MATEMÁTICA Aula 10 Trigonometria no Triângulo Retângulo Parte I

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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da 
matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. 
 
Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa, b e c são os catetos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos como cateto oposto a um ângulo como sendo aquele que está na frente do ângulo dado. 
Definimos como cateto adjacente a um ângulo como sendo aquele que está ao lado do ângulo dado. 
 
Assim, em relação ao ângulo , b é o cateto oposto e c é o cateto adjacente. 
Em relação ao ângulo , b é o cateto adjacente e c é o cateto oposto. 
 
Note que os catetos oposto e adjacente variam de posição, conforme o ângulo agudo de referência que 
adotamos. 
 
No triângulo retângulo, definimos as seguintes razões trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em relação ao triângulo dado, temos: 
 
Para o ângulo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o ângulo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos  e  são complementares, isto é:  +  = 90°. Observando os resultados acima, podemos concluir 
que, sendo os ângulos  e  complementares, então 
 
e 
 
Ainda das razões trigonométricas, podemos observar que 
a 
b 
c 
 
 
A B 
C 
 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou seja: 
 
 
 
 
 
Na resolução de problemas de trigonometria no triângulo retângulo, uma importante relação é o Teorema de 
Pitágoras, que afirma que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos 
quadrados dos catetos. 
 
Em nosso triângulo: 
 
 
Do Teorema de Pitágoras, dividindo todos os termos por a², temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
Além das razões trigonométricas, é necessário saber os VALORES TRIGONOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS, dados 
na tabela a seguir: 
 
 30° 45° 60° 
sen 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
cos √
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
tg √ 
 
 √ 
 
 
 
 
Calcule o valor de x e y nas figuras abaixo: 
 x = 10m 
 
 x = 10√ m 
 
 x = 100√ m e y = 100m 
 
EXERCÍCIOS 
01 (Ano: 2016 / Banca: COMPERVE) Uma pessoa quer medir a distância entre o ponto em que se encontra 
(que chamaremos de A) até uma ilha. Para isso, a partir de A, ela mede o ângulo formado entre o segmento de 
A até um farol na ilha e o segmento de A até uma estaca na praia onde se encontra, obtendo 30°. Depois, anda 
50m em linha reta até a estaca e mede novamente o ângulo formado entre o segmento da estaca e o farol na 
ilha, e o segmento da estaca e o ponto A. Sendo o segundo ângulo medido igual a 60º, a distância entre o farol 
na ilha e o ponto A é de 
a) 50√3m. 
b) 30m. 
c) 40m. 
d) 25√3m. 
 
02 (Ano: 2016 / Banca: Prefeitura do Rio de Janeiro – RJ) Observe a figura abaixo que representa uma folha 
de papel com a forma de um retângulo ABCD que foi cortada pela diagonal AC de modo que o ângulo CÂD seja 
30°. 
 
Se a medida da diagonal AC deste retângulo é 40 cm, a área, em cm² , da folha retangular é igual a: 
a) 400√3 
b) 300√3 
c) 200√3 
d) 100√3 
 
03 (Ano: 2013 / Banca: FGV / Órgão: SEDUC-SP) A figura a seguir mostra o perfil de um muro de uma represa. 
A primeira parte da rampa tem inclinação de 20° com a horizontal e a segunda parte tem inclinação de 50°. 
 
Considerando, sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94, o valor aproximado da altura total do muro (h) é de 
a) 9,4m. 
b) 10,2m. 
c) 11,1m. 
d) 12,3m. 
e) 13,0m. 
 
04 (Ano: 2013 / Banca: CEPERJ / Órgão: SEPLAG-RJ) Observe o terreno triangular mostrado a seguir, visto em 
planta: 
 
A distância x indicada na figura equivale a: 
a) 16,7m 
b) 20,0m 
c) 25,0m 
d) 32,3m 
e) 34,5m 
 
05 (Ano: 2012 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: Petrobras) 
 
O desenho acima representa, em escala, uma escada de quatro degraus, todos de mesmo comprimento e 
altura. No desenho, a distância entre os pontos A e B é 13,6 cm, e a distância entre B e C é 12,0 cm. Na escada 
real, cada degrau tem 30,0 cm de comprimento. 
Qual é, em cm, a altura de cada degrau dessa escada? 
a) 16 
b) 32 
c) 34 
d) 48 
e) 64 
 
 
RESPOSTAS 
1) D 2) A 3) C 4) C 5) A 
 
Progressão Geométrica (PG) 
Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual 
ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão). 
Para calcularmos a razão de uma PG dividimos um termo qualquer por seu antecessor. 
 
