PIRÂMIDES Geometria Espacial

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PIRÂMIDES
GEOMETRIA ESPACIAL
Pirâmide de Quéops
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Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V e um ponto da região S.
Pirâmides
Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S contida em  e um ponto V fora de .
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Elementos de uma pirâmide
Considerando a pirâmide desenhada ao lado, temos: 
base: a região poligonal S; 
vértice da pirâmide: o ponto V; 
faces laterais: as superfícies triangulares AVB, BVC, ..., NVA; 
arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA;
arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN;
altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e o plano a.
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Classificação das pirâmides
Consideramos o número de arestas da base: 
se a base tem 5 arestas pirâmide pentagonal, e assim por diante.
se a base tem 3 arestas pirâmide triangular
se a base tem 4 arestas pirâmide quadrangular
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Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular. 
Pirâmide regular
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Observações:
O centro de um polígono regular coincide com o centro da circunferência circunscrita a esse polígono. 
As faces de uma pirâmide regular são determinadas por triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.
Pirâmide regular
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Elementos das pirâmides regulares
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Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
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Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular
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Atotal = Alateral + Abase
Área da superfície e total de uma pirâmide
Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma a base;
Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares);
Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base, ou seja: 
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Atotal =
Área da superfície de uma pirâmide triangular
Observação:
Se a pirâmide for um TETRAEDRO regular, sua área total, em função da medida ℓ da aresta, será dada por:
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Vpirâmide = área da base x altura
Volume de uma pirâmide qualquer
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Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida em um plano .
Tronco de pirâmide
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Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a , essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base contida no plano , e o que contém a base da pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide, de bases paralelas.
Tronco de pirâmide
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Considerando o tronco de pirâmide da figura ao lado, temos: 
base maior: superfície poligonal ABCDEF; 
base menor: superfície poligonal A’B’C’D’E’F’; 
faces laterais: superfícies trapezoidais AA’B’B, BB’C’C etc.;
altura do tronco (ht): distância entre a base maior e a base menor (ht = H – h).
Elementos de um tronco de pirâmide
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Tronco de pirâmide regular
No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que: 
as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes; 
as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e congruentes; 
a altura de uma face lateral é o apótema do tronco (de medida p).
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Atotal = Alateral + Ab + AB
Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das bases menor e maior, ou seja:
Área da superfície de um tronco de pirâmide
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 Vtronco =
Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’
Volume de um tronco de pirâmide
ou