1ª lista de exercícios de Análise na reta

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1ª lista de exercícios de Análise na reta. 
1- Sejam A, B conjuntos. Prove que se existe função sobrejetiva 
 então existe função injetiva Conclua que se X é 
um conjunto enumerável e é função qualquer então é 
enumerável. 
 
2- Use indução para provar o Teorema Fundamental da Aritmética: 
“Todo número natural n>1 pode ser decomposto como produto 
finito de potências de primos distintos”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Prove que são equivalentes: 
i) Princípio da Indução; 
ii) Princípio da Boa Ordenação; 
iii) 2º Princípio da Indução. 
 
4- Prove que o conjunto P dos números primos é enumerável. 
 
5- Seja X conjunto e considere P(X) o conjunto das partes de X 
definido por 
 
Prove que se X é finito com n elementos então P(X) tem 
 
6- O conjunto das sequências crescentes de números primos 
 é enumerável? 
 
7- Sejam conjuntos. 
Pomos 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Prove que é o conjunto dos elementos que pertencem a 
 para uma infinidade de índices n e é o conjunto dos 
elementos que pertencem a todo salvo um número finito de 
índices n. 
Prove que . 
 
8- Prove a Desigualdade de Bernoulli: 
 
Prove a fórmula do Binômio de Newton 
 
 
 
 
 
9- Seja X o conjunto de todos os polinômios com coeficientes 
racionais 
 
 
 Estude a 
enumerabilidade de X. 
 
10- Seja subgrupo aditivo (isto é, 
 Prove que G é denso ou G é cíclico. 
 
 
11- Sejam sobrejetora e Y enumerável tal que é 
enumerável Prove que X é enumerável. 
 
12- Mostre que se pode exprimir como união disjunta 
 infinito de conjuntos infinitos disjuntos entre 
si.