AULA 2 Séries Temporais modelos ARIMA

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SÉRIES TEMPORAIS (Modelos ARIMA)
Comandos Stata
Profa. Maria Elizete
Previsão (Clements e Hendry, 2002)
Algumas questões básicas:
1. O que é previsão?
2. O que pode ser previsto?
3. Qual a confiabilidade das previsões?
4. Geralmente, como a previsão é feita?
5. Como a previsão é feita pelos economistas?
Algumas questões básicas:
1. O que é previsão?
2. O que pode ser previsto?
3. Qual a confiabilidade das previsões?
4. Geralmente, como a previsão é feita?
5. Como a previsão é feita pelos economistas?
Previsão
1. O que é previsão?
• Ato de prever
• Suposição do que ainda não aconteceu
Clements e Hendry (2002)
• Declaração sobre o futuro
A declaração pode ser: bem fundamentada ou faltar
uma base sólida; precisa ou imprecisa para um
determinado período; informal ou baseada em
modelos.
1. O que é previsão?
• Ato de prever
• Suposição do que ainda não aconteceu
Clements e Hendry (2002)
• Declaração sobre o futuro
A declaração pode ser: bem fundamentada ou faltar
uma base sólida; precisa ou imprecisa para um
determinado período; informal ou baseada em
modelos.
Previsão
• Realização das previsões: métodos diversos e
modelos de regressão.
Previsão
2. O que pode ser previsto?
Por ser uma declaração sobre o futuro, qualquer “coisa”
pode ser prevista.
• Taxa de inflação para os próximos meses;
• Mudanças climáticas para o futuro;
• Aumentos médios no nível do mar em um determinado
período;
• Valor do índice Dow Jones para um período específico;
• Valor do PIB brasileiro para o próximo trimestre;
• Etc.
2. O que pode ser previsto?
Por ser uma declaração sobre o futuro, qualquer “coisa”
pode ser prevista.
• Taxa de inflação para os próximos meses;
• Mudanças climáticas para o futuro;
• Aumentos médios no nível do mar em um determinado
período;
• Valor do índice Dow Jones para um período específico;
• Valor do PIB brasileiro para o próximo trimestre;
• Etc.
Previsão
3. Qual a confiabilidade das previsões?
Nossa confiança dependerá de quão bem
fundamentadas são as previsões.
Abordagens bem testadas, experimentadas.
Problema: o futuro é incerto!
3. Qual a confiabilidade das previsões?
Nossa confiança dependerá de quão bem
fundamentadas são as previsões.
Abordagens bem testadas, experimentadas.
Problema: o futuro é incerto!
Previsão
4. Em geral, como a previsão é feita?
Há muitas formas de fazer previsão:
• Palpites;
• Adivinhação;
• Simples extrapolação;
• Modelos paramétricos;
• Modelos não paramétricos;
• Etc.
4. Em geral, como a previsão é feita?
Há muitas formas de fazer previsão:
• Palpites;
• Adivinhação;
• Simples extrapolação;
• Modelos paramétricos;
• Modelos não paramétricos;
• Etc.
Previsão
5. Como a previsão é feita pelos economistas?
Os métodos de previsão incluem, entre outros:
• Modelos informais, “regras de ouro”: sorte
• Juízo de especialistas: não tem validação se único componente
• Extrapolação: as tendências persistem? Mas, as previsões são mais
úteis quando predizem mudanças nas tendências. Muitos investiram no
auge de um “boom”.
5. Como a previsão é feita pelos economistas?
Os métodos de previsão incluem, entre outros:
• Modelos informais, “regras de ouro”: sorte
• Juízo de especialistas: não tem validação se único componente
• Extrapolação: as tendências persistem? Mas, as previsões são mais
úteis quando predizem mudanças nas tendências. Muitos investiram no
auge de um “boom”.
Previsão
• Modelos econométricos: principal ferramenta na previsão
econômica. Uma das vantagens: consolidação de conhecimento
empírico e teórico sobre como as economias funcionam.
• Modelos de séries temporais: Descrevem o padrão
histórico dos dados. Como os outros métodos, está presente a
incerteza.
• Modelos econométricos: principal ferramenta na previsão
econômica. Uma das vantagens: consolidação de conhecimento
empírico e teórico sobre como as economias funcionam.
• Modelos de séries temporais: Descrevem o padrão
histórico dos dados. Como os outros métodos, está presente a
incerteza.
Abordagem
Metodologia Box-Jenkins (ARIMA)
Metodologia Box-Jenkins
• Modelos univariados
Modelos ARIMA: Início déc. 70; George Box (1919- )e Gwilym Jenkins (1933-1982).
