AP1 ProbEst Est I 2009.2 Gabarito

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
1ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2009 
Profa. Keila Mara Cassiano 
 
Gabarito 
 
 
1. (2,0 pontos) Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e pressão arterial 
de acordo com as proporções do quadro a seguir: 
Peso 
Pressão Excesso Normal Deficiente Total 
Alta 0,10 0,08 0,02 0,20 
Normal 0,15 0,45 0,20 0,80 
Total 0,25 0,53 0,22 1,00 
 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão 
alta? 
b) Se você verifica que a pessoa escolhida ao acaso tem excesso de peso, qual a 
probabilidade de ela ter também pressão alta? 
c) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhia ao acaso neste grupo ter pressão 
normal ou peso normal? 
d) O fato de a pessoa ter pressão arterial alta depende de ele ter excesso de peso? 
Justifique! 
 
2. (2,0 pontos) A tabela abaixo representa as distâncias percorridas em quilômetros por um 
maratonista em 50 dias de treinamento: 
 
Classes 
(km percorridos) 
Ponto 
médio da 
classe (xi) 
Freq. simples 
absoluta (ni) 
Freq. simples 
relativa (fi) 
Freq. acumulada 
absoluta (Ni) 
Freq. acumulada 
relativa (Fi) 
 0 | 7 3,5 4 0,08 4 0,08 
 7 | 14 10,5 19 0,38 23 0,46 
14 | 21 17,5 12 0,24 35 0,70 
21 | 28 24,5 11 0,22 46 0,92 
 28 | 35 31,5 4 0,08 50 1,00 
 
Determine: 
 
a) Em média, quantos quilômetros este maratonista percorre por dia? 
b) Qual a quilometragem diária de maior freqüência percorrida por este 
maratonista? 
c) Determine o desvio padrão das distâncias percorridas por este maratonista; 
d) Determine a quilometragem mediana deste maratonista. 
 
3. (2,0 pontos) Devemos dispor em uma estante, três livros diferentes de matemática, cinco 
de economia e dois de estatística. Quantas disposições são possíveis: 
 a) se os livros de cada especialidade devem permanecer juntos? 
 b) se só os livros de economia devem permanecer juntos? 
 
4. (2,0 pontos) Sejam: 
}7,6,1{},5,4,3,2{},|{},|{},9,8,7,6,5,4,3,2,1{ ==∈=∈== DCímparéxExBparéxExAE
onde CBA ,, e D são subconjuntos de E . Determine: 
a) CA ∪ ; b) BA ∩ ; c) C ; d) BDC ∪∩ )( ; e) DCA ∩∩ . 
 
5. (2,0 pontos) Em um determinado jogo de loteria, cada apostador pode escolher no 
mínimo sete e no máximo dez números diferentes entre 1 e 50. Ganha o prêmio máximo 
quem acertar as sete dezenas que serão sorteadas e o preço de uma aposta mínima de sete 
números custa $0,50. Determine: 
 a) Qual o número total de jogos simples que pode ser feito nesta loteria? 
 b) Qual o número de jogos simples há em um cartão com dez números marcados? 
 c) Quanto custaria um cartão desta loteria com dez números marcados? 
 d) Qual a probabilidade de acertar nesta loteria com um cartão simples de sete 
números? E com um cartão de dez números marcados? 
 
Soluções: 
 
1. 
a) A proporção total das pessoas com pressão alta é 0,20. Logo, a probabilidade é 0,20. 
 
b) Seja A o evento: “a pessoa tem pressão alta” e seja B o evento: “a pessoa tem excesso de 
peso”. 
Neste item, estamos interessados em )|( BAP . Temos que 
.40,0
25,0
10,0
)(
)()|( ==∩=
BP
BAPBAP 
c) Sejam os eventos: C: “a pessoa tem pressão normal” e D: “a pessoa tem o peso normal”. 
Estamos interessados em: 
=−+=∩−+=∪ 45,053,080,0)()()()( DCPDPCPDCP 0.88 
 
d) Estamos interessados em saber se os eventos acima definidos, A e B, são independentes. 
Para que A e B sejam independentes, precisamos verificar se: 
)()()( BPAPBAP =∩ 
Temos que .10,0)( =∩ BAP (veja o item B), .20,0)( =AP (veja item A) e .25,0)( =BP 
 
)(10,005,025,020,0)()( BAPBPAP ∩=≠=×= . 
Logo, A e B não são independentes. 
 
Assim: A e B são dependentes. 
 
