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SEÇÃO 15.8 INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS 7 1. x = 3 cos pi2 = 0, y = 3sen pi2 = 3 e z = 1, então o ponto é (0, 3, 1) em coordenadas retangulares. 2. x = 2 cos pi4 = 1, y = 2 sen pi4 = 1, z = 2, então o ponto é 1, 1, 2 em coordenadas retangulares. 3. r2 = (-1)2 + (0)2 = 1, então r = 1; z = 0; tg T = 0, então θ = 0 ou p. Mas x = -1, então θ = p e o ponto é (1, p, 0). 4. r2 = 12 + 12 = 2 ou r = 2, tg θ = 11 , então θ = pi4 e z = 1. Assim, em coordenadas cilíndricas, o ponto é 2, pi4 , 1 . 5. r2 = 4, então r = 2, tg θ = 1 3 , logo θ = pi 6 e z = 4. Assim, em coordenadas esféricas, o ponto é 2, pi6 , 4 . 6. r2 = 4, então r = 2; tg θ = 2 − 2 = −1 e o ponto − 2, 2 está no segundo quadrante do plano xy, logo θ = 3pi4 ; z = 0. O ponto é 2, 3pi 4 , 0 . 7. r = 4 + 42 = 4 2; z = 4; tg θ = 44 , então θ = pi 4 ou θ = 5pi4 , mas x é negativo e y é positivo, então θ = pi 4 e o ponto é 4 2, pi4 , 4 . 8. r = 1+ 3 = 2; tg θ = − 3 1 , então θ = 2pi3 ou θ = 5pi 3 , mas x é negativo e y é positivo, então θ = 2pi3 e o ponto é 2, 2pi3 , 2 . 9. r2 = x2 + y2, então r2 + z2 = 16. 10. r2 - z2 = 16 11. r cos θ + 2r sen θ + 3z = 6 12. r2 = 2z 13. A região de integração é dada em coordenadas cilíndricas por E = (r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − r 2 . Isso representa a região sólida limitada acima por z = 4- r2 = 4- x2 - y2, um paraboloide, e abaixo, pelo plano xy. 2pi 0 2 0 4− r 2 0 r dz dr dθ = 2pi 0 2 0 4r − r 3 dr dθ = 2pi0 2r 2 − 14 r 4 r =2 r =0 dθ = 2pi 0 (8 − 4) dθ = 4θ] 2pi 0 = 8pi 14. A região de integração é dada em coordenadas cilíndricas por E = (r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ pi2 , 1 ≤ r ≤ 3, r ≤ z ≤ 3 . Isso representa o sólido no primeiro octante entre os cilindros r = 1 e r = 3 e limitado abaixo por z = r = x 2 + y2 , um cone, e acima pelo plano z = 3. 3 1 pi/2 0 3 r r dz dθ dr = 3 1 pi/2 0 3r − r 2 dθ dr = 31 pi 2 3r − r 2 dr = pi2 3 2 r 2 − 13 r 3 3 1 = pi2 27 2 − 27 3 − 3 2 + 1 3 = 5pi 3 15. Ε x 2 + y2 dV = 2− 1 2pi 0 2 0 r 2 r dr dθ dz = (3) (2pi) 14 r 4 2 0 = 24pi 16. Ε x 2 + y2 dV = 2pi 0 3 0 9− r2 0 r 2 dz dr dθ = 2pi 30 9r 2 − r4 dr = 2pi 81 − 2435 = 324 pi 5 17. Em coordenadas cilíndricas E é limitada pelos cilindros r = 1 e r = 2, pelo plano z = x + 2 = r cos θ + 2 e pelo plano xy, então E é dada por {(r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ 2pi, 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ r cos θ + 2}. Assim Ε y dV = 2pi 0 2 1 2+ r cos θ 0 (r sen θ) r dz dr dθ = 2pi0 2 1 r 2 sen θ [z ]z =2+ r cos θz =0 dr dθ = 2pi0 2 1 2r 2 + r 3 cos θ sen θ dr dθ = 2pi0 2 3 r 3 + 14 r 4 cos θ r =2r =1 sen θ dθ = 2pi0 14 3 + 15 4 cos θ sen θ dθ = − 143 cos θ − 15 8 cos 2 θ 2pi0 = 0 15.8 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp 8 SEÇÃO 15.8 INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS 18. Em coordenadas cilíndricas E é limitada pelos cilindros r = 1 e pelos planos z = 0, z = y = r sen θ com y ≥ 0 ⇒ 0 ≤ θ ≤ pi, então E é dada por {(r, θ, z ) | 0 ≤ θ ≤ pi, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ z ≤ r sen θ}. Assim Ε xz dV = pi 0 1 0 r sen θ 0 r 2 z cos θ dz dr dθ = pi0 1 0 1 2 z 2 z = r sen θ z =0 r 2 cos θ dr dθ = 12 pi 0 1 0 r 4 sen2 θ cos θ dr dθ = 12 pi 0 1 5 r 5 r =1 r =0 sen 2 θ cos θ dθ = 110 pi 0 sen 2 θ cos θ dθ = 130 sen 3 θ pi0 = 0
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