CTM II Estrutura Materiais METAIS FINAL JOCA

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Prof. Dr. Jorge Carlos Pereira 2018.2 
 Motivação - Estrutura dos Materiais 
 As propriedades de alguns materiais estão diretamente 
relacionadas às ligações químicas e suas estruturas cristalinas. 
 
 Explica a diferença significativa nas propriedades de materiais 
cristalinos e não cristalinos de mesma composição química. 
 
 
 
 
 
 
 
 Explicação para, por exemplo: 
 
– Ex: magnésio e berílio puros que têm a mesma estrutura 
(HC) são mais frágeis (fraturam sob menores níveis de 
deformação) do que ouro e prata puros, os quais têm 
outra estrutura cristalina (CFC). 
 
- Ex: Alumina (Al2O3) cristalina (opaca) 
e amorfa (transparente) 
Estrutura dos materiais - Metais 
 Representação esquemática de uma peça de um 
metal puro indicando os diferentes níveis estruturais. 
Planos de átomos 
ordenados segundo 
um padrão repetitivo a 
longas distâncias - 3D 
Ex: Pb líquido 
Tª > 327ºC 
Energia vs Arranjo atômico 
• Não denso, arranjo aleatório 
• Denso, arranjo ordenado 
Energia 
r 
Distância típica 
entre átomos vizinhos 
Energia típica 
 de ligação 
Energia 
r 
Distância típica 
entre átomos vizinhos 
Energia típica 
 de ligação 
Configuração mais 
estável energeticamente 
mínimo de energia 
Ro - distância de equilíbrio 
Materiais e Arranjo Estrutural 
• Átomos arranjados de forma periódica, ordem em 3D 
Materiais Cristalinos 
• Átomos não estão arranjados de forma periódica 
Materiais Não-cristalinos 
"Amorfo" = Não-cristalino 
Ex: SiO2 cristalina 
Ex: SiO2 não-cristalina 
• Típico de: 
• Ocorre para: 
Silício Oxigênio 
- Metais 
- Muitas cerâmicas 
- Alguns polímeros 
- Estruturas complexas (ex: vidros) 
- Elevada viscosidade 
- Resfriamento rápido 
Estruturas Cristalinas 
• Muitos materiais, tais como os metais, algumas cerâmicas e 
alguns polímeros, ao solidificarem, apresentam seus átomos 
organizados de uma forma tridimensional, conhecida como 
rede cristalina (arranjo 3D de pontos que coincidem com as 
posições do átomos - ou com os centros de átomos) . 
 
• A organização ou regularidade, determina uma periodicidade 
espacial da distribuição atômica, isto é, depois de um certo 
intervalo espacial, a disposição dos átomos se repete. 
 
• Um sólido que apresenta ordenamento ou periodicidade na 
distribuição atômica de seus átomos é dito cristalino. Quando 
esta periodicidade não existe, o material é dito amorfo. 
 
Arranjo Periódico 
• Cristal ideal 
– Construído através de uma repetição infinita e perfeita de 
unidades estruturais idênticas no espaço. 
 “Os átomos que constituem um sólido podem oscilar em 
torno de sua posição de equilíbrio, mas não são livres 
para migrar num raio maior que seu próprio raio 
atômico.” 
 
• Tipos de arranjos atômicos 
– Sem ordem 
– Ordem de curto alcance 
– Ordem de longo alcance 
 
Típico dos materiais amorfos 
Típico dos materiais cristalinos 
Arranjo Periódico 
• Sem ordem: 
– Os átomos preenchem aleatoriamente o espaço no 
qual o material está confinado. Este tipo de estado 
é denominado estado gasoso. Ex: Ar, N, He, ... 
 
• Ordenamento de curto alcance: 
– O ordenamento dos átomos só se estende até os 
vizinhos mais próximos. Ex: Vidros, quatro átomos 
de oxigênio são ligados covalentemente a um 
átomo de silício (SiO4
-), formando a sílica 
 
• Ordenamento de longo-alcance: 
– O arranjo atômico se estende através de todo o 
material; 
– Os átomos formam um padrão regular e repetitivo, 
como grades ou redes. Ex: metais, muitas 
cerâmicas e alguns polímeros. 
 
Ordem atômica vs Alcance 
• Sólidos amorfos 
– Ordem atômica de curto alcance (ex: vidros) 
 
• Policristalino 
– Ordem regular atômica de longo alcance 
– Presença de muitos grãos ou cristais 
separados por contornos (contornos de grão) 
 
• Monocristalino 
– Ordem atômica de longo alcance em todo o 
grão ou cristal. 
– Existe um só grão (ou cristal)… não existem 
contornos de grão. 
 
Tipos de sólidos: 
Ordem atômica vs Alcance 
Fronteira entre dois cristais de TiO2. Carbono amorfo. 
• Microscopia Eletrônica de Transmissão - MET 
 2 nm 
Resumo: cristalino vs amorfo 
• Material cristalino - os átomos estão situados em um arranjo que 
se repete ou é periódico ao longo de grandes distâncias atômicas. 
Existe ordem de longo alcance, um arranjo tridimensional repetitivo, 
no qual cada átomo está ligado aos seus átomos vizinhos mais 
proximos. 
• Material amorfo (não-cristalino) - não possui arranjo atômico 
regular e sistemático ao longo de distâncias atômicas relativamente 
grandes. Estruturas amorfas podem surgir devido a: 
 Estruturas ou moléculas bastantes complexas (geometria e 
comprimento) – resulta em viscosidades elevadas, 
 Resfriamento rápido --- não há tempo para os átomos (ou íons 
ou moléculas) se ordenarem. 
 
A transição de material cristalino /amorfo - depende da 
facilidade que uma estrutura atômica aleatória no estado 
líquido, tem para se tornar ordenada durante a solidificação. 
Materiais monocristalinos 
- Compostos por um só grão ou cristal 
• Logicamente, não existem 
contornos de grão. 
 
