bioestatistica 3

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Responsável pelo Conteúdo: 
Prof Ms Alexandre Silva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Distribuição de 
Frequências como Estimativa da 
Probabilidade 
Nesta unidade da disciplina Bioestatística, estudaremos as 
probabilidades e as distribuições de frequências como 
estimativas de probabilidade. O estudo das probabilidades é 
fundamental para entender a parte analítica da estatística, 
assim, permitindo a tomada de decisões em pesquisas.. 
Atenção 
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. 
 
 
 
 
 
 
 
Um casal vai fazer sua consulta de aconselhamento genético pois estão planejado ter 
um filho e na família da mulher existe uma indivíduos com uma doença de herança genética. 
O especialista vai fazer uma séria de perguntas, solicitar alguns exames. A pergunta que o 
casal fez é: “Qual a chance do nosso bebe nascer com esta doença”? Nesta situação a resposta 
não pode ser absoluta: SIM ou NÃO, mas vai se dar termos de probabilidade, ou seja, uma 
maneira matemática de quantificar a chance de um evento ocorrer. Então o especialista 
responde: “Existe uma chance em cem do filho de vocês apresentarem esta doença, agora 
vocês decidem de desejam ou não correr este risco.” 
 
 
Contextualização 
 
 
 
 
 
Noções de Probabilidade 
Após realizar a descrição dos eventos utilizando gráficos, tabelas, calculado média, 
desvio padrão, fazendo correlações e regressões, o pesquisador deseja fazer inferências, ou 
seja, extrapolar seus resultados para a população. Para tanto, é necessário entender 
probabilidade, uma vez que as inferências são expressas em probabilidade daquela conclusão 
ser falsa ou verdadeira. 
 
Probabilidade aleatória 
Para entender a probabilidade de um evento aleatório, precisamos definir: 
S – Espaço amostral: É o conjunto de todos os elementos possíveis. 
EVENTO – É qualquer subconjunto de S (Notação A, B, C...) 
 (phi) - Conjunto vazio, ou seja, representa um evento impossível. 
 
Definimos então probabilidade de um evento A como a razão entre o número de 
elementos de A e o número de elementos do espaço amostral (S). Representa-se como a 
formula abaixo: 
 
Vamos considerar o seguinte exemplo: Um pesquisador deseja saber qual a 
probabilidade de, ao lançar um dado, deste cair com a face 3 voltada para cima. 
Analisando este pueril exemplo, porém muito ilustrativo, temos: 
 Um dado tem 6 faces; 
 Cada vez que um dado é lançado, somente uma face fica voltada para cima; 
 Então temos as seguintes possibilidades: 
 
Material Teórico 
 
 
 Portanto, das 6 possibilidades, somente uma satisfaz a condição CAIR FACE 
3. 
 
Em termos de probabilidade, temos o seguinte: 
 O espaço amostral (S) é: 
S:{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 O evento (A) CAIR FACE 3 é: 
A: {3} 
 A probabilidade do evento A (CAIR FACE 3) é dado pela expressão: 
 
Resolvendo a equação: 
P(A) = 0,1667 ou 16,67% 
 
São propriedades da probabilidade: 
1. A probabilidade de qualquer evento é um valor entre 0 e 1: 0  P  1; se 
apresentado na forma de porcentagem: 0%  P  100%. 
2. A probabilidade de um evento vazio é sempre iguala zero: P() = 0. Voltando ao 
nosso exemplo anterior, se o pesquisador perguntasse: Qual a probabilidade de ao 
jogar um dado, CAIR A FACE 7? Como um dado não possui esta face, o evento 
A é vazio ou A:{ }. Pela fórmula, zero divido por qualquer número continua sendo 
zero. 
3. A probabilidade de ocorre um evento igual ao espaço amostra é 1: P(S) = 1. No 
nosso exemplo, se o pesquisador perguntasse: Qual a probabilidade de ao jogar um 
dado, CAIR UMA FACE ENTRE 1 E 6? Vejam que o evento A se satisfaz com 
qualquer uma das faces do dado, ou seja A:{1;2;3;4;5;6} que equivale ou espaço 
1 único elemento do evento A {3} 
6 elementos do espaço amostra S {1;2;3;4;5;6} 
 
 
amostral. Pela fórmula, teremos uma probabilidade dada pela razão entre A, ou 
seja 6 e S que também é ö que resulta no valor 1 ou 100%. 
 
