Lista_5-2-2013

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3a. Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo III - 2o. semestre de 2013
Professores: Lonardo (turma A), Laura (turmas B,C) e Rafael (turmas E,F)
Integrais de Superf´ıcie e Teoremas (Green, Stokes e Gauss)
1. Exerc´ıcios do Ca´lculo B:
• 10.7: 1,3,4,6.
• 10.11: 10-16,22-24,25-33(´ımpares).
• 10.13: 1,2,4-16.
• 10.16: 1-19.
2. Exerc´ıcios da Diomara:
• 6.5: 4,5,6.
• 6.7: 7,9,10.
• 7.2: 1,4.
• 7.10 1,2,6,18,19.
• 7.12 4,8,11.
3. Considere o campo vetorial ~f(x, y) =
(
− y
x2 + y2
− 2y, x
x2 + y2
+ 2x
)
, (x, y) 6= (0, 0).
Calcule
∫
C
~f · d~r, onde C e´ a elipse x2 + y
2
9
= 1, orientada no sentido anti-hora´rio.
4. Dados dois campos escalares u e v, de classe C1 em um conjunto aberto que conte´m o
c´ırculo de raio R cuja fronteira e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 1, definem-se dois campos
vetoriais ~f e ~g do seguinte modo:
~f(x, y) = (v(x, y), u(x, y)) ~g(x, y) =
(
∂u
∂x
− ∂u
∂y
,
∂v
∂x
− ∂v
∂y
)
.
Determinar o valor da integral dupla
∫∫
R
~f · ~g dx dy sabendo-se que sobre a fronteira de
R tem-se que u(x, y) = 1 e v(x, y) = y.
5. Seja o campo de forc¸as ~f = (P,Q) onde P (x, y) = xe−y2 e Q(x, y) = −x2ye−y2 + 1/(x2 +
y2). Calcule
∮
C
P dx + Qdy em torno da curva C dada pela fronteira do quadrado de
lados 2a dado pelas desigualdades |x| ≤ a e |y| ≤ a.
6. Sejam f e g dois campos escalares de classe C1 sobre um conjunto conexo S no plano.
Mostre que ∮
C
f∇g · d~r = −
∮
C
g∇f · d~r
para qualquer curva C fechada de classe C1 em S.
7. Sejam ~r = (x, y) e r = ‖~r‖. Seja o campo
~f(x, y) =
(
∂(ln(r))
∂y
,−∂(ln(r))
∂x
)
, para todo r > 0.
Seja C uma curva fechada de classe C1 por partes localizada dentro do conjunto 1 <
x2 + y2 < 25. Calcule todos os poss´ıveis valores da integral de linha de ~f ao longo da
curva C.
1
8. (Folium de Descartes). Seja o folium de Descartes definido por x3+y3 = 3axy com a > 0.
(a) Verifique que a mudanc¸a t = y/x gera uma parametrizac¸a˜o da curva da forma
x =
3at
1 + t3
, y =
3at2
1 + t3
(b) Esboc¸e o gra´fico da curva.
(c) Use o Teorema de Green para calcular a a´rea do lac¸o.
9. Calcular a a´rea da superf´ıcie da esfera x2 + y2 + z2 = a2 situada no interior do cilindro
x2 + y2 = ay, com a > 0.
10. Seja S a superf´ıcie obtida girando-se a circunfereˆncia (x − a)2 + z2 = r2, 0 < r < a, em
torno do eixo z. Esta superf´ıcie e´ chamada de toro.
(a) Mostre que S pode ser parametrizada como ~r : [0, 2pi]× [0, 2pi]→ R3 sendo
~r(θ, t) =

x(θ, t) = (a+ r cos t) cos θ
y(θ, t) = (a+ r cos t) sen θ
z(θ, t) = r sen t
(b) Encontre a a´rea de S.
11. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x + z, y, z − 4 + xy) definido em R3 e seja S a
calota esfe´rica x2 + y2 + z2 = r2, z ≥ 0 e r > 0. Sabendo que o fluxo de ~f atrave´s de S
deve ser nulo, calcule o raio r da calota.
12. Considere a superf´ıcie S definida por z =
√
x2 + y2, 1 ≤ z ≤ 3 e seja ~f o campo vetorial
definido por ~f(x, y, z) = (yz,−xz, z3). Calcule a integral
∫∫
S
rot ~f · ~ndS.
13. Seja S a calota esfe´rica dada pela equac¸a˜o x2+y2+(z−2)2 = 4, com 0 ≤ z ≤ 2 orientada
com normal exterior. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (y+z2, xz2−y, 2z). Calcule
o fluxo de ~f atrave´s da superf´ıcie orientada S.
14. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x, x− y+ z, z4− 3a2). Seja S uma lata cil´ındrica
com fundo e sem tampa dada por x2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ √a e x2 + y2 ≤ a2, z = 0.
Sabendo-se que o fluxo atrave´s de S, de dentro para fora, e´ de pia3, calcule o valor de a.
15. Seja ~f um campo vetorial de classe C1 no aberto U = R3 − {(0, 0, 0), (1, 1, 1)} e tal
que div ~f = 0 em U . Sejam S1 e S2 superf´ıcies esfe´ricas centradas em (0, 0, 0) e (1, 1, 1),
respectivamente, e raios iguais a
1
4
, com normais exteriores ~n1 e ~n2. Seja S3 uma superf´ıcie
esfe´rica, centrada na origem e de raio 5, com normal exterior ~n3. Calcule
∫∫
S3
~f · ~n3 dS
sabendo-se que
∫∫
S1
~f · ~n1 dS = pi e
∫∫
S2
~f · ~n2 dS = 2pi.
16. Sejam S1 a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o z = x
2 + 2y2 e S2 a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o
z = 4− x2 e ~f um campo de vetores dado por ~f(x, y, z) = (x, y, z).
(a) Calcule o fluxo de ~f atrave´s da superf´ıcie fronteira do so´lido Q limitado por S1 e S2.
(b) Calcule a integral de linha
∫
C
~f · d~r onde C e´ a curva de intersec¸a˜o das superf´ıcies
S1 e S2.
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