Teoria Elementar dos Conjuntos

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Livro Digital 
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Sumário 
Introdução ........................................................................................................... 4 
Metodologia do curso ............................................................................................................ 5 
Cronograma ........................................................................................................................... 6 
1. Introdução ........................................................................................................ 7 
2. Notações Matemáticas ..................................................................................... 7 
2.1. Introdução ...................................................................................................................... 7 
2.2. Principais Notações ......................................................................................................... 8 
3. Teoria Elementar dos Conjuntos .......................................................................12 
3.1. Conceitos Básicos .......................................................................................................... 12 
3.2 – Descrição e Representação de Conjuntos .................................................................... 18 
4 – Conjuntos Notáveis ........................................................................................................ 19 
5 – Operações entre Conjuntos ............................................................................................ 23 
6 – Cardinalidade da União entre Conjuntos – Princípio da Inclusão e Exclusão ................... 27 
3 – Intervalos Reais ..............................................................................................35 
1 – Introdução ..................................................................................................................... 35 
2 – Intervalos ....................................................................................................................... 37 
3 – Operações entre intervalos ............................................................................................ 40 
4 - Lista das Questões Comentadas ......................................................................48 
5 – Conjuntos Numéricos .....................................................................................69 
5.1 Palavras Inicias .............................................................................................................. 69 
5.2 Conjuntos Numéricos Fundamentais .............................................................................. 70 
6 – Lista de Questões ...........................................................................................91 
7 – Lista de Questões Comentadas ..................................................................... 102 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Olá, querido aluno! Meu nome é Ismael Santos, professor de Matemática do Estratégia 
Vestibulares (ENEM). Estarei com você nesta caminhada rumo à gloriosa Marinha. Tenho certeza 
que faremos uma excelente parceria, que tem como objetivo: a sua tão sonhada APROVAÇÃO. 
Deixe que me apresente: sou servidor público federal há 12 anos, natural do Rio de Janeiro – RJ, 
Graduado em Gestão Financeira, Graduando em Matemática pela UFF-RJ, Pós-graduado em 
Orçamento Público. 
Iniciei meus estudos para concursos muito cedo, aos 14 anos. Naquela época, meu objetivo 
principal era o certame do Colégio Naval. Essa batalha teve início em 2002. Não foi nada fácil! Tive 
muita dificuldade nesta preparação, em especial devido à falta de base sólida de conhecimento 
teórico. O resultado já era esperado: REPROVADO em meu primeiro concurso. 
Em 2003, consegui focar mais nos estudos. Ver a matéria pela segunda vez foi, certamente, um 
facilitador. Neste ano, minha evolução foi muito grande. Estava confiante! Pois bem! Chegou a 
prova! Mais uma reprovação! Este resultado não foi o esperado. Foi duro suportar. No entanto, não 
podia perder tempo, tinha que voltar a estudar o mais rápido possível, já para o próximo ano. 
Chegamos em 2004! Neste ano, além de me preocupar com a parte teórica, resolvi preparar 
também minha cabeça (psicológico), para que no dia da prova, não fosse surpreendido. Eis que 
chegou a APROVAÇÃO. Neste certame, obtive a 4ª maior nota do Brasil na primeira fase. Dia 
inesquecível! Neste mesmo ano, obtive a aprovação também na EPCAr (Escola Preparatória de 
Cadetes do Ar). 
 Já em 2005, tive a oportunidade de prestar outros concursos, os quais obtive aprovação: EEAr, 
UFRJ, UERJ, EsSA, CMRJ e UFFRJ. 
Em 2008, fui morar no Paraná. Cidade na qual servi por 5 anos. Ao fim deste período, fui 
transferido para o Rio de Janeiro. 
Entre os anos de 2014 a 2016, obtive outras aprovações, desta vez, para cargos públicos civis, tais 
como: Agente da Polícia Civil –RJ, Papiloscopista da Polícia Civil –RJ, Técnico da Assembleia 
Legislativa – RJ e Fiscal de Posturas de Niterói. 
Ufa! Quanta coisa, não? Pois é! Tudo serviu de experiência! Conhecimento não ocupa espaço! 
Nunca pare de estudar! 
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Perceba que minha experiência com concursos já vem desde 2002. São mais de 15 anos 
respirando essa área. Não à toa, é a que mais me identifico para lecionar. 
Qualquer dúvida, crítica ou sugestão, entre em contato comigo pelo fórum de dúvidas, na sua 
área de aluno, ou, se preferir: 
 
METODOLOGIA DO CURSO 
Nossas aulas abrangerão todo o conteúdo cobrado nas provas, de forma ampla, com centenas de 
exercícios resolvidos detalhadamente para que você possa construir seu conhecimento a cada passo, 
em cada detalhe. 
E a Matemática é cheia deles, os detalhes, não é mesmo? 
Nosso curso é composto por PDFs, com teoria e exercícios, e videoaulas. 
A parte teórica é completa, porém objetiva, trazendo as informações necessárias à parte 
subsequente, os exercícios direcionados. O conjunto de aulas traz os assuntos cobrados nos últimos 
anos, além de outros, fundamentais para entender os tópicos oficiais de seu edital. 
Nós passaremos, durante o curso, por todo o conteúdo programático do seu vestibular, portanto, 
não será necessário que você procure materiais de diversas fontes como complemento, 
economizando, além de dinheiro, um tempo precioso a ser utilizado efetivamente na sua 
preparação. 
Nossa jornada pela matemática será dividida em duas frentes: uma com o professor Ismael e 
outra comigo. No próximo tópico, você verá um cronograma que relaciona essas duas partes. 
Utilizaremos questões do vestibular do ENEM, na maior quantidade possível, questões inéditas e 
questões de outras bancas, quando pertinentes ao momento de seu aprendizado. 
Em geral, as provas de vestibular estão em constante mudança. No entanto, quando falamos em 
matemática, a maior parte do conteúdo programático é universal. Assim, mesmo questões de outras 
bancas, ou ainda questões mais antigas, cumprem muito bem o papel de suporte na sua preparação. 
Não as negligencie. 
Ao final do curso, com literalmente centenas de exercícios em sua experiência, você terá todas as 
condiçõespara fazer uma excelente prova e alcançar sua almejada aprovação. 
Fale comigo! 
 
@profismael_santos Ismael Santos @IsmaelSantos 
 
 
 
 
 
 
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Em alguns dias, esta aula será repostada com a inclusão de exercícios específicos da sua banca. 
Entretanto, não há necessidade de que você fique parado esperando; comece a construir o corpo 
teórico de que precisará o mais breve possível. 
Vamos começar? 
 
CRONOGRAMA 
 
Aula Tópico Data 
Aula 00 Marçal - Introdução à Álgebra - 
Aula 01 Teoria Elementar dos Conjuntos, Conjuntos Numéricos 
e Intervalos Reais 
20/11/2019 
Aula 02 
MMC e MDC. Operações. Potenciação e Radiciação. 
Produtos Notáveis e Fatoração 
28/01/2019 
Aula 03 
Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função 
Afim, Equações do primeiro grau e problemas. 
24/02/2020 
Aula 04 Função Quadrática, Equações do segundo grau e problemas. 23/03/2020 
Aula 05 
Equações, inequações exponenciais. Função 
Exponencial. Logaritmo. Equações e inequações logarítmicas. 
Função Logarítmica. 
20/04/2020 
Aula 06 
Módulo de um número real. Equações modulares. Inequações 
Modulares. Função Modular. 
18/05/2020 
Aula 07 Marçal -Trigonometria - 
Aula 08 Marçal - Progressões - 
Aula 09 Marçal - Matrizes - 
Aula 10 Marçal -Sistemas Lineares - 
Aula 11 Binômio de Newton 01/06/2020 
Aula 12 Análise Combinatória. Probabilidade 22/06/2020 
Aula 13 Marçal - Complexos - 
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Aula 14 Marçal - Polinômios - 
Aula 15 Marçal - Geometria Plana - 
Aula 12 Marçal - Geometria Plana Parte 2 - 
Aula 13 Marçal - Geometria Espacial - 
Aula 14 Marçal - Geometria Analítica - 
Aula 15 Marçal - Matemática Financeira e Estatística - 
 
1. INTRODUÇÃO 
Ainda que não esteja explícita em sua prova o tema Conjuntos, não podemos negligenciar este 
tema tão importante para partes futuras do nosso material, tais como: inequações, funções e 
probabilidades. 
Assim, solicito que preste atenção em cada detalhes. Confesso que não aprofundarei mais que o 
necessário para o se exame, logo, pode ficar despreocupado. 
O primeiro dos assuntos é: TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS. Por mais que este tema não 
caia, trata-se de um tópico basilar para outras questões trabalhadas em sua prova. Diante disso, 
vamos passar por todos os pontos necessários para que faça uma excelente prova! 
 
2. NOTAÇÕES MATEMÁTICAS 
2.1. INTRODUÇÃO 
Na Matemática, a Simbologia tem um papel fundamental. Em diversas questões, por 
exemplo, se você não tiver um bom domínio da linguagem matemática, a feitura das mesmas torna-
se praticamente impossível. Costumo dizer que essas notações são uma extensão do nosso 
alfabeto. 
Veremos a seguir algumas das principais notações. Ressalto que não faz sentido trazer todas 
as existentes, por fugir do intuito do seu curso. Não se preocupe em decorar todas num primeiro 
momento. Este aprendizado vem com o decorrer do curso, alinhado a muita prática de exercícios. 
Beleza? 
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Caso, durante o nosso curso, apareça algum não mencionado na tabela abaixo, fique 
tranquilo, pois farei o comentário necessário. Ok? 
Vamos entender a dinâmica da tabela? Simbora! 
2.2. PRINCIPAIS NOTAÇÕES 
A tabela abaixo conta com as principais notações da nossa querida matemática. Vale ressaltar 
que a mesma foi dividida em três colunas, a saber: 
1ª Coluna - preocupei-me em apresentar a forma simbólica. 
2ª Coluna - preocupei-me em descrever o nome da respectiva notação e as possíveis 
variações. 
3ª Coluna – preocupei-me em citar em qual tópico da matemática você terá um possível 
contato. 
Veremos agora um esquematizado! Preparado? Vamos nessa, meu querido! 
SÍMBOLO NOMENCLATURA UTILIDADE 
≠ Desigual ou 
Diferente 
Condições de existência de equações 
fracionárias. 
= Igual Operações algébricas. 
+ Adição Operações algébricas. 
− Subtração Operações algébricas. 
× Multiplicação Operações algébricas. 
÷ Divisão Operações algébricas. 
> Maior que Inequações. 
< Menor que Inequações. 
≥ Maior que ou 
igual a 
Inequações. 
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≤ Menor que ou 
igual a 
Inequações. 
∪ União Teoria dos Conjuntos 
∩ Interseção Teoria dos Conjuntos 
≡ Equivalente ou 
congruente 
Operações algébricas. 
≅ Aproximadament
e 
Operações algébricas. 
∧ Operador lógico 
“e” 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∨ Operador lógico 
“ou” 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
! Fatorial Análise Combinatória e Binômio de Newton. 
∀ Qualquer, ou 
para todo 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∈ Pertence Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∉ Não pertence Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∃ Existe pelo menos 
Um 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∃I Existe um único Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∄ Não existe Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∃I Não existe um 
único 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⊃ Contém Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
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⊂ Está contido Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⊅ Não contém Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⊄ Não está contido Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⟶ Operador lógico 
Se então 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⟹ Implicação Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⟺ Operador lógico 
Se e somente se 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∴ Portanto Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∵ Porque Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∑ Somatório Somas Telescópicas 
∕ Tal que Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
¬ Negação Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∨ Operador lógico 
Ou ... ou 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⊆ Está contido ou 
igual 
Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
⊇ Contém ou igual Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
( ) Parênteses Operações Algébricas. 
{ } Chaves Operações Algébricas. 
[ ] Colchetes Operações Algébricas. 
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∅ Vazio Teoria dos Conjuntos e Raciocínio Lógico. 
∞ Infinito Intervalos Reais. 
∆ Delta ou 
discriminante 
Equações Polinomiais. 
f: A⟶B Função ou 
Aplicação de A em B 
Função. 
AxB Produto 
cartesiano 
Teoria dos Conjuntos e Função. 
A – B= A∖ 𝑩 Diferença de 
Conjuntos 
Teoria dos Conjuntos e Inequações 
𝑪𝑨
𝑩 = A – B Complementar de 
B em A 
Teoria dos Conjuntos 
�̅� = A’ = AC = ~A Complementar 
em relação ao universo 
Teoria dos Conjuntos 
n(A) Nº de elementos 
ou Cardinalidade do 
conjunto A 
Teoria dos Conjuntos 
P(A) Conjunto das 
Partes de A 
Teoria dos Conjuntos 
 
Ufa! Quanta coisa! Como disse anteriormente: não se preocupe em gravar, neste primeiro 
momento. Atenha-se apenas em saber que existe! Ok? 
Ressalto que para esse capítulo, não selecionamos questões, tendo em vista ser apenas 
informações a serem utilizadas nas resoluções de problemas mais à frente. 
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3. TEORIA ELEMENTAR DOS CONJUNTOS 
Vamos iniciar nossos estudos revendo e reforçandonoções elementares de Teoria dos 
Conjuntos. Esse tópico será muito útil na resolução de questões no decorrer do nosso curso, em 
especial nos tópicos: função, inequação e nas questões de probabilidade! 
Por já termos visto, no capítulo anterior, os símbolos matemáticos mais usados e úteis para o 
seu concurso, daqui para frente não irei me preocupar muito em explicá-los. Excepcionalmente, farei 
um breve comentário caso determinado símbolo não tenha sido objeto de explicação em momento 
anterior. Isso vai ajudar vocês a se acostumarem com o linguajar matemático. 
A linguagem de conjuntos é base para a fundamentação de boa parte da matemática, além 
de ser um facilitador para a interpretação de problemas matemáticos. Podemos dizer que é uma 
espécie de alfabetização matemática. 
Por isso, faz-se necessário uma abordagem detalhada, antes de vermos todos os tópicos do 
edital em potencial. 
3.1. CONCEITOS BÁSICOS 
Uma equação do primeiro grau é algo do tipo: 
Noções Primitivas são aquelas aceitas sem uma certa definição formal, ou seja, sua 
construção é feita a partir do cotidiano alinhado aos exemplos ilustrativos, que definem suas 
principais características. 
Em outras palavras, tudo que tem um conceito de caráter primitivo, sua definição é vaga 
(não existe). Por este motivo, são feitas convenções para atender esta falta de informação. Não 
entrarei em discussões axiomáticas para determinar certas definições, pois isto não cabe ao objetivo 
do nosso curso. 
Dentro da Teoria de Conjuntos, a linguagem matemática aceita três conceitos primitivos, são 
eles: conjunto, elemento e pertinência de elemento a um conjunto. 
Vamos entender cada um deles? 
a) Conjuntos: 
Por ser um conceito primitivo, ou seja, não possuir uma definição precisa, entendemos que é 
toda reunião ou agrupamento de coisas bem definidas. Sua representação matemática, 
usualmente, é feita por letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Uma outra característica dos Conjuntos, bastante útil na resolução de questões, é o fato de 
todos os conjuntos não vazios, ao serem listados, serem escritos com um par de chaves em suas 
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extremidades. Preste bastante atenção: sempre o par de chaves mais ao extremo da representação 
é que determinará o conjunto. Em outras palavras, tudo que estiver entre este par será 
considerado elemento. 
Imaginemos um determinado conjunto A formado pelos números naturais maiores que 0 e 
menores que 6. Uma das possíveis formas de representação matemática seria:  1;2;3;4;5A = . 
Perceba que a letra maiúscula A representa o nosso conjunto. Observe ainda que o par de chaves 
delimita quais elementos pertence a ele. 
 Resumindo: 
➢ A: conjunto nomeado por uma letra maiúscula do alfabeto. 
➢ Par de chaves: delimita o conjunto dado. 
➢ 1, 2, 3, 4, 5: são elementos do conjunto A. 
 
Você deve estar se perguntando o porquê dos números 0 e 6 não pertencerem 
ao conjunto A. Explico da seguinte forma: o enunciado pediu números naturais maiores 
que 0, ou seja, o próximo será o 1, assim como menores que 6, que por consequência é 
o 5. Tranquilo? Show! 
 
Imaginemos outro conjunto, agora representado pela letra B, formado pelos números 
pertencentes ao conjunto dos números inteiros compreendidos no intervalo fechado (quando se diz 
fechado, entende-se que inclui as extremidades) de 0 a 5. Assim, uma das possíveis formas de 
representação matemática é:  0;1;2;3;4;5B = . Perceba que a letra maiúscula B representa o nosso 
conjunto. Observe ainda que o par de chaves delimita quais elementos pertence a ele. 
 Resumindo: 
• B: conjunto. 
• Par de chaves: delimita o conjunto dado. 
• 0, 1, 2, 3, 4 , 5: são elementos do conjunto B, que são separados por vírgulas. 
 
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Você deve estar se perguntando o porquê dos números 0 e 5, nesse caso, 
pertencerem ao conjunto. Explico da seguinte forma: o enunciado pediu números 
naturais compreendidos no intervalo fechado de 0 a 5, ou seja, quando se diz fechado, 
subtende-se que inclui as extremidades do intervalo. De modo diverso, se a questão 
pedisse com base em um intervalo aberto nas extremidades, estes números não 
entrariam no cômputo da questão. 
 
b) Elemento: 
São os objetos (coisas ou seres) bem definidos, que compõe um conjunto não vazio. 
Comumente, as representações destes elementos são feitas por letras minúsculas. Uma outra 
característica na descrição dos elementos de cada conjunto é a de separá-los por meio de vírgulas 
ou ponto e vírgula. Perceba que, no seguinte exemplo, o conjunto C é formado por elementos que 
são as vogais do nosso alfabeto:  ; ; ; ;C a e i o u= . 
Resumindo: 
➢ C: conjunto 
➢ Par de chaves: delimita o conjunto dado 
➢ a, e, i, o, u: são elementos do conjunto C. 
 
c) Pertinência de Elemento a um Conjunto: 
Essa relação serve para verificar se determinado objeto é ou não elemento de um dado 
conjunto. A pertinência de um elemento a um determinado conjunto é representado pelos símbolos 
∈ (pertence) ou ∉ (não pertence), respectivamente. 
 
