Retas e planos - Geometria Analítica

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MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
11 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
MÓDULO 04 – RETAS E PLANOS 
 
 
1. Retas no espaço 
 
Considere o vetor 
  0
T
v l m n 
, ilustrado na Figura 01. Todas as combinações lineares 
do vetor 
v
 definem a retas que passa pela origem com direção dada por 
v
, como mostra a Figura 
02. Diz-se que 
v
 é o vetor diretor da reta s. 
 xl y
n
m
 Q l,m,n
 
T
v l m n
O
 
xl y
n
m
Q  Tv l m n
z
s
 1P l, m, n  
1u OP v O
 
Figura 01 Figura 02 
 
Uma equação para a reta s descreve o lugar geométrico de todos os pontos 
 , ,P x y z
, 
extremidades dos vetores paralelos ao vetor 
v
. 
 
Assim, a equação vetorial da reta s é expressa por 
,OP P O v    
. Utilizando 
coordenadas, escreve-se a forma paramétrica dessa equação: 
     , , 0,0,0
T
x y z l m n   
 
,
x l
s y m
z n

 



 
 
. 
 
 
 
 
A reta r, paralela à s, e que passa pelo 
ponto 
 0 0 0 0, ,P x y z
 é determinada 
pela translação de s pelo vetor 
 0 0 0 0
T
OP x y z
, como ilustra a 
Figura 03. 
 
Figura 03 
x y0x 0
yQ
 
T
v l m n
z
s
 0 0 0 0
T
OP x y z
O
 0 0 0 0x , y ,z P
0z r
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A equação da reta r descreve o lugar geométrico de todos os pontos 
 , ,P x y z
, extremidades 
dos vetores 
0 ,OP OP v   
. Isto é ilustrado na Figura 4. 
x y
Qv
z
s
0OPO
0P
rPv
0OP OP v 
 
Figura 04 
 
Logo, a equação vetorial da reta r é expressa por 
0 ,OP OP v   
 ou 
0P P v 
 ( I ). 
Utilizando coordenadas, escreve-se a forma paramétrica dessa equação: 
 
0
0
0
,
x x l
r y y m
z z n

 

 

  
  
 ( II ). 
 
Caso 
0l m n  
, a forma ( II ) pode ser alterada para as equações simétricas da reta r: 
 
0 0 0x x y y z zr
l m n
  
 

 ( III ). 
 
Exemplo 01: Determine as formas ( I ), ( II ) e ( III ) da reta r que passa pelos pontos 
 2 5 2A , ,
 e 
 1 7 3B , ,
. Adote 
0P A
 e 
 1 2 1
T
v B A   
. 
 
Equação vetorial: 
 r P A B A A v     
, com 

. 
 
Equações paramétricas: 
2
5 2
2
x
r y
z



 

 
  
, com 

. 
 
Equações simétricas: 
2 5 2
1 2 1
x y z
r
  
 

. 
 
Exemplo 02: Considere a reta r do Exemplo 01. Determine o valor do parâmetro 

 e as coordenadas 
dos seguintes pontos: 
 
i) 
A
, simétrico de A em relação a B ii) 
B
, simétrico de B em relação a A 
iii) M, ponto médio do segmento AB iv) 
M
, simétrico de M em relação a B 
v) 
 R r Oxy 
 vi) S tal que 
 8s sS x , ,z
 
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Caso i) : 
 2 2 2 0 9 4AA A v A A v A , ,            
 
Caso ii) : 
 1 3 3 1BB A v B A v B , ,              
 
Caso iii) : 
1 1 1 3 5
6
2 2 2 2 2
MM A v M A v M , ,            
 
 
 
Caso iv) : 
3 3 3 1 7
8
2 2 2 2 2
MM A v M A v M , ,               
 
 
 
Caso v) : 
   0 2 0 2 4 1 0R R R R RR x ,y , z R , ,           
 
Caso vi) : 
 
3 1 7
8 5 2 8 8
2 2 2
S S S S SS x , ,z y S , ,             
 
 
 
Exemplo 03: Esboçar em Oxyz a reta r do Exemplo 01 e localizar todos os pontos determinados no 
Exemplo 02. 
x
y
z
AB A
B
MM
R
S1 1
2
r
 
Exercícios propostos: 
 
R01. Seja r a reta dos pontos 
 4 3 2A , , 
 e 
 5 4 4B , , 
. 
a) Escreva a equação vetorial e as correspondentes equações paramétricas da reta r. 
b) Determine m e n para que o ponto 
7
2
Q m,n, r
 
  
 
. 
c) Mostre que 
11 9
5
2 2
R , , r
 
   
 
. 
d) Mostre que 
 6 6 6S , , r  
. 
e) Faça um esboço da reta r e marque os pontos Q e R, justificando suas posições 
relativamente aos pontos A e B. 
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R02. Escreva as equações na forma simétrica da reta t determinada pelos pontos 
 1 4 2R , ,   
 e 
S, médio do segmento de extremidades 
 1 3 5A , ,
 e 
 3 3 1B , , 
. 
 
R03. Usando somente números inteiros, escreva uma equação vetorial da reta que contém o ponto 
médio do segmento de extremidades 
 1 1 3J , ,
 e 
 3 1 1K , , 
, com vetor diretor 
 
3 3 3 3
49 98 7
T
u
 
  
 
. 
 
R04. Sejam 
 3 6 7A , , 
, 
 5 2 3B , , 
 e 
 4 7 6C , ,  
. 
 
 a) Mostre que A, B e C são vértices de um triângulo. 
 
 b) Escreva equações paramétricas da reta que contém a mediana relativa ao vértice C. 
 
R05. Mostre que as equações 
2 1 1
1
3 2
x y
z
 
  
 
 
descrevem uma reta, escrevendo-as de modo que possam ser reconhecidas como equações na forma 
simétrica. Exiba um ponto e um vetor diretor da reta. 
 
R06. Procure na reta 
4
3
1 2
x t
r y t
z t
 

  
  
 pontos P cujas distâncias a 
 6 4 3A , , 
 sejam iguais a 3. 
 
R07. Seja a reta 
2
1 2
3
x
r y
z



  

 
  
 e o ponto 
 1 2 5A , , r  
. 
 
a) Escreva equações paramétricas para a reta 
s r
 que passa pelo ponto A. 
 
b) A figura ilustra o segmento 
1 2S S
 de s, que contém o ponto A. 
 
 
 
 
 
 
Situe no segmento 
1 2S S
 os pontos listados a seguir, fornecendo suas coordenadas e também 
o valor correspondente ao parâmetro 

. 
 
s 
 1 2 5A , , 
 
0 
 
1S
 
2S
 
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b.1) Ponto B, determinado por 
1 
; 
 
 b.2) Ponto C, tal que 
   2dist A,C dist A,B 
 e 
   2 1dist C,S dist C,S
; 
 
 b.3) Ponto D, simétrico de B em relação a A; 
 
c) Escreva equações paramétricas da reta t, simétrica de r em relação a s; 
 
R08. Reconheça a posição relativa dos seguintes pares de retas: 
 
i) 
3 3
1 4
7 2
x
r y
z



 

 
  
 e 
2 1
2 3 4
x y z
s
 
  

; 
 
ii) 
3 1
4 2 3
x y z
r
 
 

 e 
7 2 2
12 6 9
x y z
s
  
 

; 
 
iii) 
2 3
3
x m
r y
z



 

 
  
 e 
10 10 2
4 2 1
x y z
s
  
 

; 
 
iv) 
4
1
2
x
r y
z



 

  
 
 e 
1 2
2 2
4
x
s y
z



 

 
  
; 
 
R09. O ponto 
 2 1 4A , ,
 é um vértice do hexágono regular 
ABCDEF cujos vértices B e F pertencem à reta 
 
1
3
1 2
x
r y
z



 

 
  
. 
 
a) Qual éo ângulo 

? E qual é um vetor diretor 
u
 da reta r. 
 
b) Encontre 
AF
 em função de 

. 
 
c) Determinar as coordenadas de B e F, sabendo-se que a abscissa do vértice F é maior que a 
abscissa do vértice B. 
 
d) Encontre as coordenadas do ponto M, médio de B e F. 
 
e) A seguir, encontre as coordenadas dos vértices C, D e E do hexágono. 
 
 
ruM
AB
C
DE
F
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R10. Escreva equações paramétricas da perpendicular comum p das retas reversas 
 
7
2
3
x
r y
z


 

 
 
 e 
2
3 3
3
x
s y
z



 

  
   
. 
 
