítulo 2 – Distribuições Contínuas de Cargas, Densidades de Cargas, Lei de Gauss, Cargas e Campos em Condutores

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Capítulo 2 – Campos elétricos II –
Distribuição Contínuas de Cargas
Prof. Dr. Julio César Ugucioni
Introdução
Apesar da carga ser quantizada e associadas a partículas discretas, 
como essas são muito pequenas e devido a sua proximidade, podemos 
considerar essas cargas em forma de uma distribuição contínua.
Definição de densidades de carga!!!
• Densidade linear (dl – comprimento):
• Densidade superficial (dA – área):
• Densidade volumétrica (dV – volume):







m
C
dl
dq








2m
C
dA
dq








3m
C
dV
dq

Lei de Coulomb de uma distribuição de cargas
Fonte: https://www.ufpe.br/fontana/Eletromagnetismo1/EletromagnetismoWebPart01 /mag1cap2.htm
dxdydzdV 
r
r
dq
krdEEd

2

Campo 
Total
r
r
dq
kEdE

  2
Exemplos
Exemplo 1. Obtenha o campo elétrico devido a uma 
linha de cargas carregada de comprimento L (finito).
Exemplo 2. Obtenha o campo elétrico devido a um anel 
carregado de raio R.
Exemplo 3. Obtenha o campo elétrico devido a um 
disco carregado de raio R.
Exemplos
Exemplo 1. Obtenha o campo elétrico devido a uma 
linha de cargas carregada de comprimento L (finito).
Um bastão fino de comprimento L e carga Q esta 
uniformemente carregado e tem densidade linear igual 
a λ=Q/L. Determine o campo elétrico em um ponto P 
arbitrário.
Exemplos
Exemplo 2. Obtenha o campo 
elétrico devido a um anel 
carregado de raio a.
Um anel fino de raio a está 
uniformemente carregado com 
carga total Q. Determine o 
campo elétrico devido a está 
carga em todos os pontos no 
eixo perpendicular ao plano que 
passa pelo centro do anel.
Fonte: https://campoeletrico.wordpress.com/2014/02/14/campo-eletrico-produzido-por-uma-linha-de-
carga/
Exemplos
Exemplo 3. Obtenha o campo 
elétrico devido a um disco 
carregado de raio R.
Considere um disco fino uniformemente 
carregado de raio b e densidade de carga σ.
(a) Determine o campo elétrico em todos os 
pontos no eixo do disco.
(b) Mostre que para os pontos no eixo e 
distantes dele, o campo elétrico se 
aproxima do caso de uma carga 
puntiforme na origem com a mesma 
carga do disco
(c) Mostre que para um disco de raio infinito 
o campo elétrico é uniforme em ambos os 
lados do disco.
Fonte: http://ensinoadistancia.pro.br/ead/Eletromagnetismo/CampoE-Pot-exemplos/E-GradV-exemplo.html
• Superfície Fechada – Divide o universo em suas 
regiões distintas.
Lei de Gauss
Uma superfície que facilita esses cálculos é 
denominada superfície Gaussiana
• Fluxo Elétrico: Definimos como a 
quantidade de linhas de campo que 
atravessa determinada superfície
Lei de Gauss
• Fluxo é uma grandeza escalar
• Unidade (Nm2/C)
nAEe ˆ.

 

cos.
ˆ.
AE
AnE
e
e



Fonte: http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo/fluxo_eletrico/
Lei de Gauss



n
i
iiie AnE
1
ˆ.


• Fluxo Elétrico:
Fonte: http://efisica.if.usp.br/eletricidade/basico/campo/fluxo_eletrico/
Para uma superfície contínua:
Em uma superfície fechada A.

A
e dAnE ˆ.


O que leva a:
é uma integral de uma 
superfície fechada.

A
e dAnE ˆ.


Mas do que se trata a 
integral de superfície?
• Definindo Fluxo
Fluxo Elétrico
Definição:
Sobre toda 
superfície fechada

S
e dAnE ˆ.


0
ˆ.

Q
dAnE
S


• Discussão sobre superfícies:
Lei de Gauss
S, S’, S’’, S’’’ –
0e
S1 e S2 -
0e
S3 e S4 -
0e
• Somente cargas dentro da superfície 
gaussiana são consideradas nesses 
cálculos.
•Várias cargas pontuais – Soma algébrica 
das cargas
Lei de Gauss
0
ˆ.

Q
dAnE
S


Lei de Gauss
• Relaciona:
• Campo Elétrico com carga elétrica (fontes 
ou sorvedouros).
• Campo elétrico converge ou diverge de uma 
superfície fechada.
Lei de Gauss
Lei de Gauss
0
ˆ.

Q
dAnE
S


Exemplos
Exemplo 4. Fluxo através de uma superfície fechada 
contínua
Um campo elétrico é dado por 
ao longo da região z > 0 e por
ao longo z<0. Uma superfície com formato de um cilindro, com 
comprimento igual a 20 cm e raio 5 cm, tem o centro na origem e 
seu eixo ao longo do eixo z, com extremidades em z=-10cm e 
z=10cm.
(a) Qual o fluxo resultante para fora da superfície fechada?
(b) Qual é a carga resultante no interior da superfície fechada?
kCNE ˆ)/200(

kCNE ˆ)/200(

• Cilíndrica
Usando simetrias para calcular o campo 
elétrico com a lei de Gauss
• Plana • Esférica
Fontes: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/problemas/electrico/electrico.html
http://gausssimetria.blogspot.com.br/p/simetria-pana.html
http://gausssimetria.blogspot.com.br/p/simetria-esferica.html
Exemplos
Exemplo 5. Campo em uma placa infinita carregada.
Uma placa infinita, uniformemente carregada, feita de 
plástico e com largura 2a ocupa uma região entre os 
planos z=-a e z=a. Determine o campo elétrico em todos 
os pontos devido a esta configuração de cargas. A carga 
por unidade de volume é ρ para esse plástico.
Exemplos
Exemplo 6. Campo 
devido a uma casca 
fina esférica de cargas.
Determine o 
campo elétrico 
devido a uma casca 
esférica carregada 
de raio R e carga 
total Q.
Importante: Esse exemplo é similar ao caso de uma esfera metálica 
carregada.
Fonte modificada: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/05/cursos-do-blog-eletricidade_15.html
Exemplos
Exemplo 7. Campo 
devido a uma 
esfera 
uniformemente 
carregada e sólida.
Determine o campo elétrico gerado por uma esfera sólida 
uniformemente carregada que tem raio R e uma carga total Q, 
distribuída uniformemente através do volume V da esfera.
Fonte modificada: http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/05/cursos-do-blog-eletricidade_15.html
Exemplos
Exemplo 8. Campo elétrico devido a uma linha infinita 
de cargas.
Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico 
gerado por uma linha infinitamente longa de cargas com 
densidade uniforme λ.
Cargas e Campos em condutores
Imaginemos um condutor esférico de cobre:
Separação das carga é inevitável. Assim toda carga vai para a 
superfície o condutor
Após um tempo t
++
++
+
+
+
+
+
+
+
++
+ +
+
+
+
+
+
+
++
0
22


r
kQ
r
kQ
E
EEE
R
esquerdadiretaR

diretaE

esquerdaE

Cargas e Campos em condutores
Se deslocarmos + 1/2 r, temos:
Apesar de na direção x a resultante do campo não ser nula, a 
somatória final dos campos envolvidos dentro da superfície tem o 
valor igual a zero. Isso também é válido para casca esférica, que é 
um modelo teórico para condutores.
+
+
+
++
+ +
+
+
+
+
+
+
++