Prova_1_2-2011

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
1a Prova de Ca´lculo III – 02/09/2011 – Turma
NOME: MATRI´CULA:
Questa˜o 1: (25 pontos) Considere a integral I =
∫∫
R
(x + y) dxdy, onde R e´ a regia˜o delimitada
por x + y = 4, x + y = 0, y − x = 0 e y − x = −1.
(a) (10 pts) Defina uma transformac¸a˜o linear x = x(u, v) e y = y(u, v) de modo que R seja
obtida a partir de um retaˆngulo R′ no plano uv pela transformac¸a˜o. Descreva R′ em
termos das coordenadas u e v.
(b) (5 pts) Calcule o determinante Jacobiano
∂(x, y)
∂(u, v)
da transformac¸a˜o no item (a).
(c) (10 pts) Use os itens acima para calcular a integral I.
Questa˜o 2: (15 pontos) Seja I =
∫ 1
0
∫ 1
y2
y sen(x2) dxdy.
(a) (5 pts) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o.
(b) (10 pts) Calcule a integral I.
Questa˜o 3: (20 pontos) Seja R a regia˜o plana interior a` circunfereˆncia x2 + y2 = 2y e exterior a`
circunfereˆncia x2 + y2 = 1.
(a) (10 pts) Fac¸a uma representac¸a˜o gra´fica da regia˜o R e a descreva utilizando as coorde-
nadas polares.
(b) (10 pts) Calcule a a´rea da regia˜o R.
Questa˜o 4: (20 pontos) Considere o so´lido T delimitado inferiormente pelo parabolo´ide z = x2+y2
e superiormente pelo cone z =
√
x2 + y2.
(a) (10 pts) Descreva o so´lido T utilizando as coordenadas cil´ındricas.
(b) (10 pts) Calcule o volume de T .
Questa˜o 5: (20 pontos) Calcule a integral I =
∫ √2
0
∫ √2−x2
0
∫ √2−x2−y2
0
1
2 + x2 + y2 + z2
dzdydx.
(Sugesta˜o:
∫
1
1 + x2
dx = arctan(x) + C.)
Boa Prova!