Encontre os pontos R e S onde p encontra as retas r e s, respectivamente. 
 
R11. São dadas as retas não paralelas 
 
 
7 2
2
x
y
z a

 

 

 
  
 e 
1 3
2
1 2
x
y
z

 

  

 
   
. Pede-se: 
 
a) Achar o valor 
1a
 de a para o qual  e  são 
concorrentes. Neste caso, determine 
P
 tal que 
 P   
. 
 
b) A seguir faça 
2a 
 e expresse para cada par de valores 

 e 

 as coordenadas do vetor 
     v , P Q    
. 
 
c) Calcule valores 

 e 

 tais que 
 v , 
 dê a direção da perpendicular comum p das retas 

 e 

. 
 
d) Encontre os pontos A e B onde p corta 

 e 

, respectivamente. 
 
e) Estabeleça equações paramétricas para a perpendicular comum p de 

 e 

. 
 
R12. Sejam o ponto 
 0 0 2A , , a
, com 
0a 
, e a reta 
0x
s y
z a




 
. Pede-se: 
a) Representar A e s no sistema Oxyz. 
b) Considere o ponto 
 P x, y,z
 genérico e determine em função de x, y e z as fórmulas que 
fornecem 
 1 dist P, A 
 e 
 2 dist P,s 
. 
c) Encontre a equação do lugar geométrico L dos pontos P equidistantes de A e s. 
d) Esboce em Oxyz o lugar geométrico L, destacando as intersecções 
L Oz
 e 
L Oxy
. 
 
R13. Determine os valores de 

 e 

 para os quais 
 2 1A , ,   
 e 
 1 1 2B , ,   
 são os pés 
da perpendicular comum p das retas 
    1 1 2 Tr P A t
 e 
    3 1 1 Ts P B
. 
Qual a distância 

 destas retas? Escreva equações paramétricas para a reta p. 

2u
1up
 v , 
B
A

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R14. São dadas as retas 
4 2
4
3 2
x
r y
z



 

  
  
 e 
7 3
1 2
2
x t
s y t
z t
 

 
  
. Pede-se: 
 
 a) Determinar as coordenadas dos pontos P de r tais que 
  2 3dist P,s  
. 
 
 b) Interpretar geometricamente o resultado. 
 
R15. Sejam as retas 
1
3
2 2
x
r y a
z



 

 
   
 e 
1 3 2
4 5 3
x y z
s
  
 

. 
 
Pede-se os valores de a para os quais o (menor) ângulo 

 de r e s é igual a 
30
. 
 
R16. O ponto 
 3 3 2A , , 
 é um dos vértices do quadrado ABCD que tem diagonal BD na reta 
 
4
2
x
r y
z


 


 
, com 

. Pede-se: 
 
a) Escrever a norma do vetor 
   v P A  
. 
 
b) As coordenadas dos pontos B e D, sabendo-se que a abscissa de B é menor do que a 
abscissa de D. 
 
c) Determinar as coordenadas do vértice C do quadrado ABCD. 
 
d) É possível verificar suas respostas anteriores efetuando o produto escalar entre os vetores 
AC
 e 
BD
. Por quê? 
R17. São dados o ponto 
 3 3 1A , , 
 e a reta 
6
1
2
x
r y
z


 

 
   
, com 

. Pede-se: 
 
a) Calcular 
By
 e 
Bz
 para que 
 2 B BB , y ,z r 
. 
 
b) As coordenadas do vetor 
   v P A  
. 
 
c) As coordenadas do vértice D. 
 
d) As coordenadas do vértice C e do ponto M de 
simetria do losango ABCD. 
 
e) A área 

 do losango. 
 P BC
DA rur
M
C
A r
D
B
 P 
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2. Planos 
 
 
2.1 Introdução 
 
Em Matemática, um plano é um objeto geométrico infinito a duas dimensões. Sob o ponto de 
vista da Álgebra Linear, um plano é o análogo bidimensional de um ponto (zero dimensional), de 
uma reta (ou linha, unidimensional) e de um espaço geométrico (tridimensional)1. 
Planos podem ser criados como subespaços de um espaço vetorial de dimensão superior (como 
paredes em uma sala) ou podem possuir existência independente, como enunciado na Geometria 
Euclidiana. É neste contexto que este estudo se concentra, embora, em alguns momentos, os 
conceitos de subespaço e espaço vetorial sejam brevemente retomados. 
Euclides estabeleceu o primeiro tratamento axiomático da Geometria. Em seu trabalho, 
Elementos, selecionou um pequeno núcleo de termos primordiais (sem definição rigorosa), aos quais 
denominou noções comuns, e postulados (ou axiomas), os quais empregou para demonstrar diversas 
proposições geométricas. 
Embora nos Elementos não seja fornecida nenhuma definição do objeto geométrico plano, no 
sentido compreendido pela Matemática moderna, este pode ser compreendido como parte das noções 
comuns. De fato, no espaço euclidiano, um plano é uma superfície tal que, dados quaisquer pontos 
na superfície, esta também contém a única linha reta que passa pelos pontos. 
 
 
2.2 Construção geométrica 
 
A noção de plano exposta na seção de introdução leva a quatro formas de se construir 
geometricamente um plano, todas elas ilustradas na Figura 01. 
Em (a), nota-se que é possível construir um plano a partir de três pontos não colineares. Na 
parte (b), um plano no espaço euclidiano é definido por duas retas concorrentes. Já na construção 
ilustrada em (c), um plano é estabelecido por uma reta e um ponto não pertencente à esta reta. Por 
fim, em (d), define-se um plano a partir de duas retas paralelas. 
 
1
 A noção de dimensão é aqui empregada de forma intuitiva. A descrição rigorosa deste conceito será abordada 
mais adiante. 
 
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 a  b
 c  d
AC
B r
s
rA rs
 
 
Figura 01: Construção geométrica de planos a partir de – (a) Três pontos não colineares; (b) Retas concorrentes; (c) Uma reta e um ponto 
fora desta reta; (d) Duas retas paralelas. 
 
Sob o ponto de vista vetorial, as quatro situações ilustradas na Figura 01 podem ser 
resumidas em um único conceito. Os elementos necessários à construção de um plano são duas 
direções (vetores) independentes e um ponto, como visto na Figura 02. Deve-se notar que o ponto 
selecionado determina qual dos infinitos planos paralelos definidos pelas duas direções 
independentes (chamados de feixe de planos paralelos ou família de planos paralelos) será escolhido 
para estudo. 
 a  b
 c  d
AC
B r
s
rA rs
u
v Auv
R r
u v R rS suv
 
 
Figura 02: As formas de se construir um plano podem ser condensadas emum único conceito: duas direções independentes e um 
ponto determinam um, e um só, plano. 
 
