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M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 32Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno Aula Nº 4 – Série de Pagamentos Aula Nº 4 – Série de Pagamentos Iguais com Prestações Iguais com Prestações VencidasVencidas Objetivos desta AulaObjetivos desta Aula Muitas operações fi nanceiras são realizadas com prestações iguais e, nessas prestações, estão embutidos juros, pois, como já vimos, o dinheiro tem valor no tempo. O cálculo de Valor Futuro ou de Valor Presente das prestações, no regime de juros compostos, requer a utilização de algumas fórmulas matemáticas que serão apresentadas nesta aula. Um recurso também importante e prático é a utilização de calculadora fi nanceira. Nesta aula, apresentaremos a solução de cada problema pelas fórmulas e pela calculadora HP-12C. Ao fi nal, você deverá ser capaz de calcular o Valor Futuro, Valor Presente de uma série de pagamentos iguais postecipada e o valor de prestações iguais e consecutivas de um empréstimo ou de um investimento. Tenha uma ótima aula! 1. Cálculo do Montante ou Valor Futuro1. Cálculo do Montante ou Valor Futuro 0 1 2 3 4 100 100 100 100 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 33Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno O valor futuro desta série é o somatório dos valores futuros das parcelas ou prestações: VF2 = 100 . (1 + 0,05)³ VF3 = 100 . (1 + 0,05)² VF4 = 100 . (1 + 0,05)¹ VF5 = 100 . (1 + 0,05)º VF = VF1 + VF2 + VF3 + VF4 + VF5 VF = 100 . (1 + 0,05)³ + 100 . (1 + 0,05)² + 100 . (1 + 0,05)¹ + 100 . (1 + 0,05)º Colocando 100 em evidência, temos: VF = 100 [(1 + 0,05)³ + (1 + 0,05)² + (1 + 0,05)¹ + (1 + 0,05)º] Olhando, atentamente, a expressão dentro dos colchetes, verifi camos que se trata de uma progressão geométrica de 4 termos, em que o primeiro é 1 e com razão (1 + 0,05). Usando a fórmula da soma da PG è S = a1 . qn - a1 q – 1 VF = 100 . 1 . (1,05)4 – 1 -> 100 . 1,054 – 1 1,05 – 1 0,05 VF = PMT . (1 + i)n – 1 i 2. Cálculo do Montante ou Valor Futuro2. Cálculo do Montante ou Valor Futuro Uma pessoa faz 10 depósitos mensais e iguais de R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que tem um rendimento mensal de 0,75%. Considerando que os depósitos são realizados no fi nal de cada mês, qual será o valor acumulado no fi nal desse prazo? Dados:Dados: n = 10 prestações PMT = 1.000,00 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 34Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno i = 0,75% ao mês VF = ? VF = PMT . (1 + i) – 1 i VF = 1.000 . (1 + 0,0075) – 1 0,0075 VF = 1.000 . 1,0776 – 1 0,0075 VF = 1.000 . 0,0776 0,0075 VF = 1.000 . 10,3443 VF = 10.344,34 Tecle 1000 CHS para mudar o sinal e PMT HP-12C n FV i 0,75 10.344,34 0,75 PV VISOR 10 10 -1.000 PMT DADOS 1.000 CHS 3. Cálculo da prestação dado o Valor Futuro3. Cálculo da prestação dado o Valor Futuro Se quiser saber quanto devo depositar mensalmente em uma caderneta de poupança que paga juro de 0,75% ao mês, para acumular o valor de R$ 20.000,00 no fi nal de 12 meses, o problema é o inverso do anterior, portanto a fórmula também será inversa. M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 35Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno Dados:Dados: VF = R$ 20.000,00 I = 0,75% ao mês n = 12 meses VF = R$ 16.500,00 PMT = ? Se VF = PMT . (1 + i)n – 1 i PMT = VF . i (1 + i)n – 1 PMT = 20.000 . 0,0075 (1+0,0075)12 – 1 PMT = 20.000 . 0,0075 (1,0075)12 – 1 PMT = 20.000 . 0,0075 1,0938 – 1 PMT = 20.000 . 0,07995 PMT = 1.599,03 HP-12C n FV i 12 20.000 PV VISOR 12 0,75 20.000 -1.599,03 CHS PMT 0,75 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 36Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno 4. Cálculo do Valor Presente4. Cálculo do Valor Presente Quanto vale, hoje, uma série de parcelas iguais com vencimentos futuros? Suponha que uma empresa fez um fi nanciamento para ser pago em 4 parcelas mensais de R$ 1.500,00, sendo de 3,5% ao mês a taxa negociada da operação. Qual foi o valor fi nanciado? VP= ? 1.500 1.500 1.500 1.500 VF = PMT . (1 + i)n – 1 i n VF = VP . (1 + i) VP . (1 + i) = PMT . (1 + i)n – 1 i VP = PMT . (1 + i)n – 1 (1 + i)n . i VP = 1.500 . (1 + 0,035)4 – 1 (1 + 0,035)4 . 0,035 VP = 1.500 . 1,1475 – 1 1,1475 . 0,035 VP = 1.500 . 0,1475 0,0402 VP = 1.500 . 3,6731 VP = 5.509,62 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 37Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno Cálculo do Valor Presente na HP-12C HP-12C n FV i 4 1.500 PV VISOR 4 3,5 5.509,62 -1.500,00 CHS PMT 3,5 Tecle 1500 CHS para mudar o sinal e depois PMT 5. Cálculo da Prestação dado o Valor Presente5. Cálculo da Prestação dado o Valor Presente Qual o valor das prestações mensais e iguais de um empréstimo de R$ 10.000,00, à taxa de 4,5% ao mês, pelo prazo de 12 meses? VP = PMT . (1 + i)n – 1 (1 + i)n . i VP . (1 + i)n . i = PMT . (1 + i)n – 1 VP . (1 + i)n . i = PMT (1 + i)n – 1 PMT = VP . (1 + i)n . i (1 + i)n – 1 PMT = 10.000 . (1 + 0,045)12 . 