CÁLCULO VETORIAL LISTA DE EXERCÍCIOS 04

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Cálculo Vetorial
4ª Lista de Exercícios - Prof. Caitano Cintra
 Pense no que disse o grande matemático húngaro George Polya (1887 – 1985): 
 ”... A Matemática não é um esporte para espectadores: não pode ser apreciada e 
 aprendida sem a participação ativa do aluno... E a primeiríssima coisa, quando se 
 trata de ajudar o aluno, é não ajudá-lo demais...”
1) Calcule cada integral dupla dada abaixo. 
 a) ∫
0
2
∫
0
1
(x− y )dydx c) ∫
0
2
∫
0
2
(6− x2)dydx e) ∫
1
2
∫
0
4
(x2−2y2+ 1)dxdy
 b) ∫
0
1
∫
y
2y
(1+ 2x2+ 2y2)dxdy d) ∫
0
1
∫
0
x
√1−x 2dydx f) ∫
0
1
∫
0
√1− y2
−5xydxdy 
2) Em cada caso, faça um esboço da região R cuja área é dada pela integral dupla. Inverta a
ordem de integração e verifique que ambas as ordens conduzem a mesma área.
a) ∫
0
1
∫
0
2
dydx c) ∫
1
2
∫
2
4
dxdy e) ∫
0
1
∫
2y
2
dxdy 
 b) ∫
0
4
∫
0
√ x
dydx d) ∫
0
2
∫
x/2
1
dydx f) ∫
0
1
∫
y2
3√ y
dxdy 
3) Em cada caso, utilize uma integral dupla para calcular a área da região limitada pelas equações 
dadas.
a) y=25−x2 , y=0 c ) y=x , y=2x e x=2 
 
b) xy=9 , y=x , y=0 e x=9 d) 5x−2y=0 , x+ y=3 e y=0 
4) Em cada caso, utilize uma integral dupla para calcular o volume do sólido limitado pelas equações
dadas.
a) z= xy ; z=0 ; y=0 ; y=4 ; x=0 ; x=4 d) z= x ; z=0 ; y= x ; y=0 ; x=4 
b) z= x2 ; z=0 ; x=0 ; x=2 ; y=0 ; y=4 e) z= x+ y ; x2+ y2=4 (1° octante)
c) z= x+ y ; , z=0 , x=0 ; x=π
4
, y=2 e y=tan x 
5) Calcule as seguintes integrais:
a) ∭
V
xy 2 z3dV , V={0⩽x⩽30⩽ y⩽20⩽z⩽1 d) ∭V ( x+2 y+3 z )dV , V :{
0⩽ x⩽2
0⩽ y⩽3
1⩽z⩽3
 
b) ∭
V
(3 x+2 y+ z )dV , V={1⩽x⩽30⩽ y⩽50⩽z⩽2 e) ∭V xy 2dV V={
0⩽x⩽1
0⩽ y⩽ x
0⩽z⩽ y
 
c) ∭
V
( x2+2 y )dV , V={0⩽x⩽1−1⩽ y⩽2x0⩽z⩽ y+ 1 f) ∭V (1+ x+ sen y)dv , V={
0⩽x⩽1
0⩽ y⩽π
0⩽z⩽1
 
 
6) Para cada integral abaixo, (i) esboce o gráfico da região de integração;( ii) escreva a 
integral mudando a ordem de integração e (iii) calcule o valor de cada uma delas.
a) ∫
0
1
∫
0
2
x 4 y3dydx c) ∫
0
π
∫
0
π
2
sen x cos y dxdy 
b) ∫
0
3
∫
0
x+ 2
( x+ y )dydx d) ∫
0
1
∫
x2+ 2
−x+ 4
xydydx
7) Esboce o gráfico de cada região abaixo, escreva ∬
R
f (x , y )dR e calcule o valor 
dessa integral
a) R :{0⩽ x⩽22⩽ y⩽4 e f (x , y )=x 2 y+ xy2 c) R :{0⩽ x⩽10⩽ y⩽21⩽z⩽3 e f (x , y , z)=xy+ yz
b) R :{y=x
2
y=−x2+ 4
x=0,( x⩾0)
 e f (x , y )=x+ y d) { y= xy=x2 e f (x , y )=3 
8) Calcule ∫
0
4
∫
0
−x+ 4
∫
0
x+ y+ 2
xydzdydx 
9) Calcule ∫
0
2
∫
y
2
e x
2
dxdy (cuidado!). Sugestão: esboce a região de integração