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Na Figura 02(a), situação em que o plano foi determinado anteriormente por três pontos não 
colineares, as duas direções independentes foram adotadas como 
u AB
 e 
v AC
; o ponto 
selecionado foi A. Evidentemente, outras configurações são equivalentes. Em (b), em que havia sido 
construído um plano a partir de duas retas concorrentes, as direções independentes são as direções 
das referidas retas (
ru u
 e 
sv u
, em que 
ru
 e 
su
 são os vetores diretores das retas r e s, 
respectivamente); o ponto selecionado foi o ponto 
 A r s 
. Em (c), o plano havia sido criado a 
partir de uma reta r e um ponto 
A r
. Seleciona-se o ponto A e as direções independentes podem 
ser construídas a partir de 
u AR
, com 
R r
, e 
rv u
. Finalmente, em (d), o plano antes concebido 
com base em duas retas paralelas agora é construído pela seleção do ponto 
R r
 e das direções 
independentes 
u RS
, com 
S s
, e 
sv u
. 
A abordagem vetorial adotada na Figura 02, embora correta, não é tão efetiva do ponto de 
vista de manipulação algébrica das equações (condições de pertinência) que descreverão os planos. 
Este fato será investigado na próxima seção. De fato, a condição geométrica de que duas direções 
independentes e um ponto determinam um plano também pode ser entendida como: 
 
Um plano pode ser determinado a partir de uma direção normal (ortogonal) a este plano e de 
um ponto conhecido deste plano. 
 
 a  b
 c  d
AC
B r
s
r rs
u
v uv
R r
u v R rS suv
 n u v
A
 n u v
Av
 n u v v n u v
 
 
Figura 03: Abordagem vetorial na qual um plano é definido por um ponto conhecido e também por uma direção ortogonal a ele. 
 
A Figura 03 revela que é sempre possível encontrar uma direção ortogonal a um plano, caso 
sejam conhecidas duas direções independentes que determinem um feixe de planos paralelos. Um 
plano específico deste feixe é determinado por um ponto a ele pertencente. 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1111 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
2.3 Equações do plano 
 
No AP-12 foram estudadas as retas no espaço 3 . Foi estabelecido que uma reta s que passa 
pela origem, com direção dada pelo vetor 
v
, é definida como o conjunto de todos os vetores paralelos 
ao vetor 
v
. Ou seja, a reta s é um subespaço (unidimensional) do 3 . Deve-se notar que uma reta r 
construída pela translação de s não é um subespaço do 3 (Por quê?). 
O que ocorre se, ao invés de um único vetor 
v
 não nulo, considerarmos dois vetores 
u
 e 
v
 
não paralelos? Neste caso, todas as combinações lineares de 
u
 e 
v
 serão do tipo 
 
w u v  
, com 
, 
. 
 
Assim, o conjunto de todos os vetores 
w u v  
 – gerados por 
u
 e 
v
 – é um subespaço 
(bidimensional) do 3 . Este subespaço é um plano que passa na origem, como mostra a Figura 04. 
Deve-se notar que esta definição, estabelecida sob o ponto de vista da Álgebra Linear, é equivalente 
à afirmação geométrica de que um plano é definido por duas direções independentes (
u
 e 
v
) e um 
ponto conhecido – neste caso, a origem do sistema de coordenadas Oxyz. 
 x y
 2Q l,m,n
 
T
v l m n
z
O  1r ,s,t Q
 
T
r s t u
  P x, y,z
 
O plano 

 definido pelas direções dos vetores 
u
 e 
v
, e que passa pela origem, é o conjunto 
de todos os pontos 
  3P x, y,z 
 tais que 
 
OP u v  
, com 
, 
 (I). 
 
(I) é a condição de pertinência dos pontos P 
ao plano 

, sendo denominada equação 
paramétrica vetorial de 

. 
 
Utilizando as coordenadas dos pontos e 
vetores envolvidos na Figura 04 é possível 
escrever, a partir de (I): 
 
Figura 04: Construção de um plano que passa na origem do sistema de 
coordenadas Oxyz. 
 
       II
T T T
x r l
x y z r s t l m n y s m
z t n
 
   
 
 

      
  
 
 
As relações presentes em (II) são as equações paramétricas do plano 

. Outra representação 
algébrica do plano é encontrada ao se notar que a construção 
OP u v  
 implica em que os 
vetores 
 
T
OP P O x y z  
, 
 
T
u r s t
 e 
 
T
v l m n
 são coplanares. Então: 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1122 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
0 0 0
a b c
x y z
s t r t r s
OP u v r s t x y z ax by cz
m n l n l m
l m n

 
 
                
 
 
 
 (III) 
 
A equação (III) é denominada equação geral ou equação cartesiana do plano 

. Deve-se notar 
a maneira pela qual os coeficientes a, b e c foram calculados. De fato, tais coeficientes são as 
coordenadas do vetor produto vetorial entre 
u
 e 
v
 (direções que definem o feixe ou família de 
planos paralelos). Assim, na equação geral 
 0ax by cz   
, o vetor 
 
T
n a b c
 possui direção 
ortogonal ao plano, sendo chamado de vetor normal associado ao plano 

. 
Um plano 

 – paralelo ao plano 

 – que passa pelo ponto 
 0 0 0 0, ,P x y z
, é construído como 
a translação de 

 por um vetor 
 0 0 0 0
T
OP x y z
, como visto na Figura 05. O plano 

 não é um 
subespaço do 3 (por quê?). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 05: Construção do plano  como uma translação do plano . 
 
O plano 

 definido pelas direções (independentes) dos vetores 
u
 e 
v
, e que passa pelo ponto 
 0 0 0 0, ,P x y z
, é o conjunto dos pontos 
  3P x, y,z 
 tais que 
 
0OP OP u v   
, com 
, 
 (IV). 
 
A equação (IV) é denominada equação vetorial paramétrica de 

. Utilizando as coordenadas 
dos pontos e vetores envolvidos em (IV), escreve-se: 
 
  0 0P x,y,z P O P O u v P P u v                 
 
       
0
0 0 0 0
0
(V)
T T
x x r l
x, y,z x , y ,z r s t l m n y y s m
z z t n
 
    
 
  

         
   
. 
 
As relações presentes em (V) são chamadas equações paramétricas de 

. 
 
x y
v
z
O
u 
0OP

MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1133 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Analogamente ao que foi feito no caso dos planos que passam pela origem do sistema de 
coordenadas, deve-se notar que 
0 0 0P P u v P P u v P P u v              . Logo, o 
vetor 
0P P
 é uma combinação linear (única) de 
u
 e 
v
. Em outras palavras, os vetores 
0P P
, 
u
 e 
v
 
são coplanares. Então: 
 
     
0 0 0
0 0 0 00 0
a b c
x x y y z z
s t r t r s
P P u v r s t x x y y z z
m n l n l m
l m n
   
 
            
 
 
 
 
 
   0 0 0 0 0 com 0T
d
ax by cz ax by cz ax by cz d , n a b c               (VI). 
 
A forma (VI) é chamada equação geral ou equação cartesiana do plano 

. Nesta equação, o 
vetor 
  0
T
n a bc 
 dá a direção normal do plano 

, ou seja, fornece a direção das retas 
perpendiculares a 

. Deve-se notar que (III) é um caso particular de (VI), no qual o plano passa 
pela origem, resultando em 
0d 
. Assim, um plano será um subespaço do 3 quando 
0d 
. 
A seguir, são apresentados alguns exemplos de construção da equação de um plano a partir 
das situações geométricas presentes na Figura 01. 
 
Exemplo 01: Sejam os pontos 
 2 7 3A , , 
, 
 3 5 4B , , 
 e 
 4 4 2C , , 
. Determine as formas 
vetorial, paramétrica e geral da equação do plano 

 determinado por A, B e C. 
 
Da Figura 06, pode-se escrever: 
 
     3 5 4 2 7 3 1 2 1
T
u B A , , , ,      
 e 
     4 4 2 2 7 3 2 3 1
T
v C A , , , ,       
. 
 
