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Um curso de cálculo com aplicações e equações diferenciais Luis Gustavo Donineli Mendes

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mais parecido com o domı´nio
(−pi
2
, pi
2
) porque os valores da tangente ficam muito grande em mo´dulo.
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 185
-1
3
1
2
0
-1
x
10,50-0,5
Figura: A func¸a˜o tangente (vermelho) e sua derivada (verde) restritas a (−1, 1).
3. Uma func¸a˜o que tende a zero oscilando
Afirmac¸a˜o 3.1. A func¸a˜o f : [1,+∞)→ R dada por f(x) = sin(x2)
x
tem limx→+∞ f(x) =
0 mas na˜o existe limx→+∞ f ′(x).
Demonstrac¸a˜o.
Como | sin(x2)| ≤ 1 e limx→+∞ 1x = 0 enta˜o limx→+∞ sin(x
2)
x
= 0.
Para x > 0, a derivada do quociente da´:
f ′(x) =
cos(x2) · 2x− sin(x2) · 1
x2
= 2 cos(x2)− sin(x
2)
x2
e portanto quando x e´ muito grande f ′(x) ≈ 2 cos(x2), ou seja, f ′(x) percorre muitos
valores no intervalo [−1, 1], portanto f ′(x) na˜o tende a nenhum valor espec´ıfico.
�
A Figura a seguir ilustra em vermelho a f e em verde f ′, com x ∈ [1, 10]:
2
0
1
104 8
-2
-1
2 6
x
4. CONFECC¸A˜O DE GRA´FICOS DE FUNC¸O˜ES RACIONAIS 186
Ja´ o comportamento de f(x) = sin(x
2)
x
quando x→ 0 sera´ tema do Exerc´ıcio 16.10
no Cap´ıtulo 22.
4. Confecc¸a˜o de gra´ficos de func¸o˜es racionais
Exemplo: Considere y = f(x) = 1
2
− 4
x2+4
.
Talvez a primeira coisa a se observar e´ que f(x) e´ uma func¸a˜o par, f(x) = f(−x),
pois essa simetria em relac¸a˜o ao eixo dos y ajuda muito para confeccionar o gra´fico.
Como f(x) = x
2−4
2(x2+4)
, essa func¸a˜o se anula quando x = ±2 e e´ positiva exatamente
quando |x| > 2.
Ademais, uma bonita simplificac¸a˜o da´ f ′(x) = 8x
(x2+4)2
. Ou seja que, x = 0 e´ ponto
cr´ıtico e, ademais, e´ mı´nimo local pois nele a f ′(x) passa de negativa para positiva.
Tambe´m e´ fa´cil ver que:
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) =
1
2
,
embora sempre f(x) < 1
2
; ou seja, y = 1
2
e´ ass´ıntota horizontal.
Para ver se ha´ inflexo˜es fac¸o uma conta um pouco maior e obtenho:
f ′′(x) = −8(3x
2 − 4)
(x2 + 4)3
que se anula em x = ±2
3
√
3. Ou seja, a concavidade de y = f(x) e´ para baixo
em (−∞,−2
3
√
3), muda para cima em (−2
3
√
3, 2
3
√
3) e volta a ser para baixo em
(2
3
√
3,+∞).
A figura a seguir ilustra tudo isso (apenas qualitativamente, ja´ que as escalas nos
eixos sa˜o diferentes):
0
-0,2
-0,4
0,4
0,2
x
105-5 0-10
Exemplo:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 187
Agora vamos fazer o gra´fico da func¸a˜o racional
f : R \ {−1, 1} → R, f(x) = x
3 + 8x
x2 − 1 .
Novamente queremos estar corretos apenas qualitativamente.
Como o numerador de f(x) e´ x ·(x2+8), temos que f(x) = 0 exatamente se x = 0.
O numerador de f e´ negativo se x < 0 e positivo se x > 0. Ja´ o denominador de f(x)
e´ negativo se −1 < x < 1 e positivo no resto do domı´nio.
Ou seja,
• f(x) = 0 exatamente se x = 0;
• f(x) > 0 se −1 < x < 0 ou x > 1.
• f(x) < 0 se x < −1 ou se 0 < x < 1.
Na˜o e´ dif´ıcil ver que:
lim
x↗−1
f(x) = −∞ lim
x↘−1
f(x) = +∞,
lim
x↗1
f(x) = −∞ lim
x↘1
f(x) = +∞.
Agora examino (derivando pela regra do quociente):
f ′(x) =
x4 − 11x2 − 8
(x2 − 1)2 .
O numerador e´ do tipo z2 − 11z − 8, com z = x2.
Enta˜o f ′(z) = 0 exatamente se
z =
11±√(11)2 + 4 · 8
2
=
11±√153
2
=
11± 3 · √17
2
.
Mas 11−3·
√
17
2
< 0, portanto, se queremos determinar x ∈ R onde f ′(x) = 0, devemos
tomar:
x = ±
√
11 + 3 · √17
2
.
Podemos aproximar grosseiramente
√
17 ≈ 4 e
√
11+3·√17
2
≈ √15 ≈ 3.
Ou seja que a derivada f ′(x) se anula num ponto x1 ≈ 3 e noutro x2 ≈ −3.
Antes de examinar f ′′(x), note que na˜o e´ dif´ıcil se convencer de que:
lim
x→+∞
f(x) = +∞,
Como limx↘1 f(x) = +∞ isso indica que x1 ≈ 3 e´ ponto de mı´nimo local da f (sem
usar qualquer teste).
Por outro lado como
lim
x→−∞
f(x) = −∞
e limx↗−1 f(x) = −∞, isso indica que x2 ≈ −3 e´ ma´ximo local da f (sem usar
qualquer teste).
