Cálculo I Prova 1 2015 1

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UFRGS – Instituto de Matema´tica
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Prova 1 – 11 de maio de 2015 – 15h30
Nome: Carta˜o: Turma:
Questa˜o 1 (1,4 pontos)
a) Calcule o limite
lim
x→0
3x2 + 5x
sen x cosx
b) Calcule o limite
lim
x→+∞
ln(x)e2−x
c) Calcule a derivada de f(x) = ln(1 + tg (x)), no ponto x = pi
4
.
Questa˜o 2 (1,3 pontos)
a) Considere a equac¸a˜o y3 + yx2 + x2 − 3y2 = 0 que define implicitamente y como func¸a˜o de x, e
o ponto P = (0, 3). Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto P .
b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x2
√
5− x2 no ponto x = 1.
Questa˜o 3 (2,0 pontos) Considere a func¸a˜o f(x) = 7x2ex.
a) Encontre os intervalos onde a func¸a˜o f e´ crescente e onde e´ decrescente.
b) Encontre os intervalos onde a func¸a˜o f e´ coˆncava para cima e onde e´ coˆncava para baixo.
c) Encontre os extremos relativos, os pontos de inflexa˜o e as equac¸o˜es das assintotas verticais e
horizontais (se existirem).
d) Esboce na grade um gra´fico da func¸a˜o, usando as informac¸o˜es obtidas nos itens a),b) e c).
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4 y
x
Questa˜o 4 (1,0 pontos)
Uma prancha de 10m esta´ apoiada em uma parede. Se, em um certo instante, sua base esta´ a
2m da parede e sendo empurrada em direc¸a˜o a esta a uma taxa de 0,5 m/s, com que rapidez esta´
crescendo o aˆngulo agudo que a prancha faz com o solo?
Questa˜o 5 (1,3 pontos)
Um carta˜o retangular deve conter 64 cent´ımetros quadrados de a´rea impressa. As margens no
topo, na base e nos lados devem medir 1 cm.
a) Determine uma func¸a˜o a´rea total do carta˜o dependendo da medida de um dos lados da a´rea
impressa. Explicite o domı´nio desta func¸a˜o.
b) Quais devem ser as dimenso˜es do carta˜o para que a a´rea total do carta˜o seja a menor poss´ıvel?
Justifique sua resposta.