Adotando-se 
 0 2 7 3P A , ,  
 como referência, o ponto 
 P x, y,z
 pertencerá ao plano 

 se, e somente se: 
Figura 06: Um plano 
 
       0 2 7 3 1 2 1 2 3 1
T T
P P u v x, y,z , ,             
 
Esta é a equação paramétrica vetorial do plano 

. As equações paramétricas são: 
 
2 2
7 2 3
3
x
y
z
 
  
 
  

   
   
 
 
A forma geral é construída a partir de 
0 0P P u v  
. Uma vez que 
 
     0 0 2 7 3 2 7 3
T
P P P P x,y,z , , x y z        
, 
 
A
C
BP u
vu v
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1144 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
escreve-se: 
 
      0
2 7 3
1 2 1 5 2 3 7 3 0 5 3 34 0
2 3 1
x y z
P P u v x y z x y z
  
               

. 
 
 
Exemplo 02: Escreva a equação geral do plano  determinado pelas retas 
 
5 2
1
3 3
x
r y
z



 

 
   
 e 
4
13 2
9
x
s y
z


  

 
  
. 
 
 Primeiramente, nota-se que r e s não são paralelas, pois 
   2 1 3 1 2 0
T T
r su u   
. 
Logo, para que r e s determinem um plano, devem ser concorrentes em um ponto I. De fato: 
 
5 2 4 5 2 4
5
1 13 2 1 13 2
2
3 3 9 2
         
        
 
         
        
, 
 
o que mostra que existe um ponto de intersecção das retas r e s (pois o sistema linear acima é 
consistente e determinado), com coordenadas 
     2 5 1 3 9I r s , ,       
. 
 
O problema proposto será resolvido de duas formas: a primeira usa a coplanaridade entre 
três vetores (como no Exemplo 01); a segunda emprega a direção normal ao plano . 
 
 1ª Solução: O ponto 
 P x, y,z  
 se, e somente se, os vetores 
IP
, 
ru
 e 
su
 forem coplanares. 
Então, com 
     1 3 9 1 3 9
T
IP P I x, y,z , , x y z        
, tem-se: 
 
     
1 3 9
2 1 3 6 1 3 3 3 9 0
1 2 0
r s
x y z
IP u u x y z
  
             

 
 
 Ou seja, 
6 3 3 42 0x y z    
 ou 
  3 3 14 0 3 14 0x y z x y z          . Esta 
última manipulação algébrica mostra que planos que possuem equações gerais múltiplas uma da 
outras são, na verdade, coincidentes. 
 
 2ª Solução: As direções de r e s determinam a direção normal ao plano , por meio do vetor 
 
     2 1 3 6 3 3 3 2 1 1
1 2 0
T T
r s
i j k
n u u       

. 
 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1155 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Adota-se, por exemplo, 
 2 1 1
T
n  
. Esta direção define uma família de planos paralelos, 
todos ortogonais à 
n
, como mostra a Figura 07. 
 
r
s
I
s s
r r
r r
s s

 
 
n
n
n
 
 
Figura 07: Família (ou feixe) de planos paralelos ao plano 
 
Esta família de planos paralelos é descrita pela 
expressão: 
2 0i ix y z d    
, 
1 2i , ,
 
 
O valor do parâmetro 
id
 é quem determina qual dos 
planos da planilha está sendo selecionado. Este 
valor, por sua vez, depende do ponto 
 0 0 0P x , y ,z
 
tomado como referência para o plano (deve-se 
lembrar que 
0 0 0 0 0 02id ax by cz x y z       
, no 
presente caso). 
 
A expressão anterior não precisa ser memorizada, 
pois surge diretamente do fato de que a equação do 
plano selecionado deve ser satisfeita, em especial, 
para o ponto tomado por referência. Assim, uma vez 
que o plano  deve passar por 
 1 3 9I , , 
, tem-se: 
 
 2 1 1 3 1 9 0 14i id d          
 
 
E então: 
3 14 0x y z    
. 
 
 
Exemplo 03: Construa a equação do plano  que passa pelo ponto 
 1 5 0M , , 
 e contém a reta 
      2 6 1 2 0 1 Tt T x, y,x , ,      
, como ilustrado na Figura 08. 
 
 Todos os pontos da reta t são também pontos do plano . Seja 
 2 6 1T , , 
 um desses pontos. 
Assim, os pontos 
 P x, y,z
 do espaço pertencem ao plano  se, e somente se, os vetores 
MP
, 
MT
 
e 
tu
 (vetor diretor da reta t) são coplanares – como visto na Figura 09. 
 
 
tM
 
 
Figura 08: Um plano definido por um ponto e uma reta 
tM
tuTMT
PMP
 
 
Figura 09: Determinando a equação do plano 
 
 Portanto, é necessário que 
0tMP MT u  
. Assim, tem-se: 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1166 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
     1 5 0 1 5
T
MP P M x, y,z , , x y z       
; 
     2 6 1 1 5 0 1 1 1
T
MT T M , , , ,       
 e 
 2 0 1
T
tu  
. 
 
 Então: 
   
1 5
1 1 1 1 1 3 5 2 0
2 0 1
t
x y z
MP MT u x y z
 
            

. Finalmente: 
 
1 3 15 2 0 3 2 14 0x y z x y z          . 
 
 Também é possível resolver este problema utilizando a estratégia descrita na 2ª Solução do 
Exemplo 02 – verifique! 
 
 
 
Exemplo 04: Escrever a equação geral do plano 

 definido pelas retas paralelas 
 
4 2
3
1 3
x
r y
z



  

 
   
 e 
1 4
2
5 6
x
s y
z



 


  
, como visto na Figura 10. 
 rs
ru
s ru u

 
 
Figura 10: Um plano definido por duas retas paralelas 
rs
SRPSRruSP
 
 
Figura 11: Determinando a equação do plano 
 
 O plano  contém as retas r e s. Logo, todos os pontos de r e s são também pontos do plano . 
Sejam 
 4 3 1R , , r   
 e 
 1 0 5S , , s 
. Desta forma, os pontos 
 P x, y,z
 do espaço pertencem 
ao plano  se, e somente se, os vetores 
 
     1 0 5 1 5
T
SP P S x,y,z , , x y z      
, 
     4 3 1 1 0 5 5 3 6
T
SR R S , , , ,        
 e 
 2 1 3
T
ru  
(ou 
su
) 
 
são coplanares. Ou seja, 
0rSP SR u  
 e então: 
 
    
1 5
5 3 6 3 1 3 1 5 0 3 3 2 0
2 1 3
r
x y z
SP SR u x y z x y z
 
                 

. 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1177 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
2.4. Posições relativas entre planos 
 
2.4.1. Planos paralelos: Dois planos  e  são paralelosquando compartilham uma mesma direção 
normal. Duas situações são possíveis:  e  são estritamente paralelos ou coincidentes, como visto 
nas Figuras 12 e 13, em que também são vistas as condições geométricas que permitem diferenciar 
uma situação da outra. 
 
