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Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
Centro de Ciência e Tecnologia
Laboratório de Ciências Físicas
Caderno de Laboratório
(Roteiros dos Experimentos e Exercícios Propostos)
Laboratório Física Ondulatória
e
Física Geral 3
(Bacharelados e Licenciaturas)
Prof. Juraci Aparecido Sampaio
coordenador da disciplina
Campos dos Goytacazes - RJ
Março 2017
Sumário
Sumário ii
Sobre a disciplina e avaliações v
Ementa da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Objetivo da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Bibliografia básica a ser utilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Avaliações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Cronograma de Atividades da Disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Molas e o Movimento Harmônico Simples 1
1.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Análise dos Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Quais suas Conclusões? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Pêndulo Simples 10
2.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Análise e Discussão dos Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Quais suas Conclusões? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Cordas vibrantes 16
3.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
ii
SUMÁRIO iii
3.4 Análise dos Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Quais suas Conclusões? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Determinação da Velocidade do Som e Ressonância 24
4.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Análise dos Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Quais suas Conclusões? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7 Bacia de Ressonância - Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Cuba de Ondas 34
5.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Placa de Chladni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 As Leis da Refração: os dióptros 40
6.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.4 Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.5 Quais são suas conclusões? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 A dispersão da luz: os prismas 46
7.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.3 Materiais e métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.4 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.5 Quais são suas conclusões? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8 Vídeo sobre o espectro eletromagnético 50
8.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
SUMÁRIO iv
8.3 Metologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.4 Ondas de rádio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.5 Micro-ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.6 Ondas de infravermelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.7 A luz visível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.8 Ondas de Ultravioleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.9 Os raios X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.10 Raios Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.11 Discussão sobre o vídeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.12 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9 Difração e interferência: medição do comprimento
de onda médio da luz branca 61
9.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.4 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.5 Quais são suas conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.6 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
10 Interferometria: o interferômetro deMichelson-Morley 67
10.1 O que devo saber ao fim desse experimento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.3 Materiais e Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.4 Análise dos Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
10.5 Discussão dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.6 Quais são suas conclusões? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.7 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Sobre a disciplina e avaliações
Ementa da disciplina
Tanto a disciplina Laboratório de Física Geral III (FIS01206) e Laboratório de Física Ondu-
latória (FIS01245) têm como ementa a determinação experimental do domínio da validade de
alguns modelos físicos: o movimento harmônico simples (Pêndulo simples e a medição da ace-
leração da gravidade, pêndulo físico e Sistemamassa mola) ; Ondas estacionárias em uma corda
vibrante(ondas transversais); Ondas Sonoras (tubos ressonantes - ondas longitudinais); Propa-
gação de ondas em uma superfície (cuba de ondas); Ótica Geométrica (lentes, leis da reflexão
e refração da luz, difração da luz, dióptros e prismas, determinação do índice de refração de
materiais transparentes); Ótica Física (o espectro eletromagnético, polarizadores, interferência
de Young, Interferômetro de Michelson-Morley).
Objetivo da disciplina
Desenvolver no aluno habilidades e competências para a análise de dados experimentais
utilizando experimentos de ondas mecânicas e eletromagnéticas, aprimoramento da escrita
científica na forma de relatórios, bem como desenvolver o senso crítico na discussão de resul-
tados; desenvolver o uso de ferramentas tecnológicas (calculadoras científicas, computadores
e uso de internet).
Bibliografia básica a ser utilizada
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
cap 16-18, 34-41, v.2 e v4.
• SERWAY, R. A.; JR. JEWETT, J. W. Princípios de Física. 1.ed. São Paulo: Thomson,
2004. cap. 12-14, 24-28, v.2 e v.4.
• TIPLER, A.P.; MOSCA, G. Física. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. cap. 14-16, 31-33, v.1 e
v.2.
• YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A.; Física II. 12.ed. São Paulo: Pearson, 2008, cap. 13-16,
33-38, v.2 e v.4.
v
vi
Avaliações
Durante o curso serão aplicadas duas provas, cuja média vale até 70% da nota do semes-
tre. O aluno deverá entregar 2 relatórios valendo até 15% da nota (um relatório antes de cada
prova) do semestre. O aluno irá corrigir 2 relatórios de um experimento diferente ao que fez o
relatório (conforme critérios estabelecidas pelo professor) e valerá até 15% da nota do semestre.
O professor avaliará a correção do relatório e atribuirá uma nota ao aluno.
O relatório é individual e deverá ser entregue no formato de LaTeX, conforme modelo dis-
ponível no site do LCFIS. Não será aceitos em hipótese alguma relatórios feitos em outro meio.
As avaliações são elaboradas por uma banca composta pelo coordenador da disciplina e
demais professores que a ministram.
Oprazo para a entrega de qualquer relatório e/ou da correção do relatório é de uma
semana após a realização do experimento ou entrega do relatório para correção. A não
entrega dessas atividades no prazo acarretará em um desconto de 10% na nota por dia
de atraso.
O cálculo da média do semestre será dada por:
MS =
P1x7 + P2x7 +MRx1, 5 +MCx1, 5
17
(1)
em que P1 é a prova 1, P2 é a prova 2; MR é a média obtida nos relatóriose MC é a média das
Correções dos Relatórios. Serão aprovados os alunos que obtiverem nota superior ou igual
a 6 (seis). Caso contrário o aluno(a) deverá fazer a prova final, conforme estabelece as normas
da graduação, cujo conteúdo será toda matéria ministrada durante o semestre. A média após
avaliação final sua média será:
MF =
MS + PF
2
(2)
vii
Cronograma de Atividades da Disciplina
Tabela 1: Cronograma das atividades da disciplina do 1º Semestre 2016.
Aula nº Experimento Turmas B e A Turmas C, D e LF
1 Orientações Gerais Sobre o Curso 08/03/2017 09/03/2017
2 Molas e o Movimento Harmônico
Simples – Parte I
15/03/2017 16/03/2017
3 Molas e o Movimento Harmônico
Simples – Parte II
22/03/2017 23/03/2017
4 Pêndulo Simples 29/03/2017 30/03/2017
5 Ondas Transversais: Cordas vi-
brantes
05/04/2017 06/04/2017
6 Ondas Longitudinais: tubo resso-
nante
12/04/2017 13/04/2017
7 Cuba de Ondas – ondas superficiais
e Placa de Chladni
19/04/2017 20/04/2017
8 Avaliação 1 26/04/2017 27/04/2017
9 As leis da refração: dioptros 03/05/2017 04/05/2017
10 A dispersão da Luz: os prismas 10/05/2017 11/05/2017
11 Video sobre o espectroeletromag-
nético
10/05/2017 11/05/2017
12 Medida de Comprimento de Onda
da luz
17/05/2017 18/05/2017
13 Interferômetro de Michelson Mor-
ley
24/05/2017 25/05/2017
14 Avaliação 2 31/05/2017 01/06/2017
15 Avaliação Final 07/06/2017 08/06/2017
O cronograma poderá sofrer alterações caso o professor achar conveniente, dando ciência
antecipada aos alunos sobre tal fato.
A prova final será experimental. Cada aluno irá sortear um dos experimentos feitos ao
longo do curso. Deverá montar o experimentos (sem consulta de apostila), coletar dados e res-
ponder as perguntas da prova.
A fimde evitar transtornos, e para não atrapalhar o andamento das atividades, fica
proibido terminantemente o uso de celular durante as aulas e provas! Desligue-o ou
deixe-o no modo silencioso.
T´ıtulo do Modelo de Relato´rio no Formato de Artigo
Aluno 1 - Autor∗
Engenharia Civil, CCT, UENF.
Aluno 2 - Colaborador
Engenharia de Petro´leo, CCT, UENF.
Aluno 3 - Colaborador
Engenharia Materiais, CCT, UENF
(Dated: 14 de setembro de 2015)
O resumo e´ a u´ltima parte a ser escrita em qualquer tipo de trabalho! Nessa disciplina o resumo
do relato´rio devera´ ter no ma´ximo 100 palavras. A escrita obedece a seguinte ordem: 1) contex-
tualizac¸a˜o geral do experimento, 2) breve descric¸a˜o da metodologia, 3) apresentar dados relevantes
sobre dos principais resultados e 4) concluso˜es.
I. INTRODUC¸A˜O
A seguir sera´ descrito brevemente a formatac¸a˜o do re-
lato´rio que os alunos devera˜o apresentar nesta disciplina
experimental. Foi utilizado para redigir esse tutorial o
programa de escrita cient´ıfica LATEX[1].
A introduc¸a˜o do relato´rio na˜o devera´ ser muito ex-
tensa. O aluno deve apresentar algum aspecto histo´rico,
teoria sobre o assunto investigado e especificar como o
experimento foi executado. O tempo verbal do relato´rio
deve ser o tempo passado, lembre-se que voceˆ esta´ rela-
tando algo que ja´ foi feito.
A introduc¸a˜o deve ser dividida em pelo menos treˆs par-
tes. A primeira parte e´ a contextualizac¸a˜o do problema,
a segunda e´ a descric¸a˜o dos me´todos usados para sua
soluc¸a˜o e terceira e´ uma breve apresentac¸a˜o do que foi
feito no experimento.
Na˜o copie o que esta´ na internet, use essas informac¸o˜es
para voceˆ ter uma base do que e´ necessa´rio. Use livros
textos e outras fontes de informac¸o˜es e fac¸a a sua pro´pria
introduc¸a˜o. O professor da disciplina usara´ ferramen-
tas de busca para ver se o aluno cometeu algum tipo de
pla´gio. Caso detectado podera´ ser atribu´ıda nota zero
ao relato´rio e o aluno estara´ sujeitos a penalidades da
lei. Na˜o copie relato´rios de semestres anteriores, isso e´
detectado facilmente pelo professor. Ale´m disso, ha´ mu-
danc¸as sutis nos experimentos de semestre para semes-
tre. Caso seja detectada fraude sera´ atribu´ıda nota zero
ao relato´rio.