• Arranjo periódico se 
estende por todo o material 
sem interrupção. 
 
• As células unitárias se 
ligam da mesma maneira e 
possuem a mesma 
orientação. Cristal de granada - Mg3Al2(SiO4)3 
Materiais monocristalinos 
• Algumas aplicações requerem monocristais 
• A ausência de defeitos associado aos contornos de 
grão pode dar aos monocristais propriedades únicas, 
particularmente mecânicas, óticas e elétricas. 
- Diamantes para uso como abrasivo 
 
- Lâminas para turbinas (ligas de Ni e Ti) 
 
- Semicondutores de Si 
 
- Monocristais de safira e outros materiais são usado para lasers 
 
Materiais policristalinos 
• Formado por muitos 
cristais pequenos, os 
grãos ou cristais. 
 
• A orientação 
cristalográfica varia de 
grão para grão, formando 
os contornos de grão. 
 
•Textura é uma 
orientação preferencial 
dos grãos. 
Solidificação 
Materiais policristalinos 
• A maior parte dos materiais de engenharia são policristalinos 
 
 Fotomicrografia de um lingote de liga Nb-Hf-W . 
 
• Cada “grão” é um cristal simples. 
• Os grãos estão orientados aleatoriamente. 
(propriedades de componente globais não são direcionais). 
• Tamanho dos grãos, de 1 nm a 2 cm 
 (de poucos a milhões de camadas atômicas ). 
1 mm 
 Isotrópico 
- grãos equiaxiais 
- propriedade não 
varia com a direção 
Anisotrópico 
- grãos ≠ tamanhos 
- propriedade varia 
com a direção) 
- Vários grãos ou cristais 
Monocristais vs Policristais 
• Monocristais 
 
 
- Propriedades variam com a direção: anisotrópico 
Ex: os módulos de elasticidade (E) no Ferro CCC 
• Policristais 
 
- propriedades não variam com a direção (no geral). 
 
- se os grãos estão randomicamente orientados, 
isotrópico. 
 (EFerro policristalino = 210 GPa) 
 
-se os grãos estão texturados, anisotrópico. 
(apresentam um orientação preferencial) 
200 mm 
E (diagonal) = 273 GPa 
E (aresta) = 125 GPa 
Ex: processo de laminação 
 Resumo: Monocristais vs Policristais 
Monocristal - material para o qual a ordem atômica se estende 
ininterruptamente ao longo da totalidade da amostra - um só grão 
 
 Nomalmente são anisotrópicos 
 
• Grãos anisotrópicos - crescimento em uma determinada direção 
- As propriedades variam com a direção de crescimento do 
grão 
 
 
Material policristalino - composto por muitos cristais pequenos 
ou grãos, os quais possuem diferentesorientações cristalográficas. 
 
 Normalmente são isotrópicos 
 
•Grãos equiaxiais - tem todos relativamente o mesmo tamanho, 
orientados aleatoriamente. 
 - As propriedades não variam com a direção (no geral). 
Redes Cristalinas 
 
• Motivo  é uma unidade estrutural 
que se repete regularmente no espaço 
 
• Rede  é um arranjo de pontos no 
espaço, a qual define a relação 
geométrica entre os motivos numa 
estrutura; (arranjo 2D de pontos que 
coincidem com as posições do átomos 
- ou com os centros de átomos). 
 
• Nó  são os pontos igualmente 
espaçados dentro da rede. 
 Rede cristalina 2D 
Estruturas Cristalinas 3D 
• Descrita pela célula unitária. 
 Consiste num pequeno grupo de 
átomos que forma um modelo 
repetitivo e ordenado ao longo da 
estrutura tridimensional. 
 
 É escolhida para representar a 
simetria da estrutura cristalina. 
 
 É a unidade estrutural básica e 
define a estrutura cristalina em 
virtude da sua geometria e das 
posições dos átomos no seu interior. 
Para a maioria das 
estruturas cristalinas 
são paralelepípedos 
ou prismas. 
Estruturas Cristalinas 3D 
• Célula unitária. 
Estrutura geométrica básica (menor “tijolo”) 
que repetido no espaço gera a rede cristalina 
Átomos 
Célula 
unitária 
Cristal ou grão 
Célula primitiva 
• Célula Primitiva  é a que possui um único ponto por célula, 
enquanto uma célula não primitiva possui mais de um ponto por 
célula. 
 
• Numa Célula Primitiva, cada ponto é compartilhado no plano, por 
outros três vizinhos: no espaço (3D) cada ponto é compartilhado 
por sete outros vizinhos. 
 
célulapontox
ticesNpontosvér
Ncélula /14/14
4

célulapontox
ticesNpontosvér
Ncélula /18/18
8

No Plano 
2D: 
No Espaço 
3D: 
Célula não-primitiva 
• Contém mais de um ponto por célula 
 
– Ex.: Célula centrada. No espaço, uma célula centrada contém: 
 
pontos
ticesNpontosvér
sintNpontoradacélulacentNpontos 2
8
/ 
Parâmetros de rede 
• As redes espaciais “células unitárias” são definidas por três vetores 
cristalográficos, a, b e c e pelos ângulos ,  e  
• O tamanho e a forma da célula unitária podem ser descritos pelos 3 
vetores de rede, a, b e c, com origem em um dos vértices da célula 
unitária. 
• Qualquer átomo pode ser descrito por um vetor. 
Os comprimentos a, b e c dos 
vetores e os ângulos ,  e  que 
fazem entre eles definem os 
parâmetros de rede da célula 
unitária. 
Modelo de esferas rígidas 
 modelo de esfera rígida atômica para um sólido cristalino 
 
 Em alguma direção, essas esferas rígidas têm que se tocar 
 Para facilitar o estudo das estruturas cristalinas faz-se 
alusão ao modelo atômico das esferas rígidas… para 
mais fácil compreensão. 
 