Não existe relação de pertinência de subconjunto para conjunto. Essa relação só 
é utilizada para avaliações de elemento para conjunto. 
 Imaginemos o seguinte conjunto:   0;1;2; 3A = . A partir do exemplo, podemos extrair as 
seguintes informações: um conjunto nunca será elemento dele mesmo e nos casos de um conjunto, 
por suas características, ser também elemento de outro conjunto, podemos sim, de forma 
excepcional e ponderada, fazer a relação de pertinência. 
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Resumindo: 
➢ A ∉ A: (Pois a Pertinência não é utilizada de Conjunto para Conjunto) 
➢ {3} ∈ A: (Relação direta de Elemento para Conjunto) 
➢ {1} ∉ A: (Pois a Pertinência não é utilizada de Subconjunto para Conjunto) 
 
Vejamos alguns exemplos desta relação muito recorrente em provas, com base nos 
conceitos vistos anteriormente, ok? 
 
 
1. (Exercício - Modelo) 
Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo sabendo-se que 
A = {1, 2, 3, 4}, 
B = {4, 5, 6}, 
C = {{1}, {2, 3}, {1, 2, 3, 4}}, 
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
a) 1  D ( ) 
b) 3  B ( ) 
c) 1  C ( ) 
d) 4  A ( ) 
e) {1}  C ( ) 
f) {2, 3}  C ( ) 
g) {{1}} C ( ) 
h) {1}  D ( ) 
i) {4,5}  D ( ) 
j) 5  B ( ) 
 
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Comentários: 
Observe que a questão nos traz assertivas com relações de pertinência, ou seja, análises de 
elementos para conjuntos. Desta forma, basta sabermos se o tal “elemento” é ou não objeto dos 
conjuntos apresentados. 
 
Na letra a, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento 1 está de fato descrito 
no conjunto D, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
Na letra b, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento 3 de fato NÃO está 
descrito no conjunto B, ou seja, não pertence ao conjunto mencionado. 
 
Na letra c, temos: assertiva falsa, tendo em vista que o elemento 1 NÃO está descrito no 
conjunto C. Observe ainda, que o elemento 1 é diferente de {1}. Este último sim, é elemento do 
conjunto mencionado. 
 
Na letra d, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento 4 está de fato descrito 
no conjunto A, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
Na letra e, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento {1} está de fato 
descrito no conjunto C, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. Fique atento que apesar do 
elemento aparecer com um par de chaves, ele possui característicade elemento, por estra descrito, 
separado por um par de vírgulas e possuir um par de chaves mais ao extremo, que delimita o 
conjunto C. 
 
Na letra f, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento {2,3} está de fato 
descrito no conjunto C, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
Na letra g, temos: assertiva falsa, tendo em vista que o elemento {{1}} NÃO está descrito no 
conjunto C, ou seja, não pertence ao conjunto mencionado. Observe que o elemento {1} que 
pertence ao conjunto. Digo ainda que {{1}} é subconjunto de C, mas este ponto será apresentado 
mais à frente. 
 
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Na letra h, temos: assertiva falsa, tendo em vista que o elemento {1} NÃO está descrito no 
conjunto D, ou seja, não pertence ao conjunto mencionado. Observe que o elemento 1 que pertence 
ao conjunto. Digo ainda que {1} é subconjunto de D, mas este ponto será apresentado mais à frente. 
 
Na letra i, temos: assertiva falsa, tendo em vista que o elemento {4,5} NÃO está descrito no 
conjunto D, ou seja, não pertence ao conjunto mencionado. Observe que os elementos 4 e 5 que 
pertencem ao conjunto. Digo ainda que {4,5} é subconjunto de D, mas este ponto será apresentado 
mais à frente. 
 
Na letra j, temos: assertiva falsa, tendo em vista que o elemento 5 de fato está descrito no 
conjunto B, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
Gabarito: a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F h) F i) F j) F 
2. (Exercício - Modelo) 
Dado o conjunto     P 0, 0 , ,=   , considere as afirmativas: 
I)  0 P 
II)  0 P 
III) P 
 
Com relação a estas afirmativas conclui-se que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas a I é verdadeira. 
c) apenas a II é verdadeira. 
d) apenas a III é verdadeira. 
e) todas são falsas. 
 
 
Comentário: 
Observe, abaixo, quais dados podemos inferir do enunciado da questão. 
✓ P → é o conjunto a ser analisado 
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✓ 0, {0}, ∅, {∅} → são elementos do conjunto P 
 
Já sabemos que para fazer relações de elemento para conjunto deve-se utilizar a 
PERTINÊNCIA. 
Passaremos analisando cada item, ok? 
No item I, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento {0} está de fato 
descrito no conjunto P, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
No item II, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento {0} está contido no 
conjunto P, ou seja, ele é um subconjunto. Perceba que ele deriva do elemento 0. 
 
No item III, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento ∅ está descrito no 
conjunto A, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
 
Gabarito: A 
 
 
3.2 – DESCRIÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS 
Em linhas gerais, existem três formas de representação de conjuntos, quais sejam: 
a) Enumeração, Listagem ou Forma Tabular: 
Nessa forma de representação, os conjuntos são descritos, listando todos seus elementos, 
que estarão sempre entre chaves. 
 a;b;c A =
 
Das aplicações acima, podemos deduzir que, cada par de chaves, mais ao extremo possível, 
representa um determinado conjunto. Vamos a outro exemplo: 
  1; 2 ;3 B =
 
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O conjunto acima possui os elementos: 1; {2}; 3. Perceba que o elemento {2} também é um 
conjunto, que, excepcionalmente, está sendo tratado como elemento de B, ou seja: {2} ∈ A. Observe 
que o conceito de elemento é relativo. Por exemplo, um conjunto pode ser elemento de outro 
conjunto. 
b) Característica, Propriedade, Compreensão ou Forma Construtiva: 
 É uma forma sintética de listagem. Nesse caso, o conjunto é representado por uma 
propriedade ou característica comum a todos os elementos. Veja! 
   / é vogal ou /1 5A x x B x x= =   
 
É de fácil percepção que o conjunto A é formado pelas vogais do nosso alfabeto. Por sua vez, 
o conjunto B, é formado pelos números naturais pertencentes ao intervalo fechado de 1 a 5. Essa é 
a leitura correta feita nas representações dos conjuntos acima. Perceba que a representação por 
Característica ou Propriedade é uma forma bem reduzida de apresentar um conjunto com muitos 
elementos. Ou seja:    ; ; ; ; ou 1;2;3;4;5A a e i o u B= = 
c) Diagrama de Venn-Euler 
 Nada mais é que o diagrama que possui os elementos descritos dentro de uma linha 
poligonal fechada, em regra, um círculo que os contorna. 
 
Cada objeto descrito dentro do diagrama pertencerá ao conjunto mencionado. Por sua vez, 
não pertencerão ao conjunto, aqueles elementos descritos fora desta linha poligonal. 
4 – CONJUNTOS NOTÁVEIS 
a) Conjunto Vazio: 
É aquele conjunto que não possui elemento algum. Isso se faz possível pelo fato deste 
conjunto ser definido por uma sentença contraditória. Observe! 
 
 
 / é aluno do Estratégia que não passa no ENEM
 =

=

=
A
A
A x x
 
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Muito cuidado com as pegadinhas de prova. O Vazio dentro de um par de chaves 
TORNA-SE ELEMENTO, ou seja, o dado conjunto deixa de ser Conjunto Vazio e passa a 
ser Conjunto Unitário. Veja: 
  Conjunto Unitário com o (vazio) como elementoA =    
 
b) Conjunto Unitário: 
É o conjunto no qual apenas um elemento satisfaz as características apresentadas. 
   / é par e primo 2B x x B=  =
 
 
c) Conjunto Universo: 
É o conjunto fundamental para a determinação das soluções de um problema. Este conjunto 
possui todos os elementos possíveis, por ser o mais amplo. Sua representação, em regra, é dada pela 
letra maiúscula U. Observe a resolução do exemplo abaixo no campo do Reais: 
2 24 4 4 2 2 20 ;
9 9 9 3 3 3
x x x x S
 
− =  =  =   =   = − + 
  
 
Ou seja, a equação acima possui duas soluções nos reais (conjunto universo), que possui 
todos os tipos de números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Perceba que, caso o conjunto 
universo da questão fosse o conjunto dos naturais, o problema não possuiria solução, pelo simples 
fato de as soluções não pertencerem a este conjunto. 
 
Quando determinada questão não mencionar o conjunto universo, deve-se 
considerar o mais amplo possível, para fins de resolução. 
 
 
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d) Conjunto Finito: 
É todo conjunto que possui uma quantidade limitada de elemento, ou seja, fazendo-se o 
processo de contagem comum destes elementos, chega-se ao fim. Um exemplo simples seria o 
conjunto  /1 5E x x=    , que possui 3 elementos: 2, 3 e 4. 
 
e) Conjunto Infinito: 
É todo conjunto que possui uma quantidade ilimitada de elementos, ou seja, não se dá para 
contar pelo processo comum. Como por exemplo:  / x 2E x=   
 
f) Conjunto Solução: 
Também chamado de conjunto verdade, é o conjunto das respostas (soluções) de um 
problema dado. Sua representação é dada pela letra maiúscula S. 
 
4
2 4 0 2 4 2 2
2
x x x x S− =  =  =  =  =
 
 
g) Conjuntos Iguais: 
Por definição, dois conjuntos são ditos iguais quando possuírem os mesmos elementos, 
independente da ordem que estejam listados, bem como da quantidade apresentada. Veja um 
exemplo de conjuntos iguais. 
 
 
1,2,3,4
2,3,4,1
A
B
=

=
 
 
h) Conjuntos Diferentes ou Desiguais: 
Dois conjuntos são ditos diferentes quando pelo menos um dos elementos que pertença a 
um dos conjuntos não pertença ao outro conjunto. 
 
 
 
1;2;3;4
2;3;4
C
C D
D
=
 
=
 
 
Observe que o elemento 1 não pertence ao conjunto D, logo,C ≠ D. 
 
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i) Conjuntos Disjuntos: 
Dois conjuntos são ditos disjuntos quando não possuem interseção, ou seja, não existe 
elemento em comum. 
 
 Dessa forma, sua interseção é vazia. 
 
j) Subconjunto: 
Diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A for também elemento 
de B. Quando A é subconjunto de B, dizemos que A está contido em B (A ⊂ B), B contém A (B ⊃ A) 
, todo A é B, sempre que ocorre A ocorre B, quando ocorre A ocorre B, ou até A é parte de B. Fique 
ligado! Os símbolos acima representam as relações de inclusão/continência. Relações essas que só 
podem ser feitas de subconjunto para conjunto e vice-versa. Veja um exemplo prático! 
 
 
 
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Todo subconjunto também é considerado um conjunto e todo conjunto é subconjunto, 
no mínimo, do conjunto Universo. 
 
k) Conjunto das Partes ou Conjunto Potência: 
 É o conjunto formado pelos subconjuntos de dado conjunto. Sua representação é dada pela 
letra maiúscula P. 
 Imaginemos o conjunto A formado pelos elementos 1, 2 e 3, assim o Conjunto das Partes 
de A será:               ( ) ; 1 ; 2 ; 3 ; 1;2 ; 1;3 ; 2;3 ; 1;2;3P A =  . Observe que o ∅ é subconjunto de 
qualquer conjunto. Repare ainda que todo conjunto é subconjunto dele próprio e que todo 
subconjunto (elemento do conjunto das partes) fica listado com um par de parênteses mais ao 
extremo. 
 
5 – OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
a) União ou Reunião: 
 Dados dois conjuntos A e B, define-se A ∪ B como o conjunto formado por todos os 
elementos que pertencem ao conjunto A OU B. 
 
 / ou A B x x A x B   
 
 
Fique atento ao conectivo “ou”, pois não possui caráter exclusivo, ou seja, o elemento x pode 
pertencer somente a A, somente a B ou a ambos. Veja no diagrama como ficaria a representação da 
operação entre dois conjuntos A e B. 
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     a;c b;c;d a;b;c;dA B A B=  = →  = 
 
b) Interseção ou Intersecção: 
 Esta operação, representada por A ∩ B, define o conjunto formado pelos elementos 
comuns ao conjunto A e ao conjunto B. 
 
 
 / e A B x x A x B   
 
Fique atento ao conectivo “e”. Este possui caráter concomitante, ou seja, o elemento x deve 
pertencer tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. Veja no diagrama como ficaria a representação 
da operação entre dois conjuntos A e B. 
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     a;c b;c;dA B A B c=  = →  = 
 
 
Dois conjuntos são disjuntos quando sua interseção for VAZIA, ou seja, quando não 
possuir elemento. 
 
c) Diferença: 
Considere dois conjuntos A e B quaisquer, define-se A – B o conjunto formado por elementos 
de A que não pertencem a B. Ou seja: 
 
   / /A B x x A x B B A x x A x B− =    − =    
 
 
 
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A diferença de conjuntos não exige que B ⊂ A. Essa condição só se faz presente na 
operação complementar de conjuntos, que será vista a seguir. 
 
c) Complementar: 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, com a seguinte condição B ⊂ A, denomina-se 
complementar de B em relação a A, o conjunto dos elementos que se deve acrescentar a B para 
que este fique igual ao A. 
Note que o complementar de B em A, representado por 𝐶𝐴
𝐵 ou 𝐶𝐴(B) , só está definido quando 
B ⊂ A. 
 
 
 
 
 
 
B
AC A B= − 
 
Todas essas representações são sinônimas, ou seja, representam o complementar de A em 
relação ao universo. Cabe ressaltar que esse complementar está definido tendo em vista A ser 
subconjunto de (Conjunto Universo). Vamos nos atentar às propriedades do complementar 
• P1: U= 
• P2: U = 
Por meio dessas propriedades surgem duas propriedades que caem muito em prova: as Leis 
de De Morgan. 
 
C C
C C
A B A B A B
A B A B A B
 =  = 
 =  = 
 
 
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d) Diferença Simétrica: 
 Dados dois conjuntos A e B, define-se A ∆ B, o conjunto formado por todos os 
elementos dos conjuntos A e B, mas que não pertençam a ambos ao mesmo tempo. Assim, na 
diferença simétrica, o conjunto é formado por elementos que pertencem só ao conjunto A e só ao 
conjunto B. 
 
( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B A B = −  − =  −  
 
6 – CARDINALIDADE DA UNIÃO ENTRE CONJUNTOS – PRINCÍPIO DA INCLUSÃO E EXCLUSÃO 
Cardinalidade da União de Conjuntos: 
Chama-se cardinalidade de um conjunto A (finito), o número de elementos desse dado 
conjunto. Podemos ainda encontrar, segundo o Princípio da Inclusão e Exclusão, a cardinalidade da 
União de dois ou mais conjuntos. Irei apresentar somente até três conjuntos, tendo em vista ser o 
suficiente para o seu certame. Antes de tudo, quero destacar algumas formas de representação, 
veja: ( ) ; N ; # ; Card An A A A . 
É fácil notar que a cardinalidade do conjunto vazio é zero. Podemos ainda perceber que, se A 
e B forem disjuntos, temos a cardinalidade da União dada por: 
(A B) (A) (B)A B n n n =→  = +
 
 
Por sua vez, nos casos de A e B não serem disjuntos, temos que: 
(A B) (A) (B) (A B)n n n n = + − 
 
 
 
 
 
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Vamos dar uma olhada como esses tópicos são cobrados? 
 
 
 
3. (Exercício - Modelo) 
Considere os seguintes conjuntos: A = {1, 2, {1,2}} B = {{1}, 2} e C = {1, {1}, {2}} 
Assinale abaixo a alternativa falsa: 
a) A  B = {2} 
b) B  C = {{1}} 
c) B – C = A  B 
d) B  A 
e) A  P(A) = {{1,2}}, onde P(A) é o conjunto dos subconjuntos de A. 
 
 
Comentário: 
Vamos ver que dados podemos inferir do enunciado da questão. 
 
✓ A = {1, 2, {1,2}} → é um dos conjuntos serem analisados 
✓ B = {{1}, 2} → é um dos conjuntos serem analisados 
✓ C = {1, {1}, {2}} → é um dos conjuntos serem analisados 
Já sabemos que para fazer relações de elemento para conjunto deve-se utilizar a 
PERTINÊNCIA. 
Passaremos analisando cada alternativa, para acharmos a falsa, ok? 
Na letra a, temos: assertiva verdadeira, pois, A  B = {2} , que é o elemento em comum. 
Na letra b, temos: assertiva verdadeira, pois, B  C = {{1}}, que é o elemento em comum. 
Perceba que a resposta tem um duplo par de chaves, isto se dá pelo fato da resposta da operação 
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Interseção ser sempre precedida de um par de chaves, que somada a já existente do elemento, 
torna-se um duplo par. 
Na letra c, temos: assertiva verdadeira, pois, B – C = {2} = A  B, que são conjuntos iguais. 
Na letra d, temos: assertiva falsa, pois, B ⊄ A , tendo em vista nem todos os elementos de B 
pertencerem ao conjunto A. 
Na letra e, temos: assertiva verdadeira, pois, A  P(A) = {{1,2}}, onde P(A) é o conjunto dos 
subconjuntos de A. 
 
Gabarito: D 
4. (Exercício - Modelo) 
Sobre A, B, C, três subconjuntos quaisquer do universo, considere as proposições: 
1) A   =  
2) A  U = U 
3) A  A = A 
4) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
5)   A 
6) A – B = {x  U / x  A e x  B} 
 
Das proposições acima são verdadeiras: 
a) 3, 5 e6 
b) 2, 3 e 5 
c) 1, 3 e 5 
d) 2, 3 e 4 
e) todas 
Comentário: 
Já conhecemos algumas propriedades da Teoria dos Conjuntos. Podemos então, analisar cada 
assertiva. 
Na 1, temos: assertiva falsa, pois, A   = A, tendo em vista que na União o conjunto Vazio 
é elemento neutro. 
 