A A   
n n 
n
n
A
 
 
Figura 12: Planos estritamente paralelos 
n
 A
n
A A   
n n 
 
 
Figura 13: Planos coincidentes 
 
2.4.2 Planos concorrentes: Dois planos  e  são concorrentes quando a intersecção entre eles é uma 
reta, ou seja, 
reta r  
, como visto na Figura 14. Uma situação especial é o caso em que  e  
são perpendiculares – Figura 15. 
 
n
n 

n n 
r   
 
 
Figura 14: Planos concorrentes 
n
 n n 
n
r
 
 
 
Figura 15: Planos perpendiculares 
 
 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1188 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
2.5 Posições relativas entre retas e planos 
 
2.5.1 Retas e planos paralelos: Uma reta r e um plano  são paralelos se, e somente se, a direção da 
reta r é também uma direção do plano . Equivalentemente, o paralelismo entre reta e plano ocorre 
quando a direção da reta r (vetor 
ru
) é ortogonal à direção normal ao plano  (vetor 
n
). São duas 
situações possíveis: r e  são estritamente paralelos ou r está contida em , como ilustrado nas 
Figuras 16 e 17. 
 
n
r
r 
n r
u
r  
rn u 
R
R r R   
 
 
Figura 16: Reta e plano estritamente paralelos 
n r 
n
ru
rn u 
R
R r R   
 
 
 
Figura 17: Reta contida em plano 
 
2.5.2 Retas e planos concorrentes: Uma reta r e um plano  são concorrentes quando se interceptam. 
Ou seja, 
 r I 
 – vide Figura 18. Um caso particular de grande interesse consiste em uma reta 
perpendicular a um plano, como ilustrado na Figura 19. 
 
nrur
I
 I r  
 
 
Figura 18: Reta e plano concorrentes 
n
rur
I
 I r  n ru n
 
 
Figura 19: Reta perpendicular a um plano 
 
Exemplo 05: Sejam o plano 
2 7 0x y z    
 e as retas 
 
1
2
3
1 2
x
r y
z



 

  
  
 
2
4
1 3
3
x
r y
z



 

  
   
 
3 2
1 2
x a t
r y mt
z t
 

 
   
 
 
a) Mostre que 
1r 
 e determine 
P
 tal que 
  1P r  
. 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
1199 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
A condição de paralelismo entre reta e plano exige a ortogonalidade entre os vetores diretor 
da reta e normal do plano. Na situação de interesse, ou seja, 
 
1 11
0r rr u n u n      
. 
 
Mas 
 
1
2
1 1 2 1 2 1 2 1 0
1
ru n
 
           
 
  
. 
 
Logo, tem-se 
1r 
 e existe um ponto de intersecção da reta 
1r
 com o plano 

. Assim, as 
coordenadas deste ponto devem satisfazer as equações da reta 
1r
 e do plano 

 simultaneamente. 
Pode-se escrever 
 
2
3
1 2
2 7 0
x
y
z
x y z



 
   

 
    
, o que leva a 
       1 12 2 3 1 2 7 0 1 3 2 1r P , ,                  . 
 
b) Mostre que 
2r 
 e que 
2r  
. A seguir, determine a distância da reta 
2r
 ao plano 

. 
 
Novamente, deve-se investigar a ortogonalidade entre os vetores diretor da reta e normal do 
plano. Temos: 
 
2 2 2
2
1 3 1 1 2 3 1 0
1
r ru n u n r  
 
           
 
  
. 
 
No entanto, a condição de paralelismo pode indicar 
2r 
. Para testar essa possibilidade, é 
necessário verificar se os pontos da reta 
2r
 também são pontos do plano 

. Seja 
  24 1 3A , , r   
. 
Caso 
A 
, as coordenadas de A devem também satisfazer a equação do plano 

. De fato: 
 
      22 4 1 3 7 8 1 3 7 1 0 r                e então 2r  . 
 

2r
2r 
n
2r
u
2r  
A
   2dist distd A, r ,  
 
 
Figura 20: A distância da reta r2 ao plano  é igual à distância de entre 
qualquer ponto de r2 e o plano  
Resta determinar a distância da reta 
2r
 ao 
plano 

. Nota-se que esta distância é igual à 
distância entre qualquer ponto de 
2r
 e o 
plano 

, como visto na Figura 20. Existem 
dois caminhos para a determinação desta 
distância. O primeiro deles é ilustrado na 
Figura 21. De início, constroi-se a reta t que 
passa por um ponto de 
2r
 (A, por exemplo) 
perpendicularmente ao plano 

. 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2200 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 

2r
2r 
n
2r  
A
   2dist distd A, r ,  
T
t 
AT
2r
u
 
 
Figura 21: Determinando a distância de ponto a plano 
A seguir, determina-se o ponto 
 T t  
. 
Assim, a distância d do ponto A ao plano 

 é 
igual à norma do vetor 
AT
. Este método é 
simples e de fácil aplicação. No entanto, é 
possível determinar a distância d por meio de 
uma expressão fechada, sem a necessidade da 
construção da reta t e da determinação do 
ponto T. Esta estratégia se fundamenta no 
esquema ilustrado na Figura 22. 
 
 
T
n a b c 
 0 0 0A x , y ,z
 1 1 1P x , y ,z  
v PA A P  d
 0ax by cz d    
A
 
 
Figura 22: Uma expressão para a distância de ponto a plano 
 
Seja 
A 
 um ponto do espaço. A distância d do 
ponto A ao plano 

 pode ser determinada a 
partir de: 
 
   dist distd A, A, A A A A A         
 
 
 
projn
A P n
A P
n
 
  
 (VII) 
 
Além disso, é possível escrever: 
 
 
   1 1 1 1 1 1 1 1 10P x ,y ,z ax by cz d d ax by cz            (VIII) 
 
 
     0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1
T
A P x ,y ,z x , y ,z x x y y z z      
 
 
 
         0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1A P n a x x b y y c z z ax by cz ax by cz              (IX) 
 
Aplicando (VII) em (IX), tem-se: 
  0 0 0A P n ax by cz d     
 (X). 
 
Também: 
2 2 2n a b c   
 (XI). Levando (X) e (XI) em (VII), vem: 
 
  0 0 0
2 2 2
dist
ax by cz d
d A,
a b c
    
 
 (XII) 
 
Na situação examinada neste exemplo, a distância da reta 
2r
 ao plano 

 é igual à distância 
do ponto 
 4 1 3A , ,  
 ao plano 

. Aplicando a expressão (XII), tem-se: 
 
 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2211 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
   
   
 
2
22 2
2 4 1 1 1 3 7 1 1
6 62 1 1
d r , d A,             
  
. 
 
c) Determinar os valores de a e m para que 
3r
 esteja contida em 

. 
 
A condição 
3r 
 implica em que 
3r 
. Logo, tem-se 
3 3
0r ru n u n    
. 
 
Então, 
 
2
1 2 1 2 2 0 4
1
m m m
 
          
 
  
. 
 
Agora é preciso garantir que todos os pontos da reta 
3r
 pertençam também ao plano 

. Seja 
  32 1B a, , r  
. Se 
3r 
, então 
B 
. Daí: 
 2 2 1 7 0 5a a     
. 
 
 A situação geométrica examinada neste exemplo é resumida no esquema da Figura 23. 
 
2r n 2r  
  1P r  
3r 1
r
1r
u
3r
u
2rA
T
2r
u
 
 
Figura 23: Situação geométrica do Exemplo 05 
 
 
Exemplo 06: Determine os valores dos parâmetros a e b para que os planos 
 
1 2 3 2 0ax y z    
 e 
2 2 2 6 0x by z    
 
 
fiquem paralelos. A seguir, mostre que 
1 2  
. 
 
A condição 
1 2 
 implica em 
1 2n n
. Então 
2 3
2 2
a
b

 

. 
 
A segunda igualdade revela que 
4
3
b 
. Daí, 
3a  
. 
 
Para mostrar que 
1 2  
, basta verificar que 
1 2P P   
. Outra maneira, mais 
elegante, é mostrar que o sistema linear 
 S
 é inconsistente: 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2222 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
   21
3 2 3 2 0
3 2 3 2 3 2 3 2
2 34
2 4 3 2 6 0 0 0 14 32 2 6 0
3
x y z
S E
x y z
    
      
     
         

, 
 
que é um sistema inconsistente. 
 
 
Exemplo 07: Determine os parâmetros l e n para que a reta 
 
      2 4 1 4 Tr P x, y,z , , l n    
 
 
fique perpendicular ao plano 
2 2 5 0x y z    
. Calcule as coordenadas de 
 P r  
. 
 