Na˜o fac¸a uma intoduc¸a˜o longa. No ma´ximo uma
pa´gina ja´ e´ suficiente, isso incluindo a parte teo´rica. O
que importa na˜o e´ a quantidade e sim a qualidade de
como a informac¸a˜o e´ colocada no texto. O relato´rio po-
dera´ ter no ma´ximo 4 pa´ginas em duas colunas. Por issootimize as informac¸o˜es e argumentos explicativos.
Preste atenc¸a˜o como sa˜o referenciados os assuntos.
Usaremos o me´todo de numerac¸a˜o e na˜o o padra˜o da
∗Electronic address: aluno1@uenf.br
ABNT.
Use essa oportunidade para aprender a escrever na
forma padra˜o.
A. Fundamentac¸a˜o teo´rica
Caso seja necessa´rio, o aluno podera´ fazer uma sub-
sec¸a˜o na parte introduto´ria do relato´rio, em que e´ colo-
cada a teoria sobre o assunto. Lembre-se que tudo o que
for colocado na introduc¸a˜o devera´ ser discutido na sec¸a˜o
de resultados e discusso˜es.
Vamos supor que por exemplo o aluno tenha colocado
na fundamentac¸a˜o teo´rica que o per´ıodo de um peˆndulo
simples e´ dado por[2]:
T = 2π
√
l
g
(1)
ele devera´ usar essa equac¸a˜o para explicar e correlacionar
com os resultados coletados no experimento. Por isso
coloque na introduc¸a˜o somente o que e´ essencial.
Veja que as equac¸o˜es devem ser numeradas, e na
sec¸a˜o de resultados e discusso˜es deve ser referenciado
da seguinte forma: “os resultados experimentais esta˜o
de acordo com a Eq. 1, ja´ que verificamos que de fato
o per´ıodo de um peˆndulo simples na˜o depende de sua
massa, mas sim do comprimento do fio [3]”.
II. METODOLOGIA
A metodologia deve ser discurssiva (discurso direto),
e na˜o na forma de receita de bolo (coloque isso, fac¸a
aquilo, mec¸a aquilo outro...). Se colocar figura descreva
a mesma, como descrito a seguir. Na Fig. 1 podemos
observar uma corda tensionada por uma massa M, co-
nectada a um oscilador mecaˆnico que e´ controlado por
um gerador de func¸o˜es, ambos da marca PASCO. Du-
rante o experimento variou-se a frequeˆncia de oscilac¸a˜o
Figura 1: Arranjo experimental para cordas vibrantes.
de 10 a 70 Hz, ajustando-a ate´ encontrar os harmoˆnicos
caracter´ısticos...
Observe que as legendas de figuras sa˜o sempre em baixo
da figura. O padra˜o de uso e´ Figura e na˜o gra´fico, seja
qual for a ilustrac¸a˜o colocada no relato´rio.
Procure descrever os equipamentos e a forma como foi
coletado os dados. A metodologia deve ser clara de tal
forma que qualquer um lendo o relato´rio possa reproduzir
o experimento.
III. RESULTADOS E DISCUSSO˜ES
Seu relato´rio deve sempre comec¸ar a ser escrito pelos
resultados e discussa˜o. Tenha as figuras e tabelas mais
importantes prontas. A partir dai voceˆ descreve os resul-
tados e verifica qual e´ a teoria necessa´ria para explicar
os dados. E e´ essa teoria que voceˆ tem que discutir na
introduc¸a˜o.
Alguns alunos pensam erroneamente que resultados e´
apenas colocar uma tabela ou figura, e que isso seja o
suficiente!
Figuras e Tabelas devem ser precedidas de uma ex-
plicac¸a˜o do que elas se referem. Veja o exemplo a seguir.
A figura 2 demonstra que quando aumentamos
a forc¸a aplicada a uma extremidade de uma mola
ocorre um aumento proporcional na distenc¸a˜o da
mola. Os dados ajustados por regressa˜o linear in-
dicam que ao coeficiente angular e´ de (0,00406 ±
0,0003) N/m, que no presente caso e´ a constante
da mola. Podemos ainda verificar que o coefici-
ente linear e´ de 0,00011± 0,00001, valor muito
pro´ximo de zero. O coeficiente de correlac¸a˜o ob-
tido foi de r= 0,9996, indicando que os dados
possuem de fato um comportamento linear. De
acordo com o valor padra˜o da constante ela´stica
da mola fornecido como sendo 0,0043 N/m, (per-
ceba que ha´ um espac¸o entre o valor e a sua uni-
dade f´ısica correspondente!) verificamos que
houve um erro relativo de 5,6% dentro do espe-
rado. Portanto pode-se afirmar que o me´todo foi
eficiente para determinar tal propriedade f´ısica
da mola.
Se voceˆ coletou dados de va´rias medic¸o˜es, voceˆ deve
calcular o erro e coloca´-los em forma de barra de erros.
Na discussa˜o e´ imprescind´ıvel relacionar a teoria com
a pra´tica, falar sobre os poss´ıveis erros e dar uma inter-
Di
st
en
çã
o 
na
 M
ol
a 
(m
)
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Força aplicada na mola (N)
0 1 2 3 4 5
 Dados Experimentais
 Ajuste linear
Figura 2: Arranjo experimental para cordas vibrantes.
pretac¸a˜o para o resultado. Voceˆ deve falar o mais claro
poss´ıvel, evite dar informac¸a˜o pela metade. A linguagem
usada deve ser formal. A preocupac¸a˜o que voceˆ tem que
ter e´ com o leitor. Se algue´m ler e na˜o entender e´ porque
voceˆ escreveu mal. Na du´vida pec¸a para um colega ler e
aceite as cr´ıticas.
Observe que a figura deve ter somente informac¸o˜es ne-
cessa´rias. Na˜o se deve colocar t´ıtulo em figuras (salvo
quando se faz em papel separado e na˜o esta´ dentro de
um contexto, de relato´rio por exemplo). Na˜o se coloca
na legenda a palavra gra´fico e sim se faz uma descric¸a˜o
do que a figura se refere. Observe que o tamanho do
caractere deve ser grande o suficiente para se poder ler.
Deve-se colocar as unidades de medida de cada eixo. Es-
pecifique na legenda interna da figura a o que se refere
os pontos e as linhas. Use toda a a´rea da figura para que
tudo esteja em escala. Na˜o importa se o eixo das abcissas
comece em 10.000 e termine em 15.000. O mesmo deve
ser feito para o eixo das ordenadas. A escala e´ essencial
para se ter uma figura dentro da norma padra˜o. Na˜o
colocar moldura em figuras!
Na Tabela I sa˜o resumidos os principais da-
dos obtidos para o experimento de cordas vibran-
tes. Podemos verificar que conforme aumenta-se
a densidade linear (µ) das cordas investigadas de
2,7 para 10,3 g/m, ocorre uma diminuic¸a˜o na ve-
locidade de propagac¸a˜o da onda de 19,3 para 4,5
m/s. Isso indica que a onda tem mais dificuldade
para se propagar em meios mais densos. De fato
esse resultado era previsto na teoria em que a
velocidade de uma onda esta´ relacionada com a
tensa˜o aplicada e a densidade do meio de pro-
pagac¸a˜o, conforme a Equac¸a˜o xx ja´ mencionada
na introduc¸a˜o. Aqui a Equac¸a˜o xx deveria ter sido
apresentada na sessa˜o de fundamentac¸a˜o teo´rica.
Da mesma forma a definic¸a˜o de densidade linear µ deve
ter sido especificada na introduc¸a˜o teo´rica. Qualquer
acroˆnimo (abreviac¸o˜es) devem ser escritas por extenso
na primeira vez que aparecer no texto. Perceba que a
2
Tabela I: Dados hipote´ticos do experimento corda vibrante.
µ (g/m) v (m/s) v2 (m2/s2)
2,7 19,3 372,5
4,5 15,4 237,2
5,3 10,3 106,1
8,6 7,4 54,8
10,3 4,5 20,3
legenda de Tabela e´ sempre no topo da mesma e deve
conter a informac¸a˜o indicando a que esses dados se refe-
rem. Veja que a tabela padra˜o na˜o tem linhas nas laterais
e nem entre os dados. A forma padra˜o exige que na˜o haja
poluic¸a˜o visual. Quanto mais simples, melhor e´! Na˜o e´
necessa´rio colocar todas as Tabelas e Figuras e sim as
mais representativas. As demais Tabelas sera˜o avaliadas
pelo professor durante a aula.
IV. CONCLUSO˜ES
A conclusa˜o de um relato´rio ou artigo deve comec¸ar
sempre do espec´ıfico e direcionar para o geral. Por exem-
plo:
Neste experimento investigamos a velocidade
do som utilizando um tubo ressonante, cujo va-
lor foi de aproximadamente 350 m/s, e com um
erro de aproximadamente 3% em relac¸a˜o ao va-
lor padra˜o. Podemos concluir que o me´todo foi
eficaz para determinar essa propriedade f´ısica.
Obviamente no seu relato´rio voceˆ deve ser mais abran-
gente em todos os apectos do experimento, todavia deve
ser conciso, pore´m claro no que escreve.
V. REFEREˆNCIAS
[1] H. Kopka and P. W. Daly, A Guide to LATEX, 3rd ed.
Harlow, England: Addison-Wesley, 1999.
[2] D. Halliday and R. Resnick, Fundamentos da F´ısica,
6a ed., Rio de Janeiro: LTC, 2002. cap 16-18, v.2.
[3] R. A. Serway and JR. J. W. Jewett ,Princ´ıpios de F´ısica.,
1a ed. Sa˜o Paulo: Thomson, 2004. cap. 12-14, v.2.
[4] A. P. Tipler and G. Mosca,F´ısica, 5a ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2006. cap. 14, v.1.
