LANÇAMENTO DE PROJÉTIL

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA – UNOESC 
 
 
Anderson Pedroso Almeida 
André Augusto Hillesheim 
Dimorvã Refosco 
Filipe Luis Marcon 
 
 
 
 
 
LANÇAMENTO DE PROJÉTIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Joaçaba 
2014 
 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA – UNOESC 
 
 
Anderson Pedroso Almeida 
André Augusto Hillesheim 
Dimorvã Refosco 
Filipe Luis Marcon 
 
 
 
 
LANÇAMENTO DE PROJÉTIL 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado como parte 
das exigências da disciplina Física 
Experimental, do curso de 
Engenharia Mecânica da 
Universidade do Oeste de Santa 
Catarina, Campus de Joaçaba. 
 
Orientadora: Regina de Bastiani 
 
Joaçaba 
2014 
 
 
SUMÁRIO 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES.................................................................................................................. 04 
LISTA DE TABELAS............................................................................................................................ 05 
LISTA DE SIGLAS................................................................................................................................ 
LISTA DE SIMBOLOS.......................................................................................................................... 
INTRODUÇÃO...................................................................................................................................... 
06 
07 
08 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................................................................... 09 
 LANÇAMENTO DE PROJÉTIL.................................................................................................. 
OBJETIVOS 1......................................................................................................................................... 
DESENVOLVIMENTO....................................................................................................................... 
RESULTADOS OBTIDOS.................................................................................................................... 
13 
13 
14 
15 
 DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DE LANÇAMENTO ATRAVÉS DO ALCANCE.. 
OBJETIVOS 2......................................................................................................................................... 
DESENVOLVIMENTO......................................................................................................................... 
RESULTADOS OBTIDOS................................................................................................................... 
CONCLUSÃO......................................................................................................................................... 
18 
18 
19 
20 
22 
REFERÊNCIAS....................................................................................................................................... 23 
4 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
Figura 1: Folha de papel Seda. ............................................................................... 14 
Figura 2: Rampa........................................................................................................16 
Figura 3: Representação na folha de papel carbono.................................................20 
Figura 4: Decomposição movimentos queda livre.....................................................21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
LISTA DE TABELAS 
 
 
Tabela 1 - Posição x altura x alcance........................................................................17 
Tabela 2 - Posição x altura x alcance........................................................................17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
LISTA DE SIGLAS 
 
MRU Movimento Retilíneo Uniforme. 
MRUV Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. 
SI Sistema Internacional de Medidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
g - Gravidade 
a - Aceleração 
m/s² - Metros por segundo ao quadrado 
m/s - Metros por segundo 
t - Tempo 
s - Segundos 
∆y - Variação no eixo y 
∆x - Variação no eixo x 
h - Altura 
mm - Milímetro 
cm - Centímetro 
m - Metros 
Kg - Quilograma 
ⱳ - Vetor Velocidade Total 
ⱳ - Ângulo Teta 
Vx0 - Velocidade inicial no eixo x 
Vy0 - Velocidade inicial no eixo y 
Vx - Velocidade final no eixo x 
Vy - Velocidade final no eixo y 
v - Velocidade resultante 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
INTRODUÇÃO 
 
Tentaremos através deste relatório de atividades experimentais, nos 
capacitar para reconhecer e exemplificar a posição horizontal de um projétil, 
determinar o alcance no lançamento do projétil, executar medidas de altura e 
relacioná-la da qual a bolinha é abandonada na rampa com o seu alcance. 
Pode nos parecer um tanto complicado calcular movimentos 
bidimensionais, como o de lançamento de projéteis, porém veremos neste 
relatório que existem algumas propriedades simplificadoras que nos permitem 
entender e decompor estes problemas. 
Seguindo este princípio, estudaremos o movimento de um projétil em um 
lançamento, tomando cuidado para desenvolver separadamente cada 
componente e agregá-las quando necessário, a fim de verificar alguns efeitos e 
compará-los com os valores experimentais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
LANÇAMENTO DE UM PROJÉTIL. 
 