Fórmula do Termo Geral da PG 
 
 
onde: 
an = representa o termo procurado 
a1 = representa o primeiro termo da PG 
q = representa a razão da PG 
n = representa o número de termos 
 
Principais Propriedades 
P1: Se três números quaisquer x, y, z são termos consecutivos de uma P.G, então o termo central é média 
geométrica dos outros dois. 
 
P2: Numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos termos 
extremos. 
Fórmula da Soma dos Termos da PG Finita 
 
 
 
 
onde: 
Sn = representa a soma dos termos da PG 
a1 = representa o primeiro termo da PG 
an = representa o último termo a ser somado da PG 
q = representa a razão da PG 
 
Fórmula da Soma dos Termos da PG Infinita Convergente 
 
 
 
 
onde: 
S∞ = representa a soma dos infinitos termos da PG convergente 
a1 = representa o primeiro termo da PG 
q = representa a razão da PG 
 
EXERCÍCIOS 
01 (2016 / Banca: FCC / Órgão: SEGEP-MA) Na progressão geométrica 8/9;4/3;2;3;...,o primeiro termo que 
supera o número 11 é o termo que se encontra na posição de número 
a) 7. b) 10. c) 11. d) 9. e) 8. 
 
02 (2014 / Banca: FCC / Órgão: METRÔ-SP) Os 8 primeiros termos de uma sequência numérica são, nessa 
ordem, , ...1/2, 3, 4/3, 7/4, 11/7, 18/11, 29/18, 47/29, ... Nessa sequência, a posição do termo cuja fração 
irredutível possui soma de numerador com denominador igual a 843 é: 
a) 13º b) 17º c) 16º d) 12º e) 10º 
 
03 (2012 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 2ª REGIÃO / Prova: Técnico Judiciário) Considere que os termos da 
sucessão seguinte foram obtidos segundo determinado padrão. 
(20, 21, 19, 22, 18, 23, 17, ...) 
Se, de acordo com o padrão estabelecido, X e Y são o décimo e o décimo terceiro termos dessa sucessão, 
então a razão Y/X é igual a 
a) 44%. b) 48%. c) 56%. d) 58%. e) 64%. 
 
04 (2011 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Considere que os termos da sequência seguinte foram 
obtidos segundo determinado critério: 
 
 
 
Se x/y é o nono termo dessa sequência, obtido de acordo com esse critério, então a soma x + y é um número 
a) menor que 400. b) múltiplo de 7. c) ímpar. d) quadrado perfeito. e) maior que 
500. 
 
05 (2011 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Considere que os termos da sequência seguinte foram 
sucessivamente obtidos segundo determinado padrão: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...) 
O décimo termo dessa sequência é 
a) 1537. b) 1929. c) 1945. d) 2047. e) 2319. 
 
06 (2010 / Banca: FCC / Órgão: MPE-RS / Prova: Agente Administrativo) Considere as progressões 
aritméticas: 
 P: (237, 231, 225, 219, ...) e Q: (4, 9, 14, 19, ...).O menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento 
da sequência P também localizado na posição n é igual a 
a) 22. b) 23. c) 24. d) 25. e) 26. 
 
07 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TRE-AC / Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa) Considere que em 
1990 uma Seção Eleitoral de certa cidade tinha apenas 52 eleitores inscritos - 18 do sexo feminino e 34 do 
sexo masculino - e que, a partir de então, a cada ano subsequente o número de mulheres inscritas nessa Seção 
aumentou de 3 unidades, enquanto que o de homens inscritos aumentou de 2 unidades. Assim sendo, o 
número de eleitores do sexo feminino se tornou igual ao número dos eleitores do sexo masculino em 
a) 2004. b) 2005. c) 2006. d) 2007. e) 2008. 
 