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Na 2, temos: assertiva verdadeira, pois, A  U = U, tendo em vista que todo conjunto, a 
exemplo do conjunto A, é subconjunto do Universo, assim, a operação União resulta o maior deles. 
 
Na 3, temos: assertiva verdadeira, pois, A  A = A, devido a propriedade da Idempotência. 
 
Na 4, temos: assertiva falsa, pois, A  (B  C) = A  B  C. O que difere da afirmativa do 
enunciado. 
 
Na 5, temos: assertiva verdadeira, pois, o conjunto vazio está contido em qualquer outro 
conjunto. 
 
Na 6, temos: assertiva falsa, pois, A – B = {x  U / x  A e x ∉ B}. Ou seja, a diferença de 
conjuntos A – B, resulta elementos que pertençam a A, mas não a B. 
 
Gabarito: B 
5. (Exercício - Modelo) 
Considerando os conjuntos A= {x; y; z} e B= {p; u; v; x}, assinale a alternativa que apresenta o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B. 
a) {x} 
b) {p; u; v} 
c) {v; x; y; z} 
d) { } 
e) {p;u;v;x;y;z} 
 
Comentário: 
Já conhecemos algumas Operações de Conjuntos. Podemos então, analisar a questão sem 
mais problemas. 
Quando o enunciado diz: conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou 
pertencem a B, ele está querendo que encontre os elementos da União destes dois conjuntos. 
Assim, temos: 
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A∪B = {x; y; z} ∪ {p; u; v; x} = {p;u;v;x;y;z} 
Gabarito: E 
6. (Exercício - Modelo) 
Dados os conjuntos A, B e C. Sabendo que A ∩ B = Ø e C = A ∪ B, é correto afirmar que 
a) B ∩ C = C. 
b) A ∩ C = A. 
c) A ∪ C = A. 
d) B ∪ C = Ø. 
e) A ϵ C. 
 
Comentário: 
Quando o enunciado nos diz que A ∩ B = Ø, isso implica que os conjuntos são disjuntos, ou 
seja, não possuem elementos em comum. Assim, a União destes conjuntos nada mais será que a 
junção de todos os elementos. Desta forma, podemos afirmar que o conjuntos C possui todos os 
elementos de A e de B, ao mesmo tempo. 
Com as informações acima, podemos concluir que o conjunto C contém os conjuntos A e B. 
Vamos ilustrar elementos para estes conjuntos, para ficar mais simples. Simbora! 
 
✓ A = {1} 
✓ B = {2} 
✓ C = A∪B = {1, 2} 
 
Opa! Ficou mais simples, né! Vamos agora analisar cada assertiva. 
Na letra a, temos: assertiva falsa, pois, B ∩ C = {2}. 
Na letra b, temos: assertiva verdadeira, pois, A ∩ C = {1}. 
Na letra c, temos: assertiva falsa, pois, A ∪ C = {1, 2}. 
Na letra d, temos: assertiva falsa, pois, B ∪ C = {1, 2}. 
Na letra e, temos: assertiva falsa, pois, A ⊂ C , pois trata-se de relação entre conjuntos. 
 
Gabarito: B 
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7. (Exercício - Modelo) 
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. O número de elementos de CBA é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 5. 
 
Comentário: 
Quando o enunciado nos diz CBA, ele quer saber o complementar de A em relação a B. Ou seja, 
quais elementos faltam ao A para que ele se iguale ao conjunto B. 
Assim, temos que: 
CBA = B – A = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 3} = {4, 5}. 
Ou seja, faltam dois elementos. 
 
Gabarito: C 
8. (Exercício - Modelo) 
Dado o conjunto A = {1, 2, {1}, {2}, {3}, {1,2}} e as afirmações: 
I) {1}⊂A 
II) {1} ∈ A 
III) {1,2,3} ⊂ A 
IV) 3 ∈ A 
Considerando V (verdadeiro) e F (falso) pode-se dizer que as afirmações I, II, III e IV são, 
respectivamente: 
a) V, F, V, V 
b) V, V, F, F 
c) V, F, F, V 
d) V, V, V, F 
 
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Comentário: 
Vamos analisar cada assertiva. OK? 
Na 1, temos: assertiva verdadeira, pois, se 1 ∈ A, então {1} ⊂ A, que é subconjunto de A. 
Na 2, temos: assertiva verdadeira, pois, {1} ∈ A. Este elemento está de fato descrito no 
conjunto. 
Na 3, temos: assertiva falsa, pois o subconjunto {1,2,3} não é possível ser formado com os 
elementos pertencentes a A. 
 
Na 4, temos: assertiva falsa, pois o elemento 3 não está descrito no conjunto A. Fique 
atento: 3 é diferente de {3}. 
 
Gabarito: B 
9. (Exercício - Modelo) 
Dados três conjuntos M, N e P não vazios, tais que M – N = P. Considere as afirmativas: 
I) P ∩ N = Ø 
II) M ∩ P=P 
III) P ∪ (M ∩ N) = M 
 
Com relação a estas afirmativas, conclui-se que: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Somente a II e a III são verdadeiras 
c) Somente a I e a II são verdadeiras 
d) Somente a I e a III são verdadeiras 
e) Nenhuma é verdadeira 
 
Comentário: 
Vamos utilizar a técnica de inclusão de valores para os conjuntos, para que possa ficar mais 
simples a explicação. Blz? 
Imaginemos, então: 
✓ M = {1, 2} 
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✓ N = {2} 
Assim, a diferença entre esses conjuntos ficaria: M – N = P = {1} 
Passaremos agora a analisar cada assertiva apresentada pela banca. 
Na 1, temos: assertiva verdadeira, pois, P ∩ N = Ø. Isso se verifica pelo fato dos conjuntos 
serem disjuntos. 
Na 2, temos: assertiva verdadeira, pois, M ∩ P = {1}. 
 
Na 3, temos: assertiva verdadeira, pois, P ∪ (M ∩ N) = {1} ∪ {2} = {1, 2} = M 
 
Gabarito: A 
10. (Exercício - Modelo) 
Se A  B = {0, 1, 2, 3, 4}, A  B = {2, 3} e A – B = {0, 1}, então A e B serão : 
a) A = {1,2,3} e B = {0,2,3,4} 
b) A = {2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4} 
c) A = {2, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3} 
d) A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} 
e) A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3} 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada dado fornecido pelo enunciado. 
✓ A – B = {0, 1} → mostra os elementos que só pertencem ao conjunto A 
✓ A  B = {2, 3} → mostra os elementos comuns aos dois conjuntos. 
Podemos concluir que: 
A = {0, 1, 2, 3} 
Sabendo que A  B = {0, 1, 2, 3, 4}, e que A = {0, 1, 2, 3}, pode-se concluir que o elemento 4 
pertence ao conjunto B. Assim, B = {2, 3, 4}. 
Gabarito: D 
 
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Segue agora dois pontos muito importante: Operações com Intervalos e Ordenação de 
Reais. Estamos chegando ao fim de nossa aula. Não desanime! Fé na missão, AUDAZ! 
4 – INTERVALOS REAIS 
1 – INTRODUÇÃO 
 
A partir de agora entramos nos estudos dos intervalos reais. Você deve estar pensando: “Mas o que 
tem a ver intervalos reais com Teoria dos Conjuntos? ” Eu respondo: TUDO! 
 Neste novo tópico, iremos trabalhar em especial, com: subconjuntos dos números reais, 
representados por meio de retas, que são (levando em consideração o conceito geométrico) um conjunto 
de pontos. 
 Perceba que uma reta real numérica possui infinitos pontos e cada ponto desse representa 
um número real. Assim, é de suma importância saber realizar operações entre esses conjuntos, em especial 
para soluções de equações, inequações, funções etc. 
 Imaginemos uma reta orientada para a direita, ou seja, os números crescem à medida em que 
se afastam da origem (ZERO) em direção à orientação da reta. A partir dessa reta e dessa origem, vamos 
selecionar quatro pontos quaisquer a, b, c e d de modo que eles sejam distintos entre si. 
 Lembre-se que, se estamos diante de uma reta numérica, ou seja, cada ponto selecionado 
representa um número real. Assim, temos a seguinte constatação: 
 
 A partir deste exemplo modelo, podemos tirar algumas conclusões,quais sejam: 
0
0
 menor elemento por está mais distante à esquerda da origem (zero).
maior elemento por está mais distante à direita da origem (zero)
0
0
      



   


 

   

  
a R b R c R d R
a
b c d
a
d
a b c d
b c d
 
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 Ainda pensando na ordenação dos reais, podemos entender que, dados dois números 
reais x e y, uma e apenas uma das três seguintes é verdadeira. 
x = y ou x > y ou x < y 
 
 Estas relações formam a Tricotomia dos Números Reais. A partir delas recorrem 
algumas propriedades, quais sejam: 
 0
0
0
=  − =

  − 
   − 
x y x y
x y x y
x y x y
 
 
Pensando agora em Intervalos Reais, vamos partir de uma reta real com três elementos em 
destaque: os elementos a e b, bem como a origem (zero). Preparados?! 
 
Para o nosso estudo de Intervalos Reais, tenha em mente que os elementos a e b que 
representam as extremidades superiores e inferiores, respectivamente. Saiba que o espaço 
delimitado por estas extremidades é chamado de INTERVALO REAL, o qual possui infinitos números 
reais 
 
 Na figura acima temos: 
➢ b: extremidade inferior 
➢ a: Extremidade superior 
➢ 0: Origem 
➢ Segmento em vermelho: intervalo real que possui infinitos elementos (números) 
 
 Em outras palavras, o intervalo real é o modo mais prático de se representar um 
conjunto numérico com muitos elementos. Vamos estudar cada um deles? Então, vamos! 
 
 
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2 – INTERVALOS 
Para entendermos os diversos tipos de intervalos, precisamos adotar dois números reais a e 
b, sendo a < b. A partir de agora, vamos considerar alguns subconjuntos importantes dos reais. 
Beleza? 
1º) O conjunto formado pelos reais compreendidos entre a e b, não incluindo a e b, é 
denominado intervalo aberto e representado por ]a ; b[ ou (a ; b). Assim: 
  ( )  a,b a,b x a x b= =   
 
Representação Gráfica: 
 
Note que, por se tratar de intervalo aberto, as extremidades ficam com a “bolinha aberta”. 
 
2º) O conjunto formado por a e b e pelos reais compreendidos entre a e b é denominado 
intervalo fechado e representado por [a ; b]. Assim: 
   a,b x a x b=   
 
Representação Gráfica: 
 
Note que, por se tratar de intervalo que inclui os elementos a e b, as extremidades ficam com 
a “bolinha fechada”. 
 
3º) O conjunto formado pelos reais compreendidos entre a e b, não incluindo a, é denominado 
intervalo aberto à esquerda e fechado à direita e representado por (a ; b]. Assim: 
  (   a,b a,b x a x b= =   
 
 
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Representação Gráfica: 
 
Note que, por se tratar de intervalo que inclui somente o elemento b, esta extremidade fica 
com a “bolinha fechada”. 
 
4º) O conjunto formado pelos reais compreendidos entre a e b, não incluindo b, é denominado 
intervalo aberto à direita e fechado à esquerda e representado por [a ; b). Assim: 
   )  a,b a,b x a x b= =   
 
Representação Gráfica: 
 
Note que, por se tratar de intervalo que inclui somente o elemento a, esta extremidade fica 
com a “bolinha fechada” 
 
5º) Intervalo fechado à esquerda e aberto em mais infinito: 
   )  a, a, x x a+ = + =  
 
 
Representação Gráfica: 
+∞ 
 
6º) Intervalo aberto à esquerda e aberto em mais infinito: 
  ( )  a, a, x x a+ = + =  
 
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Representação Gráfica: 
+∞ 
 
7º) Intervalo aberto em menos infinito e fechado à direita: 
  (   ,a ,a x x a− = − =  
 
Representação Gráfica: 
-∞ 
 
8º) Intervalo aberto em menos infinito e aberto à direita: 
  ( )  ,a ,a x x a− = − =  
 
Representação Gráfica: 
-∞ 
 
 
Os símbolos -∞ (lê-se : menos infinito) e +∞ (lê-se: mais infinito) não representam 
números reais. Note nos intervalos acima que eles sempre são abertos nessas 
“extremidades” 
 
 
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É, meu querido. Muita coisa, não?? Mas não se preocupe! Basta praticar bastante. Sem 
medo de ser feliz. Resolva todas as questões de provas anteriores bem como as questões similares. 
Fazendo assim, IMPOSSÍVEL dar errado! Preparado para mais? Vamos que vamos! 
3 – OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS 
Assim como na Teoria dos Conjuntos, na qual aprendemos operações entre conjuntos finitos, 
neste capítulo iremos entender como realizar as operações de união, interseção e diferença de 
intervalos reais. Para um bom entendimento, é necessário que a teoria seja explícita a partir de um 
exemplo prático. Assim, tomemos os exercícios abaixo como motivadores. 
Imaginemos dois intervalos reais A e B, tais que: 
A = [0 ; 7[ B = [1 ; 5[ 
 
a) União de Intervalos: 
Nesta operação, devemos descrever cada conjunto em sua respectiva reta real, para que a 
partir daí possamos fazer a Operação da União em si. Já é sabido que, na União, o “maior” conjunto 
sempre vence. Ou seja, aquele que possui as maiores extremidades em valores absolutos. Vale 
destacar que, além do dos elementos do conjunto vencedor, o resultado deverá também possuir os 
elementos que não são comuns a ele. Vejamos um exemplo! 
 
Assim, (A ∪ B) = [0 ; 7[ , que representa o conjunto de maior extremidade. 
 
b) Interseção de Intervalos: 
Nesta operação, devemos descrever cada conjunto em sua respectiva reta real, para que a 
partir daí possamos fazer a Operação da Interseção em si. Já é sabido que, na Interseção, o “menor” 
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conjunto sempre vence. Ou seja, aquele que possui as menores extremidades em valores absolutos. 
Vale destacar que, no resultado desta operação, todos os elementos deverão pertencer a todos os 
conjuntos mencionados. 
Vejamos um exemplo! 
 
Assim, (A ∩ B) = [1 ; 5[ , que representa o intervalo comum aos dois conjuntos. 
 
c) Diferença de Intervalos: 
Nesta operação, devemos descrever cada conjunto em sua respectiva reta real, para que a 
partir daí possamos fazer a Operação Diferença em si. Já é sabido que, na Diferença de Conjuntos, o 
que interessa são os elementos que pertençam a somente um dos conjuntos mencionados. Vale 
destacar que, o resultado deverá possuir os elementos que pertençam ao primeiro, mas não ao 
segundo conjunto. 
Vejamos um exemplo! 
 
Assim, (A – B) = [0; 1[ ∪ [5; 7[ , que representa os intervalos só pertencentes ao conjunto A, 
ou seja, que não estão em B. 
 
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11. Numa escola existem 195 alunos, 55 estudam física, 63 estudam química e 100 alunos não 
estudam nenhuma das duas matérias. Os alunos que estudam as duas matérias são: 
a) 23 
b) 25 
c) 95 
d) 32 
e) 40 
 
12. Marcelo resolveu corretamente 90% das questões da prova e André 70%. Se nenhuma 
questão da prova ficou sem ser resolvida pelo menos por um deles, e 18 delas foram resolvidas 
corretamente pelos dois podemos concluir que a prova constava de: 
a) 148 questões 
b) 100 questões 
c) 50 questões 
d) 30 questões 
e) 20 questões 
 
13. No diagrama seguinte a região hachurada representa o conjunto. 
 
 
 
 
 
a) ( )A B C  
b) ( )B C A − 
 
C
A
B
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c) ( )A B C  
d) ( )A B C−  
e) ( )A B C− − 
 
14. Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? 
a) 100 
b) 120 
c) 140 
d) 160 
e) 180 
 
15. Sejam A , B e C conjuntos finitos, o número de elementos de A  B é 25 , o número de 
elementos de A  C é 15 e o número de elementos de A  B  C é 10. Então o número de elementos 
de A  (B  C) é : 
a) 30 
b) 10 
c) 40 
d) 20 
e) 15 
 
16. Numa pesquisa feita junta a 200 universitários sobre o hábito de leitura de dois jornais (A 
e B), chegou-se às seguintes conclusões: 
1) 80 universitários leem apenas um jornal. 
2) O número dos que não leem nenhum dos jornais é o dobro do número dos que leem ambos 
os jornais. 
3) O número dos que leem o jornal A é o mesmo dos que leem apenas o jornal B. 
 
Com base nesses dados, podemos afirmar que o número de universitários que leem o jornal 
B é: 
a) 160 
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b) 140 
c) 120 
d) 100 
e) 80 
 
17. Sejam A o conjunto dos candidatos a cabo, B o conjunto de candidatos a sargentos, C o 
conjunto de candidatos a oficial e U o conjunto de alunos de um curso preparatório às escolas 
militares. O conjunto que representa os alunos que são candidatos a oficial e que não são nem para 
cabos e nem para sargentos é: 
a) (B A)C −  
b) (B A)C −  
c) ( ) CA B  
d) ( ) ( )B C A B   
 
18. Em uma escola foi feita uma pesquisa entre os alunos para saber que revista costumavam 
ler. 
O resultado foi: 
- 42% leem a revista “Veja” 
- 35% leem a revista “Época” 
- 17% leem as revistas “Veja” e “Época” 
 
Sendo assim, o percentual de alunos que leem apenas uma das duas revistas é: 
a) 94 
b) 70 
c) 43 
d) 40 
e) 17 
 
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19. Numa pesquisa de mercado sobre o consumo de cerveja, obteve-se o seguinte resultado: 
230 pessoas consomem a marca A; 200 pessoas, a marca B; 150, ambas as marcas; e 40 não 
consomem cerveja. 
O número de pessoas pesquisadas foi: 
a) 620 
b) 470 
c) 320 
d) 280 
 
 
20. Se A é o conjunto dos números naturais múltiplos de 15 e B o conjunto dos números 
naturais múltiplos de 35, então A  B é o conjunto dos números naturais múltiplos de: 
a) 15 
b) 35 
c) 105 
d) 525 
 
21. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos. O 
número de elementos do conjunto C – [(A  B)  C] pode variar entre: 
a) 2 e 4 
b) 2 e 3 
c) 0 e 4 
d) 0 e 3 
e) 0 e 2 
 
22. Considerando-se que: 
A  B  C = {n  IN / 1< n <10 } 
A  B = {2, 3, 8} 
A  C = {2, 7} 
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B  C = {2, 5, 6} 
A  B = {n  IN / 1< n < 8 } 
 
Pode-se afirmar que o conjunto C é : 
a) {9, 10} 
b) {5, 6, 9, 10} 
c) 2, 5, 6, 7, 9, 10} 
d) 2, 5, 6, 7} 
e) A∪B 
 
23. Considere os conjuntos A, B e C tais que A  B = {1,2,3,4,6}, A  C = {1,2,4,5,6}, B  C={1}, 
A  C = {1,4} e A  B = {1,2}. Podemos, então, afirmar que: 
a) O conjunto A tem 3 elementos 
b) O conjunto B tem 3 elementos 
c) O conjunto C tem 4 elementos 
d) O número de elementos do conjunto B é igual ao número de elementos do conjunto A, 
mas não é três. 
e) O número de elementos do conjunto A é igual ao número de elementos do conjunto C. 
 