Probabilidade condicional 
 
Chamamos de probabilidade condicional a probabilidade de ocorrer determinado 
evento quando este depende de uma dada condição. A probabilidade de ocorrer o evento A 
sob a condição de ter ocorrido o evento B, representa-se então: P(A|B) que se lê: 
probabilidade de A dado B. 
De volta ao nosso exemplo dos dados, pense na seguinte pergunta: 
- Qual a probabilidade de, ao se lançar um dado, ocorrer face 6, sabendo 
antecipadamente que a face que ocorreu é par? 
Em termos da estatística a pergunta deveria ser construída assim: Qual a probabilidade 
de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B? Escreve-se da seguinte maneira: 
P(A|B). 
A fórmula para a resolução de uma probabilidade condicional é: 
 
Onde se lê: A probabilidade de A dado B é a razão (divisão) entre o número de 
elementos da intersecção entre A e B e o número de elementos de B. 
Entendendo a fórmula: 
Evento A: face 6, já sabemos que o dado tem somente 1 face com o número 6. Evento 
B: face par, o dado possui as seguintes faces com números pares: {2; 4; 6}, ou seja 3 faces 
com números pares. A intersecção entre os Eventos A e B é a quantidade de elementos que 
existem nos dois conjuntos: A e B. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 : Evento A e Evento B 
 
 
 
Figura 2: Intersecção entre os eventos A e B 
 
Sabemos que: A=1 elemento; B= 3 elementos; P (A∩B) = 1 elemento, então temos: 
 
 
 
 
Eventos independentes 
 
Dizemos que dois eventos são independentes quando a probabilidade de um ocorrer 
um dos eventos não é modificada pela ocorrência do outro evento. 
Vamos pensar nesta situação: Um jogador joga moeda e dado, ele deseja saber: Qual a 
probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que no jogo do dado caiu a face 5? 
Devemos raciocinar: O resultado do jogo da moeda interfere no resultado do jogo do 
dado? Uma moeda tem duas faces, uma chamada cara (C) e outra de coroa (K), por sua vez o 
dado, como já vimos, tem 6 faces. Visualizem: 
Antes do jogo de moedas, qual o espaço amostra do jogo de dados? É o seguinte: 
S={1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 
 
 
A moeda foi lançada: 
 
 
Caiu a face Cara, como fica o espaço amostral do jogo de dado após o jogo da 
moeda?É o seguinte: 
S={1; 2; 3; 4; 5; 6} 
 
Ou seja, não muda. Portanto, dizemos que o evento “Cair 5 no jogo de dados” é 
independente do evento “Cair cara no jogo de moeda”. 
 Dizemos então que a probabilidade de A dado B é igual a probabilidade de A e 
representamos da seguinte maneira: 
P(A|B) = P(A) 
 
Teorema do produto 
 
Este teorema diz que se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer 
A e B é dada pela probabilidade de ocorrer A multiplicada pela de ocorrer B. 
P(A e B) = P(A) x P(B). 
Exemplo: Qual a probabilidade de ocorrer cara jogando uma moeda duas vezes? 
Possibilidades: 
Tentativa 1º. Lançamento 2º. Lançamento 
1 
2 
3 
4 
Figura 3: probabilidades em um jogo duplo de moedas. 
 
Cara 
C 
K 
C 
C 
K 
K K 
C 
 
 
Veja que a probabilidade de cair cara (C) no primeiro lançamento é de ½ e de cair 
coroa (K) no 2º. Lançamento é de ½ e de cair em dois lançamentos Cara (C) e Cara (C) é de 
¼. Então, aplicando a formula temos: 
P(C e C) = ½ x ½ = ¼ 
 
Teorema da soma 
 
Quando A e B são eventos que nãopodem ocorrer ao mesmo tempo, a probabilidade 
de ocorrer A ou B é dada pela seguinte expressão: P(A ou B) = P(A) + P(B) 
Se uma urna possui duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha e retira-se uma ao 
acaso. Qual a probabilidade de sair uma colorida? 
 
Figura 4: urna com bolas coloridas. 
 
A condição só é satisfeita se for sorteada a bola vermelha ou a azul. Veja duas bolas 
das quatro existentes satisfazem então a condição. A probabilidade de ser retirada a bola azul 
é de ¼ e de ser retirada a bola vermelha é também de ¼ , portanto a expressão fica: 
P(azul ou vermelha) = ¼ + ¼ = ½ 
 
 
Distribuição Normal ou de Gauss 
 
As frequências obtidas da maioria das medidas biológicas e de outras situações dão 
origem aos gráficos com características em comum, semelhante ao apresentado abaixo. 
Observem que esta distribuição de frequências apresenta muitos indivíduos com valores 
semelhantes, no exemplo entre 39 e 41, poucos com valores abaixo disto e poucos com 
valores acima disto. Vemos então um gráfico com formato de sino. Este tipo de distribuição de 
frequências recebe o nome de distribuição normal. 
 