Apeˆndice A: Sistema de Avaliac¸a˜o
A nota final do relato´rio sera´ a nota ma´xima (dez pon-
tos) deduzida do somato´rio das penalidadesque o aluno
cometer. Abaixo sa˜o especificadas essas penalidades e a
pontuac¸a˜o negativa que o aluno obtera´ caso na˜o siga as
diretrizes. Por isso, esteja atento:
• Resumo muito extenso, ale´m de 200 palavras ( -0.5
ponto);
• Sera˜o aceitos relato´rios com ate´ 4 pa´ginas em papel
A4, fonte tamanho 12, fonte times new roman, duas
colunas) (-1,0 ponto);
• As margens devem ter 2,5 cm de cada lado (em
cima e em baixo, a` esquerda e a` direita). Caso
na˜o siga esse padra˜o sera´ considerado errado (-1,0
ponto);
• Legenda de Figuras e Tabelas erradas (-1,0 ponto);
• Mal uso de algarismos significativos (0,353488 ±
0,009323 esta´ errado! o correto e´ 0,35 ± 0,01, se
tem du´vida estude!) (-0,5 ponto);
• Na˜o fazer introduc¸a˜o para apresentar Figuras e Ta-
belas (-1,0 ponto);
• Na˜o fazer intrepretac¸a˜o dos dados corroborando
com teoria (-2,0 ponto);
• Na˜o apresentar erros em Figuras ou Tabela (-1,0
ponto);
• Na˜o fazer figuras dentro de escala (-1,0 ponto);
• Na˜o apresentar refereˆncias de livros textos (-1,0
ponto);
• Na˜o apresentar resumo ou concluso˜es dentro do
padra˜o estabelecido (-1,0 ponto);
• Na˜o apresentar a metodologia na forma discursiva
(-1,0 ponto);
• Plagiar parte do texto sem as referidas citac¸o˜es (-
4,0 pontos);
• Na˜o colocar numerac¸a˜o de pa´ginas apo´s 2 folha (-
0,5 ponto).
Favor na˜o encadenar o relato´rio. Entregar com as
folhas apenas grampeadas.
Apeˆndice B: Recursos computacionais
O aluno podera´ utilizar editores de texto como
word, libre office ou ainda LaTeX. No caso de alu-
nos que usem LaTex (o que e´ recomendado), po-
dera˜o pegar a template com o professor.
Gra´ficos podera˜o ser feitos utilizando o Excel, Calc
Spreadsheet, Origin ou Qtiplot. Cuidado ao utili-
zar esses programas pois alguns fazem a formatac¸a˜o
fora do padra˜o aqui requerido.
3
Experimento nº 1
Molas e o Movimento Harmônico Simples
1.1 O que devo saber ao fim desse experimento:
• Como se determina a constante elástica de uma mola?
• Como se determina a constante elástica de um sistema de molas em paralelo e em série?
• Verificar experimentalmente o Movimento Harmônico Simples (MHS).
1.2 Introdução
Figura 1.1: Movimento oscilatório de um corpo ligado à extremidade de uma mola suspensa:
as posições no eixo vertical registradas ao longo do tempo desenham uma senóide.
As molas helicoidais são usadas em muitas aplicações práticas no cotidiano pois têm como
principal característica a possibilidade de serem distendidas pela aplicação de uma força (por
exemplo, a força peso). Quantomaior for a distensão que provocamos namola, maior terá de ser
a força aplicada para manter a mola com essa distensão. Por outro lado, um corpo suspenso da
extremidade livre de umamola executa ummovimento oscilante, periódico, quando é deslocado
1
2
da posição de equilíbrio, vide Figura 1.1. O corpo tenderá a parar na posição de equilíbrio ao fim
de algum tempo (que pode ser demorado em circunstâncias favoráveis), ou seja, o movimento
é amortecido.
Nesse experimento o aluno irá verificar experimentalmente que é possível determinar a
constante elástica de molas por dois métodos: o dinâmico e o estático.
O primeiro método se utiliza do movimento harmônico simples, enquanto que o segundo
se utiliza da força que provoca uma elongação na mola. É possível usar ambos os métodos para
determinar a constante elástica de associação de molas, tanto na configuração em paralelo
quanto em série. A seguir é feita uma breve discussão sobre alguns conceitos básicos para o
desenvolvimento desse experimento. Para tanto, considere uma mola (massa desprezível) que
sofre uma elongação devido a uma força aplicada, conforme ilustrado na Figura 1.1. No seu
regime elástico é aplicável a Lei de Hooke dada por:
F⃗ = −ky⃗ (1.1)
em que F⃗ é a força que a mola exerce ao ser deslocada de uma quantidade y⃗ da sua posição
de equilíbrio e k é uma constante de proporcionalidade e o sinal negativo indica que esta força
está atuando de forma contrária ao seu deslocamento.
Para um sistema consistindo de um bloco de massa M em que uma força elástica atua
através de umamola demassam desprezível, podemos aplicar a 2ª lei de Newton para descrever
o movimento do bloco, que é dado por:
Ma⃗(t) = −ky⃗ (1.2)
Escrevendo na forma diferencial temos:
M
d2y
dt2
= −ky⃗ (1.3)
Essa equação diferencial de segunda ordem possui a seguinte solução:
y(t) = y0 sen
(
2π
T
t + φ
)
(1.4)
Podemos notar que se trata de um movimento harmônico simples, em que y0 é a distensão
máxima (ou amplitude), T é o período da oscilação e φ é uma constante de fase. Em condições
ideais, a amplitude y0 é considerada como constante nessa equação, já que podemos eliminar
as causas que provocam o amortecimento por perda de energia, como por exemplo resistência
do ar e atrito nos pontos de supensão.
A aceleração do movimento é a segunda derivada em função do tempo da Equação 1.4 dada
por:
a⃗(t) = −
(
2π
T
)2
y⃗(t) (1.5)
Comparando as equações 1.5 e 1.3 obtemos a constante da mola dada por:
k = 4π2
M
T 2
(1.6)
3
A força envolvida é variável no tempo e é a soma do peso (constante) do corpo supenso
(cuja massa éM ) e da força restauradora (variável) da mola , conforme a equação:
F⃗ (t) = P⃗ + F⃗r = Ma⃗(t) (1.7)
Uma vez que o sistema oscilador harmônico simples é o conjunto constituído pelo corpo
suspenso e pela própria mola, devemos também levar em consideração a massa da mola pois
ela é também responsável pelo movimento. Vamos agora calcular o quanto que isso representa
na massa efetiva do movimento.
Considere umamola demassam e comprimento y que esteja comuma de suas extremidades
presa na origemO. Seja v a velocidade de um elemento da mola (comprimento dy e massa dm)
e que na extremidade A a sua velocidade seja v0. Seja y0 = OA. Portanto temos:
v
v0
=
y
y0
(1.8)
Elevando ao quadrado ambos os membros dessa expressão e multiplicando por dm/2 ob-
temos:
1
2
v2dm =
1
2
y2
y20
v20dm (1.9)
Considerando que µ é a densidade linear do elemento de mola e que dm = µdy, podemos
fazer a substituição na equação anterior resultando em:
1
2
v2dm =
1
2
µv20
y20
y2dy (1.10)
Essa equação representa a energia cinética de um elemento da mola. Para calcularmos a
energia total basta integrarmos ambos os membros da Equação 1.10, ou seja:
Ec =
∫
1
2
v2dm =
µv20
2y20
∫ y0
0
y2dy (1.11)
Como dm = µdy, temos após a integração nos limites de 0 a y0 que m = µy0. Após as
devidas substituições na Equação 1.11 temos como resultado final:
Ec =
1
2
m
3
v20 (1.12)
Desta equação verificamos que mesmo sem qualquer corpo suspenso, a mola pode oscilar e
que devemos de fato levar em consideração o fatorm/3 nos cálculos da massa efetiva, ou seja,
para um sistema massa-mola temos:
Mef = M +
m
3
(1.13)
Desta forma a Equação 1.6 deve ser re-escrita considerando a massa efetiva do sistema
(massa pendurada na mola + massa da mola/3), Equação 1.13, logo
k =
(
2π
T
)2 (
M +
m
3
)
(1.14)
4
F⃗↓
y
F⃗ = −ky
Lei de Hooke
F⃗↓
F⃗↓
Ponto de
Equilíbrio
a) b) c)
Figura 1.2: Configurações de vários sistemas massa-mola: a) Lei de Hooke, b) 2 molas em
paralelo e c) 2 molas em série.
Essa é constante elástica da mola, cuja unidade no Sistema Internacional é Nm−1. Cada
mola tem uma constante específica. Podemos usar a Equação 1.14 para determinar a constante
da mola pelo método dinâmico, desde que saibamos o período de uma oscilação do sistema
massa-mola.
Podemos também ter associação de molas em diferentes configurações tanto em paralelo
quanto em série, conforme ilustra a Figura 1.2. Vamos considerar nesse experimento as equa-
ções abaixo que fornecem a constante da mola equivalente, keq de um sistema de duas molas.
A demonstração dessas equaçõesficam como exercício.
• Sistema de Molas em Paralelo
keqp = k1 + k2 (1.15)
• Sistema de Molas em Série
keqs =
k1k2
k1 + k2
(1.16)
1.3 Materiais e Métodos
Neste experimento você precisará de molas com diferentes constantes elásticas (kaekb),
régua, pesos, suporte (lastro), tripé e cronômetro. Não use um peso muito grande para
não estragar a mola. Você determinará a constante das molas primeiramente pelo método
estático e em seguida pelo método dinâmico. Siga as instruções abaixo e na dúvida pergunte
ao professor.
5
Procedimento para o método estático
• Tenha cuidado para não ultrapassar o limite de peso suportado pela mola.
• Coloque a mola suspensa no lastro. Considere a posição de equilíbrio como y0;
• Acrescente aos poucos vários pesos, por exemplo: M = 20, 30, 40, 50, 60, 80, 100 g;
• A cada massa anote a elongação observada na régua. Registre os dados na Tabela 1.1.