24. Se A={1,{9},9,2}, assinale a afirmativa errada. 
a) 1 ∈ A 
b) 9 ∈ A 
c) {9} ∈ A 
d) {9} ⊂ A 
e) 2 ⊂ A 
 
25. Sejam A e B conjuntos quaisquer, A  B = A  B, se e somente se : 
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a) A = ∅ 
b) A ⊃ B 
c) A  B 
d) A ⊃ B ou B ⊃ A 
e) A ⊂ B e B ⊂ A 
 
26. A parte hachurada no desenho abaixo é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A∩C 
b) (A∪B)∩C 
c) (A∩C)∪C 
d) B∩C 
e) (A∪C)∩B 
 
27. No diagrama, o hachurado é o conjunto: 
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a) complementar de (M  N) em relação a U. 
b) complementar de (M – N) em relação a U. 
c) complementar de (M  N) em relação a U. 
d) (M – N)  (N – M). 
 
5 - LISTA DAS QUESTÕES COMENTADAS 
11. 
Numa escola existem 195 alunos, 55 estudam física, 63 estudam química e 100 alunos não 
estudam nenhuma das duas matérias. Os alunos que estudam as duas matérias são: 
a) 23 
b) 25 
c) 95 
d) 32 
e) 40 
 
Comentário: 
Sempre ao iniciar a resolução de qualquer questão de matemática, tenha em mente que se 
deve anotar os principais dados do enunciado, para que possa trabalhar na resolução do problema. 
Assim, vamos aos dados que podemos extrair desta questão! 
✓ O enunciado nos diz que o conjunto universo é = 195. Sabemos ainda que o conjunto 
universo é a soma de todas as partes. 
✓ Diz ainda que: Física = 55 alunos; Química = 63 alunos; Nenhuma disciplina = 100 alunos 
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✓ Questão sobre conjuntos, em que F (conjunto dos alunos de física), Q (conjuntos dos alunos 
de química), U (conjunto dos alunos da escola). 
✓ Não sabemos quantos alunos estudam as duas disciplinas, que inclusive é o que a banca nos 
pede, então: chamamos de “x” alunos 
✓ Estudam SÓ FÍSICA: 55 - x alunos 
✓ Estudam SÓ QUÍMICA: 63 – x alunos 
✓ Não estudam NENHUMA DAS DISCIPLINAS: 100 alunos 
Construindo o diagrama, ficamos com: 
 
 
(55 ) (63 ) 100 195
55 63 10
2
0 195
118 100 1
3
95
x x x
x
x
x
− + + − + =
+ −
+ − =
 =
+ = 
 
Gabarito: A 
12. 
Marcelo resolveu corretamente 90% das questões da prova e André 70%. Se nenhuma 
questão da prova ficou sem ser resolvida pelo menos por um deles, e 18 delas foram resolvidas 
corretamente pelos dois podemos concluir que a prova constava de: 
a) 148 questões 
b) 100 questões 
c) 50 questões 
d) 30 questões 
e) 20 questões 
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Comentário: 
Como disse na questão anterior, sempre ao iniciar a resolução de qualquer questão de 
matemática, tenha em mente que se deve anotar os principais dados do enunciado, para que possa 
trabalhar na resolução do problema. Assim, vamos aos dados que podemos extrair desta questão! 
OK? 
✓ O enunciado não nos fornece o conjunto universo. Porém, pelo simples fato da questão tratar 
de percentagem, isso nos dá certa segurança para atribuir um valor múltiplo de 100 para o 
nosso Universo. Assim, ficamos com = 100x. Desta forma podemos inferir que Marcelo 
resolveu 90x e André resolveu 70x, respectivamente, 90% e 70%. 
✓ Diz ainda o percentual de acerto de cada: Marcelo = 90% das questões; André = 70% das 
questões; Questões não resolvidas por eles = 0 questões e Marcelo e André = 18 questões
 
✓ Questão sobre conjuntos, em que M (total de questões resolvidas por Marcelo), Q (total de 
questões resolvidas por André), M∩A(total de questões resolvidas por Marcelo e André). 
✓ Questões resolvidas SÓ POR MARCELO: 90x - 18 questões 
✓ Questões resolvidas SÓ POR ANDRÉ: 70x – 18 questões 
✓ Questões resolvidas POR MARCELO E ANDRÉ: 18 questões 
✓ Questões não resolvidas: 0 
 
Construindo o diagrama, ficamos com: 
 
100 (90 18) 70 18 18 100
90 70 100 18
18
60 18
60
3
10
x x x x
x x x
x x
x
= → − + − + = →
→ + − =
→ =  =
 =
 
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3
100 100.
1
30questões.
0
x
 
=  = 
 
 
Gabarito: D 
13. 
No diagrama seguinte a região hachurada representa o conjunto. 
 
 
 
 
a) ( )A B C  
b) ( )B C A − 
c) ( )A B C  
d) ( )A B C−  
e) ( )A B C− − 
 
Comentário: 
Estamos diante de uma questão de Diagrama, na qual a banca do Exército pede qual 
alternativa representa a parte hachurada da figura. Tudo bem, até aqui? Então, prossigamos! 
Neste tipo de questão, basta considerarmos que dentro de cada pedaço do diagrama exista 
um determinado elemento, que na resolução do problema utilizarei números de 1 a 7, conforme a 
figura abaixo. Isso irá facilitar sobremaneira a análise. Vamos nessa? 
Imagine os conjuntos A, B e C, com o seguinte diagrama: 
 
C
A
B
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A partir dele, podemos extrair algumas informações, quais sejam: 
• A = {1, 2, 4, 5} → parte que pertence a TODO CONJUNTO A. 
• B = {2, 3, 5, 6} → parte que pertence a TODO CONJUNTO B. 
• C = {4, 5, 6, 7} → parte que pertence a TODO CONJUNTO C. 
• A∩B = {2, 5} → parte que pertence aos conjuntos A e B. 
• A∩C = {4, 5} → parte que pertence aos conjuntos A e C. 
• B∩C = {5, 6} → parte que pertence aos três conjuntos B e C. 
• A∩B∩C = {5} → parte que pertence aos três conjuntos A, B e C. 
• (B – C) = {2, 3} → parte que pertence a B mas não a C. 
Pegando-se o diagrama da questão e sobrepondo-se a este que montamos, fica de fácil 
percepção que a área hachurada representa um conjunto K, tal que: 
K = {1, 2, 4} 
A partir daí, basta analisarmos cada alternativa e verificar qual delas possui conjunto igual ao 
conjunto K. 
Analisando uma a uma: 
a) (A  B)  C = A  B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
b) (B  C) – A = {5, 6} – {1, 2, 4, 5} = {6} 
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c) (A  B)  C = {2, 5}  {4, 5, 6, 7} = {2, 4, 5, 6, 7} 
d) A – (B  C) = {1, 2, 4, 5} – {5, 6} = {1, 2, 4} = K 
e) A – (B – C) = {1, 2, 4, 5} - {2, 3} = {1, 4, 5} 
Gabarito: D 
14. 
Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? 
a) 100 
b) 120 
c) 140 
d) 160 
e) 180 
 
Comentário: 
Questão bem interessante, envolvendo Teoria de Conjuntos e Múltiplos de Naturais. Por mais 
que não tenhamos aprendido o conteúdo de MMC (Menor Múltiplo Comum) achei por bem abordar 
esta questão. Sem mais, vamos à resolução! 
Como disse em questões anteriores, sempre ao iniciar a resolução de qualquer questão de 
matemática, tenha em mente que se deve anotar os principais dados do enunciado, para que possa 
trabalhar na resolução do problema. Assim, vamos aos dados que podemos extrair desta questão! 
OK? 
✓ O enunciado nos fornece o conjunto universo, que é representado pelos números entre 100 
a 1000. 
✓ Imaginemos que N = conjunto dos múltiplos de 9 
✓ Imaginemos que Q = conjunto dos múltiplos de 15 
✓ Imaginemos N∩Q = conjunto dos múltiplos de 9 e 15, ao mesmo tempo. Ou seja, este 
conjunto é composto pelos números múltiplos de 45, que é o MMC de 9 e 15. 
✓ Vamos calcular a quantidade de múltiplos de 9 dentro do intervalo dado. 
Para isso temos que encontrar o múltiplo de 9 mais próximo de 100 que o ultrapassa, e o 
múltiplo mais próximo de 1000 que não o ultrapasse. Assim, temos: 
9 . 12 = 108 
9 . 111 = 999 
Observe que: de 12 a 111 temos, 100 números. Assim, a quantidade de múltiplos de 9 é 100. 
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✓ Vamos calcular, agora, a quantidade de múltiplos de 15 dentro do intervalo dado. 
Para isso temos que encontrar o múltiplo de 15 mais próximo de 100 que o ultrapassa, e o 
múltiplo mais próximo de 1000 que não o ultrapasse. Assim, temos: 
15 . 7 = 105 
15 . 66 = 990 
Observe que: de 7 a 66 temos, 60 números. Assim, a quantidade de múltiplos de 15 é 60. 
✓ Por fim, iremos calcular a quantidade de múltiplos de 45 dentro do intervalo dado. 
Para isso temos que encontrar o múltiplo de 45 mais próximo de 100 que o ultrapassa, e o 
múltiplo mais próximo de 1000 que não o ultrapasse. Assim, temos 
45 . 3 = 135 
45 . 22 = 990 
Observe que: de 3 a 22 temos, 20 números. Assim, a quantidade de múltiplos de 45 é 20. 
Resumindo: 
✓ N = 100 
✓ Q = 60 
✓ N∩Q = 20 
#(N∪Q) = #(N) + #(Q) - #(N∩Q) → (100 + 60) – 20 = 140 elementos 
 
Gabarito: C 
15. 
Sejam A , B e C conjuntos finitos, o número de elementos de A  B é 25 , o número de 
elementos de A  C é 15 e o número de elementos de A  B  C é 10. Então o número de elementos 
de A  (B  C) é : 
a) 30 
b) 10 
c) 40 
d) 20 
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e) 15 
 
Comentário: 
Observe o diagrama – modelo, criado para entender o que se pede pela banca: 
 
 
É fácil perceber que ( ) {2;3;4;5;6;7}B C = .No entanto, a questão nos pede A ( )B C  , 
assim: 
A ( ) {2;4;5}B C  = 
Podemos observar que este conjunto {2, 4, 5}, pode ser visualizado numa forma hachurada, 
conforme o diagrama: 
 
Observe agora os dados do enunciado: 
 
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Logo: ( ( ))n A B C  = 5 + 10 + 15 = 30 elementos 
Gabarito: A 
16. 
Numa pesquisa feita junta a 200 universitários sobre o hábito de leitura de dois jornais (A e 
B), chegou-se às seguintes conclusões: 
1) 80 universitários leem apenas um jornal. 
2) O número dos que não leem nenhum dos jornais é o dobro do número dos que leem ambos os 
jornais. 
3) O número dos que leem o jornal A é o mesmo dos que leem apenas o jornal B. 
 
Com base nesses dados, podemos afirmar que o número de universitários que leem o jornal 
B é: 
 
a) 160 
b) 140 
c) 120 
d) 100 
e) 80 
 
Comentário: 
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Há casos em que a questão irá te dar mais dados que o necessário. Isso se você observar a 
solução mais curta. Vamos a ela? 
Dados da questão: 
✓ Conjunto Universo: 200= universitários. Ou seja, soma de todas as partes. 
✓ A e B: jornais lidos pelos universitários 
✓ Número dos que leem ambos os jornais: x universitários 
✓ Não leem nenhum dos jornais: 2x universitários 
✓ Número dos que leem SOMENTE B: y universitários 
✓ Número dos que leem SOMENTE A: y – x universitários 
✓ Número dos que leem B: x + y universitários 
Observe agora o diagrama: 
 
Assim: 
( ) x y 2 x 200
2 y 2 x 200 2(x y) 2.100
y x 100
100 ele) i( tores
y x
n B x y
− + + + = →
→ + = → + =
+ =
 = + =
 
Gabarito: D 
17. 
Sejam A o conjunto dos candidatos a cabo, B o conjunto de candidatos a sargentos, C o 
conjunto de candidatos a oficial e U o conjunto de alunos de um curso preparatório às escolas 
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militares. O conjunto que representa os alunos que são candidatos a oficial e que não são nem para 
cabos e nem para sargentos é: 
a) (B A)C −  
b) (B A)C −  
c) ( ) CA B  
d) ( ) ( )B C A B   
Comentário: 
Perceba que, nesta questão, por já possuirmos um certo conhecimento, podemos analisar 
o que se pede e verificar qual assertiva é a correspondente. Vamos nessa? 
✓ Conjunto dos alunos candidatos a oficial: C 
✓ Conjunto dos alunos candidatos a cabo: A 
✓ Conjunto dos alunos candidatos a sargento: B 
✓ Conjunto dos alunos candidatos a oficiais e não a sargento: C - B 
✓ Conjunto dos alunos candidatos a oficiais e não a cabo: C - A 
Por meio da propriedade, podemos dizer que:C – (B  A) = (C – B)  (C – A) 
 
Assim, a única alternativa que representa o que se pede na questão é a alternativa a. 
Gabarito: A 
18. 
Em uma escola foi feita uma pesquisa entre os alunos para saber que revista costumavam ler. 
O resultado foi: 
- 42% leem a revista “Veja” 
- 35% leem a revista “Época” 
- 17% leem as revistas “Veja” e “Época” 
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Sendo assim, o percentual de alunos que leem apenas uma das duas revistas é: 
a) 94 
b) 70 
c) 43 
d) 40 
e) 17 
Comentário: 
Vamos ver que dados podemos extrair desta questão! OK? 
✓ O enunciado não nos fornece o conjunto universo. Porém, pelo simples fato da questão tratar 
de percentagem, isso nos dá certa segurança para atribuir um valor múltiplo de 100 para o 
nosso Universo. Assim, ficamos com = 100. 
✓ Leem “Veja”: 42 alunos 
✓ Leem “Época”: 35 alunos 
✓ Leem as revistas “Veja” e “Época”: 17 alunos 
✓ Leem só “Veja”: 42 – 17 = 25 
✓ Leem só “Época”: 35-17 = 18 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que, os alunos que 
leem apenas uma das duas revistas é: 25 + 18 = 43 
Obs.: Perceba que poderíamos resolver a questão utilizando a Operação Diferença 
Simétrica. 
Gabarito: C 
19. 
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Numa pesquisa de mercado sobre o consumo de cerveja, obteve-se o seguinte resultado: 230 
pessoas consomem a marca A; 200 pessoas, a marca B; 150, ambas as marcas; e 40 não consomem 
cerveja. 
O número de pessoas pesquisadas foi: 
a) 620 
b) 470 
c) 320 
d) 280 
 
Comentário: 
Vamos ver que dados podemos inferir do enunciado da questão. 
✓ O enunciado não nos fornece o Conjunto Universo - U. Inclusive é o que se pede na questão. 
✓ Consomem a marca A: 230 alunos 
✓ Consomem a marca B: 200 alunos 
✓ Consomem ambas as marcas: 150 alunos 
✓ Não consomem cerveja: 40 alunos 
Observe o diagrama abaixo: 
 
Só A: 230 – 150 → 80 
Só B: 200 – 150 → 80 
A e B: 150 → 150 
80 50 150 40 320= + + + = 
Gabarito: C 
20. 
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Se A é o conjunto dos números naturais múltiplos de 15 e B o conjunto dos números naturais 
múltiplos de 35, então A  B é o conjunto dos números naturais múltiplos de: 
a) 15 
b) 35 
c) 105 
d) 525 
 
 
Comentário: 
 
✓ A → Conjuntos dos múltiplos de 15 
✓ B → Conjuntos dos múltiplos de 35 
 
Assim, A B → múltiplos de 15 e 35, ao mesmo tempo. Ou seja, mmc (15;35) = 105. 
Gabarito: C 
21. 
Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos. O número 
de elementos do conjunto C – [(A  B)  C] pode variar entre: 
a) 2 e 4 
b) 2 e 3 
c) 0 e 4 
d) 0 e 3 
e) 0 e 2 
 
Comentário: 
Questão bem interessante. Vamos a sua resolução! 
✓ Conjunto A = 2 elementos 
✓ Conjunto B = 3 elementos 
✓ Conjunto C = 4 elementos 
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Observe que a questão pede a cardinalidade, ou seja, a quantidade de elementos do 
conjunto: (C [(A B) C]n −   . 
Para resolvermos esta questão, temos que pensar em duas situações, ou seja, duas 
possibilidades. Uma que retornará a menor cardinalidade e outra que resultará na maior 
cardinalidade. 
Assim: 
1ª situação: A menor cardinalidade, no caso em questão, ocorre para conjuntos que 
possuam interseção como a do diagrama abaixo. 
 
