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Aula_08_CNum
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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 8 – Integração Numérica
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Integração Numérica:
Método de Romberg – 10 passo
Extrapolação de Richardson.
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA – CONTINUAÇÃO
• Integral definida é numericamente igual a área
sob a curva f(x) no intervalo do domínio [a, b].
• Integração numérica – técnica empregada na determinação
de uma integral definida e consiste na seguinte aproximação:
b
a
dxxfI ).(
1
0
).(.).(
n
i
ii
b
a
xxfwdxxfI
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG
O método de Romberg consiste na sucessiva aplicação da
extrapolação de Richardson à quadratura do trapézio
composta o que resulta em uma quadratura composta de
maior exatidão.
Onde:
)´´()..(
12
).(
2
fabhIdxxfI n
b
a
)](...)2(.2)(.2)(.[
2
bfhafhafaf
h
In
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
É possível demonstrar que a determinação de I é dada
aproximadamente por:
Onde:
ATENÇÃO!
Na expressão anterior, quando k = 1, temos que o limite
superior será 0, o que significa que não há termo a ser
adicionado.
]).(.2)()(.[
2
).(
12
1
1
k
i
k
k
b
a
hiafbfaf
h
dxxfI
12
kk
ab
h
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
A partir de agora será introduzida a notação de ROMBERG
Rk,1.
• k = 1
• k = 2
)]()(.[
2
)(
)]()(.[
2
1
1,1 bfaf
ab
bfaf
h
R
)]
2
(.2)()(.[
2
2
)(
)](.2)()(.[
2
2
2
1,2
ab
afbfaf
ab
hafbfaf
h
R
)]
2
(.2)()(.[
4
)(
1,2
ba
fbfaf
ab
R
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
Reescrevendo R2,1 em função de R1,1, temos:
)](..[
2
1
]
2
)(
).
2
(.2.[
2
1
]
2
)(
).
2
(.2.[
2
1
)]
2
(.2)()(.[
2
)(
.
2
1
)]
2
(.2)()(.[
4
)(
211,11,2
1,11,2
1,11,2
1,2
1,2
hafhRR
abba
fRR
abba
fRR
ba
fbfaf
ab
R
ba
fbfaf
ab
R
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE ROMBERG - CONTINUAÇÃO
Reescrevendo R3,1 em função de R2,1, temos:
Generalizando, temos que:
ATENÇÃO!
Este é o primeiro passo do método de Romberg –
aproximações via regra dos trapézios
)]}.3()(.[.{
2
1
3321,21,3 hafhafhRR
nkhiafhRR k
i
kkk
k
,...,3,2)])12((.[.[
2
1
22
1
11,11,
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1: Utilize a Regra do Trapézio Repetida para
realizar o primeiro passo do esquema da integração de
Romberg para obter uma aproximação da integral
para k = 1, 2, ..., 5
SOLUÇÃO: Determinação dos Rk,1:
k = 1
0
.dxsenxI
nkhiafhRR k
i
kkk
k
,...,3,2)])12((.[.[
2
1
22
1
11,11,
0
]0.[
2
)0(
)]()(.[
2
)(
1,1
1,1
1,1
R
sensenR
bfaf
ab
R
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
k = 2
nkhiafhRR k
i
kkk
k
,...,3,2)])12((.[.[
2
1
22
1
11,11,
57079633,1
2
)]
2
(..[
2
1
)]
2
0
0().0(0.[
2
1
)]
2
().(.[
2
1
)](..[
2
1
1,2
1,2
1,2
1,11,2
211,11,2
R
senR
senR
ab
afabRR
hafhRR
2
2
2
1
ab
h
ab
h
kk
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
k = 3
4
2
3
1
ab
h
ab
h
kk
1,8961189
)]}
4
.3
()
4
(.[
2
57079633,1.{
2
1
)]}
4
.3
()
4
(.[
2
57079633,1.{
2
1
)]}
4
0
.30()
4
0
0(.[
2
0
.{
2
1
)]}
4
0
.3()
4
0
0(.[
2
0
.{
2
1
)]}
4
.3()
4
(.[
2
.{
2
1
)]}.3()(.[.{
2
1
1,3
1,3
1,3
1,21,3
1,21,3
1,21,3
3321,21,3
R
sensenR
sensenR
ffRR
affRR
ab
af
ab
af
ab
RR
hafhafhRR
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
k = 4
82
41
ab
h
ab
h
kk
1,974231
)]}
8
7
()
8
5
()
8
3
()
8
(.[
4
1,8961189.{
2
1
)]}
8
0
.70()
8
0
.50()
8
0
.30()
8
0
0(.[
4
0
.{
2
1
)]}
8
.7()
8
.5()
8
.3()
8
(.[
4
.{
2
1
)]}.7()5().3()(.[.{
2
1
)]}.7()5().3()(.[.{
2
1
1,4
1,4
1,31,4
1,31,4
444431,31,4
444431,31,4
R
sensensensenR
ffffRR
ab
af
ab
af
ab
af
ab
af
ab
RR
hafhafhafhafhRR
hafhafhafhafhRR
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO1 – CONTINUAÇÃO
• k = 5 R5,1 = 1,99357034
• k = 6 R6,1 = 1,99839336
• Valor exato:
• CONVERGÊNCIA LENTA extrapolação de Richardson
2]1[])1([
)0cos()cos(cos.
0
kkI
kkkxdxsenxI
%08,00008,0
000000,2
998393,1000000,2
Erro
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON
Com o intuito de acelerar a convergência do método de
Romberg, a partir do seu primeiro passo é possível fazer a
extrapolação de Richardson e chegar a seguinte fórmula de
recorrência.
14 1
1,11,
1,, j
jkjk
jkjk
RR
RR
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
TABELA DE ROMBERG
A partir da fórmula de recorrência
chega-se à tabela de Romberg abaixo.
14 1
1,11,
1,, j
jkjk
jkjk
RR
RR
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO2: Utilize o método de Romberg para obter uma
aproximação da integral
Solução:
Tabela de Romberg:
Do exemplo1: R1,1 = 0; R2,1 = 1,57079633 e R3,1 = 1,8961189
0
.dxsenxI
R1,1
R2,1 R2,2
R3,1 R3,2 R3,3
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO2 - CONTINUAÇÃO
• k = j = 2
• k = 3 e j = 2
14 1
1,11,
1,, j
jkjkjkjk
RR
RR
094395,2
3
057079633,1
57079633,1
14 12
1,11,2
1,22,2
RR
RR
004559,2
3
1,570796338961189,1
8961189,1
14 12
1,21,3
1,32,3
RR
RR
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
EXEMPLO2 - CONTINUAÇÃO
• k = j = 3
14 1
1,11,
1,, j
jkjk
jkjk
RR
RR
998569,1
15
094395,2004559,2
004559,2
14 13
2,22,3
2,33,3
RR
RR
%072,000072,0
000000,2
998569,1000000,2
Erro
AULA 8:INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
Integração Numérica:
Método de Romberg – 10 passo
Extrapolação de Richardson.
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