Permite a previsão dos valores futuros de uma série,baseando-se apenas nos seus valores presentes epassados.
Esses modelos se ajustam às ST em que asobservações são fortemente dependentes entre si.
• Modelos univariados
Modelos ARIMA: Início déc. 70; George Box (1919- )e Gwilym Jenkins (1933-1982).
Permite a previsão dos valores futuros de uma série,baseando-se apenas nos seus valores presentes epassados.
Esses modelos se ajustam às ST em que asobservações são fortemente dependentes entre si.
Metodologia Box-Jenkins
Analisar correlação temporal existente entre os valores
exibidos pela ST. Esta relação temporal é representada
por um conjunto de processos estocásticos denominados
modelos ARIMA.
Estes modelos resultam da combinação de três
componentes ou filtros: i) o componente Auto-regressivo
(AR); ii) o filtro de integração (I) e; iii) o componente de
Médias Móveis (MA).
Analisar correlação temporal existente entre os valores
exibidos pela ST. Esta relação temporal é representada
por um conjunto de processos estocásticos denominados
modelos ARIMA.
Estes modelos resultam da combinação de três
componentes ou filtros: i) o componente Auto-regressivo
(AR); ii) o filtro de integração (I) e; iii) o componente de
Médias Móveis (MA).
Metodologia Box-Jenkins
1) Modelo Auto-Regressivo (AR):
Yt é descrita somente por seus valores passados e peloruído branco εt. Versão mais simples:
Yt = ФYt-1 + εt → AR(1).
(modelo mais simples)
Ф = parâmetro; E(εt)= 0; E(ε2t) = σ2; E(εt εs) =0 para t ≠ s
1) Modelo Auto-Regressivo (AR):
Yt é descrita somente por seus valores passados e peloruído branco εt. Versão mais simples:
Yt = ФYt-1 + εt → AR(1).
(modelo mais simples)
Ф = parâmetro; E(εt)= 0; E(ε2t) = σ2; E(εt εs) =0 para t ≠ s
Metodologia Box-Jenkins
2) Modelo de Médias Móveis (MA):
Neste modelo, a série Yt é uma função linear dos
choques aleatórios (ruídos brancos) do período
corrente e dos períodos passados.
Eis o modelo: Yt = εt - θεt-1 → MA(1)
(modelo mais simples)
2) Modelo de Médias Móveis (MA):
Neste modelo, a série Yt é uma função linear dos
choques aleatórios (ruídos brancos) do período
corrente e dos períodos passados.
Eis o modelo: Yt = εt - θεt-1 → MA(1)
(modelo mais simples)
Metodologia Box-Jenkins
3) Modelo ARMA:
Neste modelo, Yt é uma função dos seus valores
passados e dos choques aleatórios correntes e
passados. Isto é:
Yt = ФYt-1 + εt - θεt-1 → ARMA(1,1)
3) Modelo ARMA:
Neste modelo, Yt é uma função dos seus valores
passados e dos choques aleatórios correntes e
passados. Isto é:
Yt = ФYt-1 + εt - θεt-1 → ARMA(1,1)
Metodologia Box-Jenkins
Especificação mais ampla...
Yt = Φ1Yt-1 + ...+ ΦpYt-p + εt – θ1εt-1 - ...- θqεt-q
Sendo: Yt = ΔdYt
*Após determinar p, d e q, passa-se para a estimação dos p
parâmetros Φ, dos q parâmetros θ e da variância σ2 do modelo.
p: denota nr de termos autoregressivos;
d: denota nr de vezes que ST precisa ser diferenciada;
q: denota nr de termos de médias móveis
Especificação mais ampla...
Yt = Φ1Yt-1 + ...+ ΦpYt-p + εt – θ1εt-1 - ...- θqεt-q
Sendo: Yt = ΔdYt
*Após determinar p, d e q, passa-se para a estimação dos p
parâmetros Φ, dos q parâmetros θ e da variância σ2 do modelo.
p: denota nr de termos autoregressivos;
d: denota nr de vezes que ST precisa ser diferenciada;
q: denota nr de termos de médias móveis
Metodologia Box-Jenkins
4) Modelo Auto-Regressivo Integrado de Médias
Móveis (ARIMA):
A metodologia Box-Jenkins deve ser aplicada à
ST estacionárias; ou que se tornam estacionárias
depois da aplicação de diferenças.
O númerode diferenças utilizado para tornar
uma série estacionária é definido como ordem
de Integração (I).
4) Modelo Auto-Regressivo Integrado de Médias
Móveis (ARIMA):
A metodologia Box-Jenkins deve ser aplicada à
ST estacionárias; ou que se tornam estacionárias
depois da aplicação de diferenças.
O número de diferenças utilizado para tornar
uma série estacionária é definido como ordem
de Integração (I).
Metodologia Box-Jenkins
Obs:
ARIMA (2,1,2). Aplicou-se uma diferença para estacionarizar.
Série estacionária modelada como ARMA (2,2).
Se d=0 ... ARMA (p,q)
ARIMA (p,0,0): Processo AR(p) puramente estacionário
ARIMA (0,0,1): Processo MA(q) puramente estacionário
Enfim... Dados os valores de p, d e q, diz-se qual processo
está sendo modelado.
Obs:
ARIMA (2,1,2). Aplicou-se uma diferença para estacionarizar.
Série estacionária modelada como ARMA (2,2).
Se d=0 ... ARMA (p,q)
ARIMA (p,0,0): Processo AR(p) puramente estacionário
ARIMA (0,0,1): Processo MA(q) puramente estacionário
Enfim... Dados os valores de p, d e q, diz-se qual processo
está sendo modelado.
Questões:
Observando-se uma ST, como saber se ela segue:
• Um processo AR puro (e qual valor de p)?
• Um processo MA puro (e qual valor de q)?
• Um processo ARMA (e quais valores de p e q)?
• Um modelo ARIMA (e quais valores de p, d, q)?
Usaremos a metodologia Box-Jenkins para respostas.
Observando-se uma ST, como saber se ela segue:
• Um processo AR puro (e qual valor de p)?
• Um processo MA puro (e qual valor de q)?
• Um processo ARMA (e quais valores de p e q)?
• Um modelo ARIMA (e quais valores de p, d, q)?
Usaremos a metodologia Box-Jenkins para respostas.
Etapas Metodologia Box-JenkinsEtapas Metodologia Box-Jenkins
Etapas da Metodologia Box-Jenkins
1) Identificar o processo gerador da série: Após analisar a
estacionariedade da ST, os modelos potenciais são
escolhidos (escolha de p, d, q);
2) Estimar os parâmetros dos modelos, escolhendo-se um
deles;
1) Identificar o processo gerador da série: Após analisar a
estacionariedade da ST, os modelos potenciais são
escolhidos (escolha de p, d, q);
2) Estimar os parâmetros dos modelos, escolhendo-se um
deles;
Etapas da Metodologia Box-Jenkins
3) Diagnóstico: Avaliar se o processo de estimação foi bem
sucedido. Resíduos ruído branco? Se sim, ir para etapa
4. Se não, voltar à etapa 1.
4) Previsão.
3) Diagnóstico: Avaliar se o processo de estimação foi bem
sucedido. Resíduos ruído branco? Se sim, ir para etapa
4. Se não, voltar à etapa 1.
4) Previsão.
O processo de identificação consiste em determinar
quais dos filtros AR, I, MA compõem o processo
gerador da série, e suas respectivas ordens (p, d, q).
1) Identificação
O processo de identificação consiste em determinar
quais dos filtros AR, I, MA compõem o processo
gerador da série, e suas respectivas ordens (p, d, q).
1) Identificação
Instrumentos:
a) Função de autocorrelação (FAC)
b) Função de autocorrelação parcial (FACP)
c) Correlograma
Instrumentos:
a) Função de autocorrelação (FAC)
b) Função de autocorrelação parcial (FACP)
c) Correlograma
Gráfico: LPIB – EUA (1947 – 2007, dados trimestrais)
a) Função de Autocorrelação (FAC)
Coeficiente de autocorrelação (populacional) de ordem k
(ou entre Yt e Yt-k) é dado por:
Coeficiente de correlação amostral:
2)(
))([(
)(
),(




−
−−
===
−−
t
ktt
t
ktt
o
k
k YE
YYE
YV
YYCov
Coeficiente de autocorrelação (populacional) de ordem k
(ou entre Yt e Yt-k) é dado por:
Coeficiente de correlação amostral:
∑
∑
=
+=
−
−
−−
==
n
t
t
n
kt
ktt
o
k
k
nYY
nYYYY
1
2
1
/)(
/))((
ˆ
ˆˆ 

b) Função de Autocorrelação Parcial (FACP)
• A correlação amostral parcial (FACP): mede a correlação
entre Yt e Yt-k após remover o efeito das correlações nas
defasagens intermediários.