Ex: Fe CFC Ex: NaCl 
Número de coordenação 
• A forma como os átomos se arranjam em uma 
célula unitária é consequência do tamanho, bem 
como do nível de afinidade entre os mesmos 
(características das ligações químicas). 
 
• Uma característica importante de uma célula 
unitária é o número de coordenação, ou seja, o 
número de vizinhos mais próximos ou de átomos 
em contato. 
 
Número de coordenação 
Geometria linear 
Geometria triangular planar 
Número de coordenação 
Número de coordenação 
Número de coordenação 
Número de coordenação 
Nº de átomos eq. por célula unitária 
Nº de átomos por célula unitária 
1/2 
1/4 
1/8 
Face 
Aresta 
Vértice 
 Fator de Empacotamento Atômico 
• O fator de empacotamento atômico (FEA) representa a 
fração do volume de uma célula unitária que corresponde a 
esferas sólidas, assumindo o modelo de esfera atômica rígida, 
ou: 
 
FEA = 
Volume de átomos eq. em uma célula unitária * 
Volume total da célula unitária 
*assumindo o modelo das esferas rígidas 
 
 O volume de uma esfera rígida: (4/3)*π*R3 
 Ex: o volume da célula cúbica = (lado)3 = (a0)
3 
 Fator de Empacotamento Atômico 
%) ( 100*
.
em
V
Vn
FEA
célula

 O FEA dá uma ideia do valor (em % ou fração) do volume 
ocupado pelos átomos/íons na célula cristalina, ou do 
volume de espaço vazio na mesma. 
 
 O FEA pode ser calculado para metais e cerâmicas, e a sua 
fração será sempre inferior a 1. (nunca será de 100%!!!). 
 
 O FEA traduz-se na razão entre o volume dos átomos 
contidos na célula e o volume total da mesma. 
 
Sistemas Cristalinos 
 No século XIX Bravais identificou 7 sistemas cristalinos e 14 
células unitárias (ou 14 retículos de Bravais), que se forem 
repetidas periodicamente no espaço, produziriam as 
possíveis estruturas ou reticulados cristalinos de átomos. 
 
 A teoria de Bravais foi confirmada no início do século XX 
com os experimentos de difração de raios-X de Bragg. 
 
 Os sistemas cristalinos incluem todas as possíveis 
geometrias de divisão do espaço por superfícies planas 
contínuas. 
 
 Definem as relação entre os parâmetros de rede e a 
geometria das células unitárias 
 
Os 7 Sistemas Cristalinos 
Cúbico 
a = b = c 
α = β = γ = 90o 
Tetragonal 
a = b ≠ c 
α = β = γ = 90o 
Hexagonal 
a = b ≠ c 
α = β = 90o, γ = 120o 
Monoclínico 
a ≠ b ≠ c 
α = γ = 90o ≠ β 
Ortorrômbico 
a ≠ b ≠ c 
α = β = γ = 90o 
Romboédrico 
a = b = c 
α = β = γ ≠ 90o 
Triclínico 
a ≠ b ≠ c 
α ≠ β ≠ γ ≠ 90o 
Os 7 Sistemas Cristalinos 
Sistema Eixos Ângulos axiais 
Cúbico (3) a1 = a2 = a3 Todos os ângulos = 90° 
Tetragonal (2) a1 = a2 ≠ c Todos os ângulos = 90° 
Ortorrômbico (4) a ≠ b ≠ c Todos os ângulos = 90° 
Monoclínico (2) a ≠ b ≠ c 2 ângulos = 90°; 1 ângulo ≠ 90° 
Triclínico (1) a ≠ b ≠ c 3 ângulos diferentes, nenhum = 90° 
Hexagonal (1) a1 ≠ a2 = a3 = c Ângulos = 90° e 120° 
Romboédrico (1) a1 = a2 = a3 3 ângulos iguais, porém ≠ 90° 
• Resumo: em formato de tabela 
As 14 Redes de Bravais 
• Dos 7 sistemas cristalinos 
podemos identificar 14 tipos 
diferentes de células 
unitárias, conhecidas como 
redes ou retículos de Bravais. 
 
• Cada uma destas células 
unitárias tem certas 
características que ajudam a 
diferenciá-las das outras 
células unitárias. 
Estrutura Hexagonal Compacta 
 Os reticulados de Bravais não contemplam a estrutura 
Hexagonal Compacta 
Coloridos para 
diferenciar dos 
demais 
Nosso foco no estudo - metais: 
 
1 – Sistema Cúbico 
 
2 – Sistema Hexagonal 
Cúbica de corpo centrado - CCC 
Cúbica de face centrada - CFC 
Cúbica simples - CS * 
Hexagonal compacta - HC 
Hexagonal simples - HS * 
* - raro em metais 
Estrutura Cristalina dos Metais 
• Como a ligação metálica é não direcional, então não existem 
grandes restrições quanto ao número e posição de átomos vizinhos. 
 - Assim as distâncias entre átomos vizinhos tendem a ser minimizadas 
de forma a baixar a energia de ligação, então, os metais terão NC 
(números de coordenação) alto e empilhamento compacto. 
 
 
• A maior parte dos metais se estrutura em três tipos de rede: 
 
 Cúbica de face centrada – cfc (fcc - face centered cubic) 
 
 Cúbica de corpo centrado – ccc (bcc - body centered cubic) 
 
 Hexagonal compacta – hc (hcp - hexagonal close compact) 
 
Metais: Estrutura Cúbica 
 
1 – Sistema 
 Cúbico 
 
Cúbica de corpo centrado - CCC 
Cúbica de face centrada - CFC 
Cúbica simples - CS * 
* - raro em metais 
https://www.youtube.com/watch?v=Rm-i1c7zr6Q 
https://www.youtube.com/watch?v=KNgRBqj9FS8 
Estrutura cúbica simples - CS 
• Muito rara devido ao baixo nível de empacotamento da estrutura. 
• Ex: Pôlonio α (Po α) - metal radioativo. 
• Osátomos tocam-se na direção da aresta. 
 