Se 
4
4 e 2
2 2 1
r
l n
r u n l n        

. 
 
Assim, 
      2 4 1 4 4 2 Tr P x, y,z , ,      
. 
 
Para determinar as coordenadas do ponto 
P
, basta lembrar que 
 
 2 4 4 4 1 2P r P , ,        . 
 
Então 
     2 2 4 2 4 4 1 2 5 0 1P                 . Logo,  1 1 2 0 1r P , ,   
. 
 
 
 
Exemplo 08: Construa uma equação cartesiana para o plano 

 que passa por 
 4 7 3A , , 
 e é 
perpendicular à reta 
      4000 5000 7000 1 2 1 Tr x, y,z , , ,     
. 
 
 Deseja-se 
r 
. Ou seja, 
rn u
. Adotando 
 1 2 1
T
rn u   
, constroi-se a família de 
planos paralelos 
 2 0i x y z d    
. Mas 
 4 7 3A , ,   
. Logo, as coordenadas de A devem 
satisfazer a equação do plano 

. Logo, 
 4 2 7 3 0 13d d       
 e 
 2 13 0x y z    
. 
 
 
2.6 Ângulo entre planos 
 
 Sejam 

 e 

 dois planos concorrentes. Deseja-se determinar 
 ,  
, definido como o 
menor ângulo entre 

 e 

. Equivalentemente, 

 é o menor ângulo entre retas normais aos planos 

 e 

, como ilustrado na Figura 24. De fato, é sempre possível construir 
r 
 e 
s 
 tal que 
 P r s 
 e 
 r,s 
. Assim, utilizando o produto escalar, determina-se 
 ,  
 a partir de: 
 
cos
n n
n n
 
 




. 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2233 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
n
n 

n
r 
r r
s 


P r s 

 
 
Figura 24: Ângulo entre dois planos 
2.7 Ângulo entre plano e reta 
 
O ângulo estabelecido entre uma reta r e um plano 

, 
 r, 
, é definido como o menor ângulo possível 
entre todos os ângulos que a reta r faz com as retas 
contidas no plano que a interceptam. Este menor ângulo é 
realizado justamente pela reta do plano que é a projeção 
ortogonal da reta r (veja a Figura 25). 
 
Outra forma de visualizar 

 é dizer que o ângulo entre 
uma reta e um plano é o ângulo mínimo entre o plano e a 
reta dentre todas as visões de perfil possíveis do plano. 
 
 
A Figura 25 ainda revela que 
 r, 
 é o 
complemento do ângulo 

 formado pela reta r e 
por uma reta s normal ao plano, 
 r,s 
. 
Assim, tem-se: 
 
arccos
2 2
r
r
n u
n u


           
 
 
arcsen sen
r r
r r
n u n u
n u n u
 
 
          
. 
nrur
I

n


projr r 
s 
 
 
Figura 25: Ângulo entre reta e plano 
2.8 Exercícios propostos 
 
P01. Escrever uma equação geral para o plano 

 das retas paralelas 
 
1
5 3 1
2 1 2
x y z
r
  
 

 e 
   2 1 3 4 2 1 2 Tr P , ,     
. 
 
P02. Mostre que o ponto 
 4 1 1P , , 
 não pertence à reta 
   2 4 1 1 1 2 Tr R , ,    
 e obtenha 
a equação geral do plano 

 determinado por r e P. 
 
P03. Obtenha equações paramétricas e cartesianas dos planos coordenados. 
 
P04. Esboce em Oxyz os planos de equações: 
 
1 3z 
 
2 2 0x  
 
3 1 0x y   
 
 
4 2 0x z  
 
5 2 3 1 0y z   
 
6 2 3 6x y z   
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2244 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P05. Determinar a equação cartesiana do plano 
1
, paralelo a 
 2 2 10000 0x y z    
, que passa 
pelo ponto 
 1 10 10 10P , ,
. 
 
P06. Passe a equação do plano 
2
3
2
x
y
z

  
 
 

   
  
, com 
, 
, para a forma cartesiana. 
A resposta é única? 
 
P07. Dado o plano 
2 3 1 0x y z    
, determine uma forma paramétrica para a equação de 

. 
 
P08. Sejam o plano 
 9 0ax y cz    
 e as retas 
1
4
3
1
x
r y
z


 

  
 
 e 
2
4 2
1
x
r y
z



 

  
 
. Pede-se: 
 
a) Encontrar a e c para que se tenha 

 paralelo tanto a 
1r
 como a 
2r
. 
b) Mostrar qual dentre as retas 
1r
 e 
2r
 fica mais próxima de 

. Qual é a distância 

 desta 
reta mais próxima até o plano 

? 
 
P09. Determine o valor dos parâmetros m e n para que 
1 3 0x my z    
 fique paralelo ao plano 
 2 2 4 0nx y z    
. A seguir, aponte um ponto 
1 1A 
 e 
B 
. Finalmente, construa uma 
equação cartesiana para o plano 
2
, simétrico de 
1
 em relação a 

. 
 
P10. Construa uma equação cartesiana para o plano 

 que passa por 
 5 7 1Q , ,  
 e é paralelo às 
retas 
        5 3 1 1 1 2 Tr x, y,z , ,
 e 2100
2 2 1
x y z e
s
   
 
 
. 
 
P11. Determine a equação do plano 

 das retas paralelas 
 
1
1 1
6 3 2
x y z
r
 
 

 e 
2 2 3r x y z 
. 
 
P12. São dados o plano 
 2 0x y z    
 e o ponto 
 1 2 3D , ,  
. Pede-se: 
 
 a) Equações paramétricas da reta 
t 
 que passa pelo ponto D. 
b) As coordenadas do ponto 
 M t  
. 
 c) A equação geral do plano 

 que passa por D e é paralelo a 

. 
 d) A distância 

 entre os planos 

 e 

. 
 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2255 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P13. São dados o plano 
 2 6 0x y z    
 e a reta 
2
1 4
4
x
r y
z



 

  
   
, com 

. Pede-se: 
 
 a) As coordenadas do ponto 
P
 onde r intercepta o plano 

. 
 b) A equação do plano 

 que projeta r ortogonalmente no plano 

. 
c) Equações paramétricas da reta 
r    
, que é a projeção ortogonal da reta r no plano 

.d) Equações paramétricas da reta 
r
, simétrica de r em relação a 

. 
 
P14. Obtenha a equação geral do plano 
1
 que contém a reta 
   1 0 1 0 3 1 Tr R , ,   
e é 
perpendicular ao plano 
2 2 2 0x y z    
. Obtenha uma equação vetorial de 
1 2 
. 
 
P15. Obtenha uma equação paramétrica da reta t paralela a 
1 2 1 0x y z    
 e 
2 4 2 0x y z   
 e também concorrente com as retas 
2 2
3 1
x y z
r
x y
 

 
 e 
4 2 2
2 3
x y z
s
x y z
  

  
. 
 
P16. São dados a reta 
10 3
1
2
x
r y
z



 

 
  
 e o plano 
3 2 0x y z    
. Pedem-se: 
 a) As coordenadas do ponto 
 Q r  
. 
b) Seja 
 10 1 2A , ,
. Escreva equações paramétricas da reta p que passa por A e é 
perpendicular a 

. 
c) Determine a projeção ortogonal 
A
de A em 

. 
d) Encontre o ponto 
A
, simétrico de A em relação a 

. 
e) Escreva equações paramétricas da reta 
r
, simétrica de r em relação a 

. 
e) Determine a medida angular 
 r, 
. 
f) Faça um esboço da situação geométrica. 
 