08 (2010 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Segundo a Associação Brasileira de Franchising, o 
faturamento de franquias ligadas aos setores de saúde e bem estar quase dobrou de 2004 a 2009, pois neste 
período a receita total das empresas passou de 5 bilhões para 9,8 bilhões de reais. Se esse crescimento tivesse 
ocorrido de forma linear, a receita total das empresas desse setor, em bilhões de reais, teria sido de 
a) 5,34 em 2005. b) 6,92 em 2006. c) 7,44 em 2007. d) 8,22 em 
2008. e) 8,46 em 2008. 
 
09 (2010 / Banca: FCC / Órgão: Banco do Brasil) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um 
primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta. Se a cada mês 
depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar o 15o depósito, o total depositado por ela era 
a) R$ 4 700,00. b) R$ 4 800,00. c) R$ 4 900,00. d) R$ 5 000,00. e) R$ 5 100,00. 
 
10 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 4ª REGIÃO / Prova: Analista Judiciário – Contabilidade) Sabe-se que, no 
Brasil, nas operações financeiras é usado o sistema decimal de numeração, no qual um número inteiro N pode 
ser representado como: 
 
 
 
Suponha que, em férias, Benivaldo visitou certo país, no qual todas as operações financeiras eram feitas num 
sistema de numeração de base 6 e cuja unidade monetária era o "delta". Após ter gasto 2014 deltas em 
compras numa loja e percebendo que dispunha exclusivamente de cinco notas de 100 reais, Benivaldo 
convenceu o dono da loja a aceitar o pagamento na moeda brasileira, dispondo-se a receber o troco na moeda 
local. Nessas condições, a quantia que ele recebeu de troco, em deltas, era 
a) 155. b) 152. c) 145. d) 143. e) 134. 
 
11 (2010 / Banca: FCC / Órgão: AL-SP) A sequência de números inteiros (F1, F2, F3, ... , Fn-1, Fn , Fn+1, ...) cujos os 
termos são obtidos utilizando a lei de formação F1= F2= 1 e Fn = Fn-1 + Fn-2, para todo inteiro n ≥ 3, é chamada 
Sequência de Fibonacci - famoso matemático italiano do século XIII. Assim sendo, a soma do quinto, sétimo e 
décimo termos da Sequência de Fibonacci é igual a 
a) 73 b) 69 c) 67 d) 63 e) 81 
12 (2010 / Banca: FCC / Órgão: DNOCS / Prova: Administrador) A expressão 
 
em que n é um número inteiro maior do que 3, é equivalente a 
a) b) c) d) e) 
 
13 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TCE-SP) Considere que os números inteiros que aparecem na tabela abaixo 
foram dispostos segundo determinado padrão. 
 
Se esse padrão fosse mantido indefinidamente, qual dos números seguintes com certeza NÃO estaria nessa 
tabela? 
a) 585 b) 623 c) 745 d) 816 e) 930 
 
14 (2010 / Banca: FCC / Órgão: TCE-SP) Seja a sequência (a1, a2, a3, ..., an, ...) em que o termo geral an é dado 
pela lei: 
 
Com base na informação dada, é verdade que a soma a4 + a6 é igual a 
a) 4,125. b) 4,2. c) 4,375. d) 4,5. e) 4,875. 
 
15 (2007 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 1ª REGIÃO / Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um técnico 
judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição 
Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contracapa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 
e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é 
a) 97 b) 99 c) 111 d) 117 e) 126 
 
16 (2007 / Banca: FCC / Órgão: TRF - 1ª REGIÃO / Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa) Às 10 horas 
do dia 18 de maio de 2007, um tanque continha 9 050 litros de água. Entretanto, um furo em sua base fez com 
que a água escoasse em vazão constante e, então, às 18 horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litros de 
água em seu interior. Considerando que o furo não foi consertado e não foi colocada água dentro do tanque, 
ele ficou totalmente vazio às 
a) 11 horas de 02/06/2007. b) 12 horas de 02/06/2007. c) 12 horas de 03/06/2007. 
d) 13 horas de 03/06/2007. e) 13 horas de 04/06/2007. 
 
RESPOSTAS 
1) E 2) A 3) C 4) D 5) D 
6) B 7) C 8) B 9) E 10) E 
11) A 12) B 13) C 14) E 15) C 16) B