• A correlação amostral parcial (FACP): mede a correlação
entre Yt e Yt-k após remover o efeito das correlações nas
defasagens intermediários.
c) Correlograma
Correlograma: representação da FAC e FACP contra a
extensão da defasagem
* Tem-se uma sequência de pares (k, pk), k=1,2,...,m.
Correlograma: representação da FAC e FACP contra a
extensão da defasagem
* Tem-se uma sequência de pares (k, pk), k=1,2,...,m.
Correlograma amostral
Obs.: o correlograma amostral dá indicação se
uma determinada ST é estacionária ou não.
Vejamos os correlogramas seguintes...
Obs.: o correlograma amostral dá indicação se
uma determinada ST é estacionária ou não.
Vejamos os correlogramas seguintes...
Correlograma de ruído branco (u puramente aleatório)
AC: Função correlação amostral
Eixo 0
Correlograma de ST passeio aleatório
*** Correlograma de ST LPIB (dados EUA)
Questões:
1) No cômputo da FAC, como escolher o tamanho
da defasagem da ST?
2) Como decidir se um coeficiente de
autocorrelação a uma determinada defasagem
é estatisticamente significativo?
1) No cômputo da FAC, como escolher o tamanho
da defasagem da ST?
2) Como decidir se um coeficiente de
autocorrelação a uma determinada defasagem
é estatisticamente significativo?
1)Escolha da extensão da defasagem
Regra de bolso
1/3 a ¼ da extensão da ST.
Regra de bolso
1/3 a ¼ da extensão da ST.
2) Significância estatística dos coeficientes
(individuais) de correlação
Como definir se um determinado valor do coeficiente de
correlação, em uma determinada defasagem, é
estatisticamente significativo?
• Ver erro-padrão.
• Bartlet demonstrou que se uma ST é puramente
aleatória:
Como definir se um determinado valor do coeficiente de
correlação, em uma determinada defasagem, é
estatisticamente significativo?
• Ver erro-padrão.
• Bartlet demonstrou que se uma ST é puramente
aleatória:
)/1,0(ˆ nNk ≈
Significância estatística dos coeficientes
(individuais) de correlação
• Calcular I.C.
• Se o I.C inclui “0” não se rejeita a hipótese nula de que o
verdadeiro ρk seja zero. (obs.: α=5%).
)ˆ_.(96,1ˆ kk pe  ±
• Calcular I.C.
• Se o I.C inclui “0” não se rejeita a hipótese nula de que o
verdadeiro ρk seja zero. (obs.: α=5%).
)ˆ_.(96,1ˆ kk pe  ±
Significância estatística (conjunta) dos
coeficientes de correlação
• Box e Pierce (1970): É possível testar se os k 1ºs
coeficientes de autocorrelação são simultaneamente
iguais a “0”.
• Estatística
• Q segue a Distribuição χ2 com “m” graus de liberdade.
Se Q > Qcrít rejeita-se a hipótese de que os “m” 1ºs coeficientes de
autocorrelação são nulos. Alguns deles são # 0.
• Box e Pierce (1970): É possível testar se os k 1ºs
coeficientes de autocorrelação são simultaneamente
iguais a “0”.
• Estatística
• Q segue a Distribuição χ2 com “m” graus de liberdade.
Se Q > Qcrít rejeita-se a hipótese de que os “m” 1ºs coeficientes de
autocorrelação são nulos. Alguns deles são # 0.
∑
=
=
m
k
knQ
1
2ˆ
Significância estatística (conjunta) dos
coeficientes de correlação
Uma variante da estatística Q é a estatística Ljung-Box(1978):
• com m g.l
2
1
2ˆ)2(  ≈
−
+= ∑
=
m
k
k
kn
nnLB
Uma variante da estatística Q é a estatística Ljung-Box(1978):
• com m g.l
2
1
2ˆ)2(  ≈
−
+= ∑
=
m
k
k
kn
nnLB
Uso dos correlogramas para identificação
Vejamos as figuras seguintes, relacionadas aos dados dos
EUA no período analisado.
Vejamos as figuras seguintes, relacionadas aos dados dos
EUA no período analisado.
Correlograma LPIB EUA
IC: 95%
Correlograma parcial do LPIB EUA
Tornando a ST estacionária
• Tornar a ST de LPIB estacionária, para aplicar a
metodologia Box-Jenkins.
• Procedimento: aplicar primeira diferença e ver
gráfico, FAC e FACPresultante.