Assim: (C [(A B) C]n −   = n(C) – n(A∩B∩C) = 4 – 2 = 2 elementos 
2ª Situação: A maior cardinalidade, no caso em questão, ocorre para conjuntos que sejam 
disjuntos, ou seja, não possam interseção. 
 
Assim: (C [(A B) C]n −   = n(C) – n(A∩B∩C) = 4 – 0 = 4 elementos 
Dessa forma, a cardinalidade do conjunto mencionado pode variar de 2 a 4. 
Gabarito: A 
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22. 
Considerando-se que: 
A  B  C = {n  IN / 1< n <10 } 
A  B = {2, 3, 8} 
A  C = {2, 7} 
B  C = {2, 5, 6} 
A  B = {n  IN / 1< n < 8 } 
Pode-se afirmar que o conjunto C é : 
a) {9, 10} 
b) {5, 6, 9, 10} 
c) 2, 5, 6, 7, 9, 10} 
d) 2, 5, 6, 7} 
e) A∪B 
 
Comentário: 
Vamos ver que dados podemos inferir do enunciado da questão. 
{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}
{2;3;8}
{2;7}
{2;5;6}
{1;2;3;4;5;6;7;8}
A B C
A B
A C
B C
A B
  =
 =
 =
 =
 =
 
Observe, abaixo, o diagrama que possui por base as informações extraídas das interseções 
dos três conjuntos: 
 
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Podemos perceber ainda que: 
(A∪B∪C) – (A∪B) = “SÓ C” 
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = “SÓ C“ 
“SÓ C” = {9, 10} 
 
Observe como fica a solução no diagrama abaixo: 
 
 
C = {2, 5, 6, 7, 9, 10} 
Gabarito: C 
23. 
Considere os conjuntos A, B e C tais que A  B = {1,2,3,4,6}, A  C = {1,2,4,5,6}, B  C={1}, A  
C = {1,4} e A  B = {1,2}. Podemos, então, afirmar que: 
a) O conjunto A tem 3 elementos 
b) O conjunto B tem 3 elementos 
c) O conjunto C tem 4 elementos 
d) O número de elementos do conjunto B é igual ao número de elementos do conjunto A, mas não 
é três. 
e) O número de elementos do conjunto A é igual ao número de elementos do conjunto C. 
 
Comentário: 
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Vamos ver que dados podemos inferir do enunciado da questão. 
✓ A  B = {1,2,3,4,6} 
✓ A  C = {1,2,4,5,6} 
✓ B  C={1} 
✓ A  C = {1,4} 
✓ A  B = {1,2} 
Adaptando estas informações no diagrama abaixo, ficamos com: 
 
 É fácil perceber que o conjunto B ficou com 3 elementos: B = {1, 2, 3} 
Gabarito: B 
24. 
Se A={1,{9},9,2}, assinale a afirmativa errada. 
a) 1 ∈ A 
b) 9 ∈ A 
c) {9} ∈ A 
d) {9} ⊂ A 
e) 2 ⊂ A 
 
Comentário: 
Vamos ver que dados podemos inferir do enunciado da questão. 
✓ A → é o conjunto a ser analisado 
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✓ 1, {9}, 9, 2 → são elementos do conjunto A 
Já sabemos que para fazer relações de elemento para conjunto deve-se utilizar a 
PERTINÊNCIA. Passaremos analisando cada alternativa, ok? 
Na letra a, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento 1 está de fato descrito 
no conjunto A, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
Na letra b, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento 9 de fato está descrito 
no conjunto A, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
Na letra c, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o elemento {9} está descrito no 
conjunto A, ou seja, pertence ao conjunto mencionado. 
 
Na letra d, temos: assertiva verdadeira, tendo em vista que o subconjunto {9} está de fato 
contido no conjunto A. Este subconjunto surge quando listamos os conjuntos das partes de A. 
 
Na letra e, temos: assertiva falsa, tendo em vista que o elemento 2 está descrito no conjunto 
A, ou seja, pertence ao conjunto mencionado, mas NÃO ESTÁ CONTIDO, como assertiva nos mostra. 
 
Gabarito: E 
25. 
Sejam A e B conjuntos quaisquer, A  B = A  B, se e somente se : 
a) A = ∅ 
b) A ⊃ B 
c) A  B 
d) A ⊃ B ou B ⊃ A 
e) A ⊂ B e B ⊂ A 
 
Comentário: 
Vamos ver que dados podemos inferir do enunciado da questão. 
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✓ A e B → são os conjuntos a serem analisados 
✓ A∪B → União de Conjuntos 
✓ A∩B → Interseçãode Conjuntos 
Quando se fala em Interseção, estamos querendo passar que são elementos em COMUM a 
todos os conjuntos mencionados. 
Porém, quando se fala em União, estamos querendo passar que são elementos em COMUM 
E NÃO COMUNS a todos os conjuntos mencionados. 
O enunciado diz que a União é igual a Interseção, ou seja, todos os elementos devem ser 
comuns a todos os conjuntos mencionados. Desta forma, o conjunto A deve ser igual ao conjuntos 
B. 
Para que isso aconteça, A = B, devemos ter a seguinte relação de inclusão: A  B e B  A 
Gabarito: E 
26. 
A parte hachurada no desenho abaixo é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A∩C 
b) (A∪B)∩C 
c) (A∩C)∪C 
d) B∩C 
e) (A∪C)∩B 
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Comentário: 
Observe o diagrama – modelo, criado para entender o que se pede pela banca: 
 
Podemos perceber que a região que se pede na questão é representada pelo conjunto 
formado pelos elementos {4, 5, 6}. Tudo bem até aqui? Show! 
A partir de agora iremos analisar alternativa a alternativa, para encontrar qual delas coincide 
com o conjunto da parte hachurada. OK? Vamos nessa! 
 
✓ A∩C = {4, 5} 
✓ (A∪B)∩C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {4, 5, 6, 7} = {4, 5, 6} 
✓ (A∩C)∪C = {4, 5}∪ {4, 5, 6, 7} = {4, 5, 6, 7} 
✓ B∩C = {5, 6} 
✓ (A∪C)∩B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} ∩ {2, 3, 5, 6} = {2, 5, 6} 
 
Observe que a única alternativa que representa um conjunto com os mesmos elementos da 
parte hachurada é a assertiva b. 
Gabarito: B 
27. 
No diagrama, o hachurado é o conjunto: 
 
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a) complementar de (M  N) em relação a U. 
b) complementar de (M – N) em relação a U. 
c) complementar de (M  N) em relação a U. 
d) (M – N)  (N – M). 
 
Comentário: 
Vamos ver que dados podemos inferir do enunciado da questão. 
✓ M e N → Conjuntos quaisquer 
✓ U → Conjunto Universo que contém os subconjuntos M e N. 
✓ Parte do diagrama que está em brando, ou seja NÃO HACHURADO → (M – N) 
Já aprendemos na teoria que, quando falamos de Complementar, a ideia que se passa é de 
achar quais elementos falta para chegar ao maior conjunto. Perceba que, no diagrama, o que está 
hachurado é exatamente o que falta ao conjunto (M - N) para chegar ao Universo. Assim, temos 
que a região representa o complementar de (M – N) em relação a U. 
 
Gabarito: B 
 
 
6 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
5.1 PALAVRAS INICIAS 
A partir de agora, falaremos de conjuntos, no entanto, com uma particularidade: somente os que 
possuem números como elementos. É de suma importância o entendimento de cada conjunto, bem 
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como de suas operações e propriedades, pois serão facilitadores para a realização de determinados 
problemas. 
Conceitualmente, temos que Conjunto Numérico é uma coleção ou reunião de números. Este 
conjunto não fica caracterizado somente por seus elementos, mas também, pelas operações 
fundamentais e suas propriedades. Fique tranquilo! As definições de cada conjunto serão passadas 
em ordem mais conveniente, ou seja, da mais simples para a mais complexa. 
5.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS 
 
Podemos dizer que existem 6 conjuntos numéricos fundamentais, quais sejam: 
 ℕ - Naturais 
 ℤ - Inteiros 
 ℚ - Racionais 
 𝕀 – Irracionais 
 ℝ - Reais 
 ℂ - Complexos 
Ressalto que este último (Conjunto dos Complexos) não será tratado nessa aula, pois terá sua aula 
própria. 
 
a) Conjunto dos Naturais (ℕ) 
 Por definição, temos que é todo conjunto formado por números não negativos e que não 
possuam casas decimais. 
 
ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...} 
 
Você pode estar pensando: “números não negativos não seriam a mesma coisa que números 
positivos?!”. Eu respondo: NÃO, meu querido! Você precisa ter em sempre em mente que o 0 (ZERO) 
é um número nulo, ou seja, não é nem positivo, nem negativo. Assim, quando falamos que o 
conjunto dos naturais é formado por números não negativos. Isso implica dizer que, no conjunto dos 
naturais, estão presentes os números positivos e o zero, por ser nulo. 
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Uma outra pergunta bem pertinente seria qual a definição de casas decimais! Bom, aproveito 
para explicar que casa decimais são formadas por algarismos situados após a vírgula. Assim, os 
números abaixo não são exemplos de números naturais: 
➢ 1,2: uma casa decimal 
➢ 3,576: três casas decimais 
➢ 12,45555...: infinitas casas decimais 
 
Não posso me furtar de passar a você algumas conclusões baseadas nos Axiomas de Peano, 
matemática italiano. 
➢ Todo número natural tem um sucessor. 
➢ Dois números com o mesmo sucessor são iguais. 
➢ Existe um número que não é sucessor de outro. 
➢ O zero (0) é um número natural. 
 
Aproveitando a deixa (rsrsrs), vou mencionar os conceitos de Números sucessores e 
Antecessores. Gostaria de fazer a seguinte pergunta: qual o sucessor de 1,2? Perceba que 1,2 é um 
número Racional, não natural e inteiro. Por este motivo te leva a um processo infinito de 
considerações, como: seria 1,3? Seria 1,21? Seria 1,201? E assim por diante. Perceba que ficamos 
sem resposta, tudo pelo fato de Números sucessores e Antecessores só existirem dentro dos 
conjuntos dos naturais e inteiros. 
Assim, deixo aqui uma dica que irá ajudar no processo de descoberta de um sucessor ou 
antecessor de um número inteiro ou natural. 
➢ Sucessor é o que “vem depois”. Basta somar uma unidade ao número original. 
21 ( 1) 20 sucessor− + + − 
➢ Antecessor é o que “vem antes”. Basta subtrair uma unidade do número original. 
21 ( 1) 22 antecessor− + − − 
 
a.1) Subconjuntos dos Naturais (ℕ): 
 Definimos o subconjunto dos números naturais não nulos, único subconjunto 
fundamental dos naturais, por: 
 
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* {1,2,3,4,...}= 
 
a.2) Elementos e Ordenação nos ℕ: 
Deixo registrado, apenas a título de conhecimento, alguns axiomas do conjunto dos Naturais: 
➢ O menor elemento é o zero. 
➢ Todo natural possui um sucessor 
➢ Dados a, b ∈ ℕ quaisquer, vale somente uma das alternativas: a > b ou a = b ou a < b 
(Tricotomia dos Números em ℕ) 
 
a.3) Operações definidas nos ℕ: 
 São operações bem definidas em ∈ ℕ, adição e multiplicação. Ou seja, ao 
multiplicarmos ou somarmos dois números pertencentes aos ℕ, o resultado será um 3º número 
também pertencente aos ℕ. 
OPERAÇÕES DEFINIDAS NOS NATURAIS 
 
Soma 
 
 
2 + 3 = 5 
2 é um número natural. 
3 é um número natural. 
5 é um número natural. 
 
Produto 
 
2 . 3 = 6 2 é um número natural. 
3 é um número natural. 
6 é um número natural. 
 
Observando o quadro, podemos concluir que, para uma operação ser de fato fechada nos 
Naturais, quaisquer operações, soma ou multiplicação de naturais, deverá resultar, sempre, num 
elemento também natural. 
Caso, em algum momento, o resultado não retorne um elemento natural, podemos afirmar 
que essa operação não é fechada nos naturais. Como exemplos de operações não fechadas nos 
naturais, podemos citar: subtração e divisão. 
Observe o quadro abaixo: 
 
OPERAÇÕES NÃO DEFINIDAS NOS NATURAIS 
 2 é um número natural. 
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Subtração 
 
2 - 3 = -1 3 é um número natural. 
-1 não é um número natural. 
 
Divisão 
 
2 : 3 = 0,666... 2 é um número natural. 
3 é um número natural. 
0,666... não éum número natural. 
 
a.4) Propriedades das Operações Definidas nos ℕ: 
Podemos destacar 4 propriedades das operações, são elas: comutativa, associativa, 
elemento neutro, distributiva. Vamos entender cada uma delas. 
 
➢ Comutativa: a ordem das parcelas não altera a SOMA. Bem como a ordem dos fatores não 
altera o PRODUTO. 
Soma 2 3 3 2
2 . 3 6 Produto
 + = +

 =
 
 
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que esta 
operação altere o resultado. 
Soma 2 (3 1) (2 3) 1
Produto 2 . (3 . 5) (2 . 3) . 5 
 + + = + +

 =
 
 
➢ Elemento Neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado 
original. 
Soma 2 0 2
Produto 2 . 1 = 2
 + =


 
 
➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência (em 
destaque) com cada elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
 
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Distributiva em Relação à Soma 2 . (3 1) (2 . 3) (2 . 1)
Distributiva em Relação à Subtração 2 . (3 1) (2 . 3) (2 . 1) 
 + = +


  − = −
 
 
Lei do Corte: em uma igualdade, se dois números iguais estiverem em lados 
opostos, é possível o cancelamento, porém, se essa igualdade tiver represetanbdo 
operações de multipkicação ou divisão, há a necessidade de que esses números sejam 
não nulos. Obeserve: 
 
 
 
Lei do Anulamento do Produto: em um produto de dois ou mais números, se o 
resultado for zero, necessariamente um deles terá que ser igual a zero. Obeserve: 
 
 
a b c d 0 a 0 ou b=0 ou c=0 ou d=0   =  = 
 
 
b) Conjunto dos Números Inteiros (ℤ): 
São números que foram criados para representar possíveis dúvidas, temperaturas baixas etc. 
Por definição, temos: é todo conjunto formado pelos números ℕ e seus opostos. 
 
{..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}= − − − 
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Números Opostos ou Simétricos: são números que, de lados opostos da origem, 
possuam a mesma distância dela (definição geométrica) ou cuja soma resulta zero 
(definição algébrica). 
Destaco também que o conjunto dos Naturais está contido no Conjunto dos 
números Inteiros, ou seja, todos os elementos naturais também são inteiros. 
 
 
b.1) Subconjunto dos Inteiros (ℤ): 
* Inteiros não nulos {...-3, -2, -1, 1, 2, 3...} 
+ Inteiros não negativos {0, 1, 2, 3,...} 
− Inteiros não positivos {..., -2, -1, 0} 
*
+ Inteiros positivos {1, 2, 3,...} 
*
− Inteiros negativos {... -3, -2, -1} 
 
b.2) Operações Definidas nos ℤ. 
 São operações bem definidas em ℤ: adição, subtração e multiplicação, ou seja, qualquer 
destas operações utilizando dois ou mais inteiros, o resultado será um 3º número também 
pertencente ao ℤ . 
 
 
 
OPERAÇÕES DEFINIDAS NOS INTEIROS 
 
Adição 
 
 
2 + 3 = -1 
2 é um número inteiro. 
3 é um número inteiro. 
-1 é um número inteiro. 
 2 . 3 = 6 2 é um número inteiro. 
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Multiplicação 
 
3 é um número inteiro. 
6 é um número inteiro. 
 
Subtração 
 
 
2 - 3 = -1 
2 é um número inteiro. 
3 é um número inteiro. 
-1 é um número inteiro. 
 
Já a operação divisão não é fechada em ℤ, pois nem toda divisão de naturais resulta um 
número natural. Cabe ressaltar que, para fazer essa análise, a divisão deverá ser 
possível, ou seja, o divisor (denominador) não poderá ser nulo. 
 
 
b.3) Propriedade das Operações nos ℤ: 
Temos como propriedades das operações: comutativa, associativa, elemento neutro, 
distributiva. 
 
➢ Comutativa: a ordem das parcelas não altera a SOMA. Bem como a ordem dos fatores não 
altera o PRODUTO. 
a + b = b + a 
a . b = b . a 
 
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que esta 
operação altere o resultado. 
a + (b + c) = (a + b) + c 
a . (b . c) = (a . c) . c 
 
➢ Elemento neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado 
original. 
a + 0 = a 
a . 1 = a 
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➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência com cada 
elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
a . (b ± c) = a.b ± a.c 
 
c) Conjunto dos Números Racionais (ℚ) 
 É o conjunto formado por todos os números que possam ser escritos sob a forma de 
fração, em que cada terno é um número inteiro, com denominador não nulo. Por definição, temos: 
*a / a b mdc (a;b) = 1
b
 
=    
 
 
−
frações unitárias
1 1 2 0
Ex.: ; ; ; ; 3,15 ; 0,3 ; ...
2 11 1 1
 
 
 Perceba que na escrita da fração, o Máximo Divisor Comum (MDC) entre o numerador e o 
denominador deverá ser igual a um 1, ou seja, os termos da fração precisam ser primos entre si. Isso 
se dá pelo fato da fração precisar estar na sua forma irredutível, para que possamos classificá-las. 
 