P17. A reta t é paralela ao plano Oxz, está contida em 
 2 2x y z   
 e é concorrente com 
    2 1 1 1 0 2 Ts S , ,   
. Obtenha uma equação vetorial de t. 
 
P18. Sejam os planos 
1
, 
2
 e 
3
 tais que: 
 
 
1
 contém 
 1 0 0A , ,
, 
 0 1 0B , ,
 e 
 0 0 1C , ,
; 
 
2
 contém 
 1 1 0Q , ,  
 e é paralelo a 
 0 1 1
T
u  
 e 
 1 0 1
T
v 
; 
 
     3 1 1 1 2 1 0 1 0 1
T T
X , ,       . 
 
Obtenha equações gerais dos três planos e mostre que a interseção dos três planos se reduz a 
um único ponto e determine-o. A seguir, calcule a medida angular 
 1 3,  
. 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2266 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P19. Obtenha uma equação geral do plano  que contém a origem do sistema de coordenadas, é 
paralelo a 
1 1
4 5
y z
r x
 
  

 e perpendicular ao plano 
 
     1 2 3 0 4 3 1 1 2T TX , ,         . 
 
P20. Sejam os planos 
1 2 5 0mx y z    
 e 
6 6 12 0x ny z    
. 
 
a) Determine o valor dos parâmetros m e n para que 
1
 fique paralelo ao plano 

. 
b) A seguir, escolha um ponto 
1A 
 e um ponto 
B 
. 
c) Escreva a equação cartesiana do plano 
2
 simétrico de 
1
 em relação a 

. 
d) Determine 
 1 2,  
. 
 
P21. O triângulo ABC é retângulo em B e está contido em 
1 1x y z   
. O cateto BC está contido 
em 
2 2 2 0x y z   
 e a hipotenusa mede 
2 6 3
. Sendo 
 0 1 0A , ,
, determine os pontos B e C. 
 
P22. Na figura ao lado temos: 
 
i) 
2 7 0x y z    
. 
ii) 
 3 5 2A , ,    
, 
 8 1 4B , ,
 e 
 8 3 1C , ,   
. 
iii) O 
AB C 
é a projeção ortogonal do 
ABC
 em 

. 
iv) O 
AB C 
 é o simétrico do 
ABC
 em relação a 

. 
 
a) Determinar 

 para que se tenha 
A 
 e 
fornecer as coordenadas de A. 
b) Escrever equações paramétricas da reta p que 
passa por B perpendicularmente. 
c) Fornecer as coordenadas da projeção ortogonal 
B
 de B em 

. 
d) Determinar as coordenadas do simétrico 
B
 de B em relação a 

. 
e) Encontrar 

 para que o lado BC do 
ABC
 fique paralelo a 

; dê as coordenadas de C. 
f) Escreva as coordenadas do vértice 
C
 do 
AB C 
. 
g) Escreva as coordenadas do vértice 
C
 do 
AB C 
. 
h) As áreas dos triângulos envolvidos são iguais? Justifique sua resposta sem o auxílio de 
cálculos. 
 
P23. Sejam as retas 
   1 1 2 0 1 1 Tr X , ,   
, 
 2 1s x y z z    
 e 
3 0
2 1 0
x z
t
x y z
  

   
. 
Mostre que existe um único ponto comum entre essas três retas e calcule o volume do tetraedro 
determinado por elas e pelo plano 
 3 0x y z   
. 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2277 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P24. Existe uma reta s paralela a 
    1 1 1 3 0 1
T T
X       , que contenha  2 2 1P , , 
e seja concorrente com 
    1 0 0 2 0 1
T
r R , ,   
? Por quê? 
 
P25. Calcule a distância entre a reta r e o plano 

: 
 
a) 
 0 2 3r x y z x y z      
 e 
 4y z  
 
b) 
 1 3r x y z   
 e 
2 3 10 0x y z    
 
c) r é o eixo das abscissas e 
 2y z  
 
 
P26. Obtenha a equação geral dos planos que contém os pontos 
 1 1 1P , , 
 e 
 2 1 1Q , ,
 e distam 
1 da reta 
    1 0 2 1 0 2
T
r X , ,   
. 
 
P27. Calcule a distância entre os planos: 
 
 a) 
1 2 2 9 0x y z    
 e 
2 4 2 4 21 0x y z    
 
 b) 
1 5 2x y z   
 e 
     2 2 1 2 1 0 3 1 1 0T TX , ,       
 
 c) 
1 5 2x y z   
 e 
     2 2 0 0 1 0 1 1 1 0T TX , ,        
 
 
P28. O plano 

 é determinado por 
 5 4r x z y   
 e 
    4 1 1 4 2 3 Ts S , ,    
. Obtenha as 
equações gerais dos planos que distam 2 de 

. 
 
P29. Obtenha a medida angular entre as retas e os planos a seguir: 
 
 a) 
 0r x y z  
 e 
 0z 
 
 b) 
    0 0 1 1 1 0 Tr X , ,    
 e 
3 4 0x y  
 
 c) 
    1 0 0 1 1 2 Tr X , ,    
 e 
 1 0x y z    
 
 
P30. Obtenha a equação geral do plano 

 que contém a reta 
    0 4 0 1 4 1 Tr R , ,    
e forma 
ângulos congruentes com as retas 
   1 1 0 1 2 6 Ts S , ,    
e 
    3 1 1 3 4 4 Tt T , ,   
. 
 
P31. Calcule a medida angular entre os planos: 
 
 a) 
     1 1 0 0 1 0 1 1 0 0T TX , ,       
 e 
2 0x y z   
 
 b) 
   1 1 0 0 1 1 1T TX     
 e 
     1 1 0 0 1 2 0 0 1 0T TX , ,       
 
 
P32. Obtenha a equação geral dos planos que contém a reta 
 1 2r x z y   
 e formam ângulo de 
60º com o plano 
 2 3 2 0x y z    
. 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2288 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P33. Existem dois planos 
1
 e 
2
 tais que cada um contém a reta 
    1 4 0 1 2 3 Tt T , ,    
e 
forma ângulos congruentes com as retas 
  1 1 1 Tr R  
 e 
    1 2 3 1 1 1 Ts S , ,     
. 
Calcule a medida angular entre eles. 
 
 
3. Respostas dos exercícios propostos 
 
Retas 
R01. a) 
   4 3 2 1 1 2
T
P , ,     
 ou 
4
3
2 2
x
r y
z



 

  
  
. 
b) 
19 15
4 4
m ; n  
. 
c) R é tal que 
3
2
R r    
 
. 
d) Não existe 

 tal que 
 S r 
. 
e) Faça seu esboço!! 
 
R02. 
2 3
3 4 5
x y z
t
 
 

. 
 
R03. 
   2 1 1 2 3 14
T
P , ,    
. 
R04. a) Verifique que 
AC AB
. 
b) 
1 5
4 11
2 4
x t
y t
z t
  

 
   
. 
R05. Tem-se: 
   2 1 2 1 1 22 1 1 1 1 1
1
3 2 3 2 1 3 2 2 1
x y xx y z y z
z r
       
         

. 
Logo: 
 1 21 1P , , r  
 e 
 3 2 2 1
T
v r 
. 
 