• Estrutura cúbica simples: (esquerda) representação da célula 
unitária através de esferas rígidas e (direita) célula unitária com 
esferas reduzidas (átomos afastados para mais fácil compreensão). 
NC = 6 
Estrutura cúbica simples - CS 
• NÚMERO DE COORDENAÇÃO. 
 
 
1 átomo / célula unitária: 8 vértices x 1/8 = 1 átomo equivalente por 
 célula unitária 
Estrutura cúbica simples - CS 
• Nº de átomos equivalentes por célula unitária 
1/8 do átomo 
dentro da célula 
unitária. 
Relação entre o raio atômico (r) e o 
parâmetro de rede, ao 
• Como determinar a relação entre o raio atômico e 
o parâmetro de rede? 
 
Determinar a direção de maior empacotamento, 
ou seja, aquela direção com maior números 
átomos que estão em contato (p. ex: pela aresta, 
diagonal da face ou diagonal do centro do cubo) 
 
Geometricamente determina-se a relação entre 
o raio atômico (r) e o parâmetro de rede (ao) 
 
Relação entre o raio atômico e o 
parâmetro de rede - CS 
Relação entre o raio atômico e o 
parâmetro de rede - CS 
a0 = 2r 
Volume CS = (a0)
3 
 = (2r)3 
r = a0/2 
FEA para a estrutura CS 
• FEA para a estrutura CS= 0.52 ou 52% 
FEA = 
a 3 
4 
3 
p (0.5a) 3 1 
átomos 
célula unitária 
átomo 
volume 
célula unitária 
 
volume 
a 
R=0.5a 
Cada célula unitária contém: 
8 x 1/8 = 1 átomo/célula 
a = 2r ↔ r = a/2 ↔ r = 0,5 a 
(2r)3 
FEA para a estrutura CS 
Nota: Volume CS = (a0)
3 = (2r)3 
Estrutura cúbica de faces 
centradas - CFC 
• Átomos se tocam ao longo das diagonais das faces do cubo. 
– ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag, Fe (γ) 
 
NC = 12 
4 átomos / célula unitária: 6 faces x ½ + 8 vértices x 1/8 
Estrutura cúbica de faces 
centradas - CFC 
• NÚMERO DE COORDENAÇÃO 
 
 
Estrutura cúbica de faces 
centradas - CFC 
• NÚMERO DE COORDENAÇÃO = 12 
 
 
Relação entre o raio atômico e o 
parâmetro de rede - CFC 
a 
2 a 
FEA para a Estrutura CFC 
• FEA para a estrutura CFC = ? 
FEA = 
4 
3 
p ( 2 a/4 ) 3 4 
átomos 
célula unitária 
átomo 
volume 
a 3 
célula unitária 
volume 
Diagonal das faces: 
Comprimento = 4R = 2 a 
4 átomos / célula unitária 
FEA = 0,74 x 100 = 74% 
FEA para a estrutura CFC 
Metais no sistema CFC 
 Exemplos de metais que cristalizam no sistem CFC, 
 à temperatura 20 °C 
Estrutura cúbica de corpo 
centrado - CCC 
• Átomos se tocam o longo das diagonais internas do cubo. 
– ex: Cr, W, Fe (), Ba, Nb, Li, V, Ta, Mo 
 
 
NC = 8 
2 átomos / célula unitária: 1 centro + 8 vértices x 1/8 
Estrutura cúbica de corpo 
centrado - CCC 
• NÚMERO DE COORDENAÇÃO. 
 
 
 
2 átomos / célula unitária: 1 centro + 8 vértices x 1/8 
NOTA: O átomo central foi 
colocado com outra cor para 
melhor entendimento 
Relação entre o raio atômico e o 
parâmetro de rede - CCC 
Relação entre o raio atômico e o 
parâmetro de rede - CCC 
Relação entre o raio atômico e o 
parâmetro de rede - CCC 
Exercício: A 20ºC, o ferro apresenta a estrutura CCC, 
sendo o raio atômico 0,124nm. Calcule o parâmetro de 
rede, a0 , da célula unitária do ferro (em nm). 
 
- Na célula unitária CCC, os átomos se tocam segundo 
as diagonais do cubo. Assim, se a0 for o comprimento 
da aresta do cubo, tem-se : 
 
 
 
 
 
 a0 = 0,2864 nm 
NOTA: 1nm (nanómetro) = 10-7 cm = 10-9 m 
 1 Å (ångstrom) = 10nm = 10-8 cm = 10-10 m 
• FEA para a estrutura ccc = 0.68 
FEA para a Estrutura CCC 
FEA = 
4 
3 
p ( 3 a/4 ) 3 2 
atoms 
célula unitária átomo 
volume 
a 3 
célula unitária 
volume 
a 
R 
a 
a 2 
a 3 
comprimento = 4R = 
Diagonal interna do cubo: 
3 a 
FEA para a estrutura CCC 
Metais no sistema CCC 
 Exemplos de metais que cristalizam no sistem CCC, 
 à temperatura 20 °C 
Relação entre o raio atômico e o 
parâmetro de rede - Exercício 
aFeCCC = ??? aFeCFC = ??? 
A 912°C, o ferro (Fe) passa de uma estrutura de CCC para 
CFC. O raio atômico do ferro é de 1,24Å. Calcule o 
parâmetro de rede (em nm), a0 , da célula unitária do Fe 
CCC e CFC. 
 