• Use g = 9, 81m/s2 para calcular a Força (em N).
Tabelas de dados para determinação da constante da mola pelo método estático
Tabela 1.1: Dados para uma mola com constante elástica ka.
M (kg)
F (N)
y − y0 (m)
Faça o gráfico. Use a calculadora para fazer regressão linear F = a + ky. Qual o valor do
coeficiente linear (a)? Qual o valor do coeficiente angular (k)? Qual o sentido físico desse
coeficiente angular? Qual o valor do fator de correlação (r) obtido? O que significa esse valor?
houve linearidade?
Tabela 1.2: Dados para uma mola com constante elástica kb.
M (kg)
F (N)
y − y0 (m)
Faça a regressão linear. Obtenha os coeficientes linear, angular e fator de correlação. Qual foi
o valor da constante elástica da mola?
Tabela 1.3: Dados para duas molas em paralelo, considere a constante elástica das duas molas
kc.
M (kg)
F (N)
y − y0 (m)
Faça a regressão linear. Obtenha os coeficientes linear, angular e fator de correlação. Qual foi
o valor da constante elástica da mola equivalente?
Faça a regressão linear. Obtenha os coeficientes linear, angular e fator de correlação.
Qual foi o valor da constante elástica da mola equivalente?
6
Tabela 1.4: Dados para duas molas em série, considere a constante elástica das duas molas kd.
M (kg)
F (N)
y − y0 (m)
Tabela 1.5: Dados obtidos para determinação de k método estático.
Mola A B r k
a
b
a + b (paralelo)
a + b (série)
Procedimento para o método dinâmico
– Pese a mola, os suportes e os pesos que você utilizará. Observe as unidades usadas
na tabela (kg e s).
– Comece o experimento com um peso pequeno, por exemplo 50 g;
– Prenda a mola no tripé e cuidadosamente pendure o peso;
– Distenda a mola suavemente cerca de 1 cm;
– Ajuste o sensor de movimento e de tempo (photogate) conforme indicado pelo pro-
fessor (use o modo pend);
– Registre o tempo de pelo menos 10 oscilações;
– Anote o valor médio do período para cada peso na Tabela 1.6
– Aumente o peso, por exemplo acrescentando mais 30g;
– Obtenha o período médio para esse peso da mesma forma que anteriormente;
– Repita esse procedimento para mais 4 pesos;
– Na sequência obtenha o período de oscilação para duas molas em paralelo;
– Faça omesmo procedimento para duasmolas em série. Utilize molas de k diferentes.
Tabela 1.6: Dados para 1 mola com constante elástica ka. Valor dem da mola:
Nº damedição 1 2 3 4 5 6
Mef (kg)
T¯ (s)
T¯ 2 (s2)
Faça o gráfico de T 2 versusM . Use a calculadora e faça a regressão linear. Quais os parâmetros
obtidos? Qual a constante elástica da mola? Use a Eq. 1.14 para fazer os cálculos.
7
Tabela 1.7: Dados para 1 mola com constante elástica kb. Valor dem da mola:
Nº damedição 1 2 3 4 5 6
Mef (kg)
T¯ (s)
T¯ 2 (s2)
Tabela 1.8: Dados para 2 molas em paralelo com constantes elásticas ka e kb. Valor de m das
molas:
Nº damedição 1 2 3 4 5 6
Mef (kg)
T¯ (s)
T¯ 2 (s2)
Qual o valor da constante elástica da mola equivalente na configuração em paralelo?
Tabela 1.9: Dados para 2 molas em série. Considere ka e kc. Valor dem das 2 molas:
Nº damedição 1 2 3 4 5 6
Mef (kg)
T¯ (s)
T¯ 2 (s2)
Qual o valor da constante elástica da mola equivalente na configuração em série?
1.4 Análise dos Resultados Obtidos
• Use os dados da Tabela 1.6 para fazer o gráfico de T 2 x Mef . Obtenha a equação da reta
por regressão linear.
• Relacione o coeficiente angular com a Eq. 1.14 e determine a constante da mola.
• Faça o mesmo com os dados das Tabelas 1.7, 1.8 e 1.9. Nos dois últimos caso você obterá
a constante da mola equivalente.
• Use a Equação 1.15 e 1.16 para verificar o valor experimental da constante da mola com
o previsto nessas equações.
• Faça o gráfico de F em função de y. Obtenha a equação da reta por regressão linear.
Tabela 1.10: Dados obtidos para determinação de k método dinâmico.
Mola A B r k
a
b
a + b (paralelo)
a + b (série)
8
Tabela 1.11: Comparações dos resultados obtidos versus padrões.
Mola
Método Método k Mola % Erro % Erro
Estático Dinâmico Fabricante Estático Dinâmico
ka
kb
k(a+b)P
k(a+b)S
• Relacione o coeficiente angular com a constante da Equação 1.1.
• Repita o mesmo procedimento para os demais dados.
1.5 Discussão dos Resultados
• Observe o gráfico de T 2 xm e explique porque que a linha não atravessa a origem.
• Compare os resultados obtidos com o valor das constantes elásticas fornecidas pelo pro-
fessor. Qual foi o erro?
• Qual o método mais eficaz?
• Os valores das constantes elásticas dasmolas obtidos pormétodos diferentes foram iguais?
• O que você deduz quando usamos molas em paralelo? E no caso de molas em série?
9
• Você conseguiria obter o k desconhecido de uma mola, sabendo o k conhecido de uma
outra mola? Explique.
1.6 Quais suas Conclusões?
O que você conclui sobre a utilização dos dois métodos utilizados na determinação da cons-
tante elástica da mola? Qual método que lhe parece ser o mais adequado e por quê? Foi possível
comprovar a lei da associação em paralelo? Qual foi a fonte de erro?
1.7 Exercícios
1. Por quê devemos considerar a massa da mola nos cálculos para determinar a constante
elástica da mola?
2. Considere que uma mola de constante elástica k mantém suspenso, por uma de suas ex-
tremidades, um bloco de massam. Corta-se a mola ao meio e o mesmo bloco é suspenso
por uma das metades resultantes. Escreva a equação que descreve a frequência de oscila-
ção desse novo sistema massa-mola antes e depois da mola ser cortada. Elas são iguais?
Como estão relacionadas essas frequências?
3. Considere um bloco de massa desconhecida e uma mola de constante elástica também
desconhecida. Como podemos predizer o período das oscilações deste sistema massa-
mola, quando tirado da posição de equilíbrio, medindo simplesmente o alongamento
produzido na mola na direção vertical quando penduramos o bloco.
4. Como podemos comparar as massas de diferentes corpos observando suas frequências
de oscilação quando suportados por uma mola.
5. Demostre as Equações 1.15 e 1.16.
6. Deduza a equação que descreve a constante elástica de um sistema composto por 3 molas,
tanto na configuração em paralelo quanto em série.
1.8 Bibliografia
1. HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
cap 16-18, v.2.
2. SERWAY, R. A.; JR. JEWETT, J. W. Princípios de Física. 1.ed. São Paulo: Thomson,
2004. cap. 12-14, v.2.
3. TIPLER, A.P.; MOSCA, G. Física. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. cap. 14, v.1.
Experimento nº 2
Pêndulo Simples
2.1 O que devo saber ao fim desse experimento:
• O que é o movimento harmônico simples (MHS)?
• É possível construir fisicamente um pêndulo simples?
• Qual é a dependência do período de oscilação de um pêndulo em relação ao comprimento
do fio?
• Qual é a dependência do período de oscilação de um pêndulo em relação à massa do
corpo suspenso?
• Como posso usar o experimento do pêndulo simples para determinar a aceleraçãoda
gravidade de um lugar?
2.2 Introdução
Qualquer movimento que se repete em intervalos iguais constitui ummovimento periódico
ou oscilatório. Basta olhar ao nosso redor para verificarmos que esse tipo de movimento está
muito presente no nosso cotidiano. Como exemplo podemos citar: as moléculas em um sólido,
que oscilam em torno de suas posições de equilíbrio; as ondas eletromagnéticas, tais como as
ondas luminosas, radar e ondas de rádio, que são caracterizadas por vetores oscilantes de campo
elétrico e magnético; e os circuitos de corrente alternada, como as das instalações elétricas em
sua casa, em que a tensão e a corrente variam periodicamente de acordo com o tempo.
O pêndulo simples é na verdade ummodelo idealizado constituído por um corpo puntiforme
(massa desprezível) suspenso por fio inextensível e de massa desprezível, cuja representação
esquemática é ilustrada na Figura 2.1a.
10
11
l
m
θ
F⃗g
T⃗
mg sen θ
m
a) Um pêndulo simples. b) As forças que agem no sistema.
Ponto Fixo
θ
mg cosθ
Figura 2.1: Representação esquemática do pêndulo simples e as forças que atuam no sistema.
No campo da pesquisa científica, físicos e engenheiros buscam entender o movimento os-
cilatório a fim de explicar fenômenos que ocorrem desde o mundo microscópico até o mundo
macroscópico. Nesta aula experimental você terá a oportunidade de verificar o movimento os-
cilatório de um pêndulo simples e também descobrir uma das formas de se medir a aceleração
da gravidade.
As forças que agem sobre o peso são a tração T⃗ exercida pelo fio e a força gravitacional
F⃗g, conforme mostra a Figura 2.1b, onde o fio faz um ângulo θ com a vertical. Decompondo
F⃗g, temos mg cos θ na direção radial e mg senθ na direção x tangencial à trajetória do peso,
e que produz um torque restaurador em relação ao ponto fixo do pêndulo, já que sempre age
no sentido oposto ao deslocamento do peso, tendendo levá-lo de volta ao ponto central. Esse
torque é dado por τ = −l(mg sen θ), em que o sinal negativo indica que o torque age no sentido
de reduzir θ e l é o braço da alavanca da força em relação ao ponto fixo do pêndulo. Sabendo
que o torque τ = Iα, então :
τ = −l(mgsenθ) = Iα (2.1)
onde I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto fixo e α é a aceleração angular
do pêndulo em relação a esse ponto.
Considerando que o ângulo θ é pequeno (em radianos), logo sen θ ≈ θ, então temos que:
α = −
mgl
I
θ (2.2)
Lembrando que a equação característica do movimento harmônico simples é dada por:
a(t) = −ω2x(t) (2.3)
que quando comparada com a Equação 2.2, podemos deduzir que a frequência angular do pên-
dulo é ω =
√
mgl/I . Como a frequência angular é dada por ω = 2π/T , vemos que o período
de um pêndulo simples pode ser escrito como:
12
T = 2π
√
I
mgl
(2.4)
No caso do pêndulo simples, podemos considerar o momento de inérica I = mr2 com r = l.
Após a simplificação dos cálculos resulta em:
T = 2π
√
l
g
(2.5)
Esta é a equação do pêndulo simples. Podemos perceber que o período de oscilação do pêndulo
depende somente do comprimento do fio. Quanto maior o comprimento do fio, maior será o
seu período de oscilação. Perceba que a massa não aparece nessa equação, logo espera-se que
o período de oscilação de um pêndulo com uma massa de 1 kg e de uma massa de 10 kg seja o
mesmo. Isso você poderá conferir experimentalmente nessa aula.
2.3 Materiais e Métodos
Nesse experimento vamos utilizar os seguintes materiais: suporte para pêndulo, balança
de precisão, diferentes massas, fio de nylon, trena, transferidor, cronômetro (modo pêndulo),
papel milimetrado, calculadora científica.
Tabela 2.1: Dados experimentais - massa das esferas.
Esfera aço inox alumínio chumbo Plástico Latão
Massa (g)
Comece o experimento pesando as várias massas disponíveis. Escolha uma massa de apro-
ximadamente 50 g para iniciar o experimento. Determine o período de oscilação dessa esfera de
massam, usando diferentes comprimentos de fio. Comece utilizando um fio de comprimento
grande, por exemplo 40 cm, e em seguida vá encurtando o tamanho do fio (faça isso dando
algumas voltas do fio no entorno do parafuso de fixação). Escolha um ângulo de 10 a 15 graus.
Faça esse procedimento para pelo menos 5 comprimentos. Anote os resultados na Tabela 2.2.
Na sequência escolha um tamanho de fio, por exemplo 30 cm, meça o período de oscilação
para pelomenos 5massas (usando um único tamanho para o fio). Anote os resultados na Tabela
2.4. Observe o que ocorre com o período de oscilação do pêndulo.
Agora escolha uma das massas disponíveis, e aumente o ângulo de 10 até pelo menos 60
graus. Registre os dados do período de oscilação na Tabela 2.3
Faça os gráficos, analise e discuta os resultados conforme indicado abaixo.
2.4 Análise e Discussão dos Resultados Obtidos
• Usando os dados da Tabela 2.2, faça um gráfico de T 2 x l. Usando eixos diferentes no
mesmo gráfico, coloque os pontos referentes a Tabela 2.4, ou seja, T 2 x m.
13
Tabela 2.2: T versus l
l (m) T (s) T2 (s2)
1
2
3
4
5
m = θ =
Tabela 2.3: T versus θ
θ (º) T (s) T 2
1
2
3
4
5
m = l =
Tabela 2.4: T versusm
m (kg) T (s) T2 (s2)
1
2
3
4
5
l = θ =
• Observando a curva de T 2 x l explique qual é a dependência do período T em relação ao
comprimento l. E qual é a relação existente entre o período T e a massa m quando se
observa a curva de T 2 xm?
• Use regressão linear e obtenha os parâmetros que descreve a reta T2 x l.
• Estime um valor aproximado para a aceleração da gravidade (g), usando a Equação 2.5 e
os dados obtidos da regressão linear.
• Calcule o erro relativo e explique qual é a origem do erro no valor de g obtido experi-
mentalmente em relação ao valor padrão 9,806 m/s2.
14
• Qual é o valor da aceleração da gravidade quando usamos os dados da Tabela 2.4. Nesse
caso é necessário fazer a regressão linear? Por que?
• Dos resultados obtidos, até que ângulo θ é que a aproximação senθ≈ θ é válida? A partir
de qual ângulo θ o desvio percentual entre o sen θ e θ se torna maior que 0,5 %?
• Discuta detalhadamente todos os resultados obtidos e calcule o erro da aceleração da
gravidade usando propagação de erros.
2.5 Quais suas Conclusões?
Conclua os resultados obtidos de forma clara e concisa, considerando a proposta do ex-
perimento que é o de investigar a dependência do período do pêndulo em função de diversas
variáveis (comprimento do fio, massa do corpo, ângulo da oscilação), além do resultado de g.
2.6 Exercícios
1. Considere hipoteticamente que um astronauta chegou a um planeta e usou o método
acima para determinar a aceleração da gravidade do planeta, e obteve os dados da Tabela
2.5. Descubra o valor da aceleração da gravidade desse planeta usando regressão linear
e de acordo com a Tabela 2.6 indique o planeta. Considere que o astronauta cometeu um
erro de 3% no experimento realizado. (2.0 pontos)
Tabela 2.5: Período de um pêndulo simples em função do comprimento do fio.
l (cm) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
T (s) 0,72 0,77 0,83 0,88 0,93 0,97 1,01 1,05 1,10 1,12 1,17
Tabela 2.6: Aceleração da gravidade de vários planetas
Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutão*
g (m/s2) 3,78 8,60 9,78 3,72 22,9 9,05 7,77 11,0 0,5
*Plutão é reconhecido como um plutóide, uma nova classe de astro.
2. É realmente possível construir um pêndulo simples? Explique.
3. Galileo propôs e resolveu a seguinte questão. Um fio pende de uma torre alta e escura
de tal forma que sua extremidade superior não é visível ou acessível, mas a extremidade
inferior sim. Como poderemos determinar o comprimento do fio?
4. Qual é o objetivo do balancimnum relógio de pulso ou do pêndulo num relógio de parede?
5. Uma placa circular de massa M e raio R está pendurada em um prego por uma pequena
alça localizada em uma de suas extremidades,conforme Figura 2.2. Depois de ser colo-
cada no prego a placa oscila em um plano vertical. Encontre o período da oscilação se a
amplitude do movimento for pequena.
15
R
M
Figura 2.2: Placa circular de Massa M e raio r pendurada em um prego.
2.7 Bibliografia
1. HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
cap 16-18, v.2.
2. SERWAY, R. A.; JR. JEWETT, J. W. Princípios de Física. 1.ed. São Paulo: Thomson,
2004. cap. 12-14, v.2.
3. TIPLER, A.P.; MOSCA, G. Física. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. cap. 14, v.1.
Experimento nº 3
Cordas vibrantes
3.1 O que devo saber ao fim desse experimento:
• Como se determina a densidade linear de uma corda?
• O que ocorre com a velocidade de uma onda se propagando em uma corda quando a
tensão aplicada na corda é variada? E se mudarmos a densidade linear da corda?
3.2 Introdução
Quando criamos uma perturbação em uma corda esticada é gerado um pulso que se pro-
paga pela corda. Nesse caso a corda irá vibrar em seu modo fundamental, ou seja, um único
segmento, com nós em seus extremos conforme ilustra a Fig. 3.1. Se a corda for mantida em
sua frequência fundamental será originada uma onda estacionária, que é o resultado da inter-
ferência mútua das ondas se propagando em sentidos opostos.
L (λ/2)
Nodo Nodo
Ventre
Figura 3.1: Modo fundamental (primeiro harmônico).
Observe que cada segmento é igual a metade de um comprimento de onda. A linha sólida
representa a onda se propagando na direção positiva do eixo das abcissas, enquanto que a linha
tracejada representa a onda refletida no nodo (ou nó). Em geral para um dado harmônico, o
comprimento de onda é λ = 2L/n, onde L é o comprimento da corda esticada e n é o número
16
17
de segmentos na corda (número inteiro de ventres. Este será o n-ésimo harmônico para o qual
L = nλ2 .
Ondas estacionárias serão também formadas se a corda for mantida em qualquer múltiplo
inteiro desta frequência. A frequência de ressonância que corresponde a esse comprimento de
onda pode ser calculada pela seguinte equação:
f =
v
λ
. (3.1)
Substituindo λ temos então que a frequência do n-ésimo harmônico será:
f =
nv
2L
(3.2)
Aqui v é a velocidade de propagação da onda. As frequências mais altas são chamadas de
harmônicos e são ilustradas nas Figs. 3.2 e 3.3, respectivamente para o segundo e terceiro
harmônicos. Na Fig. 3.3 é possível observar uma onda estacionária com três ventres, sendo seu
comprimento de onda 3λ/2.
L (λ)
Figura 3.2: Segundo harmônico.
L (3λ/2)
Figura 3.3: Terceiro harmônico.
Da Eq. 3.1 obtemos que a velocidade da onda é dada por v = λf . Poderíamos supor que
quanto maior fosse a frequência maior seria a velocidade da onda. Esse pensamento não está
correto, como você observará experimentalmente. Ocorre que, conforme se aumenta a frequên-
cia da oscilação, mais modos de oscilação são formados, ou seja, o número de ventres também
aumenta, e como o comprimento de onda será menor, haverá uma compensação proporcional
entre esses dois fatores logo a velocidade da onda se mantém constante.
Todavia se quisermos enviar um pulso em uma corda para fazê-la vibrar, teremos uma
maior dificuldade de fazê-lo se a corda for muito densa. Imagine por exemplo você tentando
enviar um pulso em uma corda trançada usada por marinheiros, com certeza haverá umamaior
dificuldade de fazer a onda se propagar, do que se a corda em questão fosse a de um violão, cuja
densidade é menor. Desta forma a velocidade de uma onda se propagando em uma corda
esticada vai ser determinada somente pelas propriedades físicas dessa corda. De modo
geral, a velocidade de uma onda em uma corda com uma tensão T aplicada e densidade linear
µ é dada por:
v =
√
T
µ
(3.3)
Ao analisarmos essa equação podemos deduzir que quanto maior for a densidade linear
menor será a velocidade da onda se propagando na corda. Por outro lado se a tensão aplicada
for grande, a velocidade será alta. Use o presente experimento para comprovar tal fato.
18
Portanto, temos como objetivo nesse experimento estudar ondas estacionárias se propa-
gando em uma corda esticada e determinar a sua densidade linear. Usaremos para isso dois
métodos, um que se obtém diretamente e outro usando os dados obtidos pela propagação da
onda na corda. Tem-se também como objetivo comprovar o que é predito na teoria.
3.3 Materiais e Métodos
Neste experimento você precisará de cordas de diferentes densidades lineares, trena, pesos,
suporte (lastro), gerador de frequências, oscilador. Siga o seguinte procedimento para realizar
o experimento.
Variando a tensão na corda mantendo a densidade linear.
1. Pese um pedaço de corda de massam e comprimento l. Calcule a densidade linear: µ =
m/l. O valor será dado em gramas por metro. Anote os dados na Tabela 3.1. Repita esse
procedimento para todas as cordas na bancada.
Tabela 3.1: Dados para obtenção da densidade linear de diferentes cordas.
cor do fio
Massa (g)
Comprimento (m)
µ (g/m)
2. Inicie o experimento usando a corda cuja densidade linear esteja entre 2 e 3 g/m.
3. Faça a montagem experimental com o suporte de peso conforme a Figura 3.4. Inicie o
experimento com uma massa de 100 g. Considere g = 9,81 m/s2 para calcular a tensão na
corda.
Figura 3.4: Arranjo experimental para cordas vibrantes.
19
4. O comprimento l a ser usado nos cálculos será distância compreendida entre P1 e P2
na Figura 3.4. Use um comprimento de pelo menos 1 metro. Este comprimento deve se
manter fixo durante todas as medições. Por isso use uma fita crepe para marcar a posição
emque se encontra o oscilador. Inicialmentefixe a frequência f em 10Hz e varie até obter
o modo fundamental. Ajuste a amplitude A para que se obtenha uma boa visualização
da onda.
5. Anote todos os dados na Tabela 3.2. Inicie o experimento variando a frequência até obter
os 7 primeiros harmônicos (n = 1, 2, 3...7).
6. Faça o cálculo da velocidade da onda para cada harmônico. O que você observa?
7. Acrescente mais 50 g no suporte de pesos.
8. Repita o procedimento anterior, ou seja obtenha as frequências para 3 e 5 harmônicos
com a nova tensão. Repita esse procedimento até atingir 350 g.
9. Faça todos os cálculos da velocidade usando v = λf , em que λ = 2L/n, e anote os
resultados na Tabela 3.2. Use os três dados da velocidade para calcular a velocidade
média da onda.
Tabela 3.2: Dados obtidos com densidade linear da corda fixa e variando tensão.
Medição Massa (kg) Tensão (N) f (Hz) n λ(m) v (m/s) v (m/s)
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 3
8 5
9 3
10 5
11 3
12 5
13 3
14 5
O que ocorre com a velocidade? Ela depende da frequência ou da tensão? Explique.
Mantendo a tensão fixa e variando a densidade linear da corda.
1. Escolha uma tensão fixa para fazer o resto do experimento (para as outras 4 cordas). Por
exemplo escolha uma massa de 200 g e anote na tabela 3.3.
20
2. Faça o mesmo procedimento da seção anterior, porém variando as densidades lineares
das cordas. A propagação da onda em algumas cordas se torna mais difícil, consequen-
temente será mais difícil visualizar um grande número de harmônicos. Por isso, escolha
a frequência em que se obtenha três harmônicos (n = 3) para facilitar a execução do
experimento.
Tabela 3.3: Dados obtidos mantendo a tensão fixa e densidade linear variável.
Cor do fio µ (g/m) f (Hz) n λ (m) v (m/s)
3
3
3
3
3
Coloque na tabela os dados em ordem crescente do valor da densidade linear. Explique o
que ocorre com a velocidade em função da densidade linear da corda.
Ondas propagando de um meio menos denso para um meio mais
denso.
Utilize agora a corda que possui uma parte mais densa que a outra. Faça a montagem do
experimento de forma que a corda fique com o mesmo comprimento da parte mais densa e
menos densa (aproximadamente 70 cm de cada lado). Use um peso de 200 g nosuporte. Deixe
a corda bem esticada e sem ondulações. Ligue o gerador de ondas em uma frequência de 20
Hz. Ajuste a frequência até obter pelo menos 2 harmônicos no lado menos denso. Use o índice
1 para o lado menos denso e o índice 2 para o lado mais denso.
Tabela 3.4: Dados obtidos para onda propagando em 2 meios com de densidade diferentes.
Medição Massa (kg) T(N) f(Hz)
Meio menos denso Meio mais denso
n1 λ1 (m) v1 m/s) n2 λ2 (m) v2 m/s)
1 0,200 1,962 2
2 0,200 1,962 3
1. Calcule o comprimento de onda no meio menos denso?
2. Quantos harmônicos você pode observar na parte mais densa, quando na parte menos
densa observa-se 2 harmônicos? Qual o comprimento da onda nesse meio? E o que
ocorre quando se observa 3 harmônicos?
3. Em termos da velocidade da onda o que você observa quando a onda passa de um meio
menos denso para um mais denso?
4. Use a Equação 3.3 para calcular a densidade linear em cada um dos meios.
21
5. O que acontece com a velocidade da onda em cada um dos meios se você variar a frequên-
cia?
3.4 Análise dos Resultados Obtidos
• Use as Tabelas 3.5 e 3.6 para anotar os valores médios obtidos. Preste atenção as unidades
adotadas.
• Use os dados da Tabela 3.5 para fazer o gráfico de v2 versus T . Obtenha a equação da
reta por regressão linear. Ache o coeficiente angular e usando a Equação 3.3 calcule a
densidade linear.
• Baseado nos dados calculados na Tabela 3.6 faça o gráfico de v versus µ. Coloque no
mesmo gráfico os dados de v versus T.
Tabela 3.5: Resumo para µ fixo e T variável.
Tensão (N) v (m/s) v2 (m2/s2)
Tabela 3.6: Resumo para T fixo e µ variável.
µ (kg/m) v (m/s)
3.5 Discussão dos Resultados
• Conforme a frequência aumenta o que ocorre com o número de harmônicos, ou seja, qual
a relação que existe entre f e n? O que ocorre com o comprimento de onda?
• Baseado nos dados calculados na Tabela 3.2 verifique o que ocorre com a velocidade
quando se aumenta a tensão na corda. Verifique também o que ocorre com a velocidade
quando a frequência aumenta.
• Compare o resultado da densidade linear obtido do gráfico de T versus v2 com o valor
obtido na Tabela 3.1. Discuta a fonte de erro.
• O que ocorre com a velocidade quando a tensão aumenta? Por quê?
22
3.6 Quais suas Conclusões?
Qual o método para a determinação da densidade linear da corda é o mais correto? Por
que? O que você conclui sobre a velocidade de uma onda se propagando em uma corda esticada
vibrando? A velocidade depende essencialmente do comprimento de onda? Explique. Quais as
fontes de erro.
Considere os seguintes valores como densidade linear padrão para as cordas: branca grossa
(16,19 g/m); vermelha (11,54 g/m); mesclada (9,25 g/m); branca fina (8,43 g/m); verde (5,05 g/m);
laranja (4,02 gm/m), amarela (2,68 g/m); cinza (1,95 g/m) e azul (1,65 g/m)
3.7 Bibliografia
1. HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
cap 16-18, v.2.
2. SERWAY, R. A.; JR. JEWETT, J. W. Princípios de Física. 1.ed. São Paulo: Thomson,
2004. cap. 12-14, v.2.
3. TIPLER, A.P.; MOSCA, G. Física. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. cap. 14, v.1.
23
3.8 Exercícios
1. Considere que uma corda A seja duas vezes mais densa que uma corda B. Além disso
ambas são submetidas a mesma tensão e possuem o mesmo comprimento. Se cada uma
das cordas estiver vibrando no modo fundamental, qual das duas terão frequência mais
alta?
2. Uma corda C média em um piano tem a frequência fundamental de 262 Hz e a nota lá
tem a frequência fundamental de 400 Hz. a) Calcule as frequências dos dois harmônicos
seguintes da corda C. b) Se as cordas para as notas lá e dó tiverem a mesma densidade
linear e o mesmo comprimento, determine a razão das tensões nas duas cordas.
3. Duas cordas foram amarradas uma na outra com um nó e esticadas entre dois suportes
rígidos. As cordas têm densidades lineares µ1 = 1,4 x 10−4 kg/m e µ2 = 2,8 x 10−4 kg/m.
Os comprimentos são L1 = 3,0 m e L2 = 2,0 m, e a corda está submetida a uma tensão de
400 N. Dois pulsos são enviados simultaneamente em direção ao nó a partir dos suportes.
qual dos pulsos chega primeiro ao nó?
Identifique os valores das densidades lineares da corda utilizada no seu experimento (vide
Tabela 3.7) e confira os valores das densidades lineares obtidas no seu experimento, tanto aquele
utilizando o método direto, quanto aquele obtido medindo a tensão e a velocidade da onda se
propagando na corda. Explique no seu relatório os erros observados.
Tabela 3.7: Densidade Linear (valores padrão)
Cor da corda Densidade Linear
(g/m)
Branca grossa 16,19
Vermelha 11,54
Mesclada 9,25
Branca fina 8,43
Verde 5,05
Laranja 4,02
Amarela 2,68
Cinza 1,95
Azul 1,65
Experimento nº 4
Determinação da Velocidade do Som e Ressonância
4.1 O que devo saber ao fim desse experimento:
• Como as ondas longitudinais se comportam em um tubo ressonante?