Fração ou Razão: nada mais é que a divisão (quociente) entre duas grandezas. 
 
a Numerador ou Antecedente
a
a / b Razão de a para b
b
b Denominador ou Consequente



 
 
 
 
 
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Cálculo com a fração mista: pega-se o denominador, multiplica-se pela parte 
inteira, soma-se ao numerador. Quando estiver diante deste tipo de fração, basta 
imaginar que entre a parte inteira e a fracionária está implícito o sinal de adição! 
1 1 2.3 1 7
 2 2
3 3 3 3
+
 +   
 
 
1º SITUAÇÃO: Com denominadores iguais ( Será maior aquela com MAIOR 
numerador) 
Ex.: 
4 3
 > 
5 5
 
 
2º SITUAÇÃO: Com numeradores iguais (Será maior aquela com MENOR 
denominador) 
Ex.: 
7 7
 > 
3 5
 
 
3º SITUAÇÃO: Com numeradores e denominadores diferentes. Basta igualar os 
numeradores ou os denominadores, e, assim, seguir o caminho da situação 1 ou 2. 
3 5 9 10 5 3
Ex.: e < , assim: > 
2 3 6 6 3 2
 
 
c.1) Subconjunto dos ℚ: 
*
 Racionais não nulos 
+ Racionais não negativos 
− Racionais não positivos 
*
+ Racionais positivos 
*
− Racionais negativos 
 
c.3) Operações Definidas nos ℚ: 
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 São operações definidas nos Racionais: adição, subtração, multiplicação e divisão 
(quando possível a divisão). Ou seja, qualquer destas operações entre dois ou mais números 
pertencentes aos ℚ, o resultado será um 3º número também pertencente aos ℚ. 
 Como nos conjuntos numéricos anteriores, trago uma tabela para facilitar a 
compreensão, ok? 
 
OPERAÇÕES DEFINIDAS NOS RACIONAIS 
 
Adição 
 
 
1/2 + 3 = 7/2 
1/2 é um número racional. 
3 é um número racional. 
7/2 é um número racional. 
 
Multiplicação 
 
2 . 3 = 6 2 é um número racional. 
3 é um número racional. 
6 é um número inteiro. 
 
Subtração 
 
 
2 – 1/2 = 3/2 
2 é um número racional. 
1/2 é um número racional. 
3/2 é um número racional. 
 
Divisão 
 
2 : 3 = 0,666... 2 é um número racional. 
3 é um número racional. 
0,666... é um número racional. 
 
 
Todas as operações fundamentais são definidas no conjunto dos números 
Racionais. 
 
c.4) Propriedades das Operações nos ℚ. 
Temos como propriedades das operações: comutativa, associativa, elemento neutro, 
distributiva. 
 
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➢ Comutativa: a ordem das parcelas não altera a SOMA. Bem como a ordem dos fatores nãoaltera o PRODUTO. 
a c c a
b d d b
+ = + 
a c c a
b d d b
 =  
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que esta 
operação altere o resultado. 
a c e a c e
b d f b d f
   
+ + = + +   
   
 
a c e a c e
b d f b d f
   
  =     
   
 
 
➢ Elemento neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado 
original. 
a a
0
b b
+ = 
a a
1
b b
 = 
 
➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência com cada 
elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
a c e a c a e
b d f b d b f
     
  =        
     
 
 
Elemento Inverso, Inverso Multiplicativo ou Oposto Multiplicativo ⟹ 𝒂−𝟏. 
1 1a
a
− = 
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1 1
a b b
b a a
−
   
=    
   
 
 
c.5) Operações com frações (em ℚ) 
 
➢ Adição/Subtração 
. .
.

  
a c a d b c
b d b d
3 7 3.5 7.2 29
Assim 2,9
2 5 10 10
+
 +   = 
 
➢ Multiplicação 
.
.
.
 
a c a c
b d b d
2 4 2.4 8
Assim .
3 5 3.5 15
  = 
 
➢ Divisão 
.
: .
.
 = 
a c a d a d
b d b c b c
1
1 3 1 3 1 5 5
Assim : . .
2 5 2 5 2 3 6
−
 
   = 
 
 
 
 
Um tema bastante atual em certames militares é a tal da Soma Telescópica. Esse nome estranho, nada 
mais é que a unidade que fica dividida pelo produto de dois números naturais consecutivos. Assim, temos 
que: / 1x x   , vale a fórmula: 
1 1 1
( 1) 1n n n n
= −
+ + 
 
 
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c.6) Dízimas Periódicas 
A palavra dízima possui um caráter amplo, que pode ser subdividida em: 
 
Existem diversas formas de representação da dízima periódica, segue algumas delas: 
 
Algumas nomenclaturas importantes: 
 
 
 
 
 
Dízimas
Periódicas
Simples
Compostas
Não 
Periódicas
Irracional
Dízmia 
Periódica 
Simples
1,666...
1 : parte inteira
6 : período 
(algarismo que 
se repete)
Dízmia 
Periódica 
Composta
1,76363...
1 : parte inteira
63 : período 
(algarismos que 
se repetem)
7 : aperído ou 
parte aperiódica
0,272727...
0,(27)
0,[27]
0,27
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Passaremos agora a analisar algumas especificidades das frações. Vamos nessa?! 
 
➢ Decimais exatos 
Irá ocorrer somente se o denominador da fração aparecer fatores 2 ou 5. A quantidade de 
casas decimais será igual a quantidade do maior expoente dentre esses fatores. 
4
27 27
1,6875 quatro casas decimais
16 2
= =  
2 1
23 23
1,15 duas casas decimais
20 2 .5
= =  
 
➢ Dízimas periódicas Simples (D.P.S) 
 Irá ocorrer quando no denominador da fração aparecer fatores primos diferentes de 
2 e 5. 

11
 o denominador não possui em sua fatoração os fatores 2 ou 5
23
 
 
➢ Dízima periódica composta (D.P.C) 
 Irá ocorrer quando o denominador da fração ordinária possuir ao menos um dos 
fatores 2 ou 5 com mais qualquer fator primo diferente destes. A quantidade de casas do ante 
período será igual ao maior expoente de um dos fatores 2 ou 5. 
1 1
2
18 18
0,32727... uma casa no aperíodo
55 5 .11
7 7
0,58333... duas casas no aperíodo
12 2 .3
= = 
= = 
 
 
 Cabe ressaltar que toda dízima periódica possui uma fração geratriz, fração que dá origem à 
dízima periódica. Assim, torna-se muito importante sabermos encontrar o número racional que 
deu origem a determinada dízima periódica. Vamos então aprender o Método Algébrico para 
encontrar a fração geratriz (nada mais é que a fração ordinária que gera uma dízima periódica). 
 
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1° Exemplo: 
0,333...(.10)
0,3333 10 3,333.
3 1
9 3
9 3

 =

= =  =

 =  = 

x
a
x x
b
x x
 
 
2° Exemplo: 
0,1555...(.10)
10 1,555...(.10)
0,1555...
100 15,555...
14 7
90 14
90 45

 =

=
= = 
=

 =  = 

x
xa
x
xb
x x
 
 
3° Exemplo: 
1,5222...(.10)
10 15,222...(.10)
1,5222...
100 152,222...
137
90 137
90

 =

=
= = 
=

 =  =

x
xa
x
xb
x x
 
Vamos aprender agora um método alternativo ao algébrico para que possamos encontrar 
a fração algébrica. 
Esse método faz a conta ser bem mais simples e rápida, porém, ressalto a importância de 
aprender o método anterior. 
Assim, vamos a um exemplo de cada espécie das dízimas periódicas. 
 
 
 
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➢ Dízima periódica simples (DPS): 
( )
Tantos alg. 9 quantos forem os alg. do período.
Nº - parte inteira
. : Fração Geratriz
999...9





a
DPS
b 
01 0 1
0,1111...
9 9
1034 10 1024
10,3434...
99 99
−
 = =
−
 = =
 
 
➢ Dízima periódica simples (DPC): 
( )
( )
Tantos alg. 9 quantos forem os alg. do período e
tantos açg. 0 quantos forem os alg. do aperíodo.
Nº - parte inteira + aperíodo 
. : Fração Geratriz
999...9000...0







a
DPC
b 
 
0836 08 828
0,83636...
990 990
34076 3407 30669
3,407666...
90000 9000
−
 = =
−
 = =
 
 
Mais um tema muito importante e recorrente nos cálculos das questões de prova! Saber 
arredondar números decimais, quando solicitado, é de suma importância. Assim, vou passar a 
você as técnicas algébricas de arredondamento. Simbora?! 
 
 
➢ Se o algarismo a ser abandonado for > 5, soma-se 1 ao algarismo à esquerda dele. 
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7,138 ≅ 7,14 
 
➢ Se o algarismo a ser abandonado for < 5, mantém-se o algarismo à esquerda dele. 
4,173 ≅ 4,17 
 
➢ Caso seja igual a 5; 
 1º situação: se o algarismo à esquerda do 5 for par, então este algarismo se mantém. 
7,165 ≅ 7,16 
 
 2º situação: se o algarismo à esquerda do 5 for ímpar, então a este algarismo soma-se 
uma unidade. 
7,175 ≅ 7,18 
 
 
É importante destacar o resultado do Produto de Fatores Racionais entre 0 e 1. 
 
 
Imaginemos dois números racionais a e b entre 0 e 1: 0 < a < 1 e 0 < b < 1. A 
partir destes dados, podemos afirmar que: 
 
a b 1
0 a b
a b
a . b < a
 

 
 


 
Exemplo: 
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0,2 . 0,3 = 0,06 < 0,2 0,06 < 0,3 
 
d) Conjunto dos Números Irracionais (𝕀) 
 São números que não podem ser expressos por meio de fração racional, ou seja, por 
divisão de dois números inteiros, sendo o denominador diferente de zero. Cabe ressaltar que os 
números irracionais são representados por dízimas aperiódicas (ou seja, não possuem geratriz). 
2 1,4142... raiz quadrada de 2
π 3,1415... razão entre comprimento e diâmetro de uma circunferêmcia
3 1,7320... raiz quadrada de 3
 = 

= 

= 
 
 
 
Qualquer raiz de um número inteiro, que retorne num valor inexato, será classificada 
como número irracional. 
 
d.1) Subconjunto dos 𝕀 
𝕀 - Irracionais Negativos 
𝕀 + Irracionais Positivos 
 
d.2) Operações definidas nos 𝕀 
 No universo dos Irracionais, nenhuma operação é fechada, pois, qualquer uma delas, 
ainda que operada por números Irracionais, o resultado poderá ser um número Racional. Vejamos 
alguns exemplos: 
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Adição 2 ( 2) 0
Subtração 2 2 2 2 0
Multiplicação 2. 2 2
2
Divisão 1
2
 + − =
 −=
 =
 =
 
 
e) Conjunto dos Números Reais (ℝ) 
 É a reunião entre os ℚ ∪ �̅� = ℝ, ou seja, reúne os racionais e os irracionais 
  

  
 
e.1) Reta Real 
 Cada número real pode ser representado por um ponto na reta, que é um eixo 
orientado onde os números mais à direita são maiores que os números mais à esquerda. 
 
 
 
e.2) Subconjunto dos ℝ 
ℝ * Reais não nulos 
ℝ + Reais não negativos 
ℝ - Reais não positivos 
ℝ+
∗ Reais positivos 
ℝ−
∗ Reais negativos 
 
e.3) Propriedades nos ℝ: 
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Temos como propriedades das operações: comutativa, associativa, elemento neutro, 
distributiva. 
 
➢ Comutativa: a ordem das parcelas não altera a SOMA. Bem como a ordem dos fatores não 
altera o PRODUTO. 
a c c a
b d d b
+ = + 
a c c a
b d d b
 =  
 
➢ Associativa: é possível associar dois ou mais números, na soma ou no produto, sem que esta 
operação altere o resultado. 
a c e a c e
b d f b d f
   
+ + = + +   
   
 
a c e a c e
b d f b d f
   
  =     
   
 
 
➢ Elemento neutro: é o elemento que ao ser somado ou multiplicado não altera o resultado 
original. 
a a
0
b b
+ = 
a a
1
b b
 = 
 
➢ Distributiva: consiste no processo de multiplicar o elemento que está em evidência com cada 
elemento dentro dos parênteses, chaves ou colchetes. 
a c e a c a e
b d f b d b f
     
  =        
     
 
 
e.4) Operações definidas nos ℝ 
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 Todas as operações são definidas nos ℝ. É claro que, para uma fração existir, há a 
necessidade de a divisão 
a
b
 deve ser possível, ou seja, b ≠ 0. 
Vejamos exemplos destas operações definidas nos reais. 
( )
( )
( )
Adição 2 3 2 2 3 2
Subtração 2 2 2 2
1
Multiplicação 3 3 3
3
2 2 12 2 2 1
Divisão 2 2 1
2 12 1 2 1 2 1
  + − = −

  − = −


   =


++
 =  = = + −− − +
 
 
 
Oposto aditivo ou Inverso Aditivo são conceitos sinônimos de Simétrico. Assim, temos 
como exemplo: 2 e -2 são números opostos aditivos. Podemos dizer ainda que Números 
Opostos são, sob o conceito algébrico, números que ao serem somados resultam ZERO. 
 
e.5) Módulo de um Número Real 
- Definição Geométrica: Para x  , o módulo de x - x - representa a distância de x até a 
origem da reta real. Assim: 
 
3 3
3 3
0 0
 =
 − =
 =
 
 
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- Definição Algébrica: o módulo de um número será igual a ele mesmo, se esse número for 
positivo ou nulo. No entanto, será igual ao seu simétrico se for negativo. Segue um esquema abaixo 
para facilitar o entendimento. 
; 0
0; / 0
; 0
x se x
x p x
x se x


=
−  
7 7
8 8
3,12 3,12
 =
 − =
 =
 
 
Bom! Chegamos ao fim da nossa Aula 01. Guarde cada informação passada neste livro 
eletrônico. Toda teoria vista até aqui será de grande valia em momento posterior. 
Sem mais, vamos observar como este tema cai em prova? Vamos nessa! 
7 – LISTA DE QUESTÕES 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 01 
Assinalando V ou F se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas 
( ) N  Q 
( ) Q  IR = Q 
( ) N  Z = N 
( ) Q  R  Q 
obtemos: 
 
a) FVFV 
b) VVVV 
c) FVVF 
d) FVVV 
e) VVVF 
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(Exercício Fixação) Questão 02 
Se A = {4, 9, 16, 25, 36}, então A é equivalente a: 
a) {x2; x  Z*} 
b) {x2; x  N} 
c) {x2; x  N e 1 < x < 7} 
a) {x2; x  N e 2 < x < 6} 
b) {x / x é quadrado perfeito} 
 
(Exercício Fixação) Questão 03 
Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional. Um 
exemplo é: 
a) 363.12 = 
b) 69.4 = 
c) 31.3 = 
 d) 2 . 82= 
 e) 63.2 = 
 
(Exercício Fixação) Questão 04 
Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição 
do número xy? 
 
 
 
a) À esquerda 
de 0. 
 
b) Entre 0 e x. 
c) Entre x e y. 
 d) Entre y e 1. 
 e) À direita de 1 
 
0 x y 1 
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(Exercício Fixação) Questão 05 
Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes: 
a) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os 
outros. 
b) O número real pode ser representado sob a forma P/q, onde p e q são inteiros, q  0. 
c) O número real representado por 0,37222... é um número racional. 
d) Toda raiz de uma equação algébrica do 20 grau é um número real. 
e) O quadrado de qualquer número real é um número racional 
 
 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 06 
Os números x e y são tais que 5 x 10 e 20 y 30. O maior valor possível de x/y é: 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
e) 1 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 06 
Os números x e y são tais que 5 x 10 e 20 y 30. O maior valor possível de x/y é: 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
e) 1 
 
2
   
   
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(Exercício Fixação) Questão 07 
Considere os conjuntos N, Z, Q e R e as afirmativas: 
I- Zero pertence aos quatro conjuntos ( ) 
II- 1/2 não pertence aos conjuntos N e Z ( ) 
III- -1 somente não pertence a N ( ) 
IV- 0,333... não pertence a Q ( ) 
V- pertence somente a R ( ) 
 
Colocando V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, na ordem certa, a resposta é: 
a) F, F, V, V, F 
b) F, V, V, F, F 
c) V, V, V, V, F 
d) V, V, V, F, V 
e) F, F, F, V, V 
 
(Exercício Fixação) Questão 08 
Classificando-se as afirmativas abaixo em V (Verdadeira) ou F (Falsa), 
I- Todo número natural é inteiro. 
II-Todo número racional é inteiro 
III-Todo número racional é real. 
IV-Todo número irracional é real. 
V-Todo número real é racional. 
Qual sequência abaixo é correta? 
a) V,V,F,V,F 
b) V,F,V,F,F 
c) V,V,V,F,F 
d) V,F,F,V,V 
e) V,F,V,V,F 
 
 
2
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(Exercício Fixação) Questão 9 
Sejam p e q números reais. A esse respeito, assinale a opção correta. 
a) p < 0 = > = p 
b) p e q são pares = > p . q é ímpar 
c) p . q = 0 > p  0 e q  0 
d) p . q > 0 = > p e q têm sinais contrários 
e) p2 = q2 = > p = q ou p = -q 
 
 
(Exercício Fixação) Fixação 10 
Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
 
 
É falso afirmar que: 
a) 1/a > 1/b 
b) a . b < a 
c) b/a < 1 
d) a – b < 0 
 
(Exercício Fixação) Questão 11 
É correto afirmar que: 
a) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural. 
b) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
c) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. 
d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 12 
2p
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Marque a alternativa INCORRETA: 
a) se x e y são números racionais, então x y+ é um número racional; 
b) se x e y são números irracionais, então x y+ é um número irracional; 
c) se x e y são númerosracionais, então x y é um número racional; 
d) se x é um número racional e y é um número irracional, então x y+ é um número irracional. 
 
(Exercício Fixação) Questão 13 
Na reta numérica abaixo, estão representados os números reais 0 , a , b e 1 . 
 
Representando o produto a b nesta reta numérica, ele ficará: 
a) à direita de 1 . 
b) entre b e 1 . 
c) entre a e b . 
d) entre 0 e a . 
e) à esquerda de 0 . 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 14 
Atribuindo a cada enunciado os valores V ou F temos 
I) ( ) Todo número irracional é um número decimal ilimitado. 
II) ( ) Todo número racional é um número decimal ilimitado. 
III) ( ) Todo número decimal ilimitado é um número real. 
IV) ( ) Todo número decimal limitado é um número racional. 
V) ( ) Todo número decimal ilimitado aperiódico é um número irracional. 
 
