CÁLCULO VETORIAL LISTA DE EXERCÍCIOS 02

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Cálculo Vetorial
2ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra 
Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): 
”... A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e 
aprendida sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se 
trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”
1) Em cada caso, calcule X ' (t) e X ' ' (t)
a) X ( t)=(t 2 , t) c) X ( t)=(3t2 , e−t , ln (t 2+ 1)) 
b) X ( t)=(sen5t) i⃗+ (cos 4t) j⃗−(e−2t) k⃗ d) X ( t)=(−t
4
4
, t 2) 
2) Calcule as integrais indefinidas
a) ∫(3 i⃗ + 4t j⃗)dt c) ∫(e−t i⃗+ e t j⃗+ t k⃗ )dt
 
b) ∫(t 2 i⃗−2t j⃗+ 1t k⃗ )dt d) ∫(6t
2 i⃗−4t j⃗+ 3 k⃗ )dt 
3) Calcule as integrais definidas
a) ∫
0
π
3
(cos3t ,−sen3t )dt c) ∫
1
9
(√ t i⃗+ 1√t
j⃗)
 
b) ∫
1
2
(3 i⃗ + 2 j⃗+ k⃗ )dt d) ∫
1
2
(√ t+ 1 , e t)dt 
4) Em cada caso, determine a única função X ( t) que satisfaz as condições 
estabelecidas.
a) X ' (t)=(cos t , sent) , X (0)=(1,−2) 
b) X ' (t)=t 2 i⃗−3t j⃗+ 4t k⃗ , X (1)=5 i⃗+ 4 j⃗−3 k⃗ 
c) X ' (t)=(t 2 , 6 t+1, 8 t 3) X (0)=(2,−3, 1)
d) X ' ' (t)=6t i⃗ + 3 j⃗−2 k⃗ , X ' (0)=(4,−1, 1) e X (0)=5 j⃗ 
5) Para cada função abaixo, encontre o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor 
aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal, a velocidade escalar, a 
aceleração escalar, a curvatura e o centro de curvatura no tempo t dado. 
 Represente no plano os vetores encontrados.
a) X ( t)=(cos t , sent) , em t=π
4
 
b) X ( t)=e2t i⃗+ e−4t j⃗ , em t=0 
c) X ( t)=(5, t 3) , em 2t 
d) X ( t)=(2t−1) i⃗+ (4−t) j⃗ , em t=3
 
e) X ( t)=(1+cos t , 2+2 sen t) em t=π
6) Mostre que se uma função vetorial X ( t) tem norma constante, então X ( t) é 
perpendicular a X ' (t)
7) O comprimento do arco de uma curva C no plano, representada pelo vetor posição
X ( t) , é dado por ∫
a
b
∥X ' t∥dt . Calcule o comprimento do arco das curvas
abaixo, nos intervalos dados
a) X ( t)=1
2
t 2 i⃗+ 1
3
t 3 j⃗ , t∈[0, 2]
b) X ( t)=t 3 i⃗ + t 2 j⃗ ; do ponto A(0,0) ao ponto B(1, 2) 
c) X ( t)=(cos t , sen t) , t∈[0, π
2
]
d) X ( t)=(cos 2t , sen2t ) , t∈[0, π
2
]
8) Uma estrada tem a configuração da parábola 120y=x2 . Um caminhão está
carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal de sua aceleração
exceder 30. Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo
vértice da parábola? (Simmons – solutions pag 474)
9) Um caminhão de 9t faz uma curva de 100m de raio com uma velocidade de
15km /h . Determine a força centrípeta. (Munem)
10) Uma partícula de massa de dois quilos gira num círculo horizontal de dois metros
de raio. A partícula faz quatro revoluções por segundo. Ache a força centrípeta da
partícula. (Munem) {Obs. Faça x=2 cos(8π t) , y=2 sen (8π t ) , 0≤t≤1
se quiser calcular a velocidade como norma de X ' (t ) . Com essa parametrização
a partícula dá 4 voltas em um segundo}
11) Uma pedra de 2kg de massa está presa na ponta de um arame que está fixo num
ponto a 2m da pedra. Gira-se essa pedra em torno do ponto onde o arame está
preso de modo que o arame permanece esticado e a pedra dá 5 revoluções por
segundo. Determine a força centrípeta que está atuando nessa pedra