MECÂNICA GERAL ENGENHARIA DE PRODUÇÃO UNIDADE I aula 3 Vetores Cartesianos [Modo de Compatibilidade] 2

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MECÂNICA GERAL
Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO/CIVIL
Professor:Wellington Santos
Unidade I - Vetores Cartesianos
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
Fonte: HIBBELER, R.C..
� Operações com vetores cartesianos
� Vetor unitário
� Ângulos diretores coordenados
� Adição e subtração de vetores cartesianos
� Sistemas de forças concorrentes
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
Fonte: HIBBELER, R.C.
As operações da álgebra vetorial, quando
aplicadas na solução de problemas
tridimensionais, são simplificadas se os vetores
são representados primeiro na forma vetorial
cartesiana.
� Sistema de Coordenadas Utilizando a Regra 
da Mao Direita.
Polegar dessa mão direita
aponte na direção positiva do
eixo z, quando os dedos dessa
mão são dobrados em torno
desse eixo e orientados a partir
do eixo x positivo para o eixo y
positivo.
Fonte: HIBBELER, R.C..
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Componentes Retangulares de um Vetor
Fonte: HIBBELER, R.C..
Um vetor A pode ter um, dois
ou três componentes ao longo dos
eixos de coordenadas x, y, z,
dependendo de como esta
orientado em relação aos eixos.
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Componentes Retangulares de um Vetor.
Fonte: HIBBELER, R.C..
O vetor A pode ser
representado pela soma vetorial
de seus três componentes
retangulares:
zyx AAA ++=Α
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Vetor Unitário
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A direção de A é especificada usando-se um
vetor unitário, que possui esse nome por ter
intensidade igual a 1.
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Vetor Unitário
Fonte: HIBBELER, R.C..
Se :
• Intensidade ;
• Então, o vetor unidade
que tem a mesma
direção de é
representado por:
0≠A
A
uA
Α
=
(o vetor unitário é 
adimensional).
Α
Α
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Vetores Cartesianos Unitários
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• Um vetor cartesiano é escrito
sob a forma de suas
componentes retangulares.
• Em três dimensões, o
conjunto de vetores unitários
i, j, k e usado para designar
as direções dos eixos x, y, z,
respectivamente.
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Representação de um Vetor Cartesiano
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Pode-se escrever A sob a forma
de vetor cartesiano como:
kAjAiA zyx ++=Α
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Intensidade de um Vetor Cartesiano
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222
zyx
AAAA ++=
Portanto, a intensidade de A e
igual a raiz quadrada positiva da
soma dos quadrados de seus
componentes.
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Direção de um Vetor Cartesiano
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A orientação de A e definida
pelos ângulos diretores
coordenados a , e ,
medidos entre a origem de A e
os eixos positivos x, y, z
localizados na origem de A.
α β γ
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Direção de um Vetor Cartesiano
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A
xA
=αcos
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Direção de um Vetor Cartesiano
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A
yA
=βcos
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Direção de um Vetor Cartesiano
Fonte: HIBBELER, R.C..
A
zA
=γcos
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
� Determinar os Cossenos diretores de A
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1coscoscos 222 =++ γβα
UNIDADE I - Vetores Cartesianos
Se a intensidade e os ângulos da coordenada 
de direção de A são dados. A pode ser expresso 
sob forma vetorial cartesiana como:
ki γβα cosjcoscos AAA ++=A
ki zyx AAA ++= jA
� Adição e subtração de vetores cartesianos.
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UNIDADE I - Vetores Cartesianos
Adição e subtração de dois
ou mais vetores são bastante
simplificadas se os vetores são
expressos em função de seus
componentes cartesianos.
kAjAiA zyx ++=Α
kBjBiB zyx ++=B
� Sistemas de forcas concorrentes
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UNIDADE I - Vetores Cartesianos
kAjAiA zyx ++=Α kBjBiB zyx ++=B
Se o conceito de vetor adição for
generalizado e aplicado em um sistema de
varias forcas concorrentes, então a forca
resultante será o vetor soma de todas as forcas
do sistema e poderá ser escrita como:
kji
zyx ∑∑∑∑ ++== FFFFFR
MECÂNICA GERAL
� Exemplo1 :
� Uma força F tem as componentes Fx=100N,
Fy=-150 N e Fz=300N. Determine seu módulo e
os ângulos α, β e formados com os eixos
coordenados.
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γ
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� Exemplo 2:
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Determine a força F, mostrada na figura, como um
vetor cartesiano.
MECÂNICA GERAL
� Exemplo 2:
Fonte: HIBBELER, R.C..
MECÂNICA GERAL
� PROBLEMA1:
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Determine a intensidade e os ângulos diretores
coordenados da força resultante que atua sobre o
anel, conforme mostrado na figura.
MECÂNICA GERAL
� PROBLEMA 2:
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Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na
figura. Especifique os ângulos diretores coordenados
de F2, de modo que a força resultante FR atue ao
longo do eixo y positivo e tenha intensidade de
800N.
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� PROBLEMA 3:
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1. Expresse a força F como um vetor cartesiano.
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� PROBLEMA 4:
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Determine a intensidade e os ângulos diretores
coordenados de F1 = {60i - 50j + 40k} N e
F2 = {-40i - 85j +30k} N. Esquematize cada forca
em um sistema de referencia x, y, z.
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� PROBLEMA 5:
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Determine a intensidade e os ângulos diretores
coordenados da forca F que atua sobre a estaca.
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� PROBLEMA 6:
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3. O tarugo montado no
torno esta sujeito a uma
forca de 60 N. Determine o
angulo de direção das
coordenadas e expresse
a forca como vetor
cartesiano.
.
β
MECÂNICA GERAL
Próxima aula:
Unidade II - Equilíbrio de um ponto material.
• Equilíbrio de um ponto material.
• Diagrama do corpo livre.
• Sistema de forças coplanares.
• Sistema de forças tridimensional.
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