A distribuição Normal tem as seguintes características: 
 A variável aleatória pode assumir qualquer valor; 
 O gráfico da distribuição é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da 
média populacional representada pela letra grega ; 
 A área total da curva representa uma freqüência de 100% da população. A área 
representa a probabilidade da variável assumir qualquer valor. 
 Os parâmetros são:  (média populacional) e a 2 (variância populacional). 
Figura 5 Distribuição de medidas do tórax de soldados escoceses 
 
 
Cada população apresentará uma média e uma variância que vai gerar uma curva 
normal diferente e característica daquela população. Na figura acima, se quisermos saber a 
probabilidade de um soldado daquela população ter medida de tórax entre 38 e 39 
polegadas, basta calcular a área da curva desta parcela da população. Para isto é necessário 
cálculos complexos, pois a figura é uma curva e não uma reta. 
Para entender melhor este conceito, faça um exercício mental tentando responder as 
questões propostas abaixo: 
1. Como seria um gráfico de distribuição de frequências da altura da população adulta 
do Brasil? 
2. Sabendo que a glicemia (quantidade de glicose no sangue) normal das pessoas é de 80 
mg/dL; como seria a distribuição de frequências da glicemia da população de uma 
cidade? 
3. Em uma prova aplicada a 1000 alunos, valendo de zero a dez, como seria o gráfico da 
distribuição de frequências das notas? 
 
Distribuição normal reduzida 
 
O cálculo de probabilidades de populações com distribuição do tipo normal é 
complexo para ser utilizado rotineiramente. Para facilitar este tipo de calculo, foi feita o 
tabelamento de todas as possíveis probabilidades de uma única curva normal que recebeu o 
nome de Curva Normal Reduzida. 
Esta curva possui as seguintes características: 
 É uma distribuição com média 0 e variância 1. 
 A variável aleatória representada pela distribuição normal reduzida é a z. 
 Na distribuição normal reduzida dos valores de probabilidade de 0 até z estão dispostos 
em tabelas. 
 Exemplo. A probabilidade de ocorrer valores entre 0 e 1,5 corresponde a área pintada: 
 
 
 
Se formos procurar na tabela a probabilidade entre 0 e 1,5 obtemos o valor de 0,4332 
ou 43,32%. Na tabela devemos procurar a linha que contenha a primeira unidade e o decimal 
1,5 e a coluna com o centésimo e o milésimo: 0,00. No cruzamento da linha e com a coluna 
selecionada obtemos então o valor 0,4332 que em porcentagem fica 43,32%. Observe que a 
tabela apresenta somente a parte positiva da curva, porém, como a curva é simétrica, a 
probabilidade do lado positivo é idêntica a do lado negativo. 
 
Cálculo de probabilidade com qualquer variável com distribuição 
normal 
 
Vejamos o seguinte exemplo: 
A quantidade de colesterol no plasma tem distribuição normal com média 200mg 
e desvio padrão de 20mg conforme a ilustração abaixo: 
 
 
Pergunta-se: Qual a probabilidade de um indivíduo apresentar valores de colesterol 
entre 200 e 225 mg. 
 
Para facilitar o entendimento, coloque os valores em um esboço da curva, como 
mostrado abaixo: 
=200 
 
 
 
Se X é uma variável com distribuição normal (esta informação tem que ser dada no 
exercício) de média  e desvio padrão  então devemos transformar a variável X em Z pela 
seguinte expressão: 
 
Substituindo os valores: 
Para X (valor dado na questão)= 225 temos: 
Z1 = (225-200)/20 = 1,25 
Para X (valor dado na questão) = 200 temos: 
Z2 = (200-200)/20 = 0 
Substituímos X1 (=225) e X2 (=200) dados na questão por Z1 e Z2 que foram 
calculados pela fórmula, assim teremos um o seguinte esboço da distribuição normal reduzida: 
 
O que significa dizer que a probabilidade X entre 200mg e 225mg é a mesma 
probabilidade de Z assumir valores entre 0 e z=1,25, que segunda a tabela vamos buscar a 
linha 1,2 (Veja na tabela abaixo) e a coluna 0,05 (veja na tabela abaixo) onde obtemos o 
valor: 0,3944 ou 39,44%. 
200 225 
0 1,25 Z 
 
 
 
Figura 6 Tábua da distribuição das probabilidades em uma curva normal reduzida, valores entre 0 e z P(0 - z). 
 
 
 
 
 
 
Como leitura complementar, segue o link para o artigo: 
 
Ensaio sobre a relação epistemológica entre probabilidade e método científico 
 
 
 
Material Complementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
Berquó, E.S; Souza, J.M.P.; Gotlieb, S.L.D Bioestatística. 2º Ed., Editora pedagógica e 
Universitária, São Paulo, 1981, p.1-6. 
Vieira, S Introdução a Bioestatística, 5º.Ed, Editora Campus, 2008, São Paulo, Brasil, p. 
1-7. 
Vieira, S Bioestatística: tópicos avançados. 2° Ed. Editora Campus, 2003, São 
Paulo, Brasil. 
 
 
 
Referências 
 
 
 
 
 
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Anotações