• Como se determina as frequências de ressonância em tubos abertos e fechados?
• Como se determina a velocidade do som usando um tubo ressonante?
4.2 Introdução
Quando o diafragma de um alto-falante vibra com uma determinada frequência, uma onda
de som é produzida e se propaga pelo ar. Veja Figura 4.1. A onda de som é o resultado dos
pequenos movimentos das moléculas de ar que se movem para frente e para trás a partir do
alto-falante. Se fossemos capazes de ver o pequeno volume de ar se movendo próximo ao alto-
falante veríamos que o deslocamento desse volume de ar é muito curto, se movendo com a
mesma frequência do alto-falante.
Figura 4.1: Ilustração de uma onda longitudinal se formando a partir da oscilação de um alto-
falante.
Este movimento é muito análogo às ondas se propagando em uma corda. A principal di-
ferença é que se olharmos para uma pequena porção da corda veremos que o movimento de
24
25
oscilação é transversal à direção de propagação. No presente caso o movimento do pequeno
volume de ar que gera a onda sonora de dá na direção paralela à propagação da onda. Por essa
razão esse tipo de onda é chamada de onda longitudinal.
Uma outra forma de contextualizar uma onda sonora é através de uma série de compres-
sões e rarefações. Quando o diafragma de um alto-falante se move para fora o ar próximo do
diafragma é comprimido, criando um pequeno volume de ar com pressão relativamente alta,
uma compressão. Esse pequeno volume de ar a alta pressão comprime o volume de ar adja-
cente a ele, que acaba comprimento o outro volume de ar adjacente, tal que a alta pressão se
propaga a partir do alto-falante. Quando o diafragma do alto-falante se move para trás é criado
um volume de ar de baixa pressão, uma rarefação, que é criada próximo ao diafragma. Esta
rarefação também se propaga desde o alto-falante.
Em geral, uma onda de som se propaga em todas as direções da fonte da onda. Entretanto,
para estudar as ondas sonoras de maneira simplificada, podemos restringir o movimento de
propagação em uma dimensão, isso é feito com um Tubo de Ressonância.
Ondas Estacionárias em um Tubo
As ondas estacionárias são criadas em uma corda vibrante quando uma onda é refletida de
uma extremidade da corda tal que a onda que retorna interfere com a onda original. As ondas
estacionárias também ocorrem quando uma onda é refletida de uma extremidade de um tubo.
Uma onda estacionária tem nodos, pontos onde a corda não se move, e ventres, pontos
onde a corda vibra para cima e para baixo com amplitude máxima. Analogamente, uma onda
sonora estacionária tem nodos, pontos onde o ar não vibra, e ventres, pontos onde a amplitude
da vibração do ar é máxima. Nodos e ventres de pressão também existem na onda gerada. De
fato os nodos de pressão ocorrem nos ventres de deslocamento, e os ventres de pressão nos
nodos de deslocamento. Isto pode ser entendido imaginando um ventre de pressão que esteja
localizado entre dois ventres de deslocamento que vibram 180ºfora de fase, um em relação ao
outro. Quando dois ventres de deslocamento se propagam na direção um do outro, a pressão
do ar no ventre é máxima. Quando elas se movem separadas, a pressão vai para um mínimo.
A reflexão de uma onda sonora ocorre tanto em extremidades abertas quanto em fechadas.
Se a extremidade de um tubo está fechada, o ar não tem para onde ir, tal que um nodo de
deslocamento (um ventre de pressão) deve existir em um tubo fechado. Se a extremidade do
tubo for aberta, a pressão fica muito próxima da pressão do ambiente, tal que um nodo de
pressão (um ventre de deslocamento) existe na extremidade de um tubo aberto.
Frequências de Ressonância
Como descrito acima, uma onda estacionária ocorre quando uma onda é refletida na extre-
midade do tubo e a onda que retorna interfere com a onda original. Entretanto, a onda sonora
será de fato refletida muitas vezes para a frente e para trás entre as extremidades do tubo, e to-
das essas múltiplas reflexões irão interferir juntas. Em geral, as múltiplas ondas refletidas não
estão todas em fase, e a amplitude do padrão da onda resultante será pequeno. Entretanto, em
certas frequências de oscilação, todas as ondas refletidas estarão em fase, resultando em uma
onda estacionária de amplitude muito alta. Essas frequências são chamadas de frequências
de ressonância.
26
Nas Figuras 4.2 e 4.3 são ilustradas os primeiros estados de ressonância para tubos abertos
e tubos fechados. O primeiro estado de ressonância é o modo fundamental, e os subsequentes
são os harmônicos. (A) representa os anti-nodos ou ventres, e N os nodos. Para os tubos
abertos, no modo fundamental ( n = 1) temos λ = 2L e nos harmônicos λ = 2L/n. Nos tubos
abertos (Figura 4.2) vemos o modo fundamental (n = 1), com um ventre completo. O segundo
harmônico (n = 2), terceiro e quarto harmônicos (n = 3, e 4, respectivamente).
Temos como objetivo nesse experimento determinar as frequências de ressonância de tubos
abertos e fechados, bem como de determinar a velocidade do som no ar.
Figura 4.2: Ilustração das primeiras quatro ressonâncias para tubos abertos.
Figura 4.3: Ilustração das primeiras quatro ressonâncias para tubos fechados.
4.3 Materiais e Métodos
Determinando as frequências de ressonância
Nesse experimento vamos usar um tubo ressonante da marca PASCO, um osciloscópio,
gerador de funções, microfone com amplificador. O arranjo experimental é ilustrado na Fig.
27
4.4.
Figura 4.4: Arranjo experimental para o estudo de ondas longitudinais em tubo ressonante.
Adaptado manual da PASCO.
Há uma relação entre o comprimento do tubo, L com a frequência em que ocorre a resso-
nância. As condições para a ressonância são mais facilmente entendidas em termos do com-
primento de onda, do que em termos da frequência. Os estados de ressonância dependem se as
extremidades dos tubos estão abertas ou fechadas. Para um tubo aberto (um tubo com ambas
as extremidades abertas) de comprimento L, a ressonância ocorre quando o comprimento de
onda, λ, satisfaz a seguinte condição:
L =
nλ
2
, n = 1, 2, 3, 4, · · · (4.1)
Estes comprimentos de onda permitem de forma natural que a onda estacionária gerada
tenha um nodo de pressão (ventre de deslocamento) em cada uma das extremidades do tubo.
Uma outra forma de caracterizar os estados de ressonância é dizer que um número inteiro de
meio comprimento de onda se ajusta entre as extremidades do tubo. Observe a Figura 4.2 para
melhor compreensão.
Para um tubo fechado (por convenção, um tubo fechado possuiu uma extremidade aberta e
a outra extremidade fechada, vide Figura 4.3), a ressonância ocorre quando o comprimento de
onda, λ, satisfaz a condição:
L =
nλ
4
, n = 1, 3, 5, 7, · · · (4.2)
Estes comprimentos de onda permitem que a onda estacionária gerada tenha um nodo de
pressão (ventre de deslocamento) em uma extremidade aberta do tubo, e um ventre (nodo de
deslocamento) na extremidade fechada do tubo. Como ocorre para o tubo aberto, cada va-
lor sucessivo de n descreve um estado no qual um e meio comprimento de onda se ajusta às
extremidades do tubo, conforme ilustra a Figura 4.3.
Velocidade de Propagação de uma onda acústica
As ondas acústicas em um fluido, como por exemplo a água ou ar, tem sua velocidade dada
por:
28
V =
√
B
ρ
(4.3)
em que ρ é a densidade do meio em equilíbrio, B é o módulo de compressibilidade, o qual é
definido pela razão entre a variação da pressão, ∆P , e a variação relativa do volume, ∆V/V ,
por ela provocada:
B =
−∆P
(∆V/V )
(4.4)
Podemos calcular a velocidade das ondas sonoras em um gás de uma outra forma, através
da equação:
V =
√
γRT
M
(4.5)
em queR é a constante dos gases ideais, T é a temperatura em Kelvin, M amassamolar do gás e
γ uma constante que depende da natureza do gás. Para o ar temosM = 28, 9645 x 10−3 kg/mol
e γ = 1, 4. Isso quer dizer que a zero ºC, a velocidade do som no ar é de aproximadamente
331,3 m/s.
Portanto, a velocidade de propagação de uma onda sonora depende das características físi-
cas do meio pela qual ela se propaga, como por exemplo:
• Na água, aproximadamente: 1522 m/s;
• Na borracha, aproximadamente: 1500 m/s;
• No aço, aproximadamente: 6000 m/s;
• No alumínio, aproximadamente: 4420 m/s;
• No ouro, aproximadamente: 3250 m/s;
• No vidro, aproximadamente: 4500 m/s.
Determinando a velocidade do som no ar
Podemos determinar a velocidade do som em um tubo usando o padrão de ondas estacio-
nárias que são geradas, determinando o comprimento de onda da onda sonora, já que v = λf ,
em que f é a frequência da onda.
Procedimento
• Faça a montagem conforme ilustra a Figura 4.5.
• Anote a temperatura em que a sala se encontra.
• Escolha uma das frequëncia de ressonância acima de 1200 Hz para ajustar o sistema.
Frequências mais altas são mais fácil de ser detectadas pelo microfone.
29
Figura 4.5: Arranjo experimental para determinação da velocidade do som. Adaptado manual
da PASCO.
• Comece fazendo o experimento usando o tubo aberto (a configuração com duas extremi-
dades fechadas correspondem a configuração de tubo aberto nas duas extremidades).
• Ajuste o osciloscópio de tal forma que seja possível visualizar de forma clara e nítida o
sinal.
• Use o êmbolo para caminhar pelo tubo e observe que no osciloscópio o sinal irá aumentar
ou diminuir. Ao encontrar um desses pontos verifique na régua a posição (valores em cm,
cuidados com unidades). Encontre todos os máximos e os mínimos possíveis e anote-os
na Tabela 4.1.