Resumo: sistema cúbico 
CS CCC CFC 
Metais: Estrutura Hexagonal 
2 -Sistema 
Hexagonal 
Hexagonal compacta - HC 
Hexagonal simples – HS* 
* - raro em metais 
Hexagonal simples - HS 
 Normalmente os metais 
não cristalizam no sistema 
hexagonal simples porque o 
FEA é baixo, 60% 
 
 exemplos: Selénio (Se), 
 Telúrio(Te) 
 Esta estrutura é formada por 
2 hexágonos sobrepostos, 
com o equivalente a 1/6 
átomo por cada vértice e 1/2 
átomo no centro do hexágono 
a = b ≠ c 
α = β = 90o, γ = 120o 
 a = b = 2 r 
• 3 células 
rômbicas 
Hexagonal simples - HS 
 O parâmetro de rede, c, 
(altura do prisma hexagonal) é 
dado por: 
 
 
c = 2. a .(2/3)1/2 = 4. r .(2/3)1/2 
Os átomos tocam-se na 
aresta dos planos basais 
a = b ≠ c 
α = β = 90o, γ = 120o 
 a = b = 2 r 
a 
b 
c 
Hexagonal simples - HS 
A∆ = (a2 √3)/4 
 
Então, a área do hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo 
equilátero 
A = (6 . a2 √3)/4 AHS = 3 a
2 √3 
 2 
VHS = 3 a
2 √3 * c 
 2 
Sendo que c = 2. a .(2/3)1/2 = 4. r .(2/3)1/2 
Hexagonal simples - HS 
• É mais comum nos metais devido ao seu elevado FEA, 
equivalente ao observado nas estruturas CFC. 
– Formada por 2 hexágonos sobrepostos e 1 plano intermediário 
de 3 átomos. Estrutura formada por 3 células rômbicas 
– Ex: Be, Mg, Ti, Zn, Ca, Co… 
 
Hexagonal compacta - HC 
6 átomos / célula unitária: 2 átomo em cada vértice dos hexágonos + 1 
átomo no centro de cada hexágono + 3 átomos em seu centro. 
Átomos / Célula unitária 
• 1/6 de cada um dos 12 átomos 
localizado nos vértices das 
faces, 1/2 de cada um dos 2 
átomos centrais das faces e os 
3 átomos internos. 
 
• Há 6 átomos por célula 
unitária. 
 
• Ou, 2 átomos/célula, se for 
usada a representação rômbica 
(12 átomos x 1/6) + (2 átomosx 1/2) + 3 átomos = 6 átomos /célula unitária 
NOTA – os átomos foram diferenciados para melhor compreensão, mas são o mesmo elemento!!! 
Átomos / Célula unitária 
(12 átomos x 1/6) + (2 átomosx 1/2) + 3 átomos = 6 átomos /célula unitária 
 Relação parâmetros de rede – a e c 
Razão c/a ideal = esferas uniformes empilhadas da maneira mais 
compacta possível. 
a = b = 2r 
LEMBRAR: 
Átomos tocam-se 
ao longo da 
aresta dos planos 
basais e no semi-
plano extra de 
átomos 
Estrutura HC: c/a e FEA 
Estrutura HC: calculando c/a 
A∆ = (a2 √3)/4 
 
Então, a área do hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo 
equilátero 
A = (6 . a2 √3)/4 AHC = 3 a
2 √3 
 2 
VHC = 24*R
3 *√2 
Sendo que c = a .(√8 / √3) = 2.r .(√8 / √3 ) e a=2.r 
Estrutura HC: calculando área 
Estrutura HC: calculando o FEA 
 
Estrutura HC : NC e FEA 
• NC = 12 • FEA = 0,74 
 
Coloridos para 
diferenciar dos 
demais 
Metais do sistema HC 
 Exemplos de metais que cristalizam no sistem HC, 
 à temperatura 20 °C 
Parâmetros de rede (nm) 
 
Resumo: Sistema hexagonal 
HS HC 
Rede Átomos 
por célula 
Número de 
coordenação 
Parâmetro de 
rede 
Fator de 
empacotamento 
HS 3 6 
a=2*R 
c= a*2*(√2/3) 
0,60 
HC 6 12 
a=2*R 
c= a*(√8/√3) 
0,74 
• Como nós podemos empilharátomos de um metal para 
minimizar os espaços vazio? 
 
 Formação de estruturas compactas - para minimizar os 
espaços vazios – diminuindo assim a energia potencial do 
sistema, tornando-se mais estáveis termodinamicamente. 
 
Agora tente empilhar estas camadas em 2D para formar estruturas 3D. 
vs. 
2 dimensões 
 Empilhamento ótimo dos átomos 
 Formação de estruturas compactas - 3D 
 
https://www.youtube.com/watch?v=CsnNbuqxGTk 
A formação de 
estruturas compactas 
dos metais pode ser 
esquematizada 
fazendo analogia ao 
empilhamento de 
laranjas, 
compactando-as o 
mais possível para 
minimizar os espaços 
vazios. 
 Empilhamento ótimo dos átomos 
 Formação de estruturas compactas - 3D 
 