Conclui-se que: 
a) o segundo é verdadeiro e o quinto é falso. 
b) os três últimos são verdadeiros. 
c) somente o quinto é verdadeiro. 
d) o segundo e o terceiro são verdadeiros. 
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(Exercício Fixação) Questão 15 
Dentre as afirmativas abaixo, assinale a FALSA. 
a) Seja a um número real não nulo. Então, 
1a−  . 
b) Para qualquer número inteiro, a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual 
ao próprio número. 
c) Para qualquer inteiro, o sucessor do antecessor do número é o próprio número. 
d) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro 
negativo. 
e) Todo número real negativo possui inverso. 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 16 
Dos números: 
I) 0,4333... 
II) 0,101101110... 
III) 2 
IV) O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. 
 
São racionais: 
a) Todos 
b) Nenhum 
c) Apenas 1 deles 
d) Apenas 2 deles 
e) Apenas 3 deles 
 
(Exercício Fixação) Questão 17 
Assinale a afirmativa verdadeira. 
a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. 
b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. 
c) O quadrado de um número irracional é um número racional. 
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d) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 
e) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 18 
Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y , pode-se dizer que: 
a) x y é irracional 
b) y y é irracional 
c) x y+ é racional 
d) x y 2− + é irracional 
e) x 2y+ é irracional 
 
 
 
(Exercício Fixação) Questão 19 – Se trocarmos o dígito 3 pelo dígito 8 no número 1.345, qual 
será o aumento desse número? 
a) 5 
b) 500 
c) 545 
d) 800 
 
(Exercício Fixação) Questão 20– Em uma escola 5/8 dos estudantes são meninas e 360 
meninos. Qual é o número total de estudantes dessa escola? 
a) 1300 
b) 960 
c) 860 
d) 720 
 
(Exercício Fixação) Questão 21– O número decimal correspondente ao ponto assinalado na 
reta numerada da figura abaixo é: 
 
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a) 2,3 
b) – 1,7 
c) – 2,03 
d) – 2,3 
 
(Exercício Fixação) Questão 22 – 
 
Se C é um número diferente de zero, então: 
a) C = R 
b) R = 10 
c) C = 10 
d) C = 10 R 
e) R = 10 C 
 
(Exercício Fixação) Questão 23 – 
 
Observe as sentenças acima e responda quantas são verdadeiras. 
a) Somente uma. 
b) Somente duas. 
c) Somente três. 
d) As quatro. 
e) Nenhuma. 
 
(Exercício Fixação) Questão 24 – Sabendo que ( ) ( )10 8 : 4x = − − + e ( ) ( )25 : 25 4 : 4y = − − + , qual é 
o valor de x y− ? 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
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e) 14 
 
(Exercício Fixação) Questão 25 – Sabe-se que a e b são dois números naturais diferentes de 
zero, tais que a = b. Nessas condições a igualdade correta é: 
a) : 1a b = 
b) 0a b = 
c) : 0a b = 
d) 0a b+ = 
e) – 1a b = 
 
(Exercício Fixação) Questão 26– Ordenando os números racionais 
13
24
p = , 
2
3
q = e 
5
8
r = , 
conclui-se que: 
a) p < r < q 
b) q < p < r 
c) r < p < q 
d) q < r < p 
e) r < q < p 
 
(Exercício Fixação) Questão 27– O conjunto  4, 3, 2, 1, 0, 1A = − − − − pode ser representado 
por: 
a)  | 4 1x Z x −   
b)  | 4 1x Z x −   
c)  | 4 1x Z x −   
d)  | 4 1x Z x −   
e)  | 4 1x Z x +   
 
(Exercício Fixação) Questão 28 – Determine quais das opções abaixo são números irracionais. 
(I) 9,3215321532... 
(II) 3− 
(III) 0,1717717711... 
(IV) 5 
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a) I 
b) II e IV 
c) III e IV 
d) I, II e III 
e) II, III e IV 
 
(Exercício Fixação) Questão 29– Os números 
1
3
2
 e 
4
9
 são representados por x e y , isto é, 
1
3
2
x = e 
4
9
y = . Determine o valor de x y : 
a) 
14
9
 
b) 
12
18
 
c) 6 
d) 
7
3
 
e) 
7
8
 
 
(Exercício Fixação) Questão 30 – Determine a fração que deu origem à dízima periódica 
0,232323... 
a) 
23
9
 
b) 
23
99
 
c) 
230
999
 
d) 
2,3
10
 
e) 
23
10
 
 
(Exercício Fixação) Questão 31 – Assinale o número irracional. 
a) 144 
b) 37 
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c) 8 1 d) 3 27 
e) 81− 
 
(Exercício Fixação) Questão 32 – O número , representado pela dízima não periódica 
3,141592…, é um número que: 
a)  
b)  
c)  
d) I  
e)   
 
(Exercício Fixação) Questão 33 – Qual o valor da expressão 
( ) 25 3 17 10 6 8 4 2 2 3 4 4 : 5 −  − +  −  + + −   ? 
a) 42 
b) 23 
c) 21 
d) 13 
e) 10 
 
 
8 – LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS 
 
(Exercício Modelo) Questão 01 
Assinalando V ou F se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas 
( ) N  Q 
( ) Q  IR = Q 
( ) N  Z = N 
( ) Q  R  Q 
obtemos: 
 
a) FVFV 
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b) VVVV 
c) FVVF 
d) FVVV 
e) VVVF 
 
 
Comentário: 
Como a questão aborda relação de inclusão de Conjuntos Numéricos, nada melhor que 
analisar cada afirmativa tendo por base um Diagrama geral destes conjuntos. 
 
Podemos extrair algumas conclusões a partir deste modelo de diagrama: 
• O conjunto dos Naturais está dentro (está contido) no conjunto dos Racionais. Ou seja, a 
primeira afirmativa (N  Q) está errada, tendo em vista que diz: o conjunto dos Naturais 
CONTÉM o conjunto dos Racionais. 
 
• O conjunto dos Racionais está dentro (está contido) no conjunto dos Reais, desta forma, a 
interseção entre eles será o menor conjunto: RACIONAIS. Logo, afirmativa certa 
 
 
• O conjunto dos Naturais está dentro (está contido) no conjunto dos Inteiros, desta forma, a 
união entre eles será o maior conjunto: INTEIROS. Logo, afirmativa errada. 
 
• O conjunto dos Racionais está dentro (está contido) no conjunto dos Reais, desta forma, a 
interseção entre eles será o menor conjunto: RACIONAIS, que está contido nele mesmo. Logo, 
afirmativa certa. 
 
 
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Gabarito: A 
 
(Exercício Modelo) Questão 02 
Se A = {4, 9, 16, 25, 36}, então A é equivalente a: 
a) {x2; x  Z*} 
b) {x2; x  N} 
c) {x2; x  N e 1 < x < 7} 
d) {x2; x  N e 2 < x <6} 
e) {x / x é quadrado perfeito} 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual deles coincide com o conjunto 
A (finito) do enunciado da questão. 
• a) {x2; x  Z*} – este conjunto reflete o seguinte : para x=1, x=2, x=3, x=4,... o conjunto 
formado será: {1, 4, 9, 16, ...}. Perceba que este conjunto além de ser infinito, possui o 
primeiro elemento, por exemplo, diferente do primeiro do conjunto A. Logo, assertiva 
errada. 
• b) {x2; x  N} – este conjunto reflete o seguinte : para x=0, x=1, x=2, x=3, x=4,... o conjunto 
formado será: {0, 1, 4, 9, ...}. Perceba que este conjunto além de ser infinito, possui o primeiro 
e o segundo elemento, por exemplo, diferentes do primeiro e do segundo elemento do 
conjunto A. Logo, assertiva errada. 
• c) { x2; x  N e 1 < x < 7} – este conjunto reflete o seguinte : para x=2, x=3, x=4, x=5 e x=6, o 
conjunto formado será: {4, 9, 16, 25, 36}. Perceba que este conjunto além de ser finito, possui 
todos os elementos iguais ao conjunto A. Logo, assertiva certa. 
• d) { x2; x  N e 2 < x < 6} – este conjunto reflete o seguinte : para x=3, x=4 e x=5, o conjunto 
formado será: {9, 16, 25}. Perceba que este conjunto apesar de ser finito, não possui todos 
elementos que o conjunto A possui. Logo, assertiva certa. 
• e) {x / x é quadrado perfeito} – percebe que nesta assertiva a banca não especificou a que 
conjunto x pertence, logo, poderá assumir tanto valores inteiros quanto fracionário, o que 
não condiz com o conjunto A do enunciado. Logo, assertiva errada. 
 
Gabarito: C 
(Exercício Modelo) Questão 03 
Sabe-se que o produto de dois números irracionais pode ser um número racional. Um 
exemplo é: 
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a) 363.12 = 
b) 69.4 = 
c) 31.3 = 
 d) 2 . 82= 
 e) 63.2 = 
 
Comentário: 
Questão maldosa. Muitos candidatos desatentos acabam caindo na pegadinha, qual seja, 
achar que possui duas respostas. Porém, isto não é verdade. Vamos analisar cada uma das 
alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o que o enunciado diz. Blz? 
• a) Raiz quadrado de 12 e raiz quadrada de 3, ambos os números são IRRACIONAIS, e o 
produto deles resulta um número RACIONAL, qual seja, raiz quadrada de 36 que é igual a 6. 
Logo, esta assertiva está correta. 
• b) Raiz quadrado de 4 e raiz quadrada de 9, ambos os números são RACIONAIS, e o produto 
deles resulta um número RACIONAL, qual seja, raiz quadrada de 36 que é igual a 6. Logo, esta 
assertiva está errada. Perceba que a questão te pede um produto de irracionais, e nesta 
alternativa, temos o produto de dois racionais. 
• c) Raiz quadrado de 3 e o número 1. O primeiro deles é irracional, porém o segundo é 
racional, o que faz a assertiva ficar errada. 
• d) Raiz quadrado de 2 e o número 2. O primeiro deles é irracional, porém o segundo é 
racional, o que faz a assertiva ficar errada. 
• e) Raiz quadrado de 2 e raiz quadrada de 3, ambos os números são IRRACIONAIS, e o produto 
deles resulta um número IRRACIONAL, o que contraria o enunciado da questão. Logo esta 
assertiva está errada. 
Gabarito: A 
(Exercício Modelo) Questão 04 
Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição 
do número xy? 
 
 
0 x y 1 
a) À esquerda 
de 0. 
 
b) Entre 0 e x. 
c) Entre x e y. 
 d) Entre y e 1. 
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 e) À direita de 1 
 
 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. 
Pelo simples fato de os números x e y estarem entre os números 0 e 1, já me dá a certeza de 
que x e y são positivos. Isso ajuda sobremaneira, pois o produto de dois números positivos resulta 
sempre um número positivo, o que nos faz excluir a assertiva da letra a. 
 
Agora, vamos analisar as próximas a partir de contraexemplos (que nada mais é que tentar 
encontrar fatos que contrariam a hipótese geral), ok? Para isso, imaginemos x=0,2 e y=0,7. Assim: 
 
 
x.y = 0,2 . 0,7 = 0,14 
Agora sim, fica fácil perceber que o produto de dois números compreendidos entre 0 e 1, 
sempre resultará num valor inferior ao menor deles. 
 
Desta forma, podemos afirmar que o produto x.y estará sempre entre 0 e x. 
 
 
 
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) Questão 05 
Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes: 
f) No conjunto dos números inteiros relativos, existe um elemento que é menor do que todos os 
outros. 
g) O número real pode ser representado sob a forma P/q, onde p e q são inteiros, q  0. 
h) O número real representado por 0,37222... é um número racional. 
i) Toda raiz de uma equação algébrica do 20 grau é um número real. 
j) O quadrado de qualquer número real é um número racional 
2
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Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. 
• a) - Alternativa errada, pois esta definição ocorre no conjunto dos números Naturais. 
Podemos destacar que este número no caso é ZERO. 
• b) - Alternativa errada, pois raiz quadrada de 2 é um número irracional, logo não pode ser 
posto na forma de fração. 
• c) - Alternativa certa, pois o número em questão é uma espécie de dízima periódica 
composta, que é um exemplo de número racional. 
• d) - Alternativa errada, pois caso a equação algébrica possua um valor negativo, esta raiz 
quadrada não pertencerá ao conjunto dos reais, mas sim, dos Complexos. 
• e) - Alternativa errada, pois o quadrado da raiz cúbica de dois, é igual a raiz cúbica de quatro, 
não eliminado assim a raiz. 
 
Gabarito: C 
(Exercício Modelo) Questão 06 
Os números x e y são tais que 5 x 10 e 20 y 30. O maior valor possível de x/y é: 
a) 1/2 
b) 1/4 
c) 1/3 
d) 1/2 
e) 1 
 
Comentário: 
Para o maior valor de x/y, o x tem que ter seu valor máximo e o y seu valor mínimo, e de 
acordo com os intervalos, temos: x = 10 e y = 20. Assim, o maior valor de x/y será: 
10/20 = 1/2 = 0,5. 
 
Gabarito: A 
(Exercício Modelo) Questão 07 
Considere os conjuntos N, Z, Q e R e as afirmativas: 
I. Zero pertence aos quatro conjuntos ( ) 
II. 1/2 não pertence aos conjuntos N e Z ( ) 
   
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III. -1 somente não pertence a N ( ) 
IV. 0,333... não pertence a Q ( ) 
V. pertence somente a R ( ) 
 
Colocando V nas afirmativas verdadeiras e F nas falsas, na ordem certa, a resposta é: 
a) F, F, V, V, F 
b) F, V, V, F, F 
c) V, V, V, V, F 
d) V, V, V, F, V 
 
e) F, F, F, V, V 
 
 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das assertivas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado pede. Ressalto ainda que os conjuntos N, Z, Q e R, são, respectivamente, conjunto dos 
Naturais, Inteiros, Racionais e Reais. 
• I- Assertiva certa, pois o ZERO é um número natural, logo, também será Inteiro, Racional e 
Real. 
• II- Assertiva certa, pois 1/2 (0,5) é um número racional, não inteiro nem natural, pelo simples 
fato de possuir casas decimais após a vírgula. 
• III- Assertiva certa, pois o número -1, por ser negativo, não pertence ao conjunto dos 
números Naturais, que são elementos não negativos e que não possuam casas decimais. 
• IV- Assertiva errada, pois 0,333... por ser uma dízima periódica, pertence sim ao conjunto 
dos Racionais. 
• V- Assertiva certa, pois raiz quadrada de dois é um número Irracional, ou seja, pertence 
também ao conjunto do Reais. 
Gabarito: D 
(Exercício Modelo)Questão 08 
Classificando-se as afirmativas abaixo em V (Verdadeira) ou F (Falsa), 
I. Todo número natural é inteiro. 
II. Todo número racional é inteiro 
III. Todo número racional é real. 
2
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IV. Todo número irracional é real. 
V. Todo número real é racional. 
 
Qual sequência abaixo é correta? 
a) V,V,F,V,F 
b) V,F,V,F,F 
c) V,V,V,F,F 
d) V,F,F,V,V 
e) V,F,V,V,F 
 
 
 
Comentário: 
Como a questão aborda relação de inclusão de Conjuntos Numéricos, nada melhor que 
analisar cada afirmativa tendo por base um Diagrama geral destes conjuntos. 
 
Podemos extrair algumas conclusões a partir deste modelo de diagrama: 
 
• I- Assertiva certa, pois o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros 
• II - Assertiva errada, pois o conjunto dos racionais não está contido no conjunto dos inteiros 
• III - Assertiva certa, pois o conjunto dos racionais não está contido no conjunto dos reais. 
• IV - Assertiva certa, pois o conjunto dos irracionais está contido no conjunto dos reais. 
• V - Assertiva errada, pois o conjunto dos reais não está contido no conjunto dos racionais. 
 
Gabarito: E 
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(Exercício Modelo) Questão 9 
Sejam p e q números reais. A esse respeito, assinale a opção correta. 
f) p < 0 = > = p 
g) p e q são pares = > p . q é ímpar 
h) p . q = 0 > p  0 e q  0 
i) p . q > 0 = > p e q têm sinais contrários 
j) p2 = q2 = > p = q ou p = -q 
 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. 
• a) - Alternativa errada, pois se p for negativo, isso implica o resultado da sua raiz quadrada 
ser em módulo, ou seja, igual ao simétrico de p. Assim, p < 0 = > = - p = I p I. 
 
• b) - Alternativa errada, pois o produto de pares sempre resulta um número par. 
 
 
• c) - Alternativa errada, pois quando o produto de dois números resulta zero, é possível 
afirmar que ao menos um deles será zero. Esta conclusão surge do Princípio da Anulação. 
 
• d) - Alternativa errada, pois para o produto de dois números resultarem um valor positivo 
isso implica dizer que estes números precisam ter sinais iguais. 
 
• e) - Alternativa certa, pois quando estivermos diante de uma igualdade, em que os números 
estão elevados a uma potência de índice par, é necessário ter no resultado o valor do próprio 
número e do seu oposto. Isso se explica pelo simples fato de qualquer número positivo ou 
negativo elevados a um expoente par, o resultado será um valor positivo. 
 
Gabarito: E 
(EEAr) Questão 10 
Na figura abaixo estão representados os números reais 0, a, b e 1. 
 
 
 
É falso afirmar que: 
2p
2p
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a) 1/a > 1/b 
b) a . b < a 
c) b/a < 1 
d) a – b < 0 
 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de mais uma questão sobre números reais compreendidos 
entre 0 e 1. 
Para resolver esta questão utilizaremos a técnica do contraexemplo. Assim, imaginemos 
a=0,2 e b=0,5. Agora, vamos testar cada assertiva. 
• a) - Alternativa certa, pois 1/0,2 = 10/2 = 5 e 1/0,5 = 10/5 = 2. Desta forma temos como 
verdade que 5 > 2. Por consequência, 1/a > 1/b. 
 
• b) - Alternativa certa. Já sabemos que sempre será verdade, pois: 0,2.0,5 = 0,01 , que é menor 
que 0,2. 
 
 
• c) - Alternativa errada, pois: 0,5/0,2 = 5/2 = 2,5 , que é maior que 1 e não menor como a 
questão nos apresenta. 
 