• Faça o mesmo procedimento para o tubo fechado (uma extremidade aberta e a outra
fechada). Repita o procedimento anterior e a note os dados das posições de máximos e
mínimos na Tabela 4.2.
4.4 Análise dos Resultados Obtidos
Com os dados obtidos nas Tabelas 4.1 e 4.2 faça o gráfico de n versus a distância onde ocor-
rem os ventres. Faça regressão linear, obtenha a equação da reta, o coeficiente de correlação.
Encontre o comprimento de onda e calcule a velocidade do som usando a frequência anotada
em suas medições. Use o mesmo procedimento tanto para o tubo aberto quanto para o tubo
fechado.
30
O valor para a velocidade do som, levando em consideração os efeitos de temperatura é
dado por:
V = vs
√
Tm
Ta
(4.6)
em que vs é a velocidade do som a zero graus ºC, ou seja, 331,3 m/s. Tm é a temperatura absoluta
medida na sala (escala em Kelvin) e Ta é a temperatura de 273,15 K, que corresponde a zero ºC.
Portanto, se a temperatura da sala estiver a 24 ºC, a velocidade do som no ar é de 345,7 m/s.
Tabela 4.1: Dados para tubo fechado.
f usada (Hz):
n Mínimo Máximo
Tabela 4.2: Dados para tubo fechado.
f usada (Hz):
n Mínimo Máximo
4.5 Discussão dos Resultados
31
Tabela 4.3: Dados obtidos para velocidade do som em tubo aberto e fechado.
Tipo de Tubo A B r λ (m) f f (Hz) v (m/s) V (m/s) % erro
Aberto
FechadoUse como V(m/s) o valor calculado da velocidade do som pela Eq.4.6.
Descreva a natureza do comportamento da onda nas extremidades de um tubo aberto e um
tubo fechado baseado nos seus resultados. Descreva a natureza da onda ao atingir um obstáculo
sólido como de um pistão. Fale sobre a utilização de ondas sonoras na engenharia e física dos
materiais. Discuta os resultados obtidos na determinação das frequências de ressonância do
tubo e da velocidade do som.
De modo geral as frequências naturais de uma coluna de ar aberta nas extremidades é
dada por fn = nv/2L, com n = 1, 2, 3, 4, .... e para uma coluna de ar aberta em uma das
extremidades é dada por fn = nv/4L, com n = 1, 3, 5, .....
O microfone que foi utilizado no experimento é sensível à pressão. Os máximos são por-
tanto pontos de pressão máxima e os ponto de mínimos de pressão mínima. Faça um esboço
indicando onde os pontos de deslocamentos dos máximos e de mínimos estão localizados.
4.6 Quais suas Conclusões?
O método para determinar a velocidade do som foi eficaz? Indique as fontes de erro.
4.7 Bacia de Ressonância - Demonstração
A bacia de ressonância teve origem na dinastia chinesa Han (202 a.C. – 9 d.C.). Trata-se de
uma grande bacia de bronze com duas alças. No fundo encontra-se gravado o relevo de quatro
peixes e de suas bocas jorram fontes de água. Quando as alças são friccionadas ouve-se um som
harmônico e nos quatro quadrantes da bacia uma onda estacionária é reproduzida. Esta onda
estacionária faz com que fontes de água reais jorrem para o ar na altura de até 30 cm como se
os peixes tivessem ganhado vida.
A bacia era produzida em uma fundição nas redondezas de Pequim, e ela era usada nos
primeiros templos de Tao para o propósito de meditação e servia como brinquedo dos membros
nobres.
Reza a lenda, de acordo com a fundição que produz a bacia, que o seu uso pode estimular a
mente, maximizar os músculos essenciais e trazer muito mais felicidade e vida longa.
Procedimento
1. Encher a bacia até cerca de 1 cm abaixo da linha com água e colocá-la sobre uma base
segura contra deslizamento. Não colocar a bacia nem alto, nem baixo demais (o processo
de atrito precisa ocorrer de forma que os antebraços e o tronco estejam em ângulo reto).
2. Polir os cabos com lã de aço ou similar, tirar toda a gordura com detergente ou álcool.
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3. Lavar as mãos. Elas precisam estar absolutamente livres de gordura (o menor traço de
gordura na pele impede o funcionamento).
4. Para gerar oscilações deve-se posicionar as palmas das mãos levemente umedecidas nos
cabos da bacia de ressonância e friccioná-las com pouca pressão por igual e lentamente,
movimentando as mãos de maneira sincronizada. Em pouco tempo soa um tom harmô-
nico e as ondas de ressonância são visíveis na superfície da água. O tom deve ser de baixa
frequência.
5. Em caso de som de alta frequência, diminuir a velocidade do atrito. Se continuar esfre-
gando surgirão fontes de água nos quatro quadrantes da bacia de ressonância.
Figura 4.6: Bacia de ressonância
4.8 Bibliografia
1. HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
cap 16-18, v.2.
2. SERWAY, R. A.; JR. JEWETT, J. W. Princípios de Física. 1.ed. São Paulo: Thomson,
2004. cap. 12-14, v.2.
3. TIPLER, A.P.; MOSCA, G. Física. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. cap. 14, v.1.
4. BAKKEN, C.; AYARS, C. InstructionManual and Experiment Guide for the PASCO
Scientific Model WA-9612. Resonance Tube. 1988.
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4.9 Exercícios
1. Qual o objetivo de se usar um tubo para se estudar ondas sonoras? Explique.
2. Um cientista precisa determinar qual é o gás que está contido em um recipiente cilín-
drico. Para tal verificação ele utiliza o método usado acima. A frequência usada nos
experimentos foi de 2100 Hz, e os dados obtidos são tabulados na Tabela 4.4. Ao deter-
minar a velocidade do som nesse gás, e baseado nos dados da Tabela 4.5, indique o gás
que está contido no recipiente. Considere para efeito de comparação um erro de até 10%.
Tabela 4.4: Comprimento do tubo em função do número de modos, para f = 2100 Hz.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l (m) 0,41 0,83 1,22 1,62 2,02 2,4 2,82 3,21 3,61 4,10
Tabela 4.5: Velocidade do som em diferentes meios, a temperatura de 0 ◦C.
Gás Hélio Hidrogênio Nitrogênio Neon Oxigênio CO2
v (m/s) 965 1284 334 435 316 259
Fonte: Manual de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107.
3. Fale sobre um outro método para determinar a velocidade do som.
4. Um tubo tem comprimento de 1,50 m e considere que a velocidade do som no ar é 346
m/s. a) Determine as frequências dos três primeiros harmônicos se o tubo estiver aberto
nas duas extremidades. b) Quais são as três frequências determinadas no item a) se o
tubo estiver fechado em uma extremidade?
5. No experimento de cordas vibrantes vimos que quanto maior a densidade linear da corda,
menor a a velocidade da onda se propagando nesse meio. Mas, se a densidade de um
sólido é maior que o ar, por que a velocidade do som é muito maior em meios sólidos do
que em meios gasosos ?
Experimento nº 5
Cuba de Ondas
5.1 O que devo saber ao fim desse experimento:
• Identificar ondas em duas e três dimensões;
• O que são ondas planas? O que são ondas esféricas? O que é frente de onda?
• Entender que os fenômenos físicos envolvendo ondas mecânicas e eletromagnéticas são
similares.
5.2 Introdução
Uma cuba de ondas é um aparato que serve para gerar ondas em uma superfície (usualmente
água), e que nos permite observar os fenômenos físicos envolvidos na propagação de ondas no
meio. É possível também, fazermos uma anologia entre os fenômenos de propagação de ondas
mecânicas com as ondas de luz, devido à similaridade existente entre elas, embora as ondas
mecânicas necessitem de um meio para se propagar e as ondas eletromagnéticas não.
Figura 5.1: Ilustração da luz passando pela ondas geradas na superfície da água.
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35
A
A′
B
B′
c∆t
F
re
n
te
d
e
O
n
d
a
(o
ri
g
in
al
)
F
re
n
te
d
e
O
n
d
a
(n
o
va
)
c∆
t
F
re
n
te
d
e
O
n
d
a
(o
ri
g
in
al
)
F
re
n
te
d
e
O
n
d
a
(a) (b)
(n
o
va
)
Figura 5.2: Propagação de ondas planas e propagação de ondas esféricas.
Ao gerarmos uma perturbação num meio líquido, a sua superfície livre se ondula e se pro-
paga ao longo do plano determinado por ela, conforme ilustrado na Figura 5.4. Os raios lumi-
nosos, provenientes da lâmpada, ao encontrar uma superfície curva irão convergir ou divergir
nestas lentes formadas pelas cristas e ventres da onda que se propaga na água. As cristas funci-
onam como lentes convergentes, gerando as regiões claras, enquanto que os vales como lentes
divergentes, gerando as regiões escuras, quando projetadas em um anteparo. O comprimento
da onda λ é dado pela distância entre dois pontos claros (ou escuros).
Vale ressaltar que, tanto as ondas planas quanto as esféricas mantêm automaticamente suas
formas conforme se propagam pelo meio devido ao princípio de Huygens, conforme ilustra a
Figura 5.2. Em (a) temos uma onda plana, sendo que cada ponto sobre a frente de onda original
(AA’) se torna uma nova fonte de onda de uma nova onda esférica. Após um curto período de
tempo ∆t, o envelope de todas as novas ondas está no plano (BB’), que também é uma onda
plana porque está localizada a uma distância fixa c∆t do plano AA’ em que c é a velocidade da
onda.
No caso de ondas esféricas, o envelope também é esférico. As ondas se propagam da fonte
em todas as direções da frente de onda original. Note que uma onda emergente de um fonte
pontual se propaga como uma onda esférica.
Temos como objetivo nesta aula demonstrativa identificar ondas em duas dimensões e in-
vestigar os diversos fenômenos físicos que ocorrem com essas ondas: reflexão, refração, difra-