4. CONFECC¸A˜O DE GRA´FICOS DE FUNC¸O˜ES RACIONAIS 188
Agora, com a regra da derivada do quociente, da composta e apo´s simplificac¸o˜es,
obtemos:
f ′′(x) =
18x(x2 + 3)
(x2 − 1)3 .
Claramente f ′′(x) se anula apenas em x = 0 e nesse ponto muda de sinal. Logo
x = 0 e´ um ponto de inflexa˜o.
Para −1 < x < 0 ou para x > 1 temos f ′′(x) > 0 e concavidade para cima.
Mas para x < −1 ou 0 < x < 1 temos concavidade para baixo.
Em particular, f ′′(x1) > 0 e f
′′(x2) < 0 o que comprova que sa˜o mı´nimo e ma´ximo
locais respectivamente.
As treˆs Figuras a seguir resumem essas observac¸o˜es: a primeira pega parte da
regia˜o x < −1, a segunda, parte da regia˜o −1 < x < 1 e a terceira, parte da regia˜o
x > 1.
-8
-10
-12
x
-1,5-2-2,5-3-4-4,5-5
-7
-3,5
-9
-11
Figura: O gra´fico de y = x
3+8x
x2−1 , x ∈ [−5,−1.5].
15
10
5
0
-5
-10
-15
x
0,80,40-0,4-0,8
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 189
Figura: O gra´fico de y = x
3+8x
x2−1 , x ∈ [−0.8, 0.8].
x
765432
12
11
10
9
8
7
Figura: O gra´fico de y = x
3+8x
x2−1 , x ∈ [1.5, 5].
5. Involuc¸o˜es fracionais lineares
Vimos nos Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 7 que f(x) = 1
x
tem f = f−1, ou seja, e´ uma
involuc¸a˜o.
Agora que sabemos derivar as func¸o˜es racionais, vamos poder mostrar que ha´
involuc¸o˜es que sa˜o quocientes de func¸o˜es lineares:
Afirmac¸a˜o 5.1. As func¸o˜es racionais f : R \ {α
γ
} → R dadas por
f(x) =
α · x+ β
γ · x− α, com α
2 + β · γ 6= 0
(onde α, β, γ ∈ R) sa˜o invers´ıveis, sa˜o involuc¸o˜es e portanto teˆm gra´ficos sime´tricos
relativos a` diagonal.
Ademais, func¸o˜es racionais do tipo
f(x) =
α · x+ β
γ · x+ δ , com α · δ − β · γ 6= 0
(onde α, β, γ, δ ∈ R) sa˜o invers´ıveis e sa˜o involuc¸o˜es somente se δ = −α.
Demonstrac¸a˜o.
Note que as func¸o˜es
f(x) =
α · x+ β
γ · x− α
na˜o esta˜o definidas em α
γ
. De fato so´ estariam definidas a´ı se αx + β se anulasse
tambe´m em α
γ
. Mas enta˜o −β
α
= α
γ
, ou seja, α2 + β · γ = 0 contrariando a hipo´tese.
Agora calculo a derivada, pela regra do quociente e obtenho apo´s simplificac¸a˜o:
f ′(x) = − α
2 + β · γ
(γ · x− α)2 < 0,
portanto f(x) e´ estritamente decrescente, logo invert´ıvel.
6. UM PROBLEMA DA PUTNAM COMPETITION, N. 1, 1938 190
Sua inversa e´ obtida:
y =
α · x+ β
γ · x− α ⇔ y · γ · x− y · α = α · x+ β ⇔
⇔ y · γ · x− α · x = y · α+ β ⇔ x = α · y + β
γ · y − α,
ou seja, x = x(y) tem exatamente a mesma expressa˜o de y = y(x).
Por isso sa˜o involuc¸o˜es e por isso sa˜o sime´tricas em relac¸a˜o a` diagonal.
Ademais, se
f(x) =
α · x+ β
γ · x+ δ
enta˜o
f ′(x) =
α · δ − β · γ
(γ · x+ β)2 6= 0.
Se obte´m, como antes, de y = y(x):
x = x(y) =
−δ · y + β
γ · y − α .
Portanto se queremos um involuc¸a˜o precisamos que δ = −α.
�
A Figura a seguir da´ treˆs exemplos:
5
3
4
2
x
43
1
1 52
Figura: Em vermelho a diagonal, em verde y = 1
x
amarelo y = 0.1·x+2
3·x−0.1 e em azul y =
0.1·x+4
9·x−0.1 .
6. Um problema da Putnam Competition, n. 1, 1938
Dada a para´bola y = 1
2m
· x2, determine a menor corda ortogonal ao gra´fico em
um dos extremos.
Soluc¸a˜o:
Minha soluc¸a˜o na˜o e´ das mais elegantes, pois e´ na forc¸a bruta. Farei o seguinte:
CAPI´TULO 14. DERIVADA DA COMPOSIC¸A˜O DE FUNC¸O˜ES 191
• determinarei os pontos que sa˜o os extremos (x0, x
2
0
2m
) e (x1,
x21
2m
) de uma corda
ortogonal ao gra´fico em (x0,
x20
2m
),
• pensarei no quadrado do comprimento1 da corda:
(x1 − x0)2 + ( x
2
1
2m
− x
2
0
2m
)2
como uma func¸a˜o f(x0) de x0.
• procurarei f ′(x0) = 0 e depois verei se f ′′(x0) > 0.
A reta que passa por (x0,
x20
2m
) e e´ ortogonal ao gra´fico da para´bola dada tem
equac¸a˜o:
y =
−m
x0
· x+ 2m
2 + x20
2m
.
(posso supor x0 6= 0