A uma partícula que é projetada, ou lançada em conseqüência de um 
impulso, com determinada velocidade e direção, dá-se o nome de projétil. 
Sendo que foi Galileu quem propôs o princípio da simultaneidade, também 
conhecido por princípio da independência dos movimentos simultâneos. 
“No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são 
independentes, ou seja, um não afeta o outro”. (HALLIDAY, 2003, p. 71) 
Sabe-se que no movimento bidimensional de um projétil, a posição e a 
velocidade mudam continuamente, mas a aceleração é constante e está 
sempre dirigida verticalmente para baixo. O projétil não possui aceleração 
horizontal. 
É possível decompor um problema que envolva um movimento 
bidimensional em dois problemas unidimensionais independentes e mais fáceis 
de serem resolvidos, podendo ser um para o movimento horizontal, com 
aceleração nula e outro para o movimento vertical, com aceleração constante 
para baixo (gravidade da terra). 
Como não há aceleração na direção horizontal, a componente horizontal 
Vx da velocidade de um projétil permanece inalterada e igual ao seu valor inicial 
V0x durante toda a trajetória (MRU). Então, em qualquer instante do 
lançamento, o deslocamento horizontal do projétil é dado por: 
 
∆X ou R = V0xt 
 
O movimento vertical (y) é um movimento de queda livre (MRUV), e sua 
aceleração é constante e igual à 9,8m/s2 (gravidade da terra). 
A velocidade inicial V0y é nula, por ser um movimento de queda livre, 
mas aumenta conforme o tempo: 
�² � ��² � 2. �. ∆
 
∆�� � 
 
�� � 0 
10 
 
� � �. � 
∆
 � ��. � �
1
2
. �. �² 
∆
 � 
 
V= m/s 
∆x= m 
 
POSIÇÃO 
 
Segundo HALLIDAY (1996, p.55), “De maneira geral, a localização de 
uma partículaé dada através do vetor posição r, um vetor que vai de um ponto 
de referência (geralmente aorigem de um sistema de coordenadas), até a 
partícula”.A variação de uma posição para outra posição chama-se 
deslocamento. Odeslocamento é uma grandeza vetorial,e representa a 
diferença entre a posição inicial e a finaldo móvel. A distância percorrida é uma 
grandeza escalar, pois representa o percurso totalentre o início e o fim do 
movimento, sem levar em conta a direção. 
 
 
VELOCIDADE. 
 
Segundo HALLIDAY (2003, p.20), “A velocidade média em um intervalo 
é definida como a relação entre o deslocamento (mudança de posição) e o 
intervalo de tempo durante o qual o deslocamento ocorre”. 
A velocidade média em qualquer intervalo de tempo depende somente 
da posição dapartícula no início e no fim do intervalo. 
Um exemplo é o velocímetro do carro, pois ele indica a intensidade 
velocidade docarro e não a direção, não sendo considerado um vetor. 
 
11 
 
 
ACELERAÇÃO. 
 
De acordo com HALLIDAY (2003, p.22), “Conforme uma partícula se 
move, sua velocidade pode variar a intensidade ou a direção. A mudança da 
velocidade com o tempo é chamada de aceleração”. 
É importante perceber que uma partícula pode ter aceleração de 
diversas maneiras. É possível que o módulo do vetor velocidade se altere com 
o tempo, como num movimento retilíneo. Também, a partícula pode estar 
acelerada por haver mudança da direção do vetor velocidade com o tempo, 
embora o módulo da velocidade permaneça constante. 
 
ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE. 
 