• d) - Alternativa certa, pois pelo simples fato do elemento a estar mais próximo do zero, já 
implica ele ser menor que b, e por consequência, a diferença (a – b) ser também menor que 
zero. 
 
Gabarito: C 
(EsPCEx) Questão 11 
É correto afirmar que: 
f) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural. 
g) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro. 
h) A soma de dois números racionais é sempre um número racional. 
i) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
j) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. 
 
Comentário: 
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Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos a 
sua solução. 
• a) - Alternativa errada, pois a diferença não é fechada no conjunto dos números naturais. 
 
• b) - Alternativa errada, pois o quociente não é fechado no conjunto dos naturais. 
 
 
• c) - Alternativa certa, pois a soma é fechada no conjunto dos números racionais. 
 
• d) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. 
 
• e) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. 
 
Gabarito: C 
(Exercício Modelo) Questão 12 
Marque a alternativa INCORRETA: 
a) se x e y são números racionais, então x y+ é um número racional; 
b) se x e y são números irracionais, então x y+ é um número irracional; 
c) se x e y são números racionais, então x y é um número racional; 
d) se x é um número racional e y é um número irracional, então x y+ é um número irracional. 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos a 
sua solução. 
• a) - Alternativa certa, pois a soma é fechada no conjunto dos números racionais. 
 
• b) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. Tendo 
como contraexemplo x 2 1= +  e y 1 2= −  , porém x y 2+ =  . 
• c) - Alternativa certa, pois o produto é fechado no conjunto dos racionais. 
 
• c) - Alternativa certa, pois o produto é fechado no conjunto dos racionais. 
 
• d) - Alternativa certa, pois a operação soma de racionais com irracionais, resultará sempre 
um número irracional. Vamos a um exemplo: ( 2) (1) ( 2 1) Q− = −  . 
Gabarito: B 
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(Exercício Modelo) Questão 13 
Na reta numérica abaixo, estão representados os números reais 0 , a , b e 1 . 
 
Representando o produto a b nesta reta numérica, ele ficará: 
a) à direita de 1 . 
b) entre b e 1 . 
c) entre a e b . 
d) entre 0 e a . 
e) à esquerda de 0 . 
 
 
Comentário: 
 Ressalto que se trata de mais uma questão sobre números reais compreendidos entre 0 e 1. 
Segue uma das formas de solução: 
0 a 1 0 b 1 0 a b a 1 a 0 ab a              
 
Note que como a 0 o sinal da desigualdade não muda ao multiplicarmos todos os termos 
por a . 
 
Gabarito: D 
(Exercício Modelo) Questão 14 
Atribuindo a cada enunciado os valores V ou F temos 
I) ( ) Todo número irracional é um número decimal ilimitado. 
II) ( ) Todo número racional é um número decimal ilimitado. 
III) ( ) Todo número decimal ilimitado é um número real. 
IV) ( ) Todo número decimal limitado é um número racional. 
V) ( ) Todo número decimal ilimitado aperiódico é um número irracional. 
 
Conclui-se que: 
a) o segundo é verdadeiro e o quinto é falso. 
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b) os três últimos são verdadeiros. 
c) somente o quinto é verdadeiro. 
d) o segundo e o terceiro são verdadeiros. 
 
 
Comentário:I) V – Todo irracional é representado por uma dízima não periódica, logo é um decimal 
ilimitado. 
 
II) F − Há números racionais que possuem representações decimais exatas. 
 
 
III) V – Os números decimais ilimitados podem ser racionais, quando periódicos, ou 
irracionais, quando não periódicos, em ambos os casos serão sempre reais. 
 
IV) V − Todo decimal limitado pode ser representado como uma fração cujo denominador é 
uma potência de 10 (fração decimal), logo são números racionais. 
 
 
V) V − As dízimas não periódicas são números irracionais, como visto em nossa teoria. 
 
 
Gabarito: B 
 
 
(CMRJ – 2011) Questão 15 
Dentre as afirmativas abaixo, assinale a FALSA. 
a) Seja a um número real não nulo. Então, 
1a−  . 
b) Para qualquer número inteiro, a raiz quadrada desse número elevado ao quadrado é igual 
ao próprio número. 
c) Para qualquer inteiro, o sucessor do antecessor do número é o próprio número. 
d) A média aritmética simples de dois inteiros negativos não é necessariamente um inteiro 
negativo. 
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e) Todo número real negativo possui inverso. 
 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. 
a) Alternativa verdadeira, pois: o inverso de um número real não nulo também é um número 
real, pois o conjunto dos reais é fechado em relação à divisão. 
 
b) Alternativa falsa, pois: utilizando como forma de resolução o contraexemplo, temos:
( ) ( )
2 2
2 2 2−   −  − . Lembro-vos que a raiz quadrada de qualquer número o seu resultado 
deverá sair em módulo. 
 
 
c) Alternativa verdadeira, pois: Seja o número k , seu antecessor é ( )k 1− e o sucessor desse 
número é ( )k 1 1 k− + = . 
 
d) Alternativa verdadeira, pois: 
( ) ( )1 2
1,5
2
− + −
= −  
 
 
e) Alternativa verdadeira, pois: o inverso de um número real negativo (e, por conseguinte, 
não nulo) também é um número real, pois o conjunto dos reais é fechado em relação à operação 
divisão. 
 
Gabarito: B 
(CN – 1999) Questão 16 
Dos números: 
I) 0,4333... 
II) 0,101101110... 
III) 2 
IV) O quociente entre o comprimento e o diâmetro de uma mesma circunferência. 
 
São racionais: 
a) Todos 
b) Nenhum 
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c) Apenas 1 deles 
d) Apenas 2 deles 
e) Apenas 3 deles 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das assertivas para descobrir qual delas expressa com exatidão a 
resposta correta dada nas alternativas. 
I) 
43 4 39
0,4333...
90 90
−
= =  
II) 0,101101110... , pois trata-se de uma dízima não periódica, ou seja, não possui o 
período. 
III) 2 
IV) 
2 R
2R

=  
 
Gabarito: C 
(Exercício Modelo) Questão 17 
Assinale a afirmativa verdadeira. 
a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional. 
b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional. 
c) O quadrado de um número irracional é um número racional. 
d) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional. 
e) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos a 
sua solução. 
• a) - Alternativa errada, pois a soma não é fechada no conjunto dos números irracionais. 
Temos como contraexemplo: ( 2 1) (4 2) 5 Q+ + − =  
 
• b) - Alternativa errada, pois nenhuma operação é fechada no conjunto dos irracionais. Tendo 
como contraexemplo 8. 8 64 8 Q= =  
• c) - Alternativa errada, pois raiz quadrada de 1 é igual a 1, logo, racional e não irracional 
como diz a questão. 
 
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• d) - Alternativa certa, pois a operação diferença de racionais com irracionais, resultará 
sempre um número irracional. Vamos a um exemplo: (1) ( 3) (1 3) Q− = −  . 
Gabarito: D 
(Exercício Modelo) Questão 18 
Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y , pode-se dizer que: 
a) x y é irracional 
b) y y é irracional 
c) x y+ é racional 
d) x y 2− + é irracional 
e) x 2y+ é irracional 
 
 
 
 
Comentário: 
Vamos analisar cada uma das alternativas para descobrir qual delas expressa com exatidão o 
que o enunciado diz. Ressalto que se trata de questão sobre propriedade do fechamento. Vamos a 
sua solução. Utilizaremos alguns contraexemplos para acharmos a resposta correta. 
 
• a) - Alternativa errada, pois temos como contraexemplo: 0. 2 0 Q=  
• b) - Alternativa errada, pois temos como contraexemplo 8. 8 64 8 Q= =  
• c) - Alternativa errada, pois temos como contraexemplo (1) ( 2) (1 2) Q+ = +  
• d) - Alternativa errada, pois temos contraexemplo: (1 2) 2 1 Q+ − =  . 
• e) - Alternativa certa, pois temos como contraexemplo (1) ( 2) (1 2) Q+ = +  
 
Gabarito: E 
(Exercício Modelo) Questão 19– Se trocarmos o dígito 3 pelo dígito 8 no número 1.345, qual 
será o aumento desse número? 
a) 5 
b) 500 
c) 545 
d) 800 
 
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Comentário: 
1345
1845
N
M N
M
=
→ − =
=
 Descobrimos o aumento com a subtração do maior pelo menor. 
Assim: 
1845 1345 500− = . 
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) Questão 20– Em uma escola 5/8 dos estudantes são meninas e 360 
meninos. Qual é o número total de estudantes dessa escola? 
a) 1300 
b) 960 
c) 860 
d) 720 
 
Comentário: 
Total de alunos = x. 
Desses alunos, existem meninos e meninas, assim: Meninas = 
5
8
x
 ; Meninos = 360 
Sabemos que, total de alunos = meninos + meninas, logo: 
5
360
8
x
x = + 
Multiplicando toda a equação por 8 temos: 
8 5 8 360x x= +  
3 8 360x =  
8 360
x

=
3
8 120 960x   = . 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) Questão 21– O número decimal correspondente ao ponto assinalado na 
reta numerada da figura abaixo é: 
 
a) 2,3 
b) – 1,7 
c) – 2,03 
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d) – 2,3 
 
Comentário: 
Entre – 2 e – 1 temos um segmento de reta cuja medida vale 1. 
Essa medida está dividida em 10 pedaços, logo, cada um vale 0,1. 
Saindo do ponto – 1 até a seta indicada, andamos 7 pedaços, logo, 0,7 de medida. 
Assim, – 1 adicionado a – 0,7 temos: – 1,7. 
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) Questão 22 
 
 
Se C é um número diferente de zero, então: 
a) C = R 
b) R = 10 
c) C = 10 
d) C = 10 R 
e) R = 10 C 
 
Comentário: 
Perceba que a questão diz, pegue um número C depois: 
- multiplique por 10, do resultado 
- multiplique por 100, do resultado 
- divida por 1000, do resultado 
- multiplique por 10. Este resultado final é igual a R. 
Veja que, em expressão temos: 
10 100
10
1000
C
R
 
 = 
1000C 
1000
10 10R R C =  = 
 
Gabarito: E 
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(Exercício Modelo) Questão 23 
 
 
Observe as sentenças acima e responda quantas são verdadeiras. 
a) Somente uma. 
b) Somente duas. 
c) Somente três. 
d) As quatro. 
e) Nenhuma. 
 
Comentário: 
8−  : falso. Nos naturais não temos números negativos. 
9−  : falso. Raiz de índice par de um número negativo não pertence aos reais, logo, 
também não é inteiro. 
16
4
 : verdadeiro. Na verdade, o exemplo dado é uma fração aparente que corresponde ao 
número 4. 
0 : verdadeiro. O número 0 (zero) é natural, inteiro e racional. 
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo)Questão 24– Sabendo que ( ) ( )10 8 : 4x = − − + e ( ) ( )25 : 25 4 : 4y = − − + , qual é 
o valor de x y− ? 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
Comentário: 
Lembrando que entra as operações fundamentais, a divisão e multiplicação prevalece sobre 
a adição ou subtração. Assim, devemos realizar na expressão abaixo a divisão por primeiro. Veja: 
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121 
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( ) ( )
( ) ( )
10 8 : 4
10 8 : 4
10 2 10 2 12
x
x
x x
= − − +
 = − − + 
 = − −  = + = 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
25 : 25 4 : 4
25 : 25 4 : 4
1 1 2
y
y
y y
= − − +
   = − − +   
= − −  = −
 
Assim ( )12 2 14x y−  − −  
Gabarito: E 
(Exercício Modelo) Questão 25– Sabe-se que a e b são dois números naturais diferentes de 
zero, tais que a = b. Nessas condições a igualdade correta é: 
a) : 1a b = 
b) 0a b = 
c) : 0a b = 
d) 0a b+ = 
e) – 1a b = 
 
Comentário: 
Se a b= , com a e b diferentes de zero, então, é possível dividir toda a equação por a ou b, 
assim: 
1 : 1
a b a
a b a b
b b b
=  =  =  = . 
 
Gabarito: A 
(Exercício Modelo) Questão 26 – Ordenando os números racionais 
13
24
p = , 
2
3
q = e 
5
8
r = , 
conclui-se que: 
a) p < r < q 
b) q < p < r 
c) r < p < q 
d) q < r < p 
e) r < q < p 
 
Comentário: 
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Na comparação entre fração, devemos deixar todos os números racionais ou com o 
numerador igual ou com o denominador, para aí sim podermos comparar, lembra?! Assim, o ideal é 
deixarmos todas as frações com o denominador 24, pois é o mais conveniente. Veja: 
13
24
p = 
2
3
q = ou seja, multiplicado por 8: 
16
24
 ; esta fração é a equivalente da fração q. 
5
8
r = ou seja, multiplicado por 3: 
15
24
 ; esta fração é equivalente da fração r. 
Agora, todas com o mesmo denominador, será menor a fração que possuir o menor 
denominador. Veja: 
13 15 16
24 24 24
p r q     
Gabarito: A 
(Exercício Modelo) Questão 27 – O conjunto  4, 3, 2, 1, 0, 1A = − − − − pode ser representado 
por: 
a)  | 4 1x Z x −   
b)  | 4 1x Z x −   
c)  | 4 1x Z x −   
d)  | 4 1x Z x −   
e)  | 4 1x Z x +   
 
Comentário: 
Temos que o conjunto A é dado por: 
 4, 3, 2, 1, 0, 1A = − − − − 
Perceba que o conjunto A possui números inteiros com extremidades – 4 e 1, logo: 
 | 4 1A x x=  −   
 
Gabarito: C 
 
(Exercício Modelo) Questão 28– Determine quais das opções abaixo são números irracionais. 
(I) 9,3215321532... 
(II) 3− 
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(III) 0,1717717711... 
(IV) 5 
 
a) I 
b) II e IV 
c) III e IV 
d) I, II e III 
e) II, III e IV 
 
Comentário: 
São irracionais os números que são dízimas não periódicas, ou seja, não podem ser expresso 
por meio de fração de inteiros. 
Assim: 
I: 
período
9,3215321532  
II: 3−  
III: 0,1717717711  
IV: 5  
Gabarito: E 
(Exercício Modelo) Questão 29– Os números 
1
3
2
 e 
4
9
 são representados por x e y , isto é, 
1
3
2
x = e 
4
9
y = . Determine o valor de x y : 
a) 
14
9
 
b) 
12
18
 
c) 6 
d) 
7
3
 
e) 
7
8
 
Comentário: 
Questão que trata de transformação de número misto em fração imprópria, lembra? Vemos 
a sua resolução! 
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1 1 3 2 1 7
3 3
2 2 2 2
x
 +
 +   = 
Se 
4
9
y = , então: 
1
7
2
x y =
2 4

14
9 9
= 
 
Gabarito: A 
(Exercício Modelo) Questão 30 – Determine a fração que deu origem à dízima periódica 
0,232323... 
a) 
23
9
 
b) 
23
99
 
c) 
230
999
 
d) 
2,3
10
 
e) 
23
10
 
 
Comentário: 
Para encontrarmos a fração geratriz dessa dízima periódica, vamos utilizar o método prático, 
ok? Vamos nessa então! 
0,232323x = 
Temos que 
parte inteira
99 9
N
F
 −
 = 
23 0 23
99 99
F
−
=  . 
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) Questão 31– Assinale o número irracional. 
a) 144 
b) 37 
c) 8 1 d) 3 27 
e) 81− 
 
Comentário: 
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Analisando alternativa a alternativa, podemos classificar cada número, a partir da 
simplificação de radicais (tema a ser estudado mais a frente, não se preocupe). Veja: 
2144 12 12 →  
37  , pois 37 é primo, logo não pode sair do radical. 
8 1 1  
3 33 27 3 3   
281 9 9−  −  −  
 
Gabarito: B 
(Exercício Modelo) Questão 32– O número , representado pela dízima não periódica 
3,141592…, é um número que: 
a)  
b)  
c)  
d) I  
e)   
 
Comentário: 
Já sabemos que o  é um número irracional, ou seja, uma dízima não periódica. 
Assim:   
Gabarito: D 
(Exercício Modelo) Questão 33– Qual o valor da expressão 
( ) 25 3 17 10 6 8 4 2 2 3 4 4 : 5 −  − +  −  + + −   ? 
a) 42 
b) 23 
c) 21 
d) 13 
e) 10 
 
Comentário: 
Fazendo as operações na ordem correta, ou seja, resolvendo o que está entre parêntes, 
depois o que está entre colchetes, depois o que está entre chaves, temos: 
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( ) 
( ) 
 
 
 
25 3 17 10 6 8 4 2 2 3 4 4 : 5
25 51 10 6 8 8 5 16 : 5
25 51 10 6 0 5 16 : 5
25 51 15 16 : 5
25 50 : 5 25 4 21
x
x
 −  − + −  + + −  
 − − + − + − 
 − − +  + − 
− − −
−  − 
 
Perceba que é preciso obedecer a ordem dos operadores matemáticos que representam as 
operações matemática, ou seja: multiplicação e divisão tem precedência em relação à adição e à 
subtração. Você pode estar se perguntando: “mas e entre cada uma delas, qual eu resolvo primeiro? 
”. Eu respondo que, neste caso, a ordem deve ser feita quem vier primeiro, ou seja, da esquerda 
para a direita. 
Gabarito: C 
 
 
É isso, meu querido! Finalizamos a nossa Aula 01. Espero que tenham gostado! 
Restando qualquer dúvida, estou à disposição no fórum de dúvidas. Pode usar sem 
moderação!! 
Mantenham a pegada, a sua aprovação está mais perto que imagina! 
AHHH...RESSALTO QUE IREI LANÇAR UM PDF COMPLEMENTAR A ESTE COM MAIS 
QUESTÕES, INCLUINDO QUESTÕES DO SEU EXAME, PARA QUE POSSA EXERCITAR MAIS E MAIS, 
BEM COMO UMA TEORIA COMPLEMENTAR DE ALGUNS TÓPICOS ESPECIAIS. 
Qualquer crítica, sugestão ou elogio, só entrar em contato pelas redes sociais abaixo: 
 
 
 
Vamos que vamos! 
 
 
 
 
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