0,045 (1 + 0,045)12 – 1 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 38Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno PMT = 10.000 . 1,6959 . 0,045 1.6959 – 1 PMT = 10.000 . 0,0763 0,6959 PMT = 10.000 . 0,1097 PMT = 1.096,66 HP-12C n FV i 12 10.000 PV VISOR 12 4,5 10.000 -1.096,66 CHS PMT 4,56. EXEMPLOS6. EXEMPLOS EXEMPLO 1:EXEMPLO 1: Um produto é comercializado por R$ 1.000,00 a vista. Qual será o valor da prestação, se o comprador fi nanciar em 6 prestações iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5% ao mês? Dados:Dados: VP = 1.000,00 i = 5% ao mês n = 6 prestações mensais PMT = ? PMT = VP . (1 + i)n . i (1 + i)n – 1 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 39Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno PMT = 1.000 . (1 + 0,05)6 . 0,05 (1 + 0,05)6 – 1 PMT = 1.000 . 1,3401 . 0,05 1,3401 – 1 PMT = 1.000 . 0,0670 0,3401 PMT = 1.000 . 0,1970 PMT = 197,02 Exemplo 2Exemplo 2 Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicados à taxa de 2% ao mês, durante 11 meses, produz um montante de R$ R$ 15.000,00. Dados: PMT = ? i = 2% ao mês n = 11 depósitos mensais VF = 15.000,00 PMT = VF . i . (1 + i)n – 1 PMT = 15.000 . 0,02 . (1 + 0,02)11 – 1 PMT = 15.000 . 0,02 . 1,2434 – 1 PMT = 15.000 . 0,02 0,2434 PMT = 15.000 . 0,08218 PMT = 1.232,67 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 40Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno HP-12C n FV i 11 15.000 PV 11 2 15.000 -1.232,67 CHS PMT 2 VISOR Exemplo 3Exemplo 3 Determinar o valor de um fi nanciamento realizado à taxa de 1,5% ao mês e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 700,00. Dados:Dados: i = 1,5% ao mês PMT = 700,00 n = 12 prestações mensais VP = ? VP = PMT . (1 + i)n – 1 (1 + i)n . i VP = 700 . (1 + 0,015)12 – 1 (1 + 0,015)12 . 0,015 VP = 700 . 1,1956 – 1 1,1956 . 0,015 VP = 700 . 0,1956 0,0179 VP = 700 . 10,9075 VP = 7.635,25 M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 41Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno HP-12C n FV i 12 700 PV VISOR 12 1,5 7.635,25 -700 CHS PMT 1,5 Tecle 700 CHS para mudar o sinal e depois PMT 7. Exercícios:7. Exercícios: 1) Um empréstimo de R$ 20.000,00 foi realizado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e consecutivas. Determinar o valor das prestações, sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano, capitalizada mensalmente, e que a primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. 2) Um equipamento cujo valor é R$ 25.000,00 está sendo fi nanciado a juros de 24% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo de um ano. Determinar o valor que deve ser dado de entrada para que o valor das 12 prestações mensais, iguais e consecutivas, seja limitado a R$ 1.800,00. Admita que a primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação do empréstimo. 3) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.000,00 em um banco, à taxa de 1% ao mês. Quanto poderá resgatar no fi nal desse prazo? 4) Uma caderneta de poupança remunera seus depósitos à taxa de 15% ao ano, capitalizados trimestralmente. Um cliente efetuou seis depósitos trimestrais, todos do mesmo valor. Determine o valor desses depósitos para que o cliente possa retirar a quantia de R$ 20.000,00 no fi nal do segundo trimestre após a efetivação do último depósito. M ate má tic a F ina nc eir a e An áli se da s D em on str aç õe s F ina nc eir as Au la 04 - Sé rie d e Pa ga me nt os Ig ua is co m Pr es ta çõ es V en cid as 42Faculdade On-Line UVBFaculdade On-Line UVB Anotações do Aluno 5) Uma pessoa deposita o valor de R$ 90,00 por mês em uma caderneta de poupança pelo prazo de 30 anos. Considerando uma taxa de 0,8% ao mês, qual será o valor acumulado no fi nal desse prazo? SínteseSíntese Nesta aula, estudamos como calcular Valor Futuro, Valor Presente e Valor de Prestações iguais em uma série de pagamentos postecipada, com o uso de fórmulas matemáticas e com a utilização da calculadora HP-12C. Na próxima aula, estudaremos o VPL – Valor Presente Líquido–, que é uma importante ferramenta para análise de investimentos. Referências BibliográficasReferências Bibliográficas BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática Financeira Aplicada., São Paulo: Thomson-Pioneira, 2002. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos. 3.ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.
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