Segundo HALLIDAY (1996, p.23), “Se lançarmos um objeto para cima, ou 
para baixo, e de alguma forma eliminarmos a resistência do ar, verificamos que 
ele sofrerá uma determinada aceleração para baixo, a qual se denomina 
aceleração de queda livre g. A aceleração g é independente da massa, 
densidade, ou forma do objeto”. 
Todos os corpos quando são abandonados no espaço caem para a 
superfície da Terra, com uma aceleração constante. 
“À medida que os objetos caem, são acelerados para baixo a uma taxa g, 
aumentando suas velocidades escalares. O valor de g varia ligeiramente com a 
altura e a latitude. Em latitudes médias, ao nível do mar, o valor de g é 9,8 m/s² 
(ou 32 ft/s²)” (HALLIDAY, 1996,p.23). 
 
 
 
 
 
 
12 
 
MOVIMENTO DOS PROJÉTEIS. 
 
Assim sendo, pode-se concluir que a trajetória de um projétil será sempre 
uma parábola. O movimento de um projétil é a superposição de dois 
movimentos: 
• O movimento de um corpo em queda livre, na direção vertical, com 
aceleração constante; 
• Um movimento uniforme, na direção horizontal, com velocidade 
constante. 
Conforme HALLIDAY (1996, p.57), “Um exemplo de movimento curvilíneo 
com aceleração constante é o movimento de um projétil, isto é, o movimento 
bidimensional de uma partícula lançada obliquamente no ar”. 
13 
 
LANÇAMENTO DE PROJÉTIL 
 
OBJETIVOS: 
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de: 
- Reconhecer e exemplificar a posição horizontal de um projétil; 
- Identificar o alcance no lançamento de um projétil; 
- Executar medidas de altura; 
- Relacionar a altura, da qual a bolinha é abandonada na rampa, com o 
alcance. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
DESENVOLVIMENTO 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: 
- Um conjunto para lançamentos horizontais; 
- Uma esfera metálica; 
- Uma esfera de vidro; 
- Quatro folhas de papel carbono 
- Quatro folhas de papel ofício de seda; 
- Fita adesiva; 
- Um lápis; 
- Uma régua; 
- Um compasso. 
 
MONTAGEM: 
 
Observamos a rampa, através do seu suporte, com a haste e sapata. 
Regulamos a altura do fio de prumo para que o mesmo fique a mais ou menos 
5 mm do chão. 
Consideramos um ponto acima da metade do percurso da rampa e 
ajustamos sua altura de modo que a esfera seja abandonada deste ponto. 
Juntamos as quatro folhas de papel seda com fita adesiva, fizemos o 
mesmo com as quatro folhas de carbono (conforme figura a seguir). Colocamos 
no chão a folha carbonada, com a face de tinta virada para cima e sobre ela a 
folha de papel seda, de tal modo que o fio de prumo fique próximo do lado 
menor e sobre a emenda. 
 Figura 1: Folha papel seda 
 
 
 
 
15 
 
RESULTADOS OBTIDOS 
Soltamos a esfera de aço num ponto qualquer da rampa. Ela irá correr 
livremente pela canaleta e fará um vôo até colidir com o papel carbono. 
Cuidamos para que a esfera picasse somente uma vez sobre o papel de seda. 
Olhamos o papel e descrevemos que a esfera realizou dois movimentos e 
percorreu uma distância na horizontal, ou seja, cai na vertical e percorre uma 
distância na horizontal. Numeramos esta marca para não confundi-la com 
outras que ainda serão produzidas. 
Com o auxílio da régua, a distância existente entre a marca feita abaixo do 
prumo e a marca produzida pela colisão da esfera com o papel que foi de 
22,5cm. O papel está contido num plano horizontal e a distância medida neste 
plano desde o ponto assinalado que fica abaixo da saída da rampa à marca 
feita pela colisão da esfera, chama-se alcance do projétil. (Projétil é o nome 
que se dá a qualquer corpo que é lançado livremente). 
Tentamos reproduzir 10 lançamentos iguais, abandonando a esfera, do 
mesmo ponto da rampa e sempre do mesmo modo, observamos que a marcas 
deixadas por esses lançamentos não são distantes, mas sim muito próximas 
umas das outras. 
Com o compasso, desenhamos o menor círculo que continha (em seu 
interior) a totalidade das marcas produzidas pelos 10 lançamentos. A medida 
do raio deste círculo denominou-se “desvio da medida do alcance” e representa 
a incerteza com que é realizada esta medida neste experimento. Com a régua, 
medimos o desvio da medida do alcance que foi de 0,7 cm. 
A partir de agora, registramos todas as medidas, de alcance com este 
desvio. Anotamos logo após a medida acompanhada com o sinal de ±. 
 