R06. 
 4 3 1P , ,  
 e 
19 16 17
3 3 3
P , ,
 
   
 
. 
R07. a) Adotando 
 1 2 1
T
s ru u  
 tem-se 
1
2 2
5
x
s y
z



 

  
  
. 
b) 
 
 
 
s 
 1 2 5A , , 
 
0 
 
1S
 
2S
 B C D 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
2299 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
b.1) 
 2 0 4B , ,
. 
b.2) A figura sugere 
2 
. Então: 
 3 2 3C , ,
. 
b.3) Faz-se 
1  
. Então: 
 0 4 6D , , 
. 
c) Seja 
     1 2 5 2 1 3 3 3 2
T
x RA A R , , , ,        
. O ponto T pertence à reta se e 
somente se 
     1 2 5 3 3 2 4 5 7
T
T A x A RA , , , ,         
. Assim: 
4
5 2
7
x
t y
z



 

  
  
. 
R08. i) r e s são concorrentes. 
ii) r e s são coincidentes. 
iii) Para 
4m 
, r e s são concorrentes em 
 2 4 5I , , 
. Se 
4m 
, r e s são reversas. 
iv) r e s são reversas. 
R09. a) 
30 
 e 
 1 1 2
T
u  
. 
b) 
26 18 14AF    
. 
c) 
 3 1 5F , ,
 e 
 2 2 3B , ,
. 
d) 
5 3
4
2 2
M , ,
 
  
 
. 
e) 
 3 3 3C , ,
, 
 4 3 4D , ,
 e 
 4 2 5E , ,
. 
R10. 
6
1
3 2
x t
p y t
z t
 

 
  
; 
 6 1 3R , ,
 e 
 4 3 1S , , 
. 
 
R11. a) 
1 7a 
. 
b) 
   8 2 3 3 2
T
v ,            . 
c) 
4 3 
 e 
3 
. 
d) 
29 10 10
3 3 3
A , ,
 
  
 
 e 
 8 5 5B , ,
. 
e) 
8
5
5
x
p y
z



 

 
  
. 
 
R12. a) Faça seu esboço!! 
b) 
   
22 2
1 2dist P, A x y z a     
; 
   
2 2
2 dist P,s a z x    
. 
c) 
 2 22 3 0L y az a  
. 
d) L é uma superfície cilíndrica parabólica. Faça seu esboço!! 
 
R13. 
5  
; 
6 
; 
66 
; 
5
12 7
6 4
x
p y
z



  

 
  
. 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
3300 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
R14. a) 
 1 6 3 5P , , 
 e 
2
34 73 19
15 15 15
P , ,
 
  
 
. 
b) Faça seu esboço!!! 
 
R15. 
7a 
 e 
1a 
. 
 
R16. a) 
       
2 2
1 3 0 1 3
T
v           . 
b) 
 1 3 2B , , 
 e 
 3 1 2D , , 
. 
c) 
 1 1 2C , , 
. 
d) Pense a respeito... 
 
R17. a) 
1By  
 e 
6Bz  
. 
b) 
   3 2 3
T
v      
. 
c) 
 10 1 2D , , 
. 
d) 
 9 1 5C , , 
 e 
 6 1 2M , ,  
. 
e) 
16 11 
. 
 
Planos 
 
P01. 
3 14 4 23 0x y z    
. 
 
P02. Não existe 

 tal que 
 P r 
 e 
8 6 39 0x y z    
. 
 
P03. Plano xy: 
     1 0 0 0 1 0
0
T T T
x
x y z y
z

  


     
 
 e 

0 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0
x y z
OP i j x y z z
 
               
 
. 
Plano yz: 
     
0
0 1 0 0 0 1
T T T
x
x y z y
z
  



     
 
 e 

1 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1
x y z
OP j k x y z x
 
               
 
. 
Plano xz: 
     1 0 0 0 0 1 0
T T T
x
x y z y
z

 



     
 
 e 

0 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0
0 0 1
x y z
OP i k x y z y
 
                
 
. 
 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
3311 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P04. 
1 3z 
 
 
2 2 0x  
 
 
 
3 1 0x y   
 
 
4 2 0x z  
 
 
 
5 2 3 1 0y z   
 
 
6 2 3 6x y z   
 
 
 
 
 
P05. 
1 2 2 10 0x y z    
. 
 
P06. 
 5 0x y z    
 (qualquer equação 
 5 0k x y z   
, 
0k 
 é representativa do plano 

. 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
3322 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P07. 
     1 2 1 2 3 2x
y
z
 
 

   


 
 
 
P08. a) 
1a 
; 
1c  
. 
b) 
6 3 
 e a reta mais próxima de 

 é a reta 
2r
. 
 
P09. 
1m  
; 
2n  
; 
2 1 0x y z    
. 
 
P10. 
3 5 4 16 0x y z    
. 
 
P11. 
2 2 9 0x y z   
. 
 
P12. a) 
1
2
3
x
t y
z



 

 
  
. 
b) 
1 2 5
3 3 3
M , ,
 
  
 
. 
c) 
 6 0x y z    
. 
d) 
4
3
 
. 
 
P13. a) 
 3 3 3P , , 
. 
b) 
 6 0x z   
. 
c) 
6
6
x t
r y t
z t
 

  
 
. 
d) 
3 3
3
3
x
r y
z


 

 
   
. 
 
P14. 
1 7 3 10 0x y z    
 e 
3 1 1 17
0 1
2 2 8 8
T
P , ,          
   
. 
 
P15. 
1
2 2
x
t y
z




 
  
. 
 
P16. a) 
 1 2 1Q , ,  
. 
b) 
10 3
1
2
x
p y
z



 

 
  
. 
c) 
29 16 49
11 11 11
A , ,
 
   
 
. 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
3333 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
d) 
52 43 76
11 11 11
A , ,
 
    
 
. 
e) 
1 63
2 21
1 87
x
r y
z



 

   
   
. 
f) Faça seu esboço!! 
 
P17. 
3
1
3
x
t y
z


 


  
. 
 
P18. 
1 1 0x y z    
; 
2 0x y z   
; 
3 2 2 0x y z    
; 
1 2 1
2 3 6
P , ,
 
  
 
 e 
61 87, 
. 
 
P19. 
 51 41 0x y z    
. 
 
P20. a) 
2m 
; 
3n 
. 
b) 
 0 1 3A , ,
; 
 1 0 3B , ,
. 
c) 
2 2 2 3 0x y z    
. 
d) 
0 
. 
 
P21. 
2 2 1
3 3 3
B , ,
 
  
 
;
2 5 4
3 3 3
C , ,
 
  
 
ou 
2 1 2
3 3 3
C , ,
 
  
 
 
 
P22. a) 
1 
. 
b) 
8 2
1
4
x t
p y t
z t
 

 
  
. 
c) 
 4 3 2B , , 
. 
d) 
 0 5 0B , , 
. 
e) 
5 
; 
 13 8 1C , ,
. 
f) 
 9 10 1C , ,  
. 
g) 
 5 12 3C , ,  
. 
h) Pense a respeito das projeções... 
 
P23. 
 1 1 2P , ,
 e 
5
Volume
3

. 
 
P24. A reta r não é paralela ao plano 

(verifique!!!). A reta s está contida em um plano 
1 
, logo 
1r 
. Então existe um ponto 
  1R/ R r  
. Assim, s é a reta que passa por P e R. 
 
P25. a) 
2 2d 
. 
b) 
0d 
. 
c) 
1d 
. 
 
P26. 
1 1 0y  
 e 
2 6 2 3 7 0x y z    
. 
MMóódduulloo 0044 –– RReettaass ee PPllaannooss 
 
3344 EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
P27. a) 
3d 
. 
b) Impossível, pois
1 2 
. 
c) 
3
6d 
. 
 
P28. 
1 2 2 15 0x y z    
 e 
2 2 2 3 0x y z    
. 
 
P29. a) 
4

 
. 
b) 
2
10
arcsen
 
   
 
. 
c) 
2 2
3
arcsen
 
   
 
. 
 
P30. 
1 5 4 0x y z    
 e 
2 7 2 8 0x y z    
. 
 
P31. a) 
1
3
arccos
 
  
 
. 
b) 
4

 
. 
 
P32. 
1 2 3 5 0x y z    
 e 
2 3 2 4 0x y z    
. 
 
P33. 
9
95
arccos
 
  
 
.