Aula18-Estimativas e Tamanho de Amostras

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Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Estatística (ESTE2) 
Prof. Rodrigo Cleber da Silva 
Aula 18 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
 Agora veremos a estimativa da média populacional “μ” quando 
o tamanho “n” da amostra é pequeno, ou seja, n ≤ 30. 
 
 Neste caso: 
 A melhor estimativa continua sendo a partir de . 
 
 Usaremos intervalo de confiança a partir da curva normal com a 
mesma margem de erro do capítulo anterior. 
 
 Usaremos a Distribuição t de Student: 
X
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
 O número de graus de liberdade para um conjunto de dados 
corresponde ao número de valores que podem variar após terem sido 
impostas certas restrições a todos os valores. 
 
Exemplo: Se 10 estudantes têm em um teste média 80, podemos 
atribuir valores arbitrários a nove delas, mas a décima fica determinada 
univocamente. 
 A soma das 10 notas deve ser 800, de modo que a 10ª deve ser 
igual a 800 menos a soma das 9 primeiras. 
 Como as 9 primeiras podem ser escolhidas arbitrariamente, 
dizemos que há 9 graus de liberdade (n – 1 ). 
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3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
Propriedades importantes da Distribuição t de Student: 
 
1- A distribuição t de Student é diferente, conforme o tamanho da 
amostra; 
 
2- A distribuição t de Student tem a mesma forma geral simétrica 
(forma de sino) que a distribuição normal, mas reflete a maior 
variabilidade que é esperada em pequenas amostras; 
 
3- A distribuição t de Student tem média t = 0 igual à distribuição 
normal padronizada que tem média Z = 0; 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
Propriedades importantes da Distribuição t de Student: 
 
4- O desvio padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho da 
amostra ”n” mas é superior a 1, ao contrário da distribuição normal 
onde σ = 1; 
 
5- À medida que aumenta o tamanho “n” da amostra a Distribuição t de 
Student se aproxima mais e mais da distribuição normal padronizada 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
Condições para o uso da Distribuição t de Student: 
 
1- O tamanho da amostra é pequeno (n ≤ 30) 
 
2- σ é desconhecido 
 
3- A População original tem distribuição Normal 
 
Margem de erro para a estimativa de μ para n ≤ 30: 
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3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
Exemplo: O teste de colisão de carros é um exemplo muito dispendioso 
de teste destrutivo. Dificilmente pode-se fazer colidir mais de 30 carros, 
a fim de poder utilizar uma distribuição normal. 
 Suponhamos que tenhamos feito teste de colisão de 12 carros de 
um tipo “A” cujo preço de venda seja R$ 59.000,00 sob diversas 
condições que simulam colisões típicas. 
 A análise de 12 carros danificados resulta em custos de conserto 
que parecem ter distribuição em forma de sino com média de R$ 
26.000,00 e desvio padrão S = R$ 15.000,00. Determine: 
 
a- A melhor estimativa da média populacional μ do custo do conserto 
de cada carro danificado. 
b- A estimativa intervalar de 95% de μ. 
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3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
Solução: 
a- A melhor estimativa pontual de μ é o valor , neste caso R$ 
26.000,00. 
 
b- Usamos t de Student porque as condições básicas estão satisfeitas: 
 
- n ≤ 30 (n=12) 
- σ desconhecido, porém conhecemos S= R$ 15.000,00 
- A curva tem a forma de sino 
 
Então: 
X
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3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
 
Solução: 
Podemos agora escrever a estimativa intervalar de 95% de confiança: 
 
 
 
 
 
 
 Com base nesse resultado, temos 95% de confiança de que os 
limites 16490 e 35530 contem o valor da média populacional μ. 
 Esse exemplo é real e trata de um carro americano, dos mais 
caros para consertar em caso de colisão. 
 Esta informação é de grande importância para as companhias de 
seguros. 
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3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
Exercícios 
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3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
Exercícios 
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3- Estimativas de uma média populacional: Pequenas Amostras 
Exercícios 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
 Vamos abordar agora os mesmos três conceitos estudados 
anteriormente. 
 
(1) Estimativa pontual 
 
(2) Intervalo de confiança 
 
(3) Determinação do tamanho da Amostra “n” 
 
 Anteriormente aplicamos esses conceitos à estimativa de uma 
média populacional μ; neste capitulo vamos aplicá-lo à Proporção 
Populacional “P”. 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
Exemplo: Uma companhia de seguros poderia se interessar na 
estimativa da proporção de motoristas embriagados. 
 
 Vamos trabalhar com a denominação p^ (lê-se p chapéu) para a 
proporção amostral. 
 
 Já sabemos que Q=1-P; podemos associar que Q^= 1-P^, desta 
forma: 
 
 P= Proporção Populacional 
 
 P^= Proporção Amostral 
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3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
Estimativa Pontual 
 
A proporção Amostral P^ é a melhor estimativa pontual da Proporção 
Populacional P. 
 
Margem de Erro da Estimativa P 
 
 
 
 
Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar de uma Proporção 
Populacional P) 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
Eventualmente podemos dizer: 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
Exemplo: Os pesquisadores de opinião pública são atormentados por 
uma diversidade de fatores de confusão, como secretárias eletrônicas. 
Em uma pesquisa junto a 1068 Americanos, 673 informaram ter 
secretária eletrônica. Com esses resultados amostrais determine: 
 
a- A estimativa pontual da proporção populacional de todos os 
Americanos que possuem secretária eletrônica. 
 
b- A estimativa intervalar 95% da proporção Populacional de todos os 
Americanos que têm secretária eletrônica 
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3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
Exemplo: As companhias de seguros estão preocupadas com o fato de 
que o número crescente de telefones celulares resulte em um maior 
número de colisões de veículos. Então, por isso, pensando em cobrar 
um prêmio maior para motoristas que usam celular, deseja-se estimar, 
com uma margem de erro de três pontos percentuais (3%), a 
porcentagem de motoristas que falam ao celular enquanto estão 
dirigindo. Supondo que se pretende um nível de confiança de 95% nos 
resultados, quantos motoristas devem ser pesquisados? 
 
A- Suponha que tenhamos uma estimativa de P^ com base em estudos 
anteriores que mostrouque 18% dos motoristas falam ao telefone 
dirigindo. 
B- Suponha que não tenhamos qualquer informação que possa sugerir 
um valor de P^. 
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3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
Exemplo: No caso da pesquisa eleitoral, determine o tamanho da 
amostra necessária para saber a preferência do eleitorado com um nível 
de confiança de 95% e admitindo um erro de mais ou menos 2,2 pontos 
percentuais. 
 
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3- Estimativas de uma proporção populacional 
 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
3- Estimativas de uma proporção populacional 
Exercício: 
 
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3- Estimativas de uma proporção populacional 
Exercício: 
 
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3- Estimativas de uma proporção populacional 
Exercício: 
 
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3- Estimativas de uma proporção populacional 
Exercício: