3 3 Lista de exercícios

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3.3. Lista de Exercícios 
Resolução de Exercícios listados na apresentação "Estrutura Cristalina" nos slides 62, 63 e 64: 
1. Quais são os níveis de ordenação dos átomos em um sólido e como diferem entre si? 
• Ordem de longo alcance. Os átomos formam um retículo ou rede que se repetem 
regularmente. Ex.: Cristal 
• Ordem de curto alcance. Não possuem um arranjo atômico preferencial, ocupando o espaço 
aleatoriamente. Ex.: Vidros, polímeros. 
• Sem ordenamento. Os átomos estão dispostos aleatoriamente no espaço. Ex.: gás. 
 
2. O que se entende por estrutura cristalina de um material? 
A partir da estrutura cristalina que as propriedades dos sólidos são definidas, ou seja, depende 
de que maneira os átomos, íons ou moléculas estão arranjados espacialmente. Essas 
características se referem ao tamanho, forma e arranjo atômico dentro da rede. A estrutura 
cristalina tem importante papel na determinação da microestrutura e comportamento de 
materiais sólidos. Modificando-se o cristal modifica-se as propriedades mecânicas. 
 
3. O que é a célula unitária de uma rede cristalina? 
São pequenas unidades que se repetem. É escolhida para representar a simetria da estrutura 
cristalina, onde todas as posições dos átomos de um cristal podem ser geradas por translações 
de comprimento inteiros ao longo de cada uma de suas arestas. Define a estrutura cristalina em 
virtude da sua geometria e das posições dos átomos em seu interior. 
 
4. Quantos e quais são os sistemas cristalinos? Como diferem entre si? Quais são suas 
características? 
São7 sistemas que se diferem pelos seus lados e ângulos internos iguais ou diferentes. 
• Cúbica: ângulos de 90° graus. (Lados: a = b = c) (ângulos: α= β = γ = 90°); 
o Simples; 
o Face centrada; 
o Corpo centrado; 
• Tetragonal: ângulos de 90° graus (lados: a = b ≠ c) (ângulos: α = β =γ = 90°); 
o Simples; 
o Corpo centrado; 
• Hexagonal: com ângulos de 120° graus (lados: a = b ≠ c) (ângulos: α = β = 90° e γ = 120°); 
• Triclínico: com ângulos de 90 ° graus (lados: a ≠ b ≠ c) (ângulos: α ≠ β ≠ γ ≠ 90°); 
• Ortorrômbico: com ângulos de 90° graus (lados: a ≠ b ≠ c ) (ângulos: α = β = γ = 90°); 
o Simples; 
o Base centrada; 
o Corpo centrado; 
o Face centrada; 
• Romboédrico: ângulos de 90° graus (lados: a = b = c) (ângulos: α = β = γ ≠ 90°); 
• Monoclínico: com ângulos de 90 ° graus (lados: a ≠ b ≠ c) (ângulos:α = γ = 90° ≠ β); 
o Simples; 
o Face centrada. 
 
5. O que é parâmetro de rede da célula unitária? 
É a combinação entre os comprimentos das 3 arestas a, b e c e os 3 ângulos entre os eixos alfa, 
beta e gama. É a distância entre dois pontos de rede “a”, sendo “a” a distância entre dois átomos 
nas condições normais de temperatura e pressão. 
 
6. Faça uma lista de metais com estrutura cristalina hexagonal, outra com metais CFC e 
CCC. 
• Hexagonal: Ósmio, Zircônio, Zinco, Magnésio, Cádmio e Titânio; 
• CFC: Ferro, Platina, Prata, Ouro, Níquel, Chumbo, Alumínio e Cobre; 
• CCC: Ferro, Titânio, Bário, Cromo e Tungstênio. 
 
7. Quantos tipos de células unitárias são conhecidos. Que são redes de Bravais? 
São 7 os tipos de células unitárias conhecidos (menor unidade repetitiva que reproduz a 
estrutura de um cristal). Estas redes podem ser classificadas em primitivas (apenas um átomo 
por célula unitária) ou não-primitivas (mais de um átomo por célula unitária) resultando em 14 
tipos de redes cristalinas, chamadas de Redes de Bravais. 
 
8. Qual o número de átomos (ou número de pontos de rede) das células unitárias do 
sistema cúbico para metais? 
• Cúbica Simples – CS: 1 átomo por célula unitária; 
• Cúbica de Corpo Centrado – CCC: 2 átomos por célula unitária; 
• Cúbica de Face Centrada – CFC: 4 átomos por célula unitária; 
• Hexagonal Cristalina – HC: 6 átomos. 
 
9. Determine as relações entre o raio atômico e o parâmetro de rede para o sistema cúbico 
em metais. 
A relação entre o raio atômico (r) e o parâmetro de rede (a) é determinada geometricamente a 
partir da direção em que os átomos estão em contato. 
• 𝐶𝑆 – 𝑎 = 2𝑟 
• 𝐶𝐶𝐶 – 𝑎 = 4𝑟
√3
⁄ 
• 𝐶𝐹𝐶 – 𝑎 = 4𝑟
√2
⁄ 
 
 
 
10. Número de coordenação: o que é e do que depende? Quais são os números de 
coordenação? Quais são os níveis de ordenação dos átomos em um sólido e como nas 
células unitárias dos metais? 
Número de coordenação é o número de vizinhos mais próximos que determinado átomo tem. 
Este número depende da covalência: o número de ligações covalentes em torno de um átomo é 
dependente do número de seus elétrons de valência. Dependendo do fator de empacotamento 
cristalino o material será mais estável se os átomos forem arranjados de forma mais fechada e 
suas distâncias interatômicas forem reduzidas. Os números de coordenação nas células unitárias 
dos metais dependem da estrutura cristalina de cada metal sendo: 
• CS: 6; 
• CFC: 12; 
• CCC: 8; 
• HC: 12. 
 
11. O que é fator de empacotamento em uma célula unitária? Calcule o fator de 
empacotamento para as células cúbicas para metais. 
O fator de empacotamento é a fração de volume da célula unitária efetivamente ocupada por 
átomos, assumindo que os átomos são esferas rígidas. O fator de empacotamento para os 
cristais do sistema cúbico é definido por: 
• CS: 
1×4 3 ⁄ 𝜋𝑟 ³
(2𝑟)³
= 0,52 ou 52% 
• CCC: 
2×4 3 ⁄ 𝜋𝑟 ³
(4𝑟
√3
⁄ )³
= 0,68 ou 68% 
• CFC: 
4×4 3 ⁄ 𝜋𝑟 ³
(4𝑟
√2
⁄ )³
= 0,74 ou 74% 
 
12. Calcule a densidade do FeCFC e do FeCCC. 
• FeCFC: tem um volume de célula unitária (a0) de = 3,591A e massa atômica de 55,85 g/g.mol: 
𝜌 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
 = 
4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 × 55,85 𝑔/𝑔𝑚𝑜𝑙
46,31 × 10−30 𝑚3 × 6,02 × 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑔𝑚𝑜𝑙 
 = 8,013 𝑚𝑔/𝑚³ 
• FeCFC: tem um volume de célula unitária (a0) de = 2,866A e massa atômica de 55,85 g/g.mol: 
𝜌 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎
 = 
2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 × 55,85 𝑔/𝑔𝑚𝑜𝑙
23,54 × 10−30 𝑚3 × 6,02 × 1023 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑔𝑚𝑜𝑙 
 = 7,879 𝑚𝑔/𝑚³ 
 
13. Quantas células unitárias estão presentes em um centímetro cúbico do NiCFC? 
Célula unitária do NiCFC: 𝑎0 = 
4𝑟
√2
 
Raio atômico do Ni: 0,125 × 10-7 cm 
Volume do cubo: (𝑎0)
3 = [
(4×0,125 × 10−7)
√2
]
3
= 0,0441 × 10−21cm³ 
 
14. O que é alotropia? O que é anisotropia? 
Alotropia ou materiais alotrópicos são materiais metálicos ou não-metálicos que apresentam 
mais de uma estrutura cristalina em condições diferenciadas de temperatura e pressão. São 
geralmente acompanhadas de mudanças de densidade e outras propriedades físicas. 
Anisotropia é uma característica de alguns materiais cujas propriedades físicas de seus 
monocristais variam de acordo com a direção cristalográfica na qual as medições são tomadas. 
Por exemplo, módulo de elasticidade, condutividade elétrica, etc. Já os materiais isotrópicos são 
materiais cujas propriedades medidas independem da direção cristalográfica. 
 
15. O que é distância interplanar? 
É a distância de dois planos com mesmos índices de Miller. 
 
16. 
a. Determine os índices de Miller para as direções das Figuras 1 e 2. 
Figura 1: 𝐴 [2, −2, −1], 𝐵 [−1,0, −1], 𝐶 [1, −1,1], 𝐷 [3, −12, −8] 
Figura 2: 𝐴 [−1, −2,0], 𝐵 [1,0,2], 𝐶 [0,2,1], 𝐷 [1,1,0] 
b. Determine os índices de Miller para as direções das Figuras 3 e 4. 
Figura 3: 𝐴 [2,3,4], 𝐵 [8,4,1], 𝐶 [4,0,1] 
 
17. O lantânio tem uma estrutura CFC abaixo de 865oC com a=5.337 A, mas tem uma 
estrutura CCC com a=4,26 A acima de 865°C. Calcule a troca de volume quando La passa 
por 865°C. La expande ou contrai se lhe fornece energia a essa temperatura? 
O Lantânio de CFC com 𝑎 = 5,337 Å 
Volume da célula unitária para CFC: 𝑉𝐶𝐹𝐶 = (5,337)
3 = 15,20 × 10−30 
Volume da célula unitária para CCC: 𝑉𝐶𝐶𝐶 = (4,26)
3 = 7,73 × 10−30 
Volume de 4 átomos: 2 × 7,73 = 15,46 
Diferença de volume: 15,46 − 15,20 = 0,0171 = 1,71% 
Ocorre um aumento do volumedo lantânio de 1,71% ao passar da estrutura CFC para CCC. 
 
18. Calcule a densidade linear e o fator de empacotamento linear nos sistemas: 
a. CS para a direção [011] e 
𝜌𝑙 = 
𝑛° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
𝑎0 = 4𝐴 
𝐷2 = 42 + 42 → 𝐷 = 4√2 𝐴 
𝜌𝑙 = 
1
4√2
= 0,177 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝐴 
𝐹𝐸𝑙 = 
4
4√2
= 0,707 
 
b. CCC para a direção [111], supondo ligações metálicas entre os átomos e que o 
parâmetro de rede seja 4 Å. 
𝜌𝑝 = 
𝑛° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
𝐷2 = 42 + 42 + 42 → 𝐷 = 6,928 
𝜌𝑙 = 
2
6,928
= 0,289 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝐴 
𝐹𝐸𝑙 = 1 
 
19. Para um metal hipotético com parâmetro de rede de 0,4 nm, calcule a densidade planar: 
a. de um plano (101) para a célula CCC: 
𝜌𝑝 = 
𝑛° á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
 
√(0,42 + 0,42) = 0,4 × √2 = 0,566 𝑛𝑚 
𝐴 = 0,4 𝑛𝑚 × 0,566 𝑛𝑚 = 0,226 𝑛𝑚² 
𝜌𝑝 = 
2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
0,226 𝑛𝑚²
= 8,85 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑛𝑚² 
 
b. do plano (020) de uma célula CFC: 
𝜌𝑝 = 
2 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠
0,16 𝑛𝑚²
= 12,5 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑛𝑚² 
 
20. Para o cobre: qual é o espaçamento de repetição (vetor de Burgers) dos átomos na direção 
[211]? 
 𝐷𝑅 = 4,443 𝐴 
 
21. Como podem apresentar-se os compostos cerâmicos de estrutura AX? Descreva-os 
Alguns dos materiais cerâmicos comuns são aqueles em que existem números iguais de cátions 
e de ânions. Com frequência esses materiais são designados como compostos AX, nos quais A 
representa o cátion, e X representa o ânion. Existem várias estruturas cristalinas diferentes para 
os compostos AX. Normalmente, cada uma delas é denominada em referência a um material 
comum que assume aquela estrutura em particular: 
• Estrutura do Cloreto de Sódio (NaCl): O número de coordenação tanto para os cátions 
quanto para os ânions é 6; portanto, a razão entre os raios do cátion e do ânion está entre 
aproximadamente 0,414 e 0,372. Uma célula unitária para essa estrutura cristalina é gerada 
a partir de um arranjo CFC para os ânions com um cátion localizado no centro do cubo e um 
cátion no centro de cada uma das 12 arestas do cubo. Exemplos: NaCl, MgO, MnS, LiF e FeO; 
• Estrutura do Cloreto de Césio (CsCl): O número de coordenação para ambos os tipos de íons 
é 8. Os ânions estão localizados em cada um dos vértices de um cubo, enquanto o centro do 
cubo contém um único cátion. O intercâmbio dos ânions pelos cátions, e vice-versa, produz 
a mesma estrutura cristalina. Essa não é uma estrutura cristalina CCC, uma vez que estão 
envolvidos íons de dois tipos diferentes; 
• Estrutura da Blenda de Zinco (ZnS): O número de coordenação é 4; isto é, todos os íons estão 
coordenados tetraedricamente. Todos os vértices e todas as posições nas faces da célula 
cúbica estão ocupados por íons de S, enquanto os íons de Zn preenchem posições 
tetraédricas no interior. Na maioria das vezes, a ligação atômica nos compostos que exibem 
essa estrutura cristalina é altamente covalente. Exemplos: ZnS, ZnTe e SiC. 
 
22. Como podem apresentar-se os compostos cerâmicos de estrutura AmXp? Descreva-os. 
Nas estruturas AmXp existe uma relação de 1 cátion para cada 2 ânions (1:2), cada átomo A tem 
oito vizinhos X, a estrutura é cubica de face centrada e este composto cerâmico apresenta 8 
interstícios octaédricos ocupados. Os locais octaédricos ocupados mantêm a neutralidade 
devido a valência. 
 
23. Como podem apresentar-se os compostos cerâmicos de estrutura AmBnXp? Descreva-os 
A estrutura AmBnXp apresenta um óxido duplo com dois cátions, a sua estrutura é mais 
complexa devido a presença de mais um átomo na célula unitária, esta estrutura por ser usada 
em materiais magnéticos não metálicos aplicados em componentes eletrônicos. 
 
24. Defina a constante de Madelung. Qual é seu significado físico? 
A constante de Madelung, representada pela letra A. O significado físico é a razão entre a energia 
de ligação do íon na rede cristalina e a energia de ligação do íon na molécula. É uma constante 
para o cálculo da energia de ligação em uma rede tridimensional de cristais iônicos. 
 
25. Baseado na razão entre os raios e a necessidade de balanço de cargas da estrutura cúbica, 
qual o arranjo atômico do CoO? 
Considerando o raio iônico do Cobalto igual a 0,0745 nm e o raio iônico do Oxigênio igual a 0,140 
nm, obtêm-se a relação𝑟 𝑅⁄ = 0,532. Isso leva a um número de coordenação igual a 6 e 
estrutura do tipo Cloreto de Sódio e a célula unitária para essa estrutura cristalina é gerada a 
partir de um arranjo CFC. 
 
26. Baseado no raio iônico, determine o número de coordenação esperado para os seguintes 
compostos: 
a. FeO: 
𝑟𝐹𝑒 = 0,077 𝑛𝑚 
𝑅𝑂 = 0,140 𝑛𝑚 
𝑟
𝑅⁄ =
0,077
0,140⁄ = 0,55 → 𝑁 = 6 
b. CaO: 
𝑟𝐶𝑎 = 0,100 𝑛𝑚 
𝑅𝑂 = 0,140 𝑛𝑚 
𝑟
𝑅⁄ =
0,100
0,140⁄ = 0,714 → 𝑁 = 6 
c. SiC: 
𝑟𝑆𝑖 = 0,040 𝑛𝑚 
𝑅𝐶 = 0,260 𝑛𝑚 
𝑟
𝑅⁄ =
0,04
0,26⁄ = 0,154 → 𝑁 = 2 
d. PbS: 
𝑟𝑃𝑏 = 0,120 𝑛𝑚 
𝑅𝑆 = 0,184 𝑛𝑚 
𝑟
𝑅⁄ =
0,12
0,184⁄ = 0,65 → 𝑁 = 6 
e. B2O3: 
𝑟𝐵 = 0,023 𝑛𝑚 
𝑅𝑂 = 0,140 𝑛𝑚 
𝑟
𝑅⁄ =
0,023
0,140⁄ = 0,164 → 𝑁 = 3 
 
27. Calcule a densidade do composto CdS. 
𝑟𝑆 = 0,148; 
𝑅𝐶𝑑 = 0,184; 
𝑟
𝑅⁄ =
0,148
0,184⁄ = 0,804 → 𝑁 = 8; CS (cúbico simples) 
Assim: 
𝐴0 = (2𝑅 + 2𝑟) = (2 × 0,148 + 2 × 0,184) = 0,664 
𝑀𝐶é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 = 
112,41 + 32,07
6,02 × 1023
= 2,04 × 10−22𝑔 
𝑉𝐶é𝑙𝑢𝑙𝑎 𝑈𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 = 0,292 
𝜌𝑝 = 
2,04 × 10−22
0,664 × 10−27
= 3,61 × 105
𝑔
𝑚3
= 0,361
𝑔
𝑐𝑚3
 
 
28. Descreva a estrutura cristalina do Al2O3. 
A estrutura cristalina é do tipo AX2, conforme imagem abaixo. Sendo que 2/3 dos locais 
tetraédricos estão ocupados por Al3, e desta forma este composto mantém sua neutralidade 
elétrica devido a valência. 
 
29. Descreva a estrutura cristalina tipo perovskita. Cite um exemplo. 
É uma estrutura do tipo NaBmXp que possui um óxido duplo com dois cátions. Sua estrutura é 
mais complexa devido a presença de mais um átomo. 
 
30. Descreva a estrutura cristalina tipo espinélio. Cite um exemplo. 
É formada por dois metais de valência diferente onde um forma um interstício tetraédrico, e 
outro um interstício octaédrico o ânion forma a rede CFC, um exemplo é o FeAl2O4. 
 
31. Descreva a estrutura cristalina “cúbica tipo diamante”. Cite exemplos de materiais que 
cristalizam nessa estrutura. 
À temperatura ambiente e sob pressão atmosférica, o diamante é um polimorfo metaestável do 
carbono. Sua estrutura cristalina é uma variante da estrutura da blenda de zinco, na qual os 
átomos de carbono ocupam todas as posições (tanto do Zn quanto do S). Cada átomo de 
carbono sofreu uma hibridização sp3, de modo que ele se liga (tetraedricamente) a quatro outros 
átomos de carbono. A estrutura cristalina do diamante é apropriadamente chamada de 
estrutura cristalina cúbica do diamante, a qual também é encontrada para outros elementos do 
Grupo IVA na tabela periódica: germânio, silício e estanho cinzento abaixo de 13°C (55°F). 
 
32. Comente a cristalinidade de materiais poliméricos. 
O estado cristalino pode existir nos materiais poliméricos. Entretanto, uma vez que ele envolve 
moléculas em vez de apenas átomos ou íons, como nos metais e cerâmicas, os arranjos atômicos 
serão mais complexos para os polímeros. Consideramos a cristalinidade dos polímeros como a 
compactação de cadeias moleculares para produzir um arranjo atômico ordenado. As estruturas 
cristalinas podem ser especificadas em termos de células unitárias; elas são, com frequência 
bastante complexas. 
 
33. Descreva a estrutura não-cristalina dos vidros. O que são pontes-de-oxigênio e 
modificadores de redes? 
Os vidros consistem em silicatos não cristalinos que contêm outros óxidos os quais influenciam 
suas propriedades. Os vidros inorgânicos comuns, usados para recipientes, janelas, entre outros, 
são vidros à base de sílica, aos quais foram adicionados outros óxidos, tais como CaO e Na2O.Esses óxidos não formam redes poliédricas. Em vez disso, seus cátions são incorporados no 
interior da rede de SiO44- e a modificam; por essa razão, esses óxidos aditivos são denominados 
modificadores de rede. 
 
34. Como pode-se obter informações sobre estrutura cristalina de materiais a partir da 
difração de raio-X? 
Quando um feixe de raios x é dirigido à um material cristalino, esses raios são difratados pelos 
planos dos átomos ou íons dentro do cristal. Ao se incidir um feixe de raios-X sobre um cristal, 
onde os átomos estão regularmente espaçados (periodicidade do arranjo cristalino), cada átomo 
será uma fonte de emissão esférica de radiação. Netas condições poderá haver interferências 
construtivas ou destrutivas entre as ondas eletromagnéticas se estiverem em fase entre si ou 
defasadas, respectivamente. Então, utilizando a Lei de Bragg e relacionando com os índices de 
Miller as reflexões obtidas fornecem informações sobre a estrutura cristalina do material. 
 
35. Nos exercícios em que você calculou a densidade teórica de metais ou compostos, esta 
difere dos valores que você obtém na prática analisando sólidos mesmo com porosidade 
nula. A que se deve a diferença? E qual sua consequência? 
Essa diferença pode estar associada a impurezas na rede cristalina, ou então está relacionada 
aos defeitos presentes na rede. Pode resultar do empacotamento imperfeito na solidificação 
inicial, ou devido a vibrações térmicas dos átomos em função das temperaturas. A diferença 
entre o valor teórico e o valor real de densidade, podem ser diferentes devido aos defeitos 
cristalinos presentes nos materiais, oriundos do processamento ou da presença de inclusões. A 
consequência destes defeitos, poderá influenciar diretamente na perda de propriedades do 
material.