�� �� � � �� 
 Isto significa que os valores mais prováveis de alcance são maiores do 
que 24 e menores que 28. 
 
 
 
16 
 
Como decorrência desta incerteza, que acompanha todas as medidas, 
não poderíamos considerar diferentes dois alcances que apresentassem 
diferenças menores do que o duplo valor de desvio, assim como, não 
poderíamos afirmar que fossem iguais. Por exemplo, o alcance A mede (27 ± 
2) cm. 
 O alcance A pode ser igual a B já que A poderá assumir o valor mínimo 
de 26 cm e o alcance B poderá assumir o valor máximo de 26 cm. Por isso é 
conveniente repetir várias vezes o lançamento, assim, os desvios medidos se 
tornam precisos e as medidas mais confiáveis. 
Marcamos quatro pontos diferentes ao longo da rampa e numeramos de 
1 a 4. A partir de cada um desses pontos fizemos, pelo menos, cinco 
lançamentos determinamos o alcance médio correspondente a cada ponto de 
partida 21cm e ±0,6cm; 18,7cm e ±0,6cm; 15,25cm e ± 0,25cm e 11,2cm e ± 
0,2cm. Verificamos a altura vertical (h), da posição de partida para cada 
lançamento, em relação à saída da rampa 8 cm; 6 cm; 4 cm e 2 cm. 
 
Figura 2: Rampa 
 
Fonte: os autores 
 
 
8 cm 
6 cm 
4 cm 
2 cm 
17 
 
Com os dados coletados nos dois itens anteriores, completamos a tabela: 
 
Tabela 1 - Posição x altura x alcance 
Posição Altura (cm) Alcance (cm) 
1 8 21 ± 0,6 
2 6 18,7 ± 0,6 
3 4 15,25 ± 0,25 
4 2 11,2 ± 0,2 
Fonte: os autores 
O alcance horizontal do projétil depende da altura da posição de 
lançamento, pois quanto maior a altura maior será o deslocamento e 
conseqüentemente sua velocidade e alcance será maior. 
Refizemos a atividade do item anterior usando a esfera de vidro, 
completamos a tabela a seguir. 
Tabela 2 - Posição x altura x alcance 
Posição Altura (cm) Alcance (cm) 
1 8 20,25 ± 0,95 
2 6 18 ± 0,7 
3 4 14,55 ± 0,55 
4 2 10,9 ± 0,6 
Fonte: os autores 
Com base nas tabelas 1 e 2, comparamos os resultados obtidos para o 
alcance da esfera de vidro com os resultados obtidos para o alcance da esfera 
de açoe observamos que a massa não interfere no alcance do lançamento e 
que quando desprezamos a velocidade do ar esta também não interfere no 
alcance da esfera. 
18 
 
DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DE LANÇAMENTO ATRAVÉS DO 
ALCANCE 
 
OBJETIVOS 2: 
Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de: 
- Reconhecer, no movimento de lançamento, a combinação de dois 
movimentos retilíneos; 
- Utilizar as equações do movimento de queda livre para a determinação 
do tempo de queda; 
- Medir o alcance médio e, através deste valor e do intervalo de tempo 
gasto no percurso, determinar a velocidade de lançamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
DESENVOLVIMENTO 
MATERIAL NECESSÁRIO: 
- Um conjunto para lançamentos horizontais; 
- Uma esfera metálica; 
- Quatro folhas de papel ofício de seda; 
- Fita adesiva; 
- Um lápis; 
- Uma régua; 
- Um compasso. 
 