https://www.youtube.com/watch?v=CsnNbuqxGTk 
 Empilhamento ótimo dos átomos 
Coloridos para diferenciar dos demais, mas 
estrutura formada por átomos do mesmo tipo 
Metais: 
Empilhamento ótimo dos átomos 
 METAIS - Formação de estruturas compactas 
 para minimizar os espaços vazios 
 diminuindo assim a energia do cristal. 
 Como a ligação metálica é não direcional, então não existem grandes 
restrições quanto ao número e posição de átomos vizinhos. 
 - Assim, as distâncias entre átomos vizinhos tendem a ser minimizadas 
de forma a baixar a energia de ligação, então, os metais terão NC 
(números de coordenação) alto e empilhamento compacto. 
 Qual o motivo para os metais formarem estruturas 
compactas??? 
 Porque isto acontece? 
Metais: Empilhamento ótimo 
a) Camada compacta de esferas 
c) Adição de uma segunda camada, situada 
nas depressões da primeira camada 
b) Adicionando uma camada sobre a primeira, 
empilhamento ABAB, típico da HC. 
d) Adição de uma terceira camada, por 
cima dos sítios octaédricos formados, 
empilhamento ABCABC, típico de CFC. 
Sítio 
 tetraédrico 
Sítio 
 octaédrico 
A B 
A 
B 
C 
Estruturas cristalinas compactas e 
interstícios 
Interstício octaédrico 
Interstício tetraédrico 
(a) Sequência de empilhamento de planos 
compactos para a estrutura HC 
(b) Sequência de empilhamento de planos 
compactos para a estrutura CFC. 
 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
 Vimos que as esferas não preenchem totalmente todo o espaço da célula 
unitária, resultando  empacotamento atômico (FEA) < 1 (para todos cristais) 
 Isto implica que existem interstícios (vazios ou sítios) entre os átomos. 
 Quanto mais baixo for o FEA, maior será o volume ocupado por vazios na 
célula 
 O tamanho e a distribuição dos interstícios em materiais tem um papel 
importante em certos aspetos do comportamento do material  e.g. 
solubilidade de átomos intersticiais e na sua difusividade. 
 Em estruturas compactas (CFC, HC) existem dois tipos de vazios 
  tetraédricos e octaédricos 
 Sítio octaédrico tem número de coordenação 6 (não deve ser confundido com 
coordenação 8) e o sítio tetraédrico tem número de coordenação 4. 
 Nos cristais CCC os sítios NÃO apresentam a forma regular de um tetraedro 
ou de um octaédrico. São formas distorcidas destes sítios. 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições intersticiais na estrutura CFC 
Tetraédros Octaédros 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições intersticiais na estrutura CFC 
Tetraédros Octaédros 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições octaédricas na estrutura CFC 
 O octaédro situa-se no centro da célula CFC, na posição ½, ½, ½, 
+ as translações dos centros das faces 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições octaédricas na estrutura CFC 
 O octaédro situa-se no centro da aresta da célula cúbica CFC 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições tetraédricas na estrutura CFC 
 O tetraédro situa-se a ¼ da diagonal interna da célula unitária 
CFC , + as translações dos centros das faces 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Resumo: posições intersticiais na estrutura CFC 
 Existem 8 sítios tetraédricos e 4 sítios octaédricos por célula. A localização e o 
número de sítios por átomo na célula cristalina estão listados na tabela abaixo: 
Sitios CFC Posição 
Sítios / 
célula 
Sítios / 
átomo 
Tetraédrico 
¼ da distância desde cada vértice ao 
longo da diagonal interna da célula 
cúbica <111>  ((¼, ¼, ¼)) 
8 2 
Octaédrico 
• Centro célula cúbica: 1  (½, ½, ½) 
• Centro aresta (12/4 = 3)  (½, 0, 0) 
4 1 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições intersticiais na estrutura HC 
Tetraédros Octaédros 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições intersticiais na estrutura HC 
Tetraédros Octaédros 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições tetraédricas na estrutura HC 
 Sítios tetraédricos ocorrem em 2 direções 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições octaédricas na estrutura HC 
 Sítios octaédricos só ocorrem em uma direção 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Resumo: posições intersticiais na estrutura HC 
 Existem 4 sítios tetraédricos e 2 sítios octaédricos por célula. A localização e o 
número de sítios por átomo na célula cristalina estão listados na tabela abaixo: 
Sítios HC Posição 
Sítios / 
célula 
Sítios / 
átomo 
Tetrahedral 
(0,0,3/8), (0,0,5/8), (⅔, ⅓,1/8), 
(⅔,⅓,7/8) 
4 2 
Octahedral • (⅓ ⅔,¼), (⅓,⅔,¾) 2 1 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições intersticiais na estrutura CCC 
Tetraédros distorcidos Octaédros não-regular 
a a3/2 
a 
a3/2 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições intersticiais na estrutura CCC 
Tetraédros distorcidos Octaédros não-regular 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Posições intersticiais na estrutura CCC 
Tetraédros distorcidos Octaédros não-regular 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
Coordenadas do sítio TT: 
 
{½, 0, ¼} (4 em cada face) 
Coordenadas dos sítios OC: 
 
{½, ½, 0} 
 (+ CCC translações: {0, 0, ½}) 
Ilustrando apenas uma face 
 NÃO existem sítios em um cristal CCC com forma regular de poliedro. 
 Os sítios em um cristal CCC são: “octaédro” distorcido e “tetrédro’ distorcido. 
→ o termo correto deveria ser não-regular ao invés de distorcido. 
 O sítio octaédro distorcido é, no fim de contas, um sítio linear 
 uma esfera com tamanho correto ocupando o sítio octaédrico, na realidade apenas toca 2 dos 6 
átomos que a rodeiam. 
 Por exemplo, no Ferro, o carbono prefere ocupar estes pequenos sítios 
octaédricos distorcidos do que os tetraédricos. 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Resumo: posições intersticiais na estrutura CCC 
 Existem 12 sítios tetraédricos e 6 sítios octaédricos por célula. A localização e o 
número de sítios por átomo na célula cristalina estão listados na tabela abaixo: 
Sítios CCC Posição 
Sítios / 
célula 
Sítios / 
átomo 
Tetraédro 
distorcido 
• 4 em cada face: [(4/2)  6 = 12]  (0, ½, ¼) 12 6 
Octaédro 
não-regular 
• Centro da face: (6/2 = 3)  (½, ½, 0) 
• Centro da aresta (12/4 = 3)  (½, 0, 0) 
6 3 
 Interstícios em estruturas cristalinas 
• Resumo: posições intersticiais na estrutura CCC 
 NOTA: lembrar que os átomos tem cores diferentes para melhor compreensão MAS 
são todos do mesmo elemento 
{0, 0, ½} 
Ilustração apenas para uma face 
(devido à simetria cúbica, todas as 
faces serão identicas) 
OC TT 
 12 sítios tetraédricos distorcidos e 6 sítios octaédricos não-regular por célula. 
Semelhanças entre CFC e HC 
 Ambas estruturas estão empilhadas 
regularmente por planos compactos. 
 
 Mesmo tipo de interstícios(TT e OC). 
 
 Número de coordenação. NC=12 
 
 Fator de empacotamento atômico. FEA= 0,74 
 
Semelhanças entre CFC e HC 
 Mesmo tipo de interstícios. 
 
 
CFC 
Semelhanças entre CFC e HC 
 Mesmo tipo de interstícios (holes, voids, interstices). 
 
 
 CFC 
 
 
 HC 
 
 
Diferenças entre CFC e HC 
 A sequência de empilhamento. 
– No CFC o empilhamento é ABCABC..... 
– No HC o empilhamento é ABAB..... 
 
 Número de átomos/célula unitária. 
– No CFC - 4 átomos/ célula unitária 
– No HC - 6 átomos/ célula unitária 
 Número de posições intersticiais/célula unitária. 
 
 Estas diferenças acentuadas conduzem a discrepâncias 
significativas nas propriedades dos materiais. 
 
Diferenças entre CFC e HC 
• A sequência de empilhamento: 
CFC HC 
Diferenças entre CFC e HC 
• A sequência de empilhamento: 
Resumo: CS, CFC, CCC e HC 
Número de 
coordenação 
Distância ao 
vizinho mais 
próximo 
Parâmetro de 
rede 
Número de 
átomos por 
célula 
Número de 
pontos n rede 
Volume dos 
átomos por 
célula unitária 
Volume da 
célula unitária 
CS CCC CFC HC Especificações 
Densidade teórica e 
densidade real do metal 
• O conhecimento da estrutura cristalina permite o cálculo da 
densidade,  : 
 
 
 
 
 
Ac NV
An
*
*

Onde: n = número de átomos da célula unitária 
 A = peso atômico 
 VC = Volume da célula unitária 
 NA = Número de Avogadro (6,023 x 10
23 átomos/mol) 
 
Unidade: g/cm3 ou Mg/m3 
Densidade do cristal 
• Ex: Cobre têm raio atômico de 0,128nm (1,28 Å), uma 
estrutura CFC, um peso atômico de 63,5 g/mol. Calcule a 
densidade teórica do cobre. 
 
 
 
 
medido experimental = 8,89 g/cm
3 
 
 
 
 
calculado teórico = 8,94 g/cm
3 
 
 
 
 
 = 
a 3 
63.5 4 
átomos 
célula unit. 
mol 
g 
célula unit. 
 
volume atomos 
mol 
6.023 x 1023 
Lembrar: converter nm para cm !!! 
Densidade do cristal 
• Ex: Cobre têm raio atômico de 0,128nm (1,28 Å), uma 
estrutura CFC, um peso atômico de 63,5 g/mol. Calcule a 
densidade do cobre. 
 
 ≠ 
 
medido= 8,89 g/cm
3 
 
 
 
 
calculado= 8,94 g/cm
3 
 
 
 
 
• Explicação: a diferença é atribuída à ausência de átomos em 
algumas posições atômicas (lacunas), defeitos lineares, e ao 
desajustamento dos átomos nos contornos de grão. 
• Outra causa da discrepância pode ser devida ao fato de os 
átomos não serem esferas perfeitas (lembrar que que se 
assumiu o modelo atômico das esferas rígidas). 
 
Densidade do cristal 
Fe ccc = 7,88 g/cm
3 
 
 
 
Densidade do cristal 
Exercício: O nióbio (Nb) apresenta massa atômica de 
92,906 g/mol, raio atômico de 0,1430 nm e estrutura 
cristalina cúbica de corpo centrada (CCC). Determinar a 
densidade teórica do nióbio em [g/cm3 ]. 
 
Dados: NAv = 6,02 x 1023 átomos/mol 
 1 nm = 1 x10-9 m = 1 x 10-7 cm 
Ac NV
nA

Nb = 4,66 g/cm
3 
 
 
 
Densidade do cristal 
Exercício: O magnésio (Mg) possui uma estrutura HC com 
uma razão c/a =1.624, e densidade = 1,74g/cm3 . 
Calcule o raio atômico do Mg. O PA (Mg)=24,3 g/mol. 
 
Para a HC o n = 6 átomos/ célula unitária. 
 
• Como para a estrutura HC o parâmetro de rede a = 2R 
 
Então R = a /2 <=> R= 3,2 / 2 <=> R(Mg) = 1,6 Å ou 0,16 nm 
 Densidade de algumas substâncias 
e compostos (a 25ºC) 
Substância Densidade 
(g/cm3) 
Substância Densidade 
(g/cm3) 
Substância 
 
Densidade 
(g/cm3) 
Gás natural 0,00055 Magnésio 1,74 NaCl 2,16 
Ar 0,00122 Alumínio 2,70 UO2 10,0 
Etanol 0,79 Cobre 8,96 SiO2 α 2,65 
Gelo (0 ºC) 0,92 Prata 10,5 CaF2 3,18 
Água (4 ºC) 1,0 Chumbo 11,34 CaTiO3 4,04 
Sangue h. 1,06 Mercúrio 13,6 MgAl2O4 3,58 
Açucar 1,57 Ouro 19,32 PEAD 0,93 - 0,97 
Cortiça 0,24 Platina 21,5 PVC 1,3 - 1,45 
M. pinheiro 0,44 Diamante 3,51 PS-Isopor 0,01 - 0,16 
M. carvalho 0,60 Grafita 2,26 PC 1,20 
Granito 2,60 Vidro janela 2,58 PTFE 2,20 
Polimorfismo e Alotropia 
• Fenómeno no qual um sólido (metálico ou não metálico) pode apresentar 
mais de uma estrutura cristalina, dependendo da temperatura e da pressão. 
 Esse fenômeno é conhecido como polimorfismo. Ex: silica (SiO2) como 
quatzo, cristobalita, tridimita... 
 
• Alotropia - polimorfismo em elementos puros (carbono como diamante e 
 grafite, Fe(ccc) e Fe(cfc); Ti (α) e Ti(β) 
 
• Geralmente as transformações alotrópicas / polimórficas são acompanhadas 
de mudanças na densidade (volume) e mudanças de outras propriedades 
físicas. 
 