*Confirmar com teste de raiz unitária de Dickey-
Fuller
• Tornar a ST de LPIB estacionária, para aplicar a
metodologia Box-Jenkins.
• Procedimento: aplicar primeira diferença e ver
gráfico, FAC e FACP resultante.
*Confirmar com teste de raiz unitária de Dickey-
Fuller
Gráfico DLPIB
FAC DLPIB
FACP DLPIB
Teste raiz unitária ADF
Valor estatística de teste: -11,0204
Valor crítico: -3,4575 (α = 1%)
Ho: ST apresenta raiz unitária (não estacionária)
Conclusão: ST estacionária (na primeira diferença)
Valor estatística de teste: -11,0204
Valor crítico: -3,4575 (α = 1%)
Ho: ST apresenta raiz unitária (não estacionária)
Conclusão: ST estacionária (na primeira diferença)
Questão:
• Como os correlogramas (da ST estacionária) permitem-
nos encontrar o padrão ARMA da ST?
As características da FAC e FACP é que indicarão
qual o possível processo gerador da série!
Analisa-se FAC, FACP e correlogramas correspondentes
de diferentes processos ARMA: AR(1), MA(1), AR(2),
MA(2), ARMA (1,1), etc. VER se a ST se ajusta a um
desses padrões.
• Como os correlogramas (da ST estacionária) permitem-
nos encontrar o padrão ARMA da ST?
As características da FAC e FACP é que indicarão
qual o possível processo gerador da série!
Analisa-se FAC, FACP e correlogramas correspondentes
de diferentes processos ARMA: AR(1), MA(1), AR(2),
MA(2), ARMA (1,1), etc. VER se a ST se ajusta a um
desses padrões.
Alguns padrões:
Padrões opostos AR(p) e MA(q)
Geometricamente:
Padrões adicionais...
Fonte: Franco (UFMG).Fonte: Franco (UFMG).
Na prática...
• As FAC e FACP estimadas não correspondem
aos seus equivalentes teóricos.
• O que se procura... Semelhança entre as FAC e
FACP teóricas e amostrais.
• Portanto... A modelagem ARIMA requer
habilidade!
• As FAC e FACP estimadas não correspondem
aos seus equivalentes teóricos.
• O que se procura... Semelhança entre as FAC e
FACP teóricas e amostrais.
• Portanto... A modelagem ARIMA requer
habilidade!
Aplicando a Metodologia ARIMA
para a ST LBIP dos EUA
Aplicando a Metodologia ARIMA
para a ST LBIP dos EUA
1) Identificação
FAC: autocorrelações decrescem para as duas
primeiras defasagens (as demais são
estatisticamente iguais a zero, exceto para k=5).
FACP: picos nas defasagens 1 e 12.
** Se FACP mostrasse significância apenas em
k=1... Modelo AR(1).
*** Sugestão: tentar MA(2).
FAC: autocorrelações decrescem para as duas
primeiras defasagens (as demais são
estatisticamente iguais a zero, exceto para k=5).
FACP: picos nas defasagens 1 e 12.
** Se FACP mostrasse significância apenas em
k=1... Modelo AR(1).
*** Sugestão: tentar MA(2).
2) Estimação modelo ARIMA
Teremos a seguinte especificação, em que Yt*
corresponde a D.LPIB:
= 0,00822 + 0,2918ut-1 + 0,2024ut-2
t= (9,32) (4,61) (3,20)
R2 = 0,1217 d = 1,9705
2211
*
−−
++= ttt uuY 
Teremos a seguinte especificação, em que Yt*
corresponde a D.LPIB:
= 0,00822 + 0,2918ut-1 + 0,2024ut-2
t= (9,32) (4,61) (3,20)
R2 = 0,1217 d = 1,9705
2211
*
−−
++= ttt uuY 
3) Diagnóstico
• Obter os resíduos do modelo MA(2) estimado.
Devem se comportar como ruído branco.
• Qual o padrão da FAC e FACP?
• Obter os resíduos do modelo MA(2) estimado.
Devem se comportar como ruído branco.
• Qual o padrão da FAC e FACP?
FAC resíduos MA(2)
FACP resíduos MA(2)
4) Previsão
• Dados da ST LPIB: 1947-I a 2007-IV.
• Questão: prever LPIB para 1° trimestre de 2008.
GUJARATI (2011, pg. 778): U$ 9,3741
• Dados da ST LPIB: 1947-I a 2007-IV.
• Questão: prever LPIB para 1° trimestre de 2008.
GUJARATI (2011, pg. 778): U$ 9,3741