PRÉ - REQUISITOS: 
 
Operações simples de vetores. 
Aplicação das equações do MRU e MRUV (queda livre). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESULTADOS OBTIDOS 
 
Utilizamos o prumo, marcamos no papel carbono a posição que fica 
verticalmente abaixo da rampa, assinalando-a com a letra “O”. 
Assinalamos um ponto sobre a rampa e realizamos 10 lançamentos 
(abandonando a esfera deste ponto e de maneira semelhante) 
Traçamos um círculo cujo raio representa o “desvio da medida do alcance” e 
assinalamos seu centro com a letra A. 
A partir do ponto “O”, representamos o vetor deslocamento horizontal 
AO
r
 e determinamos seu módulo. Reproduzimos no espaço a seguir (menor 
escala) o fenômeno observado e o alcance medido. 
 
Figura 3. Representação na folha de papel carbono 
Real 60 cm 
 
 
 
 
Fonte: os autores 
60 � 23,75 
4.5 � 
 
 � 1,78 � 
 
 Medimos a altura percorrida pelo móvel, desde sua saída da rampa até o 
plano da folha carbonada que foi de 26,7 cm e o movimento que o móvel 
realizou na vertical foi em queda livre. Dada à orientação do vetor velocidade 
do módulo, ao abandonarmos a rampa observamos que ao início sua 
aceleração é constante e que no decorrer do experimento esta ela varia, ou 
seja, aumenta. 
Calculamos o intervalo de tempo que o móvel fica no ar, a partir do 
momento em que é abandonado da rampa de lançamento que foi de 0,233s. O 
tipo de movimento que o móvel executou é MRU na horizontal a partir do 
instante em que abandona a rampa. 
 
21 
 
 
Figura 4: Decomposição movimentos queda livre. 
 
Fonte: Exata mente. 
De posse do alcance e do tempo de queda, determinamos o módulo da 
componente horizontal da velocidade com que o móvel toca a folha de papel 
1,01 m/s e sua velocidade de lançamento do móvel (velocidade com que 
abandonou a rampa) foi nula no eixo x e constante no eixo y e o módulo do 
vetor velocidade total da esfera no ponto A foi 1 m/s. 
Hor = ∆x= MRU 
 0,237= Vx . 0,233 
 Vx= 1,01 m/s 
Eixo x: a = 0 (MRU) 
V constante 
Vox = vx 
2,67 = ½ . 9,8t2 
0,534= 9,8 t2 
0,534 = t2 
9,8 t2 =0,054 t = 0,0233 s 
 
 
 
22 
 
CONCLUSÃO 
Nas experiências realizadas pudemos perceber que quando lançamos 
um corpo em queda livre, a massa do mesmo não interfere no seu alcance, e 
que com poucos dados podemos determinar a velocidade que o corpo atinge 
nos eixos em questão (horizontal e vertical). No movimento horizontal, a sua 
velocidade não sofre alteração, devido a sua aceleração ser nula, já na vertical, 
a velocidade varia gradativamente por estar relacionada com a gravidade. 
A altura de onde se abandona o objeto também interfere bruscamente, 
pois quanto mais alta for, maior será o alcance obtido no lançamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
BIBLIOGRAFIAS 
 
- HALLIDAY, David,; RESNICK, Robert,; WALKER, Jearl,. Fundamentos de 
física. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
 
-AUGUSTO, Lucas; Disponível em <http://exata-
mente.blogspot.com.br/2012/06/fisica-01-cinematica-lancamento-de.html> 2012 
.Acesso em 28 de setembro de 2014. 
 
- HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl,. FUNDAMENTOS DE 
FÍSICA, Vol. 2 . LTC Editora, 1996.