• Exemplos: 
 Ferro, titânio, cálcio, estrôncio... 
 Carbono (grafite, diamante, fulereno...) 
 SiC (chega a ter 20 modificações cristalinas), SiO2 , ZnS... 
Polimorfismo e Alotropia 
Alotropia do Ferro puro 
Alotropia do Titânio 
FASE  
 
 Existe até 883ºC 
 Apresenta estrutura HC - hexagonal compacta 
 É mole 
 
FASE  
 
 Existe a partir de 883ºC 
 Apresenta estrutura ccc 
 É dura 
 
 
Alotropia do Titânio 
Alotropia do Carbono 
Fases Polimórficas: 
 
a) Diamante 
b) Grafite 
c) Lonsdaleite 
d) Fulerenos C60 
e) C540 
f) C70 
g) Carbono amorfo 
h) Nanotubo de carbono 
i) Grafeno 
 
 
Alotropia 
Exemplo 1: 
 O ferro passa de CCC para CFC a 912 ºC. Ligeiramente acima e 
abaixo dessa temperatura os raios atômicos são para o Fe(ccc) 
1,258Å e 1,292Å para o Fe cfc. 
 Qual a porcentagem de variação de volume provocada pela 
mudança de estrutura? 
 Vccc= 2*a3 Vcfc= a3 
 accc= 4R/ (3)
1/2 acfc = 4R /(2)
1/2 ou acfc =2R *(2)
1/2 
 Vccc= 49,1 Å3 Vcfc= 48,7 Å3 
 
 V%= [(48,7 - 49,1) /49,1] x 100 = - 0,8% de variação - contração! 
 
 
 
Para o cálculo foi tomado como base 2 células unitárias ccc, por isso Vccc= 2a3 
 Nº de átms da CFC é 4 e da CCC é 2, então é necessário multiplicar a CCC por 2. 
 4 átomos de Fe geram 2 células unitárias CCC e 1 célula unitária CFC, 
nccc=2 
ncfc=4 
Alotropia 
•Exemlo 2 : À temperatura ambiente o estrôncio exibe 
estrutura cfc. Ao ser aquecido acima de 557 °C esse arranjo 
atômico transforma-se em ccc. Determine a variação de 
volume atômico que envolve essa transformação alotrópica. 
Considere que o raio atômico permanece constante. 
 
 
 
 
Resumo: Alotropia 
Exercício 
1 - A 20ºC, o polônio (Po) apresenta a estrutura CS, sendo o 
parâmetro de rede, a, de 0.3352 nm. Calcule: 
Dados: PA (Po) = 209,0 g/mol ; NAv = 6,023 x 1023 átomos/mol ; 
1 nm = 1 x10-7 cm 
 
• O raio do átomo do Po (em nm). (R= 0,168 nm) 
 
• O volume da célula cristalina do Po (em cm3)? (V=3,766E-23 cm3) 
 
• O número de coordenação . (NC= 6) 
 
• O número de átomos por célula unitária. (1 átomo equiv. por célula) 
 
• O fator de empacotamento atômico para a estrutura do Po a 20ºC. 
(52%) 
 
• A densidade teórica do Po (g/cm3)? (ρ= 9,21 g/cm3) 
Exercício 
2 - A 20ºC, o cromo (Cr) apresenta massa atômica de 52,0 g/mol, raio 
atômico de 1,27 Å e estrutura cristalina cúbica de corpo centrada (CCC). 
Calcule: 
 
 Dados: PA (Cr) = 52,0 g/mol ; NAv = 6,023 x 1023 átomos/mol ; 
1 nm = 1 x10-7 cm 
 
• O parâmetro de rede, ao, da célula unitária do cromo (em nm). 
(a=0,293 nm) 
 
• O número de cordenação do cromo. (NC=8) 
 
• O número equivalentes de átomos por célula unitáriado cromo 
(2 átomos equivalentes/célula unitária CCC) 
 
•O fator de empacotamento atômico para a estrutura do Cr CCC. 
(FEA=68%) 
 
• A densidade teórica do cromo (em g/cm3). (ρ= 6,86 g/cm3) 
Exercício 
3 - A 20ºC, o ferro apresenta a estrutura CCC, sendo o raio atômico 
0,1258 nm . Dados : A (Fe) = 55,85 g/mol 
 
Calcule: 
• O parâmetro de rede, ao, da célula unitária do ferro (em nm) 
 
• O número de cordenação. 
 
• O número de átomos por célula unitária. 
 
• O fator de empacotamento atômico para a estrutura do Fe CCC. 
 
• A densidade teórica do Fe (em g/cm3) 
 
• O ferro CCC passa a ferro CFC a 912º C, sendo que o raio atômico 
do Fe CFC é de 0,129nm. 
Determine a porcentagem de variação de volume provocada pela 
mudança de estrutura. 
Exercício 
 
 4- Abaixo estão tabelados o peso atômico, a densidade e o raio 
atômico para três ligas hipotéticas. 
 
Para cada uma delas determinar qual a sua estrutura cristalina, 
sabendo que todas pertencem ao sistema cúbico. 
 
 
Liga 
Peso atômico 
(g/mol) 
Densidade (g/cm3) Raio atômico (nm) 
A 43,1 6,40 0,122 
B 184,4 12,30 0,146 
C 91,6 9,60 0,137 
Exercício 
 
 5 - Acima de 882 °C, o Titânio (Ti) possui uma estrutura cristalina 
CCC com parâmetro de rede ao= 0.332 nm. Abaixo desta temperatura, 
o titânio apresenta uma estrutura cristalina HC com os seguintes 
parâmetros de rede ao = 0.2978 nm e co =0.4735 nm. 
 
• Determine a porcentagem de variação de volume quando o Ti HC se 
transforma em Ti CCC a 882ºC. Houve contração ou expansão? 
 
• Determine o raio do Ti à temperatura ambiente. 
 
 882ºC 
Prof. Dr. Jorge Carlos Pereira 
jocabuzo@gmail.com