2. 
 
a) Para o cálculo da média usamos: 
∑ ==
++++
== .38,16
50
819
50
1265,2692105,19914
n
xn
x ii 
 
b) 
Aqui estamos interessados na MODA. A classe de maior freqüência é a classe: 7 | 14 cuja 
freqüência é 19. 
Logo, a moda é o ponto médio desta classe: Ou seja: 5,10* == ixx . 
 
c) Para o cálculo do desvio padrão vejamos a seguinte tabela: 
 
Classes 
 
ix in if 2ix 2ii xf 
 0 | 7 3,5 4 0,08 12,25 0,98 
 7 | 14 10,5 19 0,38 110,25 41,90 
14 | 21 17,5 12 0,24 306,25 73,50 
21 | 28 24,5 11 0,22 600,25 132,06 
 28 | 35 31,5 4 0,08 992,25 79,38 
Total 50 1,00 327,81 
E a fórmula será: 
( ) ( ) .71,751,5930,26881,327)38,16(81,327 222 ==−=−=−= ∑ xxf iiσ 
 
d) Para o cálculo da mediana, vemos na coluna de freqüências acumuladas, que a 
mediana está na 3ª. Classe: 14 | 21. Nas duas primeiras classes temos 46% dos 
dados, restando apenas 4% para atingirmos 50%. Assim, temos a seguinte regra de 
três: 
 
%46%70
1421
%4
142
−
−
=
−Q
 ⇒
24
7
4
142
=
−Q
⇒ .17,152 =Q 
 
3. 
a) temos a seguinte situação: 
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 
MAT MAT MAT ECO ECO ECO ECO ECO EST EST 
Se considerarmos os blocos de cada matéria, temos 3 blocos. 
___ ___ ___ 
MAT ECO EST 
Existem 3! formas de permutar os blocos. 
Dentro de cada bloco temos as seguintes situações: 
MAT: 3! formas.; 
ECO: 5! formas; 
EST: 2! formas. 
 
Assim, o número total de formas de disposição dos livros na estante mantendo livros 
de mesma espécie juntos é: 
640.8212066!2!5!3!3 =×××=××× . 
 
b) Agora, mantendo apenas os de ECO juntos, podemos considerar os 5 livros de 
economia como um único bloco de modo que a configuração passa a ser: 
___ ___ ___ ___ ___ ___ 
ECO OUT OUT OUT OUT OUT 
Onde OUT pode ser qualquer outro livro (Mat ou Est). Observando assim, o bloco ECO 
pode estar em qualquer uma das 6 posições acima. Isso conta, então, com 6 
possibilidades. 
Dentro do bloco ECO tem 5 livros diferentes que pode ser dispostos de 5! maneiras. 
Os outros 5 livros também podem ser dispostos de 5! maneiras. 
 
Assim, o número total de formas de disposição dos livros na estante mantendo apenas 
os livros de economia juntos é: 
.400.861201206!5!56 =××=×× 
 
4. 
a) }8,6,5,4,3,2{=∪ CA . 
b) Como A é o subconjunto de E com os números pares, ou seja, }8,6,4,2{=A e B é o 
subconjunto de E com os números ímpares, ou seja, }9,7,5,3,1{=B , então φ=∩ BA . 
c) C é o complementar de C em E. Assim, }9,8,7,6,1{=C . 
d) }8,6,4,2{}8,6,4,2{)( =∪=∪∩ φBDC . 
e) DCA ∩∩ . Os números em comum a estes três conjuntos são 2 e 4. 
Logo: }4,2{=∩∩ DCA . 
 
5. 
a) Como nesta loteria temos 50 números dos quais apenas 7 são sorteados. Então, o 
número total de jogos simples possível é: 
400.884.99
5.040
6.000503.417.37
1234567
44454647484950
!43!7
!50
7
50
==
××××××
××××××
==





. 
 
b) Quando você marca 10 números no cartão, você tem as combinações de 10 números 
tomados 7 a 7, que é o número de combinações simples. Ou seja, 
.120
6
720
123
8910
!3!7
!10
7
10
==
××
××
==





 
 
c) Se cada aposta simples de 7 números custa $0,50, então marcando 10 números, você 
aposta 120 simples, totalizando 
120×$0,50 = $60,00. 
 
d) 
Com a aposta mínima: 
0011570,00000001
400.884.99
1)( ==acertoP . 
Com a aposta de 10 números: 
140,00000120
400